IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo 1 Específico 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

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1 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna Opción A Ejrcicio opción A, modlo Junio 03, spcífico [ 5 puntos] Halla las dimnsions dl rctángulo d ára máima inscrito n un triangulo isóscls d 6 mtros d bas (l lado dsigual) y 4 mtros d alto. Es un problma d optimización. Lyndo l problma tnmos las siguints figuras: La función a maimizar s Ára A(,y).y Rlación ntr variabls: tag(α) 4/3 (Triángulo grand) y/(3 ) [triángulo pquño], d dond obtnmos y/(3 ) 4/3, por tanto y ( 4)/3 lugo A().y ( 4)/3 (4 8 )/3. A () (/3).(4 6) D A () 0, tnmos 4 6 0, s dcir 3/ 5. Lugo l rctángulo tin d bas 3 m. y d altura y ( 4( 5))/3 m. Vamos qu s un máimo, s dcir A ( 5) < 0 A () (/3).( 6) -6/3 < 0, indpndintmnt dl valor d, lugo s un máimo. Ejrcicio opción A, modlo Junio 03, spcífico San f y g las funcions dfinidas por f () y g() para. [0 5 puntos] Calcula los puntos d cort ntr las gráficas d f y g. [0 5 puntos] Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. c) [ 5 puntos] Halla l ára dl rcinto itado por las gráficas d f y g. San f y g las funcions dfinidas por f () y g() para. Calcula los puntos d cort ntr las gráficas d f y g. Igualamos ambos funcions y rsolvmos la cuación qu nos qud. f() g() (-)() (-), d dond tnmos las solucions 0 y Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. Sabmos qu la gráfica d f s una rcta, y con dos puntos s suficint. El (0,) y l (,). La gráfica d g s un hipérbola lugo stá nfrntada rspcto a sus asíntotas. Como /0 la rcta - s una asíntota vrtical d g Como /(± ) 0, la rcta y 0 s una asíntota horizontal (A.H.) d g. En g stá por ncima ± d y 0 (A.H.), y n -, g stá por dbajo d y 0 (A.H.). Sabmos qu pasa por (0,), (,) y l (-,-). Con stos datos s suficint para dibujarla

2 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna c) Halla l ára dl rcinto itado por las gráficas d f y g. Ya hmos calculado los puntos d cort d f con g qu son 0 y, lugo l ára pdida s: Ára 0 (f() g()) d 0 (- /()) d [ - /-ln() ]0 ( / ln()) (0-0-0) 3/ ln() 0 37 u. Ejrcicio 3 opción A, modlo Junio 03, spcífico Considra l siguint sistma d cuacions linals, y z 0 y mz m m y 3z m [ 75 puntos] Discut l sistma sgún los valors dl parámtro m. [0 75 puntos] Rsuélvlo, si s posibl, para m. Discut l sistma sgún los valors dl parámtro m. 0 * La matriz d los coficints dl sistma s A - m y la matriz ampliada A - m m-. m 3 m 3 m- Si dt(a) A 0, rango(a) rango(a * ) 3 nº d incógnitas. El sistma s compatibl y dtrminado y tin solución única. Adjuntos A - m primra m 3 fila ()(-3-m) ()(3-m ) ()(m) -3 - m - 6 m m) m 8. Rsolvindo la cuación m - 8 0, obtnmos m - y m. Si m - y m, dt(a) A 0, rango(a) rango(a * ) 3 nº d incógnitas. El sistma s compatibl y dtrminado y tin solución única. Si m - A y * A En A como -3 0, tnmos rango(a). - En A * como 0 Adjuntos - -4 primra - -4 fila ()(44) - ()(-4-8) , tnmos rango(a * ) 3. Como rango(a) rango(a * ) 3, l sistma s incompatibl y no tin solución.

3 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna Si m A - 3 y * A - 0 En A como -3 0, tnmos rango(a). - En A * como , por tnr una columna d cros tnmos rango(a * ). Como rango(a) rango(a * ) < númro d incógnitas, l sistma s compatibl indtrminado y tin infinitas solucions. Rsuélvlo, si s posibl, para m. Hmos visto n l apartado antrior qu si m, rango(a) rango(a * ), l sistma s compatibl indtrminado y tin infinitas solucions. Como l rango s, sólo ncsitamos cuacions. (Tomo las dl mnor d A distinto d cro con l qu hmos dtrminado l rango, s dcir la ª y la ª). y z 0 y z 0 y z 0. F F - 3y z 0. Tomo y a R, d dond z 3a, y ntrando n la ª cuación tnmos ( (3 0-5a (,y,z) (-5a, a, 3 con a R. Ejrcicio 4 opción A, modlo Junio 03, spcífico [ 5 puntos] Dtrmina l punto d la rcta r - y z qu quidista d los planos 3-4 λ - 3µ π y 3z 0 y π y λ z µ Ponmos l plano π n su forma gnral dt(-a,u,v) 0, dond a ( 4,,0), u (,,0) y v (-3,0,). 4 y- z Adjuntos π dt(-a,u,v) 0 0 primra -3 0 fila (4)() (y-)() (z)(3) - y 3z 5 0. Sabmos qu la distancia d un punto P(p,p,p3) a un plano π a by cz d 0 s a(p )b(p )c(p 3 )d d(p, π), dond s l valor absoluto. a b c Ponmos la rcta r n forma vctorial, para lo cual ncsitamos un punto suyo, l B y un vctor dirctor, l w. Como r - y z, un punto d la rcta s l B(,0,-) y un vctor dirctor s w (3,,). 3 La rcta n forma vctorial s r (, y, z) (3δ,δ,-δ), con δ un númro ral cualquira. Un punto gnérico d la rcta r s X (3δ,δ,-δ). Como m pidn los puntos d r qu quidistan d π y π, tngo qu rsolvr la cuación: d(x, π) d(x, π), con X punto gnérico d r. Rcurdo qu π y 3z 0, π - y 3z 5 0 y X (3δ,δ,-δ). Obsrvamos qu los planos son parallos pus tinn l mismo vctor normal (,-,3). d(x, π) (3δ) - (δ) 3(-δ) 3 4 δ 3

4 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna d(x, π) (3δ) - (δ) 3(-δ) δ 3 4 δ Igualando tnmos 4 δ 3, s dcir 4δ 4δ 3, d dond saln dos cuacions: (4δ) (4δ 3), d dond 0 3, lo cual s absurdo. (4δ) -(4δ 3), d dond 8δ -3, s dcir δ -3/8, y l punto d la rcta qu quidista d ambos planos s X(3(-3/8),(-3/8),-(-3/8)) X(-/8,-6/8,-/8). Opción B Ejrcicio opción B, modlo Junio 03, spcífico Sa f la función dfinida por f() para -, 0. [ punto] Calcula los límits latrals d f n 0. [ 5 puntos] Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sa f la función dfinida por f() para -, 0. Calcula los límits latrals d f n ( ). Indtrminación. { / ; l aplicamos L Hôpital ( L H)} 0 0 / Lugo 0 s una asíntota vrtical d la gráfica d f. 0 (-/ ) (-/ ) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Como Como 0, la rcta 0 s una asíntota vrtical d f 0, la función f no tin asíntota horizontal (A.H.) n. Como la función stá dfinida a partir d -, no podmos hacr l studio n -. f() Vamos si tin asíntota oblicua (A.O.) y m n, con m y n (f() m). m f() n (f() m) (-/ ) (-/ ) - 0. La A.O. n s la rcta y m n { 0} - {0/0; L H} / Como (f() A.O.) - - 0, la gráfica d f stá por ncima d la A.O: n. Aunqu no m lo pidn un sbozo d la gráfica d f s: 4

5 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna [ 5 puntos] Calcula Calculamos primro la intgral indfinida I d Nos dan l cambio t Ejrcicio opción B, modlo Junio 03, spcífico 4 d. Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t, s dcir t, lugo t dt d, y sustituyndo nos quda t I dt, qu s una intgral racional. Dividimos y dscomponmos n factors simpls l dnominador si t hicis falta. t t -t - - Rcordamos qu I ( (C(t)) R(t)/(div(t) )dt dt ln La intgral pdida s. 4 d ( 4 ln 4 ) ( ln ) ln dt t ln t {quito l cambio t t 4 } Ejrcicio 3 opción B, modlo Junio 03, spcífico Sa M una matriz cuadrada d ordn 3 tal qu su dtrminant s dt(m ). Calcula: [0 5 puntos] El rango d M 3. [0 75 puntos] El dtrminant d M t (M t s la matriz traspusta d M ). c) [0 75 puntos] El dtrminant d (M - ). d) [0 5 puntos] El dtrminant d N, dond N s la matriz rsultant d intrcambiar la primra y sgunda filas d M. Sabmos qu si A y B son cuadradas ntoncs, dt(a) A, AB A B, A - / A (d A.B I, y I ), k.an k n. A, A t A, y si B3 0, rango(b) 3. Sa M una matriz cuadrada d ordn 3 tal qu su dtrminant s dt(m ). Calcula: El rango d M 3. Como M 3 M M M M M M () 3 8 0, tnmos qu rango(m 3 ) 3. El dtrminant d M t (M t s la matriz traspusta d M ). M t () 3. M t 8. M (8)() 6. c) El dtrminant d (M - ). (M - ) (M - ) (M - ) (M - ) (M - ) (/ M ) (/ M ) (/ M / /4. d) El dtrminant d N, dond N s la matriz rsultant d intrcambiar la primra y sgunda filas d M. 5

6 IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna Sabmos qu si cambiamos dos filas (columnas) ntr si l dtrminant cambia d signo N - M -. Ejrcicio 4 opción B, modlo Junio 03, spcífico Considra los puntos A(0,5,3), B(,4,3), C(,,) y D(,3,). [ 75 puntos] Compruba qu los cuatro puntos son coplanarios y qu ABCD s un rctángulo. [0 75 puntos] Calcula l ára d dicho rctángulo. Considra los puntos A(0,5,3), B(,4,3), C(,,) y D(,3,). Compruba qu los cuatro puntos son coplanarios y qu ABCD s un rctángulo. Para vr si son coplanarios, con los puntos A B y C formamos un plano y dspués comprobamos si l punto D prtnc a dicho plano. La cuación dl plano stá dtrminada por un punto, l A(0,5,3), y dos vctors indpndints, l AB (-,-,0) y AC (, -3,-) y-5 z-3 Adjuntos La cuación gnral dl plano s π 0 dt(ax, AB, AC) primra -3 - fila ()-(y-5)() (z-3)(4) - y 4z 0. Como () (3) 4() 0, l punto D(,3,) prtnc al plano π - y 4z 0, y los cuatro puntos son coplanarios. Vindo la figura ABCD s un rctángulo si los vctors AB y DC son iguals, y admás AB s prpndicular ( ) al BC. A(0,5,3), B(,4,3), C(,,) y D(,3,). AB (-,-,0), DC (-,-,0), lugo AB DC AB s al BC si AB BC 0 (producto scalar ) AB (-,-,0), BC (,-,-). AB BC (-,-,0) (,-,-) - 0 0, lugo son prpndiculars y la figura ABCD s un rctángulo. Calcula l ára d dicho rctángulo. Sabmos qu l ára d un rctángulo s la bas por la alturra, s dcir Ára DC BC 0 4 u. 6

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