PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES. b) Calcula I. Descomponemos el integrando en suma de fracciones simples:

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1 Matmáticas Intgrals PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES ) Sa I d. a) Eprsa I hacindo l cambio d variabl t. I d t dt dt d d dt t dt t t t ( t ) b) Calcula I. Dscomponmos l intgrando n suma d fraccions simpls: t ( t ) A B t t A( t) Bt t ( t ) Para qu la primra y la última fracción coincidan, dbn sr iguals los numradors, pusto qu los dnominadors lo son: A( t) + Bt Si t B B Si t A A Por tanto: I dt + t t dt Ln t Ln t + k Ln Ln + k Ln + k Pusto qu. Y Ln( ) Ln(). ) Considra la intgral indfinida I d variabl d ) Calcula: t. t t dt d. Calcúlala aplicando l cambio t d d dt ( t ) dt ( t ) dt t dt dt dt dt dt t + ln t + k t t t t ln k 5 6 a) d. 5 S trata, claramnt, d una intgral racional. El grado dl numrador no s mnor qu l dl dnominador, por lo qu l procdiminto gnral nos obliga a dividir numrador ntr dnominador y sustituir l numrador, usando qu dividndo s igual a divisor por cocint más rsto. Sin mbargo, podmos consguir qu part d los sumandos qu forman l numrador san igual al dnominador, y dscomponr la intgral n sumas, sindo st un procdiminto más corto (si s qu nos damos cunta). Y sría así: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6 t

2 Matmáticas Intgrals 5 6 d ( 5 ) d 5 d d d 5 + d 5 5 d + I 5 + I Nos cntramos n l intgrando d I. Dscomponmos n factors irrducibls l dnominador, lo qu s inmdiato si considramos qu s trata d una difrncia d cuadrados. Por l torma qu prmit dscomponr fraccions algbraicas dond l grado dl numrador s mnor qu l dl dnominador: 5 ( 5)( 5) A B 5 5 A( 5) B ( 5) ( 5)( 5) D dond, igualando los numradors d la primra y la última fraccions: 5 A( + 5) + B( 5) Si damos valors a, nos quda: 5 B( ) B 5 A A Por tanto: D dond: I Por tanto, sustituyndo: b) ( ) tg ( ) Calcula: d 5 5 ( 5)( 5) 5 6 d 5 ) d. d Ln ( 5) Ln ( 5) C 5 Ln ( 5) Ln ( 5) C Obsrvando l intgrando, tnmos qu ( ) s la drivada dl argumnto d la tangnt. Por tanto, podmos intntar un cambio d variabl: ( ) tg ( ) d dt dt t ( ) d dt d sn ( t ) ( ) tg ( t ) tg (t) dt dt cos( t ) Como l numrador s la drivada dl dnominador: Ln(cos(t)) + k Ln(cos( )) + k a) d Aplicando propidads inmdiatas d intgrals: d sn ( t) dt cos( t ) d + d d + d + La sgunda intgral s inmdiata. La primra, como la drivada dl dnominador s, sólo ncsita un coficint n l numrador para sr un logaritmo npriano: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

3 Matmáticas Intgrals b) cos( ) d d + arctg + k Ln( + ) + arctg + k El intgrando s producto d dos funcions. Ambas sabmos drivarlas intgrarlas, por lo qu la abordamos por parts. Llamarmos u porqu, d lo contrario, al intgrarla aumntaría l grado d n l intgrando, lo qu no nos convin: nos intrsa qu st factor dsaparzca. La intgral d cos() s inmdiata (basta ajustar coficints); pro si no la viésmos, la plantaríamos apart mdiant un cambio d variabl t. cos( ) d dv u du d cos d v sn sn sn + cos sn d cos cos 8 8 5) Calcular d 6 5 Como l grado dl numrador d sta intgral racional s mayor o igual qu l dl dnominador, habría qu comnzar ralizando la división d un polinomio ntr otro. Pro cuando l grado s igual, como n st caso, podmos intntar vitarla: I d d d + d d + I + I ( ) + I + I Dscomponmos n suma d fraccions simpls l intgrando d I. Para llo, comnzamos por avriguar las raícs dl dnominador: Por tanto: A B ( )( 5) A( 5) B ( ) ( )( 5) Lo qu srá cirto si los numradors coincidn: 6 5 A( 5) + B( ) Y para avriguar qué valors d A y B vrifican la igualdad, damos valors convnints a : : A + A / 5: 5 + B B 5/ D sta manra: I d d ln + ln 5 5 IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

4 Matmáticas Intgrals (ln ln ) 5 + (ln ln ) Sustituyndo arriba, tnmos, finalmnt: ln I ln 5 ln ln 6) Calcular d (,5 puntos) Estamos ant una intgral racional. Como l grado dl numrador s mayor o igual qu l dl dnominador, hmos d comnzar con la división ntr ambos. Pro si nos fijamos bin, como ambos grados coincidn, podmos vitarla así: I d d d d d d d Si hubiésmos fctuado la división d los polinomios, habríamos llgado al mismo rsultado. Hagamos ahora cada intgral por sparado. La primra s trivial: ) d ( Para la sgunda (prscindimos dl ½), dscomponmos l intgrando n suma d fraccions simpls, para lo qu tnmos n cunta qu: Con lo qu: 8 A B ( + )( ) A( ) B ( ) + ( )( ) ( )( ) Para lo qu basta con qu san iguals los numradors: + A( ) + B( + ) Vamos qué valors son los d A y B. Para llo, damos valors a : : + B B / : A + A / Con todo llo: d ln + ln Sustituyndo: + d + d (ln ln ) + (ln ln ) ln I + + ln 5 ln 5 ln 5 ln 6 IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

5 Matmáticas Intgrals 7) Calcular la intgral d Estamos ant una intgral racional. Como l grado dl numrador s mayor o igual qu l dl dnominador, hmos d comnzar con la división ntr ambos: Por tanto: ( )( ) Por otra part, factorizamos l dnominador: 8 9 ( )( ) 9 ( + )( ) Dscomponmos n suma d fraccions simpls la fracción algbraica antrior: 9 9 A B A( ) B ( ) + ( )( ) ( )( ) Para lo qu basta con qu san iguals los numradors: 9 A( ) + B( + ) Vamos qué valors son los d A y B. Para llo, damos valors a : : 9 + B B : 9 A + A Con todo llo: Por lo qu: d 9 ) d + ( + d ln ln k + d 8) Calcular d 6 5 Como l grado dl numrador d sta intgral racional s mayor o igual qu l dl dnominador, habría qu comnzar ralizando la división d un polinomio ntr otro. Pro cuando l grado s igual, como n st caso, podmos intntar vitarla: I d d d + d d + I + I ( ) + I + I Dscomponmos n suma d fraccions simpls l intgrando d I. Para llo, comnzamos por avriguar las raícs dl dnominador: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 5 d 6

6 Matmáticas Intgrals Por tanto: A B ( )( 5) A( 5) B ( ) ( )( 5) Lo qu srá cirto si los numradors coincidn: 6 5 A( 5) + B( ) Y para avriguar qué valors d A y B vrifican la igualdad, damos valors convnints a : : A + A / 5: 5 + B B 5/ D sta manra: I d (ln ln ) d 5 + (ln ln ) Sustituyndo arriba, tnmos, finalmnt: ln + ln 5 ln I ln 5 5 ln ln 9) S sab qu la función f : R R dfinida por f() a + b + c tin un máimo absoluto n l punto d abscisa, qu su gráfica pasa por l punto (, ) y qu ( ) d. Hallar a, b y c. f La función qu nos dan s cuadrática, cuya gráfica s una parábola. Para tnr un máimo absoluto, db sr cóncava, y dicho máimo absoluto srá l máimo rlativo. Lugo lo qu tnmos s un máimo rlativo n (, ). Un torma nos dic qu si f '(a) y f "(a) < hay un máimo rlativo n a. Vamos a igir sto para consguirlo: f '() a + b f '() a + b () Tnmos una rlación ntr a y b, qu nos garantiza lo qu nos pidn, simpr qu f "() <, qu comprobarmos cuando tngamos más información. Por otra part, si pasa por (, ) f() a + b + c (). Tnmos una sgunda condición. Por último: f ( ) d ( a b c) d a b c ( ) ( ) 9b a b a b c a b c( ) 9 a c c 9b a b 8 9 a c c a b c 8a + b + c 7a + b + c 8 () Rsolvmos l sistma formado por las trs cuacions ncontradas, por Gauss: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 6

7 Matmáticas Intgrals 7 8 F F ª c: a a ª c: ( ) + b b ª c: + + c c Lugo la función solicitada s: f() + +. Y sta función vrifica lo único qu nos quda: f "() f "() <, por lo qu, n fcto, lo qu hay n s un máimo. ) Calcular > para qu l ára dl rcinto limitado por las gráficas d las funcions f : R R y g : R R dfinidas por: f() y g() + sa 7 (unidads d ára). La gráfica d f s la parábola conva stándar. La d g s su simétrica invrtida (cóncava) dsplazadas unidads hacia arriba, dado qu dicho valor s positivo strictamnt. Por tanto, g quda por ncima d f. Los puntos d cort d ambas funcions son: ntr ambas srá: y + y Para calcular l rcinto, sólo nos intrsan las abscisas d los puntos d cort, qu ya tnmos. Por tanto, l ára A ( ) d ( ) d Hmos igualado al rsultado conocido dl ára. Dspjando: ) Sa f : R R la función dfinida por f(). Esbozar l rcinto limitado por la curva y f(), los js coordnados y la rcta. Calcular su ára. Sabmos qu f s continua. Los corts con los js son: y : (, ). y, pusto qu la ponncial no s anula nunca: (, ). Asíntotas: No tin vrticals (s continua) IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 7 d 6

8 Matmáticas Intgrals Horizontals: lim lim ( + ) ; lim (+ ) (+ ) (L'Hôpital, son ambas drivabls n R) lim Lugo tin como asíntota la rcta y cuando +, y s va al cuando. Oblicua: m lim lim ( + ) +. No tin. Monotonía: f '() ( ) Discontinuidads d f ó f ': No hay. f '() (, ) (, +) f ' + f M Máimo rlativo n (, /). Curvatura; f "() ( ) ( + ) Discontinuidads d f, f ' ó f ': No hay. f "() Punto d inflión n (, ). (, ) (, +) f " + f cóncava Gráfica: Hmos trazado ya la rcta vrtical y sombrado l ára qu nos pidn. Dicha ára, al star bajo OX, s la intgral dfinida cambiada d signo, qu hacmos por parts: A u d dv d du d v d PI ( ( ( ))) + conva + u ) San f : R R y g : R R las funcions dfinidas mdiant: f() ( ) y g() +. a) Esbozar las gráficas d f y g sobr los mismos js. Calcular los puntos d cort ntr ambas gráficas. La función f s l valor absoluto d una parábola conva (l coficint d s positivo) qu corta a OX n y n, y con vértic n (, ). Por tanto, su gráfica s la d dicha parábola hacindo la simtría rspcto OX d la part qu quda bajo dicho j, qu s la dl intrvalo (, ). IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 8 d 6

9 Matmáticas Intgrals La función g s una rcta. Para rprsntarla usamos una pquña tabla d valors. El rsultado s mustra junto a stas línas. Sgún lo visto, podmos prsar: f() ( ) ( ) si si ó Las intrsccions las obtndrmos analíticamnt rsolvindo l sistma qu, n ralidad, son dos sistmas: y ( ) y ( ) + D dond: (, ) (, 8) Ambas válidas, pus y s ncuntran n las zonas n las qu f coincid con y ( ). y ( ) y ( ) sin solución. b) Calcular l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g. Una d las formas d calcular l ára s dividiéndola n parts, como n l gráfico: A ( ( )) d + [ ( ( )] d + ( ( )) d ( ) d + ( ) d + ( ) d ( ) d + ( ) d + ( ) d u 6 ) Sa g: (, +) R la función dfinida por g() ln(). a) Esbozar l rcinto limitado por la gráfica d g y la rcta y. Calcular los puntos d cort ntr llas. La gráfica d y ln() s conocida, pus s una d las funcions qu s manjan habitualmnt. La gráfica dl valor absoluto d una función s difrncia d la d la función misma n qu las zonas qu qudan bajo l j d IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 9 d 6

10 Matmáticas Intgrals abscisas s cambian por sus simétricas rspcto al mismo, pasando a star sobr l j d abscisas. Así, dibujamos la gráfica d y ln() y, a su drcha, la d g() ln() : Nos pidn, admás, los corts con y y sñalar l rcinto limitado ntr sta rcta y g(). La rcta y s horizontal, sin más dificultad. Y para hallar los corts con g, scribimos ésta como dfinida a trozos. Dado qu ln(), la simtría rspcto a OX la hmos aplicado n l tramo corrspondint al intrvalo (, ). Y, por tanto: g() ln() ln( ) ln( ) si si La rsolución dl sistma formado por y g() y s, pus: Si < : ln() ln(). Si : ln() ln() Lugo los corts son: (, ) y (, ). Y l rcinto solicitado s l colorado n l gráfico. b) Calcular l ára dl rcinto antrior. (,5 puntos) Hay qu hacr dos intgrals, porqu la dfinición d g s difrnt n l intrvalo [, ] y n [, ]: A / [ ( ln( ))] d / d + / / + ln( ) / d / / ln( ) d / + u ln( ) dv d ln / d du v IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

11 Matmáticas Intgrals A ( ) [ ln( )] d ln( ) Lugo A A + A + u ln( ) ) Considrar la función f : R R dfinida por f() ( + ). a) Esbozar la gráfica d f, calculando corts con los js, asíntotas, monotonía, trmos rlativos, curvatura y puntos d inflión. Corts con js: y : (, ). y ( + ) (imposibl: la ponncial no s anula nunca) ó : (, ). Asíntotas: o AV: No tin, por sr continua n todo R. o AH: lim ( ) lim lim ( ) lim lim o AO: m lim. No tin si (L'Hôpital, ambas drivabls) y s AH si + lim lim. No tin. Monotonía f '() (+ ) ( ) ( ) o Discontinuidads d f ó d f ': No hay o f '() : (la ponncial simpr s strictamnt positiva, no s anula nunca). (, ) (, +) f ' + f Má Tin un máimo rlativo n (, ), s crcint n (, ) y dcrcint n (, +). Curvatura f "() ( ) ( + + ) ( + ) o Discontinuidads d f, f ' ó f ": No hay o f "() : (la ponncial simpr s strictamnt positiva, no s anula nunca). (, ) (, +) f ' + f Má Es cóncava n (, ), conva n (, +) y tin un punto d inflión n (, ). Gráfica. S ha sñalado l rcinto cuya gráfica s pid n l siguint apartado: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

12 Matmáticas Intgrals b) Calcular l ára ntr l j d ordnadas, la curva y su cort con l j d abscisas. ( punto) A ( ) d u du d dv d v ( ) ( ) ( ) + u IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6 d 5) Sa f : R R la función dada por f(). a) Justificar qu la rcta d cuación y s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa /. Punto d tangncia. Como f( /) ( /, ). Como f '() m f '( /). Rcta tangnt: y ( + ½) y + y. b) Calcular l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, l j d ordnadas y la rcta tangnt dl apartado antrior. f '() y la ponncial simpr s positiva, la drivada s ngativa simpr, por lo qu s trata d una función dcrcint strictamnt. Admás, f "() >, f simpr s conva. Por otra part, la rcta tangnt s dcrcint. Entoncs, l único contacto ntr ambas s l punto d tangncia, pus como f s dcrcint y conva, dspués d tocar a su tangnt s va aljando d la misma. Para., por jmplo f(.). mintras qu la imagn por la rcta s y.5. D modo qu la rcta stá por dbajo d la curva. Lugo l ára pdida db sr: A / ( ) d / 6) San f : R R y g : R R las funcions dfinidas mdiant f() + y g() +. a) Esboza las gráficas d f y d g calculando sus puntos d cort. f() s polinómica d trcr grado. Como l término d máima potncia s, cuando las imágns d f s van también a, y cuando + s van a +. Calculamos los trmos rlativos: f () + 6 (+6) (alguno d los factors db sr ): ó +6 (d dond ). Como f () 6+6, rsulta:

13 Matmáticas Intgrals f () 6 > n hay un mínimo rlativo. Como f(), sus coordnadas son (, ) f ( ) +6 6 < n hay un máimo rlativo. Como f( ) 8 +, sus coordnadas son (, ) Por tanto, la gráfica s la dl gráfico d más adlant. g() + s una rcta, fácil d dibujar dando algunos valors a. S ha dibujado también n l gráfico. Sus gráficas s cortan n aqullos valors d qu dn la misma imagn: f() g() Rsolvmos por Ruffini: Calculando las imágns mdiant g, qu s más fácil qu con f, tnmos las coordnadas d los puntos d cort: (, ), (, ) y (, ) b) Calcula l ára d cada uno d los dos rcintos limitados ntr las gráficas d f y g. El ára sombrada n vrd s: A d ( ) d Y l ára roja: u A d ( ) d 7 9 u d 7 dond n l primr paso, hmos cambiado l ordn d la rsta n l intgrando, con lo qu l signo d la intgral cambia; pro al cambiar los límits d intgración volvmos al signo original. Con llo, aprovchamos los rsultados dl cálculo prvio. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

14 Matmáticas Intgrals u significa unidads al cuadrado, sindo dicha unidad u la d longitud n la qu s midn los js d coordnadas. 7) Sa f: R R la función dfinida por f(). a) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Punto d tangncia: Si f() Es (, ). Pndint d la tangnt: Como f () m f (). Por tanto, la cuación d la rcta tangnt s (usando la cuación d la rcta n forma punto-pndint): y ( ) y. b) Dibuja l rcinto limitado por la gráfica d f, la rcta tangnt obtnida n l apartado antrior y l j OX. Calcula su ára. La función f s la parábola qu conocmos bin. Por tanto, la gráfica s la adjunta, n la qu s ha dstacado n rojo l pquño rcinto cuya ára nos solicitan. El ára d dicho rcinto NO s la qu quda ntr las curvas ntr y, porqu llo comprnd también al triángulo formado ntr la rcta tangnt y los js n l cuarto cuadrant. Hay qu calcular l ára qu quda bajo la curva ntr y (zona roja más zona amarilla) y rstarl l ára qu quda bajo la tangnt ntr l punto d cort d ésta con OX (qu, dando a y l valor n la cuación d la tangnt s v qu s ½) y (zona amarilla): A d ( ) d / / u. 8) Halla l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la función f() sn y las rctas tangnts a dicha gráfica n los puntos d abscisas y. Habrmos d mpzar calculando las cuacions d dichas tangnts.. Punto d tangncia: f() sn (, ). Pndint: f '() cos m f '() cos Ecuación d la tangnt: y ( ) y.. Punto d tangncia: f() sn (, ). Pndint: f '() cos m f '() cos Ecuación d la tangnt: y ( ) y +. Como la gráfica d y sn s conocida, podmos sbozar la situación n l dibujo adjunto. S ha marcado n rojo la zona d la qu nos pidn calcular l ára. Vamos a prcisar l punto d cort d las dos tangnts. Ponindo n un sistma sus rspctivas cuacions y, por igualación: IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página d 6

15 Matmáticas Intgrals + No ncsitamos l valor d y. El ára s, ntoncs: 8 / sn d + ) sn cos / / + ( d cos / u 9) Sa Ln() l logaritmo npriano d. Esboza l rcinto limitado por los js coordnados y las gráficas d las funcions y y Ln(). Calcula su ára. Es conocida la gráfica d y Ln(). La función y s una rcta horizontal. Por tanto, l rcinto qu nos solicitan s l dl gráfico, dond s ha sñalado n rojo l rcinto cuya ára nos pidn. La abscisa dl punto d cort d ambas gráficas s: y Ln ( ) y Ln ( ) Por tanto, l ára d dicho rcinto s la qu quda bajo la rcta ntr y, mnos la qu dja por dbajo la función y Ln() ntr y. Ára bajo la rcta d Ára bajo la curva Ln ( ) d u Ln ( ) dv d d du v Ln ( ) Ln () ( ) ( ) + Por tanto, l ára pdida val u. Hay otra forma d solucionar l problma más fácil y mucho más corta. Consist n ralizar un gráfico simétrico dl antrior rspcto d y (bisctriz dl primr y trcr cuadrant). La gráfica simétrica d y Ln() rspcto d y sabmos qu s su función invrsa qu, n st caso, s y. Y la simétrica d y s. IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 5 d 6 Ln ( ) d

16 Matmáticas Intgrals Por tanto, l ára inicial mid lo mismo qu l ára marcada n azul n l gráfico adjunto. Y ésta s: A d u ) Sa f : R R la función dfinida por f() ( ) ln(). Calcula la primitiva d f cuya gráfica pasa por l punto (, /). Todas las primitivas d f nos la proporciona su intgral indfinida, qu pasamos a calcular por parts, dado qu tnmos l producto d dos funcions qu sabmos drivar, y una d llas la sabmos intgrar (ést s un indicio d qu probablmnt podamos rsolvrla por l método indicado): ( ) ln( ) u ln( ) d dv ( ) d ln( ) d ln( ) du d ln( ) d v ln( ) d + d ln( ) d + d ln( ) + + k D todas llas, nos pidn la qu pasa por (, /). Es dcir: ln( ) + + k k La función solicitada s, pus: F() ln( ) k 9 IES Frnando d Hrrra Prof. R. Mohigfr Página 6 d 6