MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ. MÉTODO MATRICIAL

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1 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ. MÉTODO MATRICIAL 1. SISTEMAS DE REERENCIA La sismaización dl méodo cuyos fundamnos s han prsnado anriormn rquir dl paso d unas caracrísicas lmnals a unas caracrísicas globals. El paso d unas a oras s basa n la disina orinación qu inn las caracrísicas lmnals d las qu in s mismo lmno dnro d la srucura global. Eso nos obliga a la dfinición d un sisma d coordnadas global y un sisma d coordnadas local o dl lmno. El paso d uno a oro s rlizará mdian la corrspondin roación d js. Llamarmos sisma d rfrncia a un sisma d coordnadas carsiano qu prmi la dfinición gomérica d la srucura. Sobr l lmno dfinimos dos ipos d sismas: Sisma global. Dado qu la srucura sá formada por un conjuno d lmnos unidos, s hac ncsario un sisma qu prmia dfinir d forma única las furzos y moviminos n los nudos d la srucura. En l caso más gnral incluy 6 vcors (3 dsplazamino y 3 giros) y sul sr parallo al sisma d rfrncia. Sisma Local. El comporamino global d la srucura s gnra a parir d los lmnos. Es úil dfinir un sisma d coordnadas qu A. Carnicro 1

2 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial prmia dfinir las rlacions furza-dsplazamino d forma única, indpndin d la orinación dl lmno n la srucura. 2. TRANSORMACIÓN DE COORDENADAS. y Y x α X x Xcosα + Ysnα y Xsnα + Ycosα Esa cuación pud scribirs d la forma v JV dond J s la mariz jacobiana d la ransformación: J x x X Y cosα snα y y snα cosα X Y S pud dmosrar qu 1 JJ I J J. 2.1 Roación d marics. Mariz d rigidz n coordnadas globals D acurdo a lo razonado hasa l momno s in qu la rlación nr los vcors d furzas y dsplazamino n coordnadas globals y locals son 1 : u JU f J (1.1) A. Carnicro 2

3 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial la rlación nr sfurzos y dformacions n coordnadas lmnals s susiuyndo (1.1) n (1.2) s in qu f ku (1.2) JkJU d dond s dduc JkJ (1.3) qu prmi obnr la mariz d rigidz n coordnas globals a parir d la mariz d rigidz n coordnadas locals. 3. ENSAMBLAJE DEL SISTEMA DE ECUACIONES Para cada lmno d la srucura s in l siguin conjuno d variabls: Elmno Sisma Local Sisma Global Vcor d carga f Vcor d dsplazamino u U Mariz d rigidz k s lmno quda dfinido por nudos i (nudo inicial) y j (nudo final). Así s in qu J f J f i i j j dond cosα snα J snα cosα 0 por lo ano l vcor d cargas dl lmno srá 1 Dnoamos con lras minúsculas las rfrncia al sisma local y con mayusculas las rfrncias al sisma global. A. Carnicro 3

4 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial J 0 f Rf j 0 J i D la misma forma s in qu y U Ru RkR Para l lmno, dfinido por los nudos i, j la mariz d rigidz s k k k dond k k ii ij ij ji k ji kjj qu s monará n la mariz d rigidz d la srucura d N nudos como sigu 1 1 j i N j jj ji i N ij ii d forma qu indpndinmn d la numración d los nodos y d la orinación dl sisma global s llga al sisma al qu s ncsario imponr las condicions d conorno. U (1.4) 4. IMPOSICIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO La mariz d rigidz obnida por l procdimino anrior s singular minras no s considrn las condicions d susnación d la srucura. El sisma dfinido n (1.4) s pud scribir como A. Carnicro 4

5 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial a a,a a,b Ua U b b,a b,b b dond a son los grados d librad con movimino rsringido, y por lo ano furzas dsconocidas, y b los grados d librad con moviminos dsconocidos, y por lo ano cargas como dao. Es sisma s pud rscribir como U + U b ba a bb b ( ) U U 1 b bb j ji i (1.5) qu nos prmi calcular los dsplazaminos dsconocidos. 5. CALCULO DE ESUERZOS Y REACCIONES Conocidos los dsplazaminos n los nudos no rsringidos, s posibl calcular los sfurzos dsconocidos -cuacions (1.5)-. El cálculo d los sfurzos n los srmos d las barras s prfribl hacrlo n las coordnadas locals d lmno, ya qu d sa forma s más sncillo aplicar los principios d la rsisncia d marials para l dimnsionamino d las barras. f R R U o bin f ku kru Lugo l problma sá rsulo si no xisn cargas sobr l lmno. En caso conrario, l vcor d cargas incluy los sfurzos d mporamino prfco cambiados d signo y para l cálculo d los sfurzos a lo largo d la barra cargada hay pus qu añadir los d mporamino prfco. Así: f f + f oal mp 6. LIBERACIÓN DE COACCIONES EN BARRAS Para la solución d srucuras como las d la figura, s v qu n méodo prsnado anriormn rquir algunas modificacions. Exisn solucions pariculars qu pudn ralizars n drminados casos, sin mbargo, d cara a la sismaización dl máodo A. Carnicro 5

6 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial rsula más apropiado sablcr un procdimino sismáico gnral. El procdimio consis n raar odas las barras d la misma forma para dspus librar librar las coaccions no rals, nndindo por librar, suprimir la rigidz dl lmno n la dircción qu corrsponda. Considrmos qu n l lmno dsamos liminar la coacción. Las rlacions maricials n s lmno s podrán scribir d la forma i ii i U i i U (1.6) Dado qu no xis coacción n l grado d librad l sfurzo, s bin nulo, bin conocido (v.g. si xis una carga xrior aplicada). por lo ano 0 U + U i i d dond s obin U iu i conocido l dsplazamino dl grado d librad librado, s posibl calcular los sfurzos. Parindo d (1.6) U U U U U i i i ii i + i ii i i i ii i i Si admás hay cargas sobr l lmno, s ncsario ralizar la rducción dl vcor d cargas. Para llo aplicarmos la suprposición d dos sados d carga: 1.- El d la barra original. (Obnmos unos sfurzos I ) 2.- El rsulan d aplicar un valor igual y d snido conrario n la coacción librada imponr la condición d qu odos los dsplazaminos son nulos xcpo n la coacción librada. (Obnmos unos sfurzos ) Supongamos qu l sfurzo a librar s, s s libra mdian la aplicación d un sfurzo -, mannindo nulos l rso d dsplazaminos: A. Carnicro 6

7 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial i ii i 0 i U d dond s in U qu prmi obnr l nuvo vcor d cargas i i iu Suprponindo los dos sados d carga obnmos l vcor d cargas, s in I i i i i i Un rsumn d s procdimino s ncunra n la figura siguin. I 2 I I 4 1 I 3 14 I I 4 24 I I 34 I igura 1-1. Obnción dl vcor d sfurzos rducido Por lo ano la mariz d rigidz y l vcor d cargas, qudan d la forma: I I i i i i ii 0 U i U CARGAS TÉRMICAS El vcor d cargas d mporamino n coordnadas locals dbido a s f mp ku A. Carnicro 7

8 El méodo dirco d la rigidz. Méodo maricial dond k s la mariz d rigidz y u s l vcor d dsplazaminos producidos por la dilaación érmica n l caso d qu no xisiran rsriccions. El vcor d cargas nodals quivaln s f f mp La ida para obnr los sfurzos d mporamino s qu ésas dbn sr als qu rsiuan los dsplazaminos producidos por la variación d mpraura, considrando qu no hay rsriccions. A. Carnicro 8