SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 65 a 83
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- Ignacio Salazar Sáez
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1 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 Página 6. a) mcm (, ) ( ) + ( ) / mcm (6, 0) 0 ( + ) ( ) / c) mcm (7, ) 8 ( ) 7 ( + ) 8 (9 ) 8 97 / 9 d) mcm (8, ) 8 6 (0 ) 8 Página / 7 0 ± ± 6 0 ±. a) ± + 7, + 0 ± 0 ± 9 9 ± ± 9 ± c) , 0 No tin solución 8 0 0, ± 0,6 +, 0, ±,6 d) 0, ±,7 0, +,7 0,77 0, 8 0,,7,7 0, 78. a) Dos solucions iguals > 0 Dos solucions distintas c) < 0 No tin solución ral d) + 0 Página 67. a) z 9 8 > 0 Dos solucions distintas 6 ± ± 76 6 ± z, 6 z, ± 6 76 ± 9 ± 7 z + 7 z 6, 7 8 z 9, 9 ± ± 9 9 ± c) z z, z, 6 6 ± + 6 ± 89 ± 7 d) z + 7 z 6, 7 z No hay más solucions 9 ± 8 9 ± 9 9 ± 7. a) z z z 7 ± ± 7 ± z 7 + z 6, 7 z, Página a),, 7 c), d) 6, 6, -9
2 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 ),,, f) 7, 0, 7. a) ( a) ( a) 0 ( a) ( + / a) 0, con a 0 c) ( a) ( 7 / a) 0, con a 0 8. a),,,, c),, 8 d) 9 ), 6,, f) 0,, /, / g), /, Página a) mcm (8,, ) ± ± 0 / / / / 6 / 8 s solución dobl d la cuación 0 ( + ) + 7 ( + ) ± ± / + s solución d la cuación / / 0 s solución d la cuación c) mcm (, ) 0. 0 ± ± 676 ± , / / / / s solución d la cuación / / ( / ) / + / / / s solución d la cuación d) mcm (, + ) ( ) ( + ) 9 ( ) + 7 ( + ) 0 ( ) ± + 0 ± ± , s solución d la + cuación ( / ) ( / ) 6 / / + 0 / s solución d la cuación + mcm (, ) ± 6 ± 9 ± + 8, Las dos solucions son n ralidad la misma pus l invrso d s / y vicvrsa. + + El númro qu buscamos s o bin /. -0
3 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8. El primro hac / dl trabajo n una hora y l sgundo hac /. Si s l timpo qu tardarán los dos juntos: / 9, horas Página 70. a) ± ± 9 7 ± , s solución no s solución ± ± 7 ± 7 + 7, no s solución s solución c) 9 ( 0) / ± ± 9.6 ±96 7 ± / 0 s solución 0 6 s solución /. a) s solución ( ) ( + 6) ± ± ± , s solución 0 / 9 / / / / + / 0 / 9 no s solución c) (0 00) ,8 9 -
4 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 Página s solución,8,8 9 6,,79 0,7,8 + 7,,,8 no s solución. a) 6 / Comprobación s solución 0 0 0, ( 0 ) s solución ( ) 0 s solución c) / / 6 d) Comprobación s solución ± ( ) ± / Comprobación 6 son solucions. a) Comprobación s solución Hacmos ahora un cambio d variabl t t + t t t t + 0 ± 80 ± 6 ± 9 t t t 0,6 0 log(/ ) log() log() log() s solución,6 + +,6 + +,6 0,8 + 0, + 0,6 s solución c) Comprobación s solución d) 0 0 Página 7 Comprobación s solución 6. a) log log ( / 8) ± no s solución pus no ist log ( ) log ( ) log c) log log ( ) 0 0, / 0 no s solución porqu log 0 no ist d) log [( )( ) ] log8 + ( + ) ( ) ± + 96 ± 00 ± no s solución porqu log ( ) no ist ) log ( 00) 0 0, 0, 0 0 y 0 no son válidas ya qu para stos valors log y log no istn. 7. a) log 6 / log 0,8 0,907 6 /,8 log (,8) / log,, c) log log log ( ) log 0,0 0,699,097,98 0,699 0,9 d) ln 8,079 0,6 ) 6 log 6 / log,7 f) ln,7 -
5 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 Página 7 8. a) c) d) + y z + y + z + y z 7 + y z 7y + z y 7z + y z 7y + z z + y + z y z + y + z + y + z y z y + z + + z, y, y + z y z z 0, y, 6 8z 0 y + z y + z z y + z y 0z y + z y + z y + z z 0, y, z 0 + y z 8 + y + 8z 6 + y + z + y z 8 8y z + y + 8z 0 + ) 9. a) + y z 8 y + 8z 0 z, y, 7 z + y z y + z y + z 6 + y z 8 y 0 y, z, 7 y + z + y f) y + z 7 + z + y y + z 7 + y + z + y y + z 7 z, y, z 8 Todos los sistmas son compatibls dtrminados. c) + y + z 6 + y + z 6 + 7y + 7z 8 + y + z 6 y z 6 Compatibl indtrminado y z 6 z λ + 6, y λ, 7λ 6 + y z + y + z 6 y z 8 + y z y + z + y + z + y z y + z z, y 9, 0z 0 Compatibl dtrminado y + z 0 + y z 8 y + z 7 -
6 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 d) ) y + z 0 y z 8 y z 7 y + z 0 z y z 8 z, y, Compatibl dtrminado + 7y z y + z + 6y z 8 + 7y y y z + z 7 + z Sistma incompatibl + y + z + y + z 7 + y + z + y + 7y y 0 y + y , y y / Ambas solucions son válidas. 7y + y c) 7y + (0 y) (0 0 y y) y 0 y 0y y y y y, y 8 y 7 y 8 Ambas solucions son válidas. f) + y + z + y y y y + z y + z + z + z 8 Compatibl dtrminado y + z + y + z y + z 8 y, z, + Página 77 Pinsa y contsta a, r n S n 6. n ( + 6.) /.768 Por la tanto, n Dbmos tomar términos. y + z + z, z 6, y Compatibl dtrminado Página a) u /, v / y u + v 8u 6v 8 u, v /, y / El lado dl sgundo mid El dl trcro mid El dl cuarto mid El dl nésimo mid m A m m A m ( ) m A m 8 ( ) ( ) n m A n n m Las áras forman una progrsión gométrica cuyo primr término s y su razón s /. -
7 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 (/ ) S n / n 7 6 n 8 n 7 Dbmos tomar 6 cuadrados apart dl primro.. a) u, v y v u + u + 8v 7 u + v u + 8v 7 u 96 / No hay solución ral v.0 / 9,7 y, u, v y u + v 0 u v u + v 0 u v v + v 0 v 0 / u 8 Los dos solucions son válidas, por lo tanto: u 8 v y c) u, v y u + v 9 u v 9 u 9 v 6 v v 9 u v 9 9v v / 9 u 9 u v y d) u, v y Página 78. a) u + v 9 u + v 9 u 8 v y 0 log log.000 y log ( ) ( y ) log( 0.000) u + v 9 u + 0v y y c) y.000 y y 0 La solución s válida n l sistma original. log log y log ( ) ( y ) log( ) y y y y y / y ± / 0 ± Los valors ngativos no son válidos pus log y log y no istn n sos casos la solución s , y / 0 y log log log ( ) ( + y + 00) log(.000) y y y y (900 y) y y y y.800y y y Las solucions son válidas n l sistma original. ( y) log( /.000) d) log y /.000 y y y /.000 y y.000 -
8 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 Página 8 La solución s válida.. Es la qu s pud transformar n otra quivalnt qu tin n l primr mimbro un polinomio y n l otro mimbro, l 0. Actividad prsonal... Si hay dnominadors, suprimirlos multiplicando por l mcm d los dnominadors.. Si hay paréntsis, suprimirlos.. Transponr términos smjants.. Rducir términos smjants y dspjar la incógnita.. Comprobar la solución obtnida.. Es aqulla d la qu, si l aplicamos las rglas d transformación, obtnmos la forma: a + b + c 0 La prsión qu nos proporciona las solucions s: b ± b a ac. Una cuación d sgundo grado pud tnr 0, ó solucions. Si b ac > 0 tin dos solucions rals difrnts. Si 0 tin dos solucions rals iguals. Si < 0 no tin solucions rals.. Bicuadradas. Actividad prsonal. S db rsolvr la cuación at + + bt + c 0 dond t. Finalmnt, las solucions s obtinn dshacindo l cambio, s dcir, ± t. 6. Son las cuacions n las qu la incógnita s ncuntra bajo l signo radical. Para solucionarlas:. S aísla un radical.. S lvan ambos mimbros al cuadrado.. S rpit l procso hasta liminar todos los radicals.. S rsulv la cuación rsultant.. S compruban las solucions. Actividad prsonal. 7. Una cuación s ponncial cuando tin la incógnita n l ponnt y s logarítmica cuando s ncuntra dtrás dl símbolo d la opración logaritmo. Actividad prsonal. 8. Compatibls dtrminados solución. Compatibls indtrminados Infinitas solucions. Incompatibls sin solución. 9. Un sistma d n cuacions scalonado s aqul n l qu las cuacions tinn,,,..., n incógnitas. S rsulvn por sustitución. S mpiza dspjando la incógnita d la cuación con incógnita, sustituyndo l rsultado n la d incógnitas y rpitindo l procso hasta trminar con la d n incógnitas. Actividad prsonal. 0. Consist n transformar l sistma n uno quivalnt qu sa scalonado.. a) / 8 / / / 7 c) mcm (, 8) d) mcm (6,, ) a) mcm (, 0) 0 0 ( ) + ( ) / / mcm (, ) ( ) ( + ) c) 8 ( ) 6 ( 9) d) mcm (6, 9, 0) 90 0 ( + )
9 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 ± 76 ± 9 ± 7. a) , ± ± 6 7 ± c) ± ± No tin solucions rals. 0,9 ± 0,8 0,8 0,9 ± 0,0 0,9 ± 0, d) 0,9 + 0, 0, 0,9 0, 0,8 0,. a) + > 0 solucions rals 6 9 > 0 solucions rals c) > 0 solucions rals d) > 0 solucions rals. a) ± 6 / 6 ± 6 ± 6 ± /6 ± / c) ± d) ± / ± / 6. Actividad prsonal, por jmplo: a) ( ) ( ) + (8 + ) (6 + ) c) (6 ) ( + ) d) ( ) (6 ) a) k + k 0 k, k k k, k k c) + (k k ) 0 k, k 8. + b + 0 S vrifica: 6 b + 0 b ( 6) / ( ) 7 La cuación s La otra solución s. 9.a) 8 / 6, /, / c), 7 0.a) 0, 6, / 8 / c) / 6, 6, d) 8 9, 9, 98 / 7, 7.a),,,, c),, d),, 9 ± ± 9 ±.a) t c) d) 9 + t 7 7, 7 9 t, ± t 69 ± ± t /, / t /, / t ± 0 ± ± + t 7 7, 7 0 t ± + 8 ± 9 ± 7 t t, -7
10 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 t 7 8 No hay más solucions La solución s válida ya qu los dos mimbros d la cuación valn /. Página 8. a) mcm ( +, ) ( + ) ( ) 0 ( ) + ( ) + 8 ( + ) ( ) ,,70,,660 Todas las solucions son válidas. ( + ) 6 ( + ) , 9 Las dos solucions son válidas. c) mcm ( +, 7) ( + ) ( 7) + 8 ( 7) ( + ) ( + ) ( 8) La solución s válida ya qu los dos mimbros d la cuación valuados n valn /. d) mcm (, ) 0,, 0 Si, los dos mimbros d la cuación valn y si valn, por lo tanto, las dos solucions son válidas. Por otra part, para 0 ninguno d los dos mimbros stán dfinidos, por lo tanto, no s una solución válida. ) mcm (, ) ( + ) ( ) + 8 ( + ) ( ) , 7 / Las dos solucions son válidas. f) mcm (, +, 9) ( + ) ( ) 9 ( + ) ( ) ( 6 + 9). a) ( ) 0 0, La solución 0 no s válida ya qu c) ( + ) , 6 / 7 s válida ya qu los dos mimbros d la cuación valn 7 valuados n. 6 / 7 no s válida ya qu l primr mimbro val / 7 y l sgundo val / , 6 Ambas solucions son válidas. d) , 7 Si, ambos términos d la cuación valn 0 y si 7, valn 6, por lo tanto, las dos solucions son válidas.. a) , Si 8, l primr mimbro d la cuación val y, por lo tanto, no s una solución válida. Si, l primr mimbro val 8 7 y, por lo tanto, s solución válida
11 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a ( + ) ( + 7) 9 9 ± Si, l primr mimbro d la 9 cuación val la solución no s válida. Si la solución s válida. c) No tin solucions rals. d) ( ) ( + ) , Si 8, los dos mimbros d la cuación valn la solución s válida. Si, ninguno d los dos mimbros d la cuación pudn calculars la solución no s válida. 6. a) + 0 No tin solución ral. + ( ) 0 0 Si 0 ambos lados d la cuación valn la solución s válida. c) ( ) / + 0 / , Si los dos mimbros d la cuación valn y si valn / las dos solucions son válidas. d) t 9t t + t 6 7t 6 t 6 / 7 9 La solución s válida. ) + / + / f) t t + t / + t / t + t + t 77 t 77 t La solución s válida. 0 ( ) 0 0, Si 0 los dos mimbros d la cuación valn y si, valn 8 las dos solucions son válidas. 7. a) log log + 0 La solución s válida. + log log , Si 6 los dos mimbros d la cuación valn log la solución s válida. Si, log no ist y, por lo tanto, la solución no s válida. c) log log(.000) ( 0) 0 0, 0 Si 0, log y log no istn. 0 s una solución válida. -9
12 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 ( + ) d) log log(.000) ( + ) Los dos mimbros d la cuación valn cuando valuamos n, por lo tanto, s ésta una solución válida. Cuando valuamos n, l primr mimbro val, y l sgundo val, por lo tanto, no s una solución válida. 6 ) log + log , Ambas solucions son válidas. f) log( 8 ) log( ( ) ) 8 ( ) ( ) 0 0, Si 0, los dos mimbros d la cuación valn log 8 la solución s válida. Si, log (8 ) y log ( ) no istn la solución no s válida. log 8. a) +, 809 0,809 log8 La solución s válida. 7 / 6 (,6 + ) /,8 La solución s válida. ( 7 / 6) log log,6 c) log 0, 8 log La solución s válida. log 7 d), 9 (,9) / log 7 0,97 La solución s válida. 9. a) y 8 0. a) + (8 ) y 8 y c) ( y) / + y 9 y + 8y 76 y y / / + y + z y + z 9 + y + z + y + z y y z 7 y z 9 + y + z 7 + y + z y, z 7, y z 9 6 No tin solución y + z y + z 0 + y + z + y + z y + 7z 9 7y + 0z
13 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 d) + y + z y + 7z 9 9z y + z + y + z 7 y + 8z 0 y + z y z y + z y + z 0z z, y, + y z z /, y, 6 /. Actividad prsonal, por jmplo: a) + y z + y z 0 Solución: /, y / +λ, z λ c) + y + z 0 Solución: /, y /, z 0. a) u /, v / y 9u v u + v v u u + v 0 u + u u u 0 / v Por lo tanto, / 0, y /. y + y y ( ) + ( ) y 6 y Las dos solucions son válidas.. a) u, v y u + v u + v 6 6 u v u + v. a) v + v v + 6v v 0 v 0 / 8 u 8 Por lo tanto,, y. u, v y u + v 8 v u + u + v u + v 99 u v u + v 99 ( v) + v v + v 99 v.88 v.88 / u 86 / Por lo tanto: u 86 / v.88 / y log( 86 /) log log(.88 /) log Las dos solucions son válidas: log log0 y log( y) log y y y y.000 0y y y.000 y 00,8,006 y ±0 ±00 La solución ngativa no s válida porqu no istn log ( 00) ni log ( 0). La solución positiva s válida, s dcir, 00, y 0. -
14 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 c) d) ( y ) log( 0 ) log log log y y 0 y y.000 La solución s válida. log log y y 0 log. 0 0 ( y ) log( 0 ) log( 0 ) y / ±0 y 0 / 7 Dos solucions: y 0 0 y y 0 y 0 0 /, y 0 / 7 no válida porqu log ( 0 / ) no ist 0 /, y 0 / 7 válida log log 0 log ( y ) 7 ( y) log( 0 ) 0y y 0 7 y 0 y 0 0y 0 7 y 0 0 La solución s válida. (( )( y + ) ) 0 + y ( )( y + ) + y 0 log0 7 0 ( )( y + ) y ( ) ( + ) No tin solucions rals. Página 8 6. a) mcm (, 6) 6 ( ) ( + ) ± ± 7 ± , 7 ± ± 9 7 ± c) t t, 7 t, d), / 7. a),, u / u + 6u u + u 0 7u 0 u 0 / 7 7 / c) log log( 8) ( 00) 0 0, 0, 0 0 y 0 no son válidas ya qu log y log no istn para stos valors. 0 s válida ya qu ambos mimbros d la cuación valn,90 valuados n st valor. d) ( + ) 0 0, Si 0, los dos mimbros d la cuación valn 0 y si, valn, por lo tanto, las dos solucions son válidas. ) t 8 6t + 8t + t 7 7t 7 t 0 8. k 0 k 6 / La cuación s: 0. La solución qu falta s. -
15 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a 8 9. Si d y son las solucions d la cuación: d + d d S cumpl ntoncs: a ( ) a a a + Por lo tanto, l valor d a s indpndint mintras qu b c. Para qu la suma y l producto san opustos: d + d d + S cumpl: a ( ) + a + a a + + En st caso, l valor d a vulv a sr indpndint mintras qu b c. 0. Rsolvrmos la cuación mcm (,, ) , 6, 6 Las trs solucions son válidas.. a) + 6, ( ) 0 0, Si 0 los dos mimbros d la cuación valn La solución s válida. Si, l primr mimbro val y l sgundo val / la solución no s válida. c) Si I : + I I Y, por lo tanto, como la cuación original dic qu I: 0, Trabajamos con raícs positivas, por lo tanto no s solución, sin mbargo, sí qu lo s.. d) Procdmos d forma análoga al apartado c: I Por lo tanto, como 6 + I: mcm (, ) , / Las dos solucions son válidas.. S la dad dl mayor, y la dl mdiano y z la dl pquño. + y + z 7 + z y + y + z + y + z 7 y + z 0 + y z + y + z 7 y 7 z 68 z 7, y 9, El mayor tin años, l mdiano 9 años y l pquño, 7..Sa l prcio dl kg d plátanos, y l dl kg d manzanas y z l d naranjas: + y + z 8,0 + y + z 6,0 + y + z,7 + y + z 8,0 y 6z 0,0 y z,7 + y + z 8,0 z,7 y 6z 0,0 z,, y,, El kg d plátanos custa,, l d manzanas, y l d naranjas,,. Autovaluación. mcm (, ) 0 ( + ) 0 ( )
16 TEMA. ECUACIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 6 a ± + 8 ± 9 ± , 7 ± ± 6 7 ±. t t 9 6 /, / 7 t No tin más solucions Bicuadradas + + / + / / mcm (, +, ) ( + 8) ( + ) ( + ) ( ) + La solución s válida ya qu ambos mimbros d la cuación valn 8 si sustituimos por lla / La solución s válida. 6. ( ) + 80 t t + t 80 t + t 80 0 t 8, t 0 Si t 8 Si t 0 no hay solución ral. 7. log (log ) log y 9. (6 9y) y 0 08 y 0 y 8 / y z + 8y + z + y + z + 7y z y + z 9 y + z 9 Sistma compatibl indtrminado z λ, y + λ /, λ / 0. Si s l timpo invrtido n l ascnso y l timpo invrtido n l dscnso, como min y 0 s 70 s: + y y y (70 ) y 0 Invirtió 0 sgundos n l ascnso y 0 n l dscnso. -
+ ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( )
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