ρ = γ = Z Y Problema PTC

Transcripción

1 Probla PTC-18 Dibujar l spctro d aplitud d un cabl con pérdidas n circuito abirto, dtrinando los valors y frcuncias d los valors áxios y ínios. Solución PTC-18 Sabos qu la función d transfrncia d un cabl con pérdidas s (vr TTC-) 1+ ρ γ γ + ρ sindo Z ρ Z L L Z + Z γ Z Y Z Z Y Z R+ jωl; YG+ jωc Cuando l cabl s dja n circuito abirto ntoncs ZL Z ρ li 1 ZL Z + Z L y la función d transfrncia s γ + γ sindo l spctro d aplitud γ + γ qu gráficant s rflja diant la figura infrior. En lla pud obsrvars cóo l spctro d aplitud va tnindo áxios y ínios rlativos al variar la frcuncia. A dida qu la frcuncia crc sos valors tindn a hacrs constants, y l objtivo dl probla s dtrinar dichos valors y las frcuncias a las qu s producn, s dcir, los valors (y sus frcuncias) cuando la frcuncia s grand.

2 Concos por calcular l valor d γ qu sabos qu val ( ) ( ) γ Z Y R+ jωl G+ jωc γ + ω + ω ω RG j RC j ( RG ) j( RC ) γ ω + ω + ω El ódulo srá ( RG ) j( RC ) γ ω + ω + ω ( RG ) j( RC ) γ ω + ω + ω ( RG ) ( RC ) γ ω + ω + ω ( ) ( ) γ RG ω + ωrc+ ω y su argunto [ γ] ( ω ) + ( ω + ω ) arg arg RG j RC arg 1 [ γ] arg ( RG ω ) + j( ωrc+ ω) arg 1 ωrc+ ω arctg RG [ γ ]

3 Tratos ahora d calcular la part ral iaginaria d γ. Para un núro copljo cualquira z x+ jy k ϕ s vrifica qu por lo tanto [ z] x k ϕ z ( [ z] ) [ z] y k ϕ z ( [ z] ) R cos cos arg I sn sn arg R I [ γ] γ cos( arg[ γ] ) [ γ] γ sn ( arg [ γ] ) y sustituyndo tnos 1 R [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) cos arctg RG ω 1 I [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) sn arctg RG Llaos Sabos qu 1 cos a arctg RG sn( π + α) snπ cosα + cosπ snα tg( π + α) cos( π + α) cosπ cosα snπ snα ( ) ( ) cos α + 1 snα snα tg( π + α) tgα 1 cosα snα cosα tg( π + α) tgα Llaando podos scribir qu d dond obtnos qu D igual odo, si u tgα tg( π + α) ( u) ( u) α arctg ; π + α arctg arctg ( u) π + α π + arctg ( u) u tgα

4 arctg tg ( α ) u ( u) α arctg ( u) arctg ( u) arctg ( u) por lo qu sustituyndo tnos arctg u π + arctg u π arctg u ( ) ( ) ( ) En dfinitiva la xprsión antrior nos indica qu la función arco tangnt pud tnr dos solucions n difrnts cuadrants. La lcción d una u otro dpndrá d las condicions dl probla. Rcordando qu habíaos llaado 1 a cos arctg RG xprsión n la cual l térino arco tangnt provin dl argunto d un núro copljo ωrc + ω arctg arg ( RG ω ) + j ( ωrc + ω) RG En sta xprsión, vos qu l núro copljo tin part iaginaria sipr positiva, intras qu la part ral srá ngativa para frcuncias grands qu cuplan RG ω < RG ω > f 1 > π RG Es dcir, qu para frcuncias grands l argunto dl núro copljo dbrá star n l trcr cuadrant y sr d la fora π-α. Por tanto RC RC arctg ω + ω π arctg ω + ω RG RG RC RC arctg ω + ω π arctg ω + ω RG ω RG Sustituyndo tnos qu, para frcuncias grands 1 ω 1 cos RC + ω ω a arctg cos arctg RC + ω π RG ω ω RG

5 a π 1 cos ω RG arctg π 1 π 1 a cos cos arctg sn sn arctg + ω RG ω RG 1 ω 1 cos RC + ω ω a arctg 1sn arctg RC + ω + ω RG ω RG a 1 sn ω RG arctg Tabién sabos qu para ángulos pquños tgα snα α Para frcuncias grands vos qu ωrc+ ω ω RG s un valor pquño por lo qu 1 ω 1 1 sn RC + ω ω a arctg sn RC + ω ω RC + ω ω RG ω RG ω RG Con st rsultado podos volvr al cálculo d la part ral d γ qu rcordaos qu val 1 R [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) cos arctg RG Para frcuncias grands podos scribir la xprsión aproxiada ωrc+ ω R [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) ω RG ( ) Coo a frcuncias grands podos aproxiar ω RG RG ω y sustituyndo R [ γ] ω + ω ( RC+ ) ωrc+ ω ω R Coo a frcuncias grands [ γ] ω + ω ( RC+ ) RC + ω

6 ( ) ω ω + L C RC podos aproxiar y sustituyndo ( ) ω L C + ω RC+ ω R[ ] RC + RC + γ ω ω ω ω y finalnt R[ γ ] RC+ Calculos ahora la part iaginaria d γ qu rcordaos qu val 1 I [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) sn arctg RG Llaos 1 sn ω b arctg RG Sustituyndo tnos qu, para frcuncias grands 1 ω 1 sn RC + ω ω b arctg sn arctg RC + ω π RG ω ω RG b π 1 sn ω RG arctg π 1 π 1 b sn cos arctg cos sn arctg ω RG ω RG 1 ω 1 1cos RC + ω ω b arctg sn arctg RC + ω + ω RG ω RG b 1 cos ω RG arctg Tabién sabos qu para ángulos pquños tg α α; cosα 1 Para frcuncias grands vos qu ωrc+ ω ω RG

7 s un valor pquño por lo qu 1 ωrc + ω 1ωRC + ω b cos arctg cos 1 ω RG ω RG Con st rsultado podos volvr al cálculo d la part ral d γ qu rcordaos qu val 1 I [ γ] ( RG ω ) + ( ωrc + ω) sn arctg RG Para frcuncias grands podos scribir la xprsión aproxiada [ γ] ( ω ) + ( ω + ω ) I RG RC Coo a frcuncias grands podos aproxiar ω RG RG ω y sustituyndo [ γ] ω + ω ( + ) I L C RC Coo a frcuncias grands ( ) ω ω + L C RC podos aproxiar y sustituyndo ( ) ω L C + ω RC+ ω I [ γ] ω L C y finalnt I [ γ] ω Con stos rsultados podos volvr a rtoar l valor d la función d transfrncia dl cabl cuando s dja n circuito abirto qu vios qu val γ γ R[ γ] ji[ γ] R[ γ] ji[ γ + ] + H ( ) ω R I R I [ γ z ] j [ γ z ] [ γ z ] j [ γ z ] + R[ γ ] z j z z j z R[ γ ] { cos( I[ γ ] ) + sn ( I[ γ ] )} + { cos( I[ γ ] ) sn ( I[ γ ] )}

8 [ ] [ ] ( ) cos I[ γ ] ( ) sn I[ γ ] [ ] [ ] ( ) R γ R γ R γ R γ ( ) + z + j z Para frcuncias grands R RC+ z z z [ γ ] R[ γ] [ ] I[ ] I γz γ z ω z y sustituyndo RC+ RC+ RC+ RC+ cos + z + j z ( ω) sn ( ω) Llaando tnos para l spctro RC+ RC+ A + RC+ RC+ B ( ω) + sn ( ω) Acos z jb z y su aplitud cos ( ω) + sn ( ω) A z B z o, lo qu s lo iso, ( ) ( ) ω ω + ω H( ) A cos z B sn z Los áxios y ínios dl spctro d aplitud son aqullos n los qu la drivada s anula, s dcir, dh( ω) dω ω ω Drivando tnos dh( ω) 3/ 1 A cos ( ω) B sn ( ω) + dω ω ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) + A cos sn B sn cos Esta cuación tin dos solucions. La prira d llas s ( ω) ( ω) A z B z 3/ cos + sn 1/

9 cos ( ) sn ( ) 3/ ω + ω A z B z 1 ( ω) sn ( ω) A cos z B z + lo cual s iposibl ya qu las funcions trigonoétricas stán coprndidas ntr -1 y 1, y las constants A y B son finitas. La otra posibl solución s ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) + A cos sn B sn cos ( ω ) ( ω ) A sn + B sn ( B A ) ( ω) sn ( ) sn z ω z ω nπ n,1,,... nπ ω n,1,,... z En térinos d frcuncia nπ π f n,1,,... z f n n,1,,... z Los valors áxio y ínio dl spctro d aplitud s producn a las frcuncias antriornt calculadas y valn A cos z ω + B sn z ω ( ) ( ) Sustituyndo los valors calculados para las frcuncias tnos H( ω) n,1,,... nπ nπ A cos B sn + H( ω) n,1,,... π π A cos n + B sn n

10 H( ω) n,,,... A 1+ B H( ω) n 1,3,5,... A + B 1 H( ω) n,,,... A H( ω) n 1,3,5,... B Rcordando los valors d A y B tnos H( ω) n,,,... RC+ RC+ + H( ω) n 1,3,5,... RC+ RC+ Si trazaos sos valors coo línas discontinuas tnos l siguint gráfico