Tema 6: Funciones, límites y Continuidad

Transcripción

1 Matmáticas º Bachillrato CCNN Tma 6: Funcions, límits y Continuidad.- Introducción.- Dinición d Función..- Funcions lmntals..- Opracions con uncions...- Composición d uncions...- Función invrsa o rcíproca.- Transormacions d Funcions 4.- Límit d una unción En un Punto En l Ininito. 5.- Límits indtrminados. 6.- Continuidad d una unción n un punto. 7.- Continuidad d una unción n un intrvalo. 8.- Ejrcicios Rsultos. Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

2 Matmáticas º Bachillrato CCNN 6..- Introducción El concpto d unción ral d una variabl ral s rmonta a unos. años a.c., volucionando n l timpo dsd una concpción puramnt gométrica, n la qu s considra qu una unción s idntiica con una curva, hasta una concpción lógica, n la qu s din unción como una corrspondncia ntr conjuntos, pasando por una concpción algbraica, n la qu una unción s prsa mdiant una órmula, qu n un principio Eulr, 748) u d tipo inito y más adlant Fourir, 8) s admitió qu pudira tnr un númro ininito d términos la llamada "prsión analítica" ). El concpto d unción s uno d los más importants no solo n matmáticas, sino n ingniría y cincias n gnral. La propidad sncial qu compartn todas las dinicions d unción s qu s trata d una rgla qu asigna a cada nt d un conjunto d partida un único nt d otro conjunto d llgada. Cuando no s planta sta rstricción, s dic qu dicha rgla s una rlación o una corrspondncia. Por jmplo, la prsión ), R, con, no din una unción ral d la variabl ral no ngativa porqu asigna a cada númro ral, no ngativo, dos númros rals, y, mintras qu la prsión ), si din una unción ral d la variabl ral no ngativa., R, con En st tma, admás d dinir los primros concptos rlativos a las uncions rals d una variabl ral, rpasando brvmnt algunas d las uncions lmntals con las qu trabajarmos n st curso, introducirmos la ida d proimidad, dinindo una topología n la rcta ral Dinición d Función ral d variabl Ral Dados dos conjuntos numéricos A y B, una unción d A a B s una ly qu asigna a cada númro dl conjunto A uno y solo un númro dl conjunto B. La rprsntarmos d la siguint orma: : A B : A ó ) ) dond s la variabl indpndint y ) s la variabl dpndint. Si l conjunto B s l curpo d los númros rals,, dcimos qu la unción s una unción ral d variabl ral. Al conjunto A s l llama conjunto d dinición d o dominio, Dom, y son los valors d la variabl indpndint,, para los qu ist valor d la variabl dpndint, ), la unción stá dinida). Dom ) / ) ist S llama rcorrido d una unción o imagn d, Im ), al conjunto d valors qu toma la variabl dpndint ). Im ) y / y ), Dom ) Rspcto a un sistma d rrncia O, ˆi, ˆj dl plano, l conjunto d puntos M,y) dl plano tals qu A, y ), s llama gráica o curva d la unción. : [,] Ejmplo : ) Y y M,y) Curva d Una unción, nunca vulv hacia atrás, ya qu para cada valor d, obtnmos un solo valor d ). O X o Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

3 Matmáticas º Bachillrato CCNN La unción : A R stá acotada supriormnt, si A, c / ) c. A los númros c qu cumpln sta propidad s ls llama mayorants o cotas supriors d. La unción : A R stá acotada inriormnt, si A, c / ) c. A los númros c qu cumpln sta propidad s ls llama minorants o cotas inriors d. S dic qu stá acotada si istn cotas supriors inriors, ó P / A, ) P Ejmplo : Sa : A dinida por ) Si, A, la unción stá acotada supriormnt: A, c / ) 4, y admás, la unción stá acotada inriormnt ya qu A, c / ) 7 Por tanto la unción s Acotada, por star acotada suprior inriormnt. Si A, la unción no stá acotada supriormnt ya qu cualquira qu sa l númro ral M, simpr ist un tal qu ) M. Esta unción si stá acotada inriormnt porqu A, ). Por tanto la unción no s acotada porqu no tin cotas supriors Funcions lmntals d una variabl ral. Funcions Polinómicas, son d la orma Funcions Racionals, son d la orma ) a a... a a y su dominio s. n n n n o a a... a a ) b b b b n n n n o n n n n... o valors qu anulan l dnominador. n Funcions Irracionals, son dl tipo ) g ), sindo su dominio: Funcions ponncials, son d la orma El mismo qu l d g ) si n s impar El conjunto d valors rals qu hagan g ) si n s par ) su dominio s mnos los g ) a, con a> y a, su dominio s l mismo qu l d g ) Funcions logarítmicas, son d la orma ) log g ), con a>. Su dominio son los valors d, qu hacn g ). Funcions circulars: ) sn, ) cos, su dominio s. a Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

4 Matmáticas º Bachillrato CCNN A partir d stas dos, podmos dinir l rsto d uncions circulars: sn tg ), sc ) cos cos sus dominios son k ), k Z cos ctg ), cosc ) sus dominios son k, k Z sn sn Función Valor Absoluto: ) si ) ) si Función Part ntra E[]: Es una unción qu hac corrspondr a cada númro ral, l númro ntro inmdiatamnt inrior. Función mantisa: Función qu hac corrspondr a cada númro l mismo númro mnos su part ntra. ) = - E) Función Valor Absoluto Función Part Entra Función Mantisa Funcions dinidas a trozos: Dcimos qu una unción stá dinida a trozos si su prsión algbraica dpnd dl intrvalo n l qu s ncuntr l númro ral cuya imagn s quir calcular. A cada trozo llamarmos rama d la unción. Ejmplo : si ) si si Si la rprsntamos, dibujo d la drcha, obsrvamos qu la unción stá compusta por trs ramas Opracions con uncions San : y g :, dos uncions d variabl ral, las distintas opracions con uncions, las podmos rsumir n la siguint tabla: Opración Notación Opración Notación Suma g ) ) g ) Producto Dirncia g ) ) g ) Cocint g ) ) g ) k ) k ) k ) ) g g ) Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-4

5 Matmáticas º Bachillrato CCNN Composición d Funcions San ) y g ) dos uncions, d modo qu l dominio d la sgunda sté incluido n l rcorrido d la primra, s pud dinir una nuva unción qu asoci a cada lmnto dl dominio d ) l valor d g[)], n otras palabras, componr dos uncions, s aplicar l rsultado d una d llas a la otra. g) ) g ) : g compusta con g ) g ) : compusta con g Vamos un jmplo con las uncions ) = y g) = +. Ejmplo 4: San ) y g ), calcula la composición d con g y la d g con. g ) ) g ) ) g ) ) g ) ) g ) Invrsa d una unción Dada una unción, s din su invrsa d o rcíproca d la unción, y la rprsntarmos por, a la unción qu vriica: Gráicamnt, una unción y su invrsa son simétricas rspcto d la rcta y= Si a) b, ntoncs b) a Y qu admás cumpl: El dominio d s l rcorrido d. El rcorrido d s l dominio d. Si qurmos hallar l rcorrido d una unción tnmos qu hallar l dominio d su unción invrsa. Si dos uncions son invrsas su composición s la unción idntidad. ) ). Ejmplo 5: San ) y su unción invrsa: ) log ), compruba qu ralmnt son uncions invrsas. log ) ) ) log ) ) ) ) log log Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-5

6 Matmáticas º Bachillrato CCNN Es important qu s distinga bin ntr la invrsa d una unción, Cálculo d la unción invrsa o rcíproca: ), y la unción invrsa ). Dada una unción ), para calcular su invrsa, sguirmos los siguints pasos: S scrib la cuación d la unción con y. S dspja la variabl n unción d la variabl y. S intrcambian las variabls. Ejmplo 6: Calcula la unción invrsa d ). Primro, scribimos la unción con las variabls y: y Sgundo dspjamos n unción d y: y y ) y y y y y y ) y y Trcro, intrcambiamos las variabls: y 6..- Transormacions d uncions Como hmos visto n cursos antriors, conocida la gráica d una unción, podmos trazar la gráica d otra similar utilizando técnicas aplicadas a los modlos gráicos d cada unción llamadas transormacions. Estas transormacions actan la orma gnral d la gráica d cada unción. Tabla Rsumn d Transormacions d Funcions Si sumamos o rstamos una constant k a una unción, su gráica s dsplaza vrticalmnt. Si k> hacia arriba Si k<, hacia abajo Si sa constant s añad o s quita a la variabl indpndint, su gráica s dsplaza horizontalmnt. Si k> hacia la izquirda Si k< hacia la drcha. Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-6

7 Matmáticas º Bachillrato CCNN Si multiplicamos la unción por una constant su gráica s comprim o stira vrticalmnt. Si k> la unción s stira Si k<, la unción s comprim * k, Si multiplicamos la variabl indpndint por una constant, la unción s stira o s comprim horizontalmnt. Si k> la unción s stira Si k<, la unción s comprim Al multiplicar una unción por una constant, los puntos d cort con l j d abscisas no cambian. Si multiplicamos la unción por un númro ngativo, s produc una rlión con rspcto al j X. Si multiplicamos la variabl indpndint por un númro ngativo, s produc una rlión con rspcto al j Y. Multiplicar una unción por un númro ngativo, convirt todos los puntos,y) dl gráico n,-y) Hacr l valor absoluto d una unción, muv todos los puntos qu stán por dbajo dl j a posicions por ncima dl j. Multiplicar la variabl indpndint por un númro ngativo, convirt todos los puntos,y) dl gráico n -,y) Hacr l valor absoluto d la variabl indpndint, hac qu la part izquirda d la gráica sa igual qu la part drcha. Hasta ahora, n cursos antriors hablamos d tndncias d una unción, ahora utilizarmos límits. El límit, L, d una unción ) n l punto o s l valor al qu s aproima ) cuando la variabl indpndint s aproima al valor o. Lo rprsntarmos por ) L Límits Límit d una unción n un punto o a s l tind al valor a y signiica qu toma valors muy próimos al valor a. Una orma rápida d calcular st límit s sustituir dirctamnt por l valor o. ) ) o o Ejmplo 7: Sa )=, calcular l límit d ) n l punto o= ) ) 6 Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-7

8 Matmáticas º Bachillrato CCNN Límits Latrals initos d una unción: Llamamos límit por la izquirda d una unción, y lo rprsntarmos por ) A al valor qu toma ) cuando nos acrcamos al númro =a por númros mnors qu a por la izquirda). a Llamamos límit por la drcha d una unción, y lo rprsntarmos por ) A al valor qu toma ) cuando nos acrcamos al númro =a por númros mayors qu a por la drcha). Vamos con algunos jmplos gráicos: a Al acrcarnos a = por la izquirda, la unción s acrca a y=, por tanto ) Al Acrcarnos a = por la drcha, la unción s acrca a y=, por tanto ) Al acrcarnos a = por la izquirda, la unción s acrca a y=, por tanto ) Al Acrcarnos a = por la drcha, la unción s acrca a y=, por tanto ) En l primr caso los límits latrals n l valor d = son distintos, mintras qu n l sgundo jmplo los límits latrals n l valor d = coincidn valn cro). Si una unción stá dinida a trozos, s dic qu tin límit n un punto o si istn los límits latrals y stos coincidn: ) ) ) l o o Si los límits latrals toman distinto valor n l límit d ) n. o s dic qu no ist Así qu n la unción d la drcha no ist l límit n =, mintras qu n la unción d la drcha si ist l límit n =. o si Ejmplo 8: Sa ) si Calcula l límit d ) n l punto o= ) ) ) Si istn ) b y g ) c, s cumpln las siguints rlacions: a a Si, ) g ) ) g ) b c a a a ) ) b a a ) g ) ) g ) a b a a a ) ) a b Si g ) ; a a g ) g ) c a Si ) ; a a ) ) Si ) a ; Álgbra d límits initos a g ) g ) ) ) a a a Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-8

9 Matmáticas º Bachillrato CCNN Límits Latrals No initos d una unción: S dic qu ) a si cuando toma valors próimos a a, por su izquirda, ) toma valors cada vz mayors, llgando a suprar a cualquir valor, por muy grand qu st sa. S dic qu ) a si cuando toma valors próimos a a, por su drcha, ) toma valors cada vz mayors, llgando a suprar a cualquir valor, por muy grand qu st sa. En sta gráica d la unción ) vmos qu s vriica: ) ) En sta gráica d la unción ) vmos qu s vriica: ) ) S dic qu ) a si cuando toma valors próimos a a, por su izquirda, ) toma valors cada vz más ngativos o sa, más pquños). S dic qu ) a si cuando toma valors próimos a a, por su drcha, ) toma valors cada vz más ngativos o sa, más pquños). Si los límits latrals toman distinto valor n a s dic qu no ist l límit d ) n a. ) g ) ) g ) Si l rsultado no s ) a a a Si, ) ) a a ) g ) ) g ) Si l rsultado no s ) a a a ) ) a Si g ) ; a a g ) g ) a Si ) ; a a ) ) Si ) a Si ) y ) ntoncs: ) a ; a a g ) g ) ) ) a a a a Si ) y ) ntoncs ) a a Álgbra d límits ininitos a Si l rsultado no s, Si no rsulta,, ) Ejmplos : Calcula los siguints límits: a b c Sn sn cos ) ) 4 ) 5 4 Cos d) hmos d hacr los límits latrals Por tanto n st último caso, como los límits latrals no coincidn, la unción no tin límit cuando Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

10 Matmáticas º Bachillrato CCNN Cálculo d límits A la hora d sumar númros ininitos s important tnr n cunta la siguint tabla: Sumas Productos Cocints Potncias l l l l si l si l si l si l l l si l l si l l si l l si l l Si l Si l l l l Límits n l ininito Cuando, una unción pud comportars d divrsas manras: ) l ) Límit inito ) l Podmos consguir qu ) sté tan próimo d l como quramos, agrandando. S obsrva qu cuanto más grand s, más nos acrcamos al valor y=, y cuanto más ngativo s, más nos acrcamos al valor y=- Si ) a y g ) b, s cumpln las siguints rlacions: [ ) g )] ) g ) a b [ ) g )] ) g ) a b [ ) g )] ) g ) a b ) ) a Si b g ) g ) b g ) g ) ) ) a b Si ) > n n ) n ) a Si n s impar ó n s par pro ) [log )] log [ )] log a Si b > y ) >. b b b Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

11 Matmáticas º Bachillrato CCNN Límit ininito Si ), podmos consguir qu ) sa tan grand ó tan ngativa como quramos simplmnt con hacr lo suicintmnt grand. En l jmplo d la drcha, y=, vmos qu cuanto más grand s, más grand s y, por tanto: ) Y d igual modo, cuanto más ngativo s, más grand s la y, por tanto: ) Funcions quivalnts n un punto S dic qu las uncions y g son quivalnts n un punto a a inito, ) a g ), ), si: Si n una prsión igura como actor o divisor una unción, l límit no varía al sustituir dicha unción por otra quivalnt. Sn X tg X Arcsn X Arctg X X Cos X X / X ln + ) X ln ) X Sn X ) X Cocint d polinomios Cuando calculamos l límit d una unción racional, o d un cocint d polinomios, s important sabr qu: Límits indtrminados Si p q p p a a'... Si p q q q b b'... a Si p q b Eistn 7 tipos d indrtrminacions: ) Vamos a plicar cómo s rsulvn algunas d llas: Tipo La orma d rsolvrla s ctuar la opración y studiar la prsión rsultant. Si aparcn raícs, utilizarmos l conjugado. Ejmplo : ) ) ) ) Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

12 Matmáticas º Bachillrato CCNN Tipo / Normalmnt s da n l cocint d polinomios., para rsolvrla, tnmos qu dividir numrador y dnominador por la raíz qu haga cro l dnominador. Si aparcn raícs utilizarmos l conjugado. P ) P ) c) P ) Q ) Q ) c) Q ) c c c Ejmplo : 4 4 ) ) ) 5) Tipo Normalmnt s da n l cocint d polinomios. La orma d rsolvrla s comparar los ininitos d numrador y dnominador. Ejmplo : 7 7 porqu l grado dl numrador s mnor qu l dl dnominador Tipo Para rsolvr sta indtrminación, sustituirmos la variabl dl límit por otra variabl t. Est cambio inluirá n la orma d la unción rsultant y n l punto n l qu s calcula l límit. Ejmplo : ln Si hacmos l cambio d variabl t, obsrvamos qu cuando ln t ln ln t t scribir: t t t, la variabl t, por tanto podmos Tipo ) g g Utilizarmos la rgla dl zapato ó rgla dl nº. ) ) ) ) Sabmos qu,77..., pus tratarmos d convrtir límits con indtrminación d st tipo n límits d sta orma. ) ) ) g g g ) ) ) ) ) ) g ) ) ) ) g ) ) g ) ) ) g ) Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-

13 Matmáticas º Bachillrato CCNN Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI- Éstas y l rsto d indtrminacions las rsolvrmos más dlant d otra orma, utilizando la rgla d L Hôpital, qu vrmos más adlant. Sa una unción ral dinida n un intrvalo I, y a un punto d I. S dic qu la unción s continua n l punto c si y solo si ist l límit d n l punto c y ést s igual a c). Por tanto, una unción s continua n un punto c si s cumpl trs propidads: La unción stá dinida n c, s dcir, ist c) Eist ) c ) ) c c La unción s continua n l punto c si s continua por la drcha y por la izquirda ó si los límits latrals coincidn: ) ) ) c c c Eistn cuatro casos d discontinuidad: ) no dinida n C D salto Evitabl Asintótica La unción no stá dinida n l punto C No coincidn los límits latrals d la unción n l punto C. No coincid l límit d la unción n l punto C, con l valor d la unción n l punto C. No ist alguno d los límits latrals d la unción n l punto C. Ejmplo: Ejmplo: Ejmplo: Ejmplo: ) si si si ) 4 si si ) si sn si )? ) 6 ) 5 ) ) 4 ) sn ) ) Todas las uncions lmntals dscritas con antrioridad son continuas n su dominio d dinición, cpto: Funcions Racionals: Son discontinuas n los puntos qu no son dl dominio, s dcir, dond Q)=. Las discontinuidads son d tipo asintótico o vitabls, n ningún caso pudn sr d salto. Funcions Trigonométricas: La tangnt, la scant, la coscant y la cotangnt prsntan discontinuidads asintóticas n los puntos qu no son d su dominio. Ejmplo 4: Continuidad d una unción n un punto

14 Matmáticas º Bachillrato CCNN Funcions a trozos: S db studiar la continuidad d cada una d las ramas n su dominio, y la continuidad n l punto dond cambiamos d rama, dond pud aparcr una discontinuidad d salto Propidads d las uncions continuas San y g dos uncions continuas n un punto c, ntoncs: g s una unción continua n c. s una unción continua n c. s una unción continua n c, si g c) g s una unción continua n c Continuidad d una unción n un intrvalo I Una unción,, s continua n un intrvalo I=[a,b] si s continua n todo punto d a,b), continua por la drcha n l punto a y continua por la izquirda n l punto b. Las uncions polinómicas son continuas n todo intrvalo ral. Las uncions racionals son continuas n un todo intrvalo ral dond no aparzcan las raícs dl dnominador. Las uncions trigonométricas sn), cos) son contínuas n todo intrvalo ral. Las uncions tg), sc) son continuas n todo intrvalo ral dond cos). Las uncions ctg), cosc) son continuas n todo intrvalo ral dond sn). La unción ponncial, a con a > s continua n todo intrvalo ral. La unción logarítmica, log ), a con a > s continua n l intrvalo si Ejmplo 4: Estudiar n la continuidad d la unción dinida n R por: ) si La unción s una unción dinida a trozos compusta por dos ramas, la primra rama s l cocint d dos uncions ponncials, qu s continua, porqu las uncions ponncials son simpr continuas y s simpr distinto d cro, la sgunda rama s una unción polinómica, y por tanto continua, por tanto, sta unción solo pud tnr problmas d continuidad n l punto n l qu cambia d rama. O sa, n =. Estudimos s punto: ) La unción s continua n l punto = si vriica las trs propidads vistas antriormnt: ) ) ) Calculamos Calculamos =. ) ; ) ; ) Como los límits latrals son distintos, ) y por tanto la unción no s continua n Así qu la unción ) s una unción continua n, dond prsnta una discontinuidad d salto inito Ejrcicios Rsultos.- Dtrminar l valor d a para qu: a Tnmos una indtrminación dl tipo, por tanto vamos a multiplicar y dividir por l conjugado: Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-4

15 Matmáticas º Bachillrato CCNN Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-5 a a a a a a a a D dond 4 a..- Calcular: a Como tnmos, multiplicamos y dividimos por l conjugado: a a a a a a a a a a.- Calcular l límit d la unción cos ), n l punto, n l punto y n En = : cos o En = : cos cos En : cos, porqu la unción -cos s una unción acotada ntr y, y l dnominador tind a cuando tind a. 4.- Calcular l siguint límit: Utilizando la rgla dl zapato, tnmos qu: Calcular l valor d la constant c para qu c Utilizando la rgla dl zapato : c c c c c c 6. - Dtrminar a y b para qu la unción ral, dinida por si ) sn a si cos ) b b a sn sa continua n la rcta ral.

16 Matmáticas º Bachillrato CCNN Para qu stá unción sa continua n toda la rcta ral, tin qu sr continua n todos los puntos d la rcta ral, pro vmos qu para =, la unción no stá dinida, así qu como no s continua n =, no pud sr continua n toda la rcta ral, y por tanto no istn a y b qu hagan qu sta unción sa continua. si 7.- Calcular a y b para qu la unción dinida por ) a b si ln si sa continua La unción s una unción dinida a trozos compusta por trs ramas, la primra rama s l producto d una polinómica por una ponncial, qu s continua, porqu las uncions ponncials y las polinómicas son simpr continuas, la sgunda rama s una unción polinómica, y por tanto continua, la trcra rama s la composición d una polinómica y una logarítmica, qu stá bin dinida porqu >, así qu también s continua simpr, por tanto sta unción solo pud tnr problmas d continuidad n los puntos n los qu cambia d rama. O sa n = y =. Estudimos sos puntos: a ) Una unción s continua n un punto =a si ocurr: ) a ) a) a En =: ) ; ) b ; ) Por tanto para qu sa continua n cro b=. En =: ) ; ) ; ) a b Por tanto para qu sa continua n uno, a+b=. Y para qu la unción sa continua, s han d cumplir las dos condicions, por tanto s continua si b= y a=. 8.- Probar qu la unción dinida por ) no s continua n =. Indicar qu tipo 7 8 d discontinuidad prsnta. Lo primro s actorizar l dnominador, y para llo utilizamos la rgla d Ruini. por tanto, la unción: 7 8 ) 8) ) 7 8 ) 8) La unción no stá dinida n =, por tanto no s continua, prsnta una discontinuidad d sgunda spci, llamada discontinuidad asintótica. Raúl Gonzálz Mdina 8 Funcions, límits y Continuidad VI-6