SOBRE LA DESCARGA ELÉCTRICA DE CUERPOS CARGADOS ON THE ELECTRIC DISCHARGE OF CHARGED BODIES

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1 SOBE L DESCG ELÉCTIC DE CUEPOS CGDOS O THE ELECTIC DISCHGE OF CHGED BODIES J.C. Frnándz * Dpo. d Física, Faculad d Ingniría Univrsidad acional d Bunos irs Paso Colón 850, ºP. (063) Ciudad d Bunos irs rgnina cibido: 07//; cpado: 4/06/3 La rlación nr l modlo lcrosáico d campo d los curpos cargados y l modlo cuasi-sacionario dl flujo d corrin n conducors s concpualmn difícil d asimilar para los sudians. En los úlimos años hay una ndncia n la liraura para raar d aclarar sa rlación nfaizando las caracrísicas comuns. En s rabajo s prsna un análisis cuasi-sacionario d la dscarga d curpos cargados usando l modlo lcrosáico d coficins d poncial para dscribir l sado inicial y final y l modlo cuasi-sacionario d flujo d corrin para dscribir l inrvalo d dscarga. S planan claramn las hipósis d los modlos uilizados y sus limiacions y surg la imporancia dl concpo sáico d capacidad para la dscripción dl fnómno d la dscarga. S spra qu jmplos d s ipo ayudn a los sudians a asimilar los modlos subyacns, sus limiacions inrrlacions. Palabras clav: dscarga lécrica, modlo lcrosáico, modlo cuasi-sacionario, capacidad. Th rlaionship bwn h fild lcrosaic modl of chargd bodis and h quasi-saionary modl of currn flow in conducors is concpually difficul o grasp for sudns. In h las yars hr is a rnd in h liraur o ry o clarify his rlaionship srssing h common faurs. In his work w prsn a quasi-saionary analysis of h discharg of chargd bodis using h lcrosaic modl o dscrib h iniial and final sas and h quasisaionary currn flow modl o dscrib h discharg inrval. Th hypohss and limiaions of h modls usd ar clarly prsnd and h imporanc of h saic concp of capaciy in h dscripion of h discharg phnomnon ariss. I is hopd ha xampls of his yp hlp sudns o undrsand h undrlying modls, hir limiaions and inrrlaions. Kywords: lcrical discharg, lcrosaic modl, quasi-saionary modl, capaciy. I. ITODUCCIÓ En cursos d lcricidad básica y d lcromagnismo s prsna un modlo d campo para dscribir los fnómnos lcrosáicos. Es modlo s habiualmn l primr modlo para los sudians y s lógico, claro y dscrib múlipls siuacions, lo qu llva a muchos sudians a omarlo como un paradigma gnral d los fnómnos lécricos. En paricular, n s modlo no xis campo lécrico ni movimino d carga dnro d los curpos conducors, y la prsncia d campo n l norno d una parícula cargada gnra sobr lla una furza coulombiana qu sá asociada con una aclración d acurdo a las lys d la mcánica clásica. Cuando lugo s prsna l modlo d flujo d corrin sacionaria o coninua, surg qu hay campo dnro d los curpos conducors y hay movimino d carga. La mayoría d las prsnacions usan como imagn o paradigma a los conducors málicos, dond los poradors d carga son los lcrons cuasi-librs. psar d la prsncia d campo no xis una furza na sobr las parículas cargadas, qu s muvn a vlocidad (macroscópica) consan. ún cuando n algunas prsnacions s discu una vrsión simplificada dl modlo d Drud d la conducción lécrica n mals, sa prsnación s cualiaiva y no s rflja n las cuacions dl modlo, cuya ly fnomnológica más imporan s la ly d Ohm. Ora dificulad concpual surg por la aparición d la noción d furza lcromoriz (fm), ligada con la prsncia d campos no consrvaivos n pars dl circuio, y su rlación con la noción prvia d difrncia d poncial, qu surg n l conxo lcrosáico pro sigu sindo válida dnro d los conducors dl circuio n corrin coninua. Finalmn, la oría d circuios para bajas frcuncias uiliza parámros como la capacidad y la inducancia qu s calculan con méodos usados para campos lécricos y magnéicos sáicos. Todas sas caracrísicas pudn sr objo d confusión para l sudian. En los úlimos años varios auors han publicado arículos (-) y libros (3) dsinados a prsnar una visión unificada d ambos fnómnos. La inroducción d la noción d las cargas suprficials (4-6) como funs dl campo lécrico rsponsabl dl flujo d corrin ambién ha crado un pun nr las dos dscripcions qu facilia su comprnsión. Dnro d sa filosofía l prsn rabajo raa d dscribir un problma usando idas y concpos dl * -mail: jcfrnan@fi.uba.ar LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0 3

2 modlo lcrosáico y dl modlo d flujo d corrin cuasi-sacionaria. En paricular, n s rabajo usarmos los llamados coficins d poncial para la dscripción d las magniuds físicas sáicas y cuasisacionarias d los curpos cargados y n dscarga. II. HIPÓTESIS Y MODELOS La hipósis básica qu liga la siuación lcrosáica con la d circulación d corrins, s qu simpr qu xisa una difrncia d poncial (ddp) nr pars d un mismo conducor, s producirá un flujo ordnado d carga n l conducor una corrin lécrica qu s manin hasa qu la ddp dsaparc y l conducor dvin n un volumn quiponcial. En s conxo, una fun d fm s un disposiivo qu prmi mannr por un impo sa ddp, para lo cual s rquir aporar nrgía. Esa nrgía s ransforma n calor dnro dl conducor por l fco Joul. Si las corrins qu circulan por l conducor varían lnamn n l impo s posibl usar l modlo circuial y, n paricular, la ly d Ohm para su dscripción. Si la variación s rápida, s dbn nr n cuna los fnómnos inducivos y la misión d radiación lcromagnéica qu scapan dl modlo circuial. (7-9) Lugo d prsnar l modlo y ralizar los cálculos analizarmos brvmn las limiacions dl modlo propuso. Una xprincia básica d s comporamino consis n la dscarga d un capacior cargado a ravés d un rsisor. Minras sá cargado, l capacior s la fun d fm qu produc la circulación d corrin n l conducor qu llamamos rsisor. Es fácil obsrvar la corrin d dscarga con un osciloscopio y a parir d las cuacions circuials drminar qu su variación n l impo sigu la ly: I (), C () dond Δ s la ddp a la qu s halla cargado l capacior, C s su capacidad y la rsisncia dl rsisor. También pud dmosrars fácilmn qu la nrgía lcrosáica inicial: U E C () s convir complamn n calor por fco Joul: UJ I () d UE (3) 0 La dscripción lcromagnéica d sa xprincia s basa n la xisncia d la srucura d curpos cargados llamada capacior, dond los dos conducors inn cargas d igual magniud y d signo opuso. Sólo n sa siuación la ddp nr los conducors s proporcional a la carga (n valor absoluo) qu hay sobr los conducors. La consan d proporcionalidad s la capacidad dl capacior. En la prácica s asgura qu la srucura form un capacior mdian la forma n qu s lo carga. Pro, qué ocurr si las cargas n los conducors no saisfacn la condición d un capacior? En s caso s db usar la dscripción mdian los coficins d poncial o d capacidad/inducción, qu sablcn qu n un conjuno d curpos conducors cargados la rlación nr las cargas Q i y los poncials i (rlaivos a una rfrncia ljana) son linals. Podmos scribir sa rlación (vr péndic): (4) PQ, Q i ij j i ij j j j dond los coficins d poncial P ij y los coficins d capacidad/inducción ij son parámros qu sólo dpndn d la gomría dl sisma (0), so s, d la forma y amaño d los curpos conducors y su disribución spacial. mbas cuacions s pudn scribir n forma maricial y las marics [P] y [] son invrsas nr sí. En nusro caso considramos qu odos los curpos, salvo los dos cargados y aislados, s hallan al poncial d rfrncia, qu s oma igual a cro. Enoncs nos quda () : Q Q qu podmos invrir para obnr: PQ PQ PQPQ (5) Dmosramos n l péndic qu, si y sólo si las cargas d los curpos son iguals y d signo opuso: Q Q, Q Q la srucura s un capacior d capacidad C: Q C (7) P P P (6) III. EL EJEMPLO os prgunamos si la dscarga nr curpos cargados qu no cumpln la condición d consiuir un capacior s pud dscribir con una ly sncilla como la obnida para la dscarga d un capacior. Para rspondr a sa prguna y jmplificar las idas d la Scción prcdn, planamos l siguin jmplo. En l sado inicial considramos dos curpos conducors lécricamn cargados y aislados (Figura ). San Q y Q las cargas d los curpos y y sus poncials lcrosáicos con rspco a una rfrncia ljana. o xis ninguna limiación a los valors d carga y poncial d los curpos n l sado inicial. Es sado inicial s claramn lcrosáico. Φ Figura. Dos curpos cargados y aislados Φ 4 LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0

3 En un insan (n qu omamos = 0), colocamos un rcr conducor qu oca (hac conaco lécrico) ambos conducors cargados (Figura ). Figura. Los curpos concados n = 0 Para viar complicar l modlo, suponmos qu s rcr conducor s un alambr cilíndrico d scción muy pquña, y pquña longiud. Dcimos qu, n analogía a la dscarga dl capacior, habrá un flujo d carga (o sa una corrin lécrica) a ravés dl conducor inrmdio, qu durará minras los poncials d los primros dos curpos san difrns. En l sado final, l conjuno d los rs curpos son un único volumn quiponcial, ya no hay más movimino d carga y nuvamn nos hallamos n un caso lcrosáico. iramos l conducor inrmdio y nmos nuvamn un problma lcrosáico d dos curpos. Usarmos noncs l modlo lcrosáico para dscribir los sados inicial y final y l modlo cuasisáico d flujo d corrin para dscribir l inrvalo n qu circula corrin por l rcr conducor. nálisis lcrosáico: sados inicial y final En l sado inicial, los poncials y cargas d los dos conducors saisfacn la rlación lcrosáica: Q Q (8) La nrgía dl sado inicial s pud scribir (péndic, c. (0)): U Φ i ij i j i j (9) En l sado final, ambos curpos s hallan al mismo poncial, qu llamarmos 0 y inn cargas Q y Q :, Q Q 0 0 Esos valors son difrns d las inicials dbido a la ransfrncia d carga producida por la circulación d corrin. Como la carga dl sisma db consrvars, nmos qu las cargas finals d los curpos saisfacn la cuación: Q Q Q Q (0) (admiimos como hipósis qu, si l alambr inrmdio s pquño, la carga suprficial qu conin n l sado final s dsprciabl frn a la carga d los oros curpos). Φ Enoncs la condición d consrvación d la carga (0) prmi calcular l poncial final 0: Q Q 0 () o, n érminos d los poncials inicials d los curpos: 0 () hora podmos calcular las cargas finals d ambos curpos: Q 0 Q 0 Q Q Q Q (3) Podmos comparar l poncial y las cargas dl sado final con los corrspondins al sado inicial. Supongamos qu hmos lgido Q y Q d manra qu: > (4) Si n la c.() rmplazamos por, qu s mayor, obnmos: 0 y noncs: 0 hora rpimos l procdimino, pro rmplazando por, qu s mnor: 0 y noncs: 0 Obnmos así qu l poncial final común d los dos curpos s inrmdio a los valors inicials: (5) 0 Podmos ambién analizar cómo s rdisribuy la carga n los curpos ya qu: Q 0 Q Q Q QQ, Q Q 0 En rsumn: y obsrvamos qu la ransfrncia d carga s produc dl curpo d mayor poncial (qu pird carga) hacia l d mnor poncial (qu gana carga). Por lo ano s jmplo musra una siuación dond s sablc una corrin n un conducor qu prsna una difrncia d poncial nr dos d sus pars. La corrin fluy dsd la par a mayor poncial hasa la par a mnor poncial. Eso sá d acurdo con l paradigma básico d circulación d corrin cuando s sablc una ddp n un conducor. LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0 5

4 Finalmn, podmos calcular la nrgía lcrosáica dl sado final: f ij i j i j U 0 S v qu la nrgía lcrosáica dl sado final s difrn d la nrgía lcrosáica dl sado inicial c. (9). La difrncia s: Ui U f (6) Pro (péndic, c.() ) la capacidad dl conjuno d dos conducors s: C y noncs la difrncia d nrgías s: U C i U f (7) Obsrvamos qu sa canidad s posiiva, d modo qu hay una pérdida d nrgía lcrosáica n l procso d dscarga. nálisis cuasi-sacionario d la corrin d la dscarga La dscarga a ravés dl conducor inrmdio pud dscribirs mdian un modlo cuasi-sáico por mdio d las lys circuials simpr qu las corrins involucradas no varín muy rápidamn n l impo, como jusificamos al final d sos cálculos. En al caso podmos planar las siguins hipósis dl modlo:. duran la dscarga s posibl dfinir la rlación nr los poncials y las cargas d los conducors (qu dpndn dl impo) mdian la coficins d capacidad/inducción: Q() () () Q () () (). la corrin qu circula por l conducor inrmdio pud dscribirs por la ly d Ohm: I () () dond Δ() s la ddp nr los xrmos dl conducor, qu coincid con la ddp nr los curpos xrmos d la cadna; Como la corrin qu fluy por l conducor inrmdio sá ligada a la variación d la carga n los curpos xrmos d la cadna, podmos sablcr la rlación cuaniaiva mdian la cuación d coninuidad qu surg d la consrvación d la carga: J 0 cordamos qu n sa cuación J(r,) s l vcor dnsidad d corrin y (r,) s la dnsidad d carga lécrica. S S Figura 3. nálisis d la c. d coninuidad Si ingramos la cuación d coninuidad sobr sndos volúmns V y V qu ncirran a cada curpo, nmos: dv 0 dv 0 V d J J n ˆ ds S d V La ingral d suprfici s la corrin I qu aravisa sa suprfici, y la ingral d volumn s la carga ncrrada. Como la corrin sal d S y nra a S l flujo s posiivo n l primr caso y ngaivo n l sgundo, y nmos para cada curpo: dq() dq() I () 0, I () 0 d d Esas cuacions pudn scribirs, usando la dscripción d los coficins d capacidad/inducción para xprsar la carga d cada curpo y la ly d Ohm para xprsar la corrin n l conducor inrmdio: d() d() () () I() d d d() d() () () I() d d Es sisma d cuacions difrncials linals n los poncials d los curpos s pud rsolvr para obnr: dond: V Φ () () I C (8) y C s la capacidad dl par d curpos conducors, d acurdo a la xprsión () dl péndic. y son consans d ingración qu pudn calculars aplicando las condicions d bord dl problma, qu son los poncials n l sado inicial y final dl sisma. sí: (0) 0: (0) d dond podmos obnr los valors d las consans: Φ V 6 LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0

5 (0) (0) (0) (0) 0 S pud dmosrar qu la condición d bord para s rdundan. Finalmn, la solución cuasi-sáica para la volución d los poncials d los curpos s: () 0 () 0 dond, =,(0). C Obsrvamos qu la dscarga s vrifica con la misma forma mamáica qu la dscarga dl capacior qu formarían los dos curpos si hubiran sido cargados con cargas d igual magniud y signo opuso. cordamos qu n nusro jmplo por hipósis las cargas inicials d los curpos son cualsquira y dl mismo signo. La corrin qu pasa por l conducor inrmdio surg d aplicar la ly d Ohm: () () I () (0) (0) (0) (0) y s una ípica corrin d dscarga d un capacior. La consrvación d la nrgía En l análisis lcrosáico d los sados inicial y final habíamos obnido una pérdida d nrgía lcrosáica dl sisma d curpos cargados. En sa par hallamos la nrgía qu s convir n calor por fco Joul. La poncia d pérdidas por fco Joul n la rsisncia asociada n nusro modlo al conducor inrmdio s: P I() J y noncs la nrgía prdida por fco Joul duran oda la dscarga srá: UJ PJ() d I() d 0 0 UJ d 0 C xprsión qu coincid con la difrncia nr las nrgías lcrosáicas inicial y final hallada n la c. (7). usro análisis cuasi-sáico sablc qu la disminución d nrgía lcrosáica dl sisma duran la dscarga s db a la convrsión d nrgía lécrica n calor por fco Joul. Limiacions dl modlo Los modlos circuials d dscarga d un capacior y l modlo gnral d dscarga d curpos prsnado n s rabajo rquirn qu la rsisncia dl rsisor sa suficinmn grand por dos moivos: a) cuando hay una corrin variabl n l impo n un circuio, la inducancia L prsn n l mismo gnra una caída d nsión LdI d qu s ano mayor cuano más rápido varía la corrin. En ambos modlos hay un salo d la corrin n = 0 dsd cro a (qu s pquña cuano mayor s ) y lugo la variación xponncial dscripa por la consan d impo C [c. (8)], qu varía más lno cuano mayor s. (7) b) ambién, cuando la corrin varía n l impo n un circuio, és s compora como una anna y mi radiación lcromagnéica, qu ranspora poncia. Pud dmosrars qu la poncia miida s proporcional al cuadrado d la drivada sgunda d la corrin rspco dl impo. (8-9,-3) Cuando la corrin s armónica varía como cos( ) la poncia s proporcional a 4. En nusro caso, dond hay una caída xponncial, dbmos nr n cuna las armónicas significaivas d la rprsnación d Fourir d la corrin n función dl impo. Para una función s ncunra d ablas qu la rprsnación d Fourir s proporcional a. Esa función d in forma d mdia campana con su máximo n l orign = 0. El connido d frcuncias s xind a odos los valors, pro podmos acoar las más significaivas por l ancho para l cual la función s, digamos, /0 dl valor máximo. Es puno corrspond a la frcuncia cuya conribución a la corrin s /0 dl máximo. Enoncs: M 0 M 3 3 C S v qu cuano mayor sa mnor srá la frcuncia máxima significaiva d la corrin y por lo ano, mnor la poncia radiada por l circuio. Es rsumn pud sr úil para indicar al sudian las limiacions d los modlos cuasi-sacionarios y qu s pudn producir fallas o comporaminos no sprados d un disño lécrico o lcrónico por no LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0 7

6 considrar qu n la prácica dbn nrs n cuna sos fcos scundarios qu muchas vcs no son an scundarios como s prsna n la liraura. IV. COCLUSIOES Un sncillo cálculo prmi gnralizar la ly d dscarga d un capacior a la circulación d corrin nr dos curpos cargados n forma gnral y jmplifica:. la xisncia d una corrin lécrica n un conducor n l qu s ha sablcido una ddp;. qu sa ddp acúa como fun d fm minras xis; 3. qu los sados inicial y final pudn dscribirs adcuadamn usando parámros lcrosáicos (los coficins d capacidad/inducción y la capacidad dl conjuno d dos conducors); 4. qu l ransiorio n l qu circula la corrin pud dscribirs adcuadamn usando parámros cuasi-sacionarios (la rsisncia dl conducor inrmdio y la ly d Ohm); 5. qu s consrva la nrgía dl sisma ya qu oda la nrgía lcrosáica qu s pird n la dscarga s ransforma n calor por fco Joul, sablcindo un nuvo nxo nr la dscripción lcrosáica y la cuasi-sacionaria d flujo d corrin. S han sñalado admás las limiacions qu pos s modlo por fcos no incluidos n la dscripción. Es sprabl qu más jmplos d s ipo ayudn al sudian a comprndr la rlación nr ambas dscripcions d fnómnos básicos d la lcricidad. V. PÉDICE Coficins d poncial y d capacidad/inducción Sa un conjuno d curpos conducors cargados con cargas Qi. Es sisma cra un poncial lcrosáico (r) qu sobr cada conducor adopa l valor i. Enoncs s pud scribir: PQ (9) i ij j j Los coficins d poncial P ij son parámros qu dpndn solamn d la gomría dl sisma, s dcir, d la ubicación d los curpos y su forma, pro no d los valors d las cargas o d los poncials d sos curpos. Por razonaminos nrgéicos s pud dmosrar qu (-3) : Pij > 0 Pij = Pji Pii > Pij La rlación linal (9) nr poncials y cargas s pud invrir para obnr: Q i ij j j n érminos d los llamados coficins d capacidad/inducción ij. Habiualmn los lmnos diagonals ii s dnominan coficins d capacidad y los lmnos no diagonals ij (i j) s dnominan coficins d inducción. Esos coficins cumpln las propidads: ii > 0 ij = ji ij 0 En érminos d sos coficins la nrgía d un sisma lcrosáico s pud scribir: U PQQ (0) E ij i j ij i j i i j j En l caso d un sisma d dos curpos cargados con cargas d igual magniud y signos opusos (capacior) s pud scribir: PQ PQ PP Q PQPQ P P Q d dond podmos dfinir l parámro capacidad, indpndin d las cargas y poncials d los curpos cnducors, n érminos d los coficins d poncial: C Q P P P o invirindo l sisma linal podmos xprsar la capacidad n érminos d los coficins d capacidad /inducción: VI. EFEECIS C () [] - Englhard, P. and B. Bichnr, m. J. Phys., 7, 98-5 (004). [] - Chabay,. and B. Shrwood, m. J. Phys., 74, (006). [3] - Chabay,. and B. Shrwood, B., Mar & Inracions II: Elcric & Magnic Inracions, Wily, w York (00). [4] - Jfimnko, O., m. J. Phys., 30, 9- (96). [5] - Hald, M.., m. J. Phys., 5, 5-56, (984). [6] - Jackson, J.D., m. J. Phys., 64, , (996). [7] - Powll,.., m. J. Phys., 47, (979). Es rabajo analiza la influncia d la inducancia dl circuio. [8] - Boykin, T. B., Hi, D. and Singh,., m. J. Phys. 70, (00). Es rabajo y l siguin analizan la misión d radiación lcromagnéica por un circuio. [9] - Choy, T.C., m. J. Phys. 7, (004). [0] - Las nocions d los coficins d poncial y d capacidad/inducción furon inroducidas por Maxwll n su Trais d 873 (p.89). [] - dmiimos qu las cargas d los curpos son posiivas, lo qu conduc a qu sus poncials ambién san posiivos. [] - Wangsnss,., Campos Elcromagnéicos, Limusa- origa Ediors, México (00). [3] - Lhnr, G., Elcromagnic Fild Thory for Enginrs and Physiciss, Springr-Vrlag, Brlín (00). 8 LES F Vol. 4. (3-8) VILL CLOS PZ 0