Trabajo Fin de Grado

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1 Trabajo Fin d Grado INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS sus Aplicacions n la Economía Auor Guillrmo Pribañz Juan Dircor/s Gloria Jarn Jarn Julio Sáncz Cóliz Faculad d Economía Emprsa 04 Rposiorio d la Univrsidad d Zaragoza Zaguan p://zaguan.unizar.s

2 TÍTULO: Inroducción a las Ecuacions n Difrncias sus Aplicacions n la Economía TITULACIÓN: Grado n Economía AUTOR: Guillrmo Pribañz Juan DIRECTORES: Gloria Jarn Jarn, Julio Sáncz Cóliz RESUMEN: El análisis d odo procso conómico s insparabl dl procso dinámico qu lo gnra, aunqu frcunmn por simplicidad agamos análisis sáicos ludamos l uso d modlos dinámicos. La comprnsión d sos rquir l dominio d dos d sus insrumnos básicos, las cuacions sismas n difrncias las cuacions sismas difrncials. El grado d Economía ddica mu poco impo a sos insrumnos llo m a moivado a ampliar con sa mmoria mis conociminos n cuacions n difrncias, lo qu no s sino una primra inroducción al amplio insrumnal d la Economía dinámica. En l rabajo abordarmos las cuacions n difrncias linals d primr sgundo ordn las d ordn suprior, crrando la mmoria con algunos rsulados sobr los sismas linals n difrncias. Nos cnrarmos principalmn n la xprsión d las solucions gnrals n los concpos d quilibrio dinámico d sabilidad. Conscins d qu sos insrumnos son, sobr odo, apoos para profundizar n l snido conómico d lo qu nos roda, la prsnación d los disinos aparados inn dos pars o facas, una órica ora aplicada, dividiéndos sa nr l análisis d modlos conómicos dinámicos (Harrod, Hicks Samulson nr oros), rsolubls con l insrumnal corrspondin, simulacions para valors paraméricos dados cas con Mamaica.

3 ABSTRACT: T analsis of wol conomic procss is insparabl from dnamic procss wic gnras i, aloug ofn for simplici w do a saic analsis and w avoid us of dnamic modls. Comprnsion of os modls rquirs knowldg of wo basic ools, diffrnc quaions and ssms, and diffrnial quaions and ssms. T Dgr of Econom spnds vr lil im o os ools and a as moivad m wi o mak is rpor o xpand m knowldg of diffrnc quaions. I is a firs inroducion o larg insrumnal of Dnamic Econom. In is ssa w prsn linar diffrnc quaions of firs, scond and igr-ordr, closing rpor wi som rsuls on linar diffrnc ssms. W will mainl focus on xprssion of gnral soluions and on concps of dnamic quilibrium and sabili. Bing awar of s ools ar mainl suppors o dpn in conomic sns of wa surrounds us, prsnaion of diffrn scions av wo pars: orical and applid. T applid par is dividd bwn analsis of dnamic conomic modls (Harrod, Hicks and Samulson inr alia), wic ar solvd wi prinn ools, and simulaions for givn paramric valus mad wi Mamaica. 3

4 ÍNDICE. PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DE FIN DE GRADO INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DINÁMICO SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DE ORDEN n ECUACIONES DE ORDEN Rsulados óricos Modlo simpl sobr la asa d mplo Modlo simpl sobr consumo rna Modlo simplificado d Harrod ECUACIONES DE ORDEN Rsulados óricos Modlo d la inracción aclrador-muliplicador d Samulson ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Rsulados óricos Modlo d Hicks. Dsfass disribuidos la inracción aclrador-muliplicador SISTEMAS DE ECUACIONES Rsulados óricos Modlo d duopolio d Courno COMENTARIO FINAL BIBLIOGRAFÍA ANEXOS ANEXO I. Cálculo d una solución paricular d una cuación no omogéna d ordn ANEXO II. Cálculo d una solución paricular d la cuación no omogéna d ordn ANEXO III. Condicions d sabilidad para cuacions linals d ordn n ANEXO IV. Sismas d cuacions linals d primr ordn con n cuacions

5 . PRESENTACIÓN DEL TRABAJO DE FIN DE GRADO Es Trabajo d Fin d Grado no s raa d un análisis riguroso d las cuacions n difrncias finias, sino d una aproximación a llas sus aplicacions n la conomía parindo dl nivl d conociminos fijados n los sudios vigns d grado. En s snido, s pud considrar como un primr paso d una posrior invsigación sobr dinámica conómica. El principal objivo d s rabajo s ampliar las rraminas mamáicas d las qu dispongo para podr acr un análisis dinámico. Duran l Grado, apnas viso/uilizado ano las cuacions difrncials como las cuacions n difrncias (s a viso n maor grado las cuacions difrncials), por sa razón cro qu s imporan aprndr a usar las cuacions n difrncias. Por so, s Trabajo d Fin d Grado in una aplicación d ámbio univrsiario. H qurido ncaminar s rabajo acia la macroconomía, pro sin olvidar la microconomía. Por llo, la maoría d los modlos usados para la aplicación d las cuacions n difrncias son modlos macroconómicos. Algunos d los modlos usados, los viso duran la carrra, pro n ningún caso, analizados con cuacions n difrncias. 5

6 . INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DINÁMICO En sa inroducción, ans d xponr dfinicions rsulados rigurosos, s van dando las primras pincladas sobr los mas qu s van a raar. El paso dl impo s l lmno más imporan n cualquir procso dinámico, un problma al cual nos nfrnamos si qurmos prdcir l comporamino a largo plazo d un sisma dinámico. En conomía so s spcialmn rlvan porqu las ncsidads a cubrir, aunqu s maninn n l impo, van cambiando sus caracrísicas. Admás los rcursos disponibls ambién cambian las cnologías para su aprovcamino volucionan. En pocas palabras, la conomía s db d sr una cincia dinámica. Los conomisas Frisc (936) Samulson (947) dfiniron un sisma como dinámico si su comporamino a ravés dl impo ra drminado por cuacions funcionals n las cuals saban comprndidas n forma sncial las variabls n difrns insans mporals, s dcir, si sus variabls ndógnas ran a su vz funcions mporals. El análisis dinámico s pud dsarrollar d rs formas: - Análisis discro: s considra l impo como variabl discra. S uilizan cuacions n difrncias finias. - Análisis coninuo: s considra l impo como variabl coninua. S uilizan cuacions difrncials. - Análisis mixo: s considra l impo como una variabl discra o coninúa sgún l caso. S uilizan cuacions mixas difrncials-n difrncias. En s rabajo, por su limiación n l impo opraividad, m vo a cnrar n l análisis dinámico discro, n l qu s pudn planar dos nfoqus: - Análisis cuaniaivo: consis n nconrar la racoria mporal solución d la cuación. 6

7 - Análisis cualiaivo: consis n drminar las propidads cualiaivas d la racoria mporal solución d la cuación, qu pudn sr drminadas sin calcularla xplíciamn. En s rabajo nos cnrarmos n l análisis cualiaivo. El análisis cualiaivo prmi raar problmas nunciados n érminos d funcions gnrals d parámros qu normalmn son como aparcn n los modlos conómicos. En l análisis cualiaivo son fundamnals los concpos d quilibrio dl sisma dinámico sabilidad dinámica d dico quilibrio. S nind por quilibrio un sado dl sisma dond és prmanc sin cambios a no sr qu s produzca una prurbación xrna. El quilibrio pud sr sacionario (si s una consan) o móvil (si s una función dl impo). El sudio d la sabilidad dinámica nos prmiirá conocr si dada una prurbación qu saqu al sisma dl sado d quilibrio, dico sisma s capaz d volvr a la solución d quilibrio (l quilibrio s sabl o no). En s rabajo s abordaran solamn los sismas linals d cuacions n difrncias, a qu l principal objivo d s rabajo, como a dico anriormn, s inroducir l uso d las cuacions n difrncias como rramina d rabajo d la conomía. En primr lugar, s inroducn d forma gnral las cuacions n difrncias linals d ordn n, para dspués paricularizar n las d ordn, ordn, ordn suprior, finalmn, n sismas d cuacions. Todos los aparados inn l mismo formao. Primro s ac un análisis órico, dspués s prsna uno o varios modlos, n los cuals s aplica la oría. 7

8 3. SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES 3. SOLUCIÓN GENERAL DE UNA ECUACIÓN DE ORDEN n La forma gnral d las cuacions n difrncias linals d coficins consans d ordn n s + a an n+ + an n = g( ), (3..) dond las a i son consans rals dadas g( ) s una función conocida. Noar qu a 0 a qu si no la cuación sria d ordn n. Si g( ) = 0, s dic qu (3..) n s una cuación omogéna n caso conrario s una cuación no omogéna o compla. La cuación omogéna d ordn n asociada a (3..) s + a a + a = 0. (3..) n n+ n n En la obnción d las solucions d sas cuacions juga un papl fundamnal la cuación caracrísica l valor d sus solucions. La cuación caracrísica asociada a (3..) s la cuación polinómica n λ + a λ a λ + a = 0. n n n (3..). El siguin orma musra cómo obnr las solucions d la cuación Torma : S vrifica: ) Si ) Si,,...,, son un conjuno d solucions linalmn n indpndins d la cuación omogéna noncs = A + A + + A, con A, A,..., An R, s la solución n... n gnral d la cuación omogéna. p s cualquir solución paricular d la cuación no omogéna, la solución gnral d la misma cuación s obin añadindo p a la solución gnral d la corrspondin cuación omogéna, s dcir, + A + A + A, p n p = =... + n + Cua dmosración s pud vr n Pérz-Grasa, Minguillón Jarn (00). 8

9 s la solución gnral d la cuación no omogéna. 3) Si λ0 R s solución d la cuación caracrísica d muliplicidad m (con m n ) noncs = ( λ ), = ( λ ),..., = ( λ ) son m m m solucions linalmn indpndins d la cuación omogéna. 4) Si λ = a + ib, λ = a ib son raícs compljas simpls d la cuación caracrísica noncs = r cosω, = r snω son solucions d la cuación omogéna, dond r = a + b ω = arcan b. a 5) Si λ = a + ib, λ = a ib son raícs compljas d la cuación caracrísica d muliplicidad m (sindo m n ), noncs r snω, r cosω, r snω,, m r cosω, m r sn r cosω, ω, son m solucions linalmn indpndins d la cuación omogéna. D s orma s dduc qu la solución gnral d la cuación omogéna s drmina con las solucions d la cuación caracrísica, λ, λ,..., λ n, qu pudn sr rals o compljas, simpls o múlipls. A coninuación s xplica cómo s inrpran los rsulados anriors n l análisis cualiaivo d la cuación (3..). En l caso d qu g( ) = β, consan conocida, d qu no sa solución d la cuación caracrísica, s inmdiao 3 qu una solución paricular d (3..) s la consan p β = =, + a a + a n a n admás s una solución d quilibrio sacionario. Lo s porqu s vrifica qu si n =, noncs n+ = n+ =... = =. En s caso, =, la cuación (3..) s diría cuación auónoma, pus la variabl no aparc xplíciamn n la cuación. 3 La dmosración s pud vr n Pérz-Grasa, Minguillón Jarn (00). 9

10 Enoncs, sgún l orma anrior, si la solución gnral d (3..) s d la forma = + s pud inrprar la solución gnral d la cuación omogéna (3..) cómo las dsviacions rspco dl quilibrio =. Enoncs srá un quilibrio asinóicamn sabl si, sólo si, lim = lim = Lugo, la sabilidad dinámica dl quilibrio sacionario dpndrá d qu s la solución gnral d la cuación omogéna asociada, por ano, dica sabilidad dpndrá d las solucions d la cuación caracrísica., En l caso gnral d qu g( ) no sa consan (o lo sa, pro sa raíz d la cuación caracrísica) noncs s pud acr una inrpración similar d p como pars ingrans d la solución gnral d (3..), pro n s caso, l quilibrio a no srá sacionario sino móvil. Si xis un quilibrio 4 d (3..), srá una racoria qu nos dará una solución paricular d dica cuación, por ano, la solución gnral d (3..) srá d la forma = +, d dond = ndrá la misma inrpración qu n l caso anrior, vrificándos los mismos rsulados s: Torma : La condición ncsaria suficin d sabilidad d un quilibrio λ i <, i =,... n, sindo λ i las solucions d la cuación caracrísica. Dmosración: Si λ <, s vrifica qu l lim ( λ ) = 0 nindo n cuna l i Torma s in: i 4 En los jmplos concros qu s musran más adlan s dsarrolla más sa ida. 0

11 n n n i i Ai = Ai Ai i= i= i=, lim = lim lim = 0 = 0 por ano, l quilibrio srá asinóicamn sabl. Si, noncs l Lim( λ ) 0, sgún l Torma abrá λ i i als qu: i i lim = lim A = A lim 0, i i lugo l quilibrio no sría asinóicamn sabl. Por ano, podmos asgurar qu λ i <, i =,... n, s una condición ncsaria suficin d sabilidad asinóica dl quilibrio.

12 3. ECUACIONES DE ORDEN 3.. Rsulados óricos La forma gnral d sas cuacions s: + a = g( ), (3...) n dond a s una consan no nula dada g( ) s una función conocida. La cuación omogéna asociada s: + a = 0. (3...) Como s dduc dl Torma, la solución gnral d la cuación omogéna s: = A( a ). sindo La solución gnral d la cuación compla (3...) s = + = A( a ) +, p p p una solución paricular d la cuación compla cua obnción s musra n l ANEXO I qu dpndrá d la función g( ). Si s oma como solución paricular la solución d quilibrio p = (si xis), noncs s in qu ( ) = A a + si s considra l valor inicial d la variabl como 0, rsula qu = ( )( a ) Por l Torma, l quilibrio a <. s asinóicamn sabl El comporamino n l impo d las dsviacions rspco al quilibrio = ( )( a ) dpnd dl signo dl valor absoluo dl parámro a. 0 0 Esos comporaminos s rsumn n la siguin abla:

13 a (, ) (, 0) (0,) (, + ) Flucuan Monóona xplosiva 0 0 Monóona amoriguada Flucuan amoriguada nr 0 o Flucuan Explosiva 0 0 Insabl Nural Asinóicamn sabl Asinóicamn sabl Nural Insabl Un quilibrio s dic qu s asinóicamn sabl si cualquir racoria solución convrg a él. Es insabl cuando xisn racorias solución qu s aljn indfinidamn dl quilibrio. un quilibrio s nural cuando la racoria s manin a una disancia consan dl quilibrio. Gráfico. Ejmplos 0 a =-0.5, b=5, 0 = a =, b=4, 0 = En l Gráfico s pudn obsrvar disinos casos posibls 5. En la primra figura s musra una convrgncia monóona al quilibrio, n la sgunda una divrgncia oscilan. 3.. Modlo simpl sobr la asa d mplo Para mosrar la aplicación d las cuacions n difrncias linals d primr grado comnzarmos con s sncillo modlo. 5 Nós qu aunqu sén unidos los punos, no dbrían sarlo, a qu los punos inrmdios no xisn, pro s obsrva mjor l movimino qu si sólo suviran rprsnados los punos,,... 3

14 Dnoarmos por L la población aciva d una drminada rgión, qu supondrmos consan n l impo (las nuvas incorporacions s compnsan con las salidas). Sa la población ocupada al final dl priodo, noncs s dfin la asa d mplo como x L =. La población ocupada voluciona conform a las siguins rglas: En l priodo ocupada T, un drminado porcnaj d la población p ( 0 < < ) coninua mplada n l priodo p T siguin, minras qu un porcnaj p ( 0 < < ) pasará a D p D sar dsmplada. Suponmos qu p + p <, así pus pt pd srá l porcnaj d población qu dj d sr aciva ( n l priodo siguin s rpondrá). D la población dsmplada ( L ) n un priodo, abrá un porcnaj q T ( 0 < q T < ) qu accdrá al mrcado laboral n l T D priodo siguin, minras qu un porcnaj q ( 0 < < ) D q D coninuará sin mplo. Suponmos qu q + q <, así pus qt qd srá porcnaj d población qu dj d sr aciva ( n l priodo siguin s rpondrá). S producn ( pt pd ) + ( qt qd )( L ) nuvas incorporacions a la población aciva d las qu un porcnaj r (0 < r < ) ncunra rabajo, l rso s qudará dsmplada T D Sgún lo anrior, la población ocupada al final dl priodo srá [ ] = p + q ( L ) + r ( p p ) + ( q q )( L ), T T T D T D agrupando érminos [ ( ) ( )] [ ( )] = p q + r p p r q q + L q + r q q. T T T D T D T T D Si dnoamos por α = pt qt + r( pt pd) r( qt qd), β = q + r( q q ) T T D 4

15 dividimos por L, obnmos la siguin cuación n difrncias: x = α x + β x α x = β, qu modliza la volución d la asa d mplo 6. Como s pud vr n l ANEXO I, una solución paricular d sa cuación n difrncias linals d ordn s p x β = x =. α la solución d la cuación omogéna asociada s x = ( x x ) α, 0 sindo x 0 la asa d mplo inicial (qu s conocida). Por ano, la solución gnral s x = x + x = ( x0 x ) α + β = ( x β 0 ) α + β α α α. Como α <, noncs Limα = 0, por ano lim x β =, para α cualquir dao inicial x 0. Eso quir dcir, qu a largo plazo, la asa d mplo β s sabilizará n l valor α. La convrgncia al quilibrio sacionario pud sr oscilan o monóona. Si α > 0, la función α s monóona dcrcin qu x crzca o dcrzca acia x dpndrá dl signo d x0 x. Si α < 0, α s una sucsión oscilan, por lo qu x alrnará por ncima por dbajo dl quilibrio asa convrgr a él. Si α = 0, a parir d =, s alcanza l nivl d quilibrio 6 Nós qu < < pus = +, 0,, so s, s un puno dl sgmno qu un los punos,,. 5

16 p T =0.6, p D =0.3, q T =0.35, p D =0.6, r=0.3, x 0 =0.6 x Gráfico. Simulacions para disinos casos 3 4 p T =0.4, p D =0.55, q T =0.85, p D =0., r=0., x 0 =0.3 x Como s pud obsrvar, n ambos casos la asa d mplo a largo plazo alcanza l sado sacionario x β =. α 3..3 Modlo simpl sobr consumo rna En s aparado vamos a rabajar con un modlo simplificado d una conomía familiar. Es modlo s basa n dos supusos básicos: I. Una familia consum una par proporcional d su rna disponibl n cada priodo, C = c, 0 < c < dond c s la propnsión marginal al consumo. II. La rna d la familia provin dl salario ω, qu s rcib al final dl priodo, qu crc a una asa consan 7 r > 0. Asi, ω = ( + r) ω, d dond rsula qu + ω = ω +. 0 ( r) + s Tomando ω 0 = 8, s in qu la rna disponibl al cominzo dl priodo 7 s la inflación dl salario. 8 Lo qu no s ora cosa qu una normalización d la unidad monaria, n adlan s considra qu ésa quival jusamn al salario inicial. 6

17 = ( ) ( ) + c + + r, s dcir, la rna disponibl n + s l aorro n más l salario rcibido al final dl mismo priodo. La cuación rsulan, s una cuación n difrncias d ordn linal no auónoma qu s pud scribir siguindo la noación d la oría ( c) ( ). r = + Una solución paricular dbrá d sr dl ipo B( ) + r sindo B una consan indrminada. Susiundo n la cuación n difrncias oprando llgarmos a sabr l valor d B : B( ) ( ) ( ) ( ) + r c B + r = + r, ( + r) ) ( = 0, B =. r + c [ B( + r c) B ] Por ano, una solución paricular srá p ( + r) = =, r + c qu s pud idnificar con un quilibrio móvil. la solución gnral d la cuación omogéna asociada s = A( c) = ( )( c), 0 0 sindo 0 la producción inicial (qu s conocida). Por ano, la solución gnral s ( + r) = + = ( 0 )( c) + ( + r)( r + c) r + c. Como 0 < c <, noncs Lim( c) = 0, por ano l quilibrio srá asinóicamn sabl, sindo sa convrgncia monóona. 7

18 5 4 3 c=0.6, r=0., 0 =5 Gráfico 3. Simulacions para disinos casos c=0., r=0.5, 0 = Las simulacions ralizadas nos confirman lo anriormn dico, a convrgncia monóona acia la racoria quilibrio. Cualquir dsviación d lla con l impo dsaparc s vulv a la snda d quilibrio Modlo simplificado d Harrod El modlo d Harrod raa d xplicar l crcimino conómico a largo plazo como conscuncia d los procsos d aorro invrsión. La formalización qu aquí s prsna s una simplificación dl modlo original 9. Supongamos qu l aorro x an vin drminado por la función S = s, sindo s una consan qu rprsna la propnsión marginal ( mdia) a aorrar. Por ora par la invrsión x an sá dada por I = k( ), dond k, qu s l coficin d aclración al incrmno d dmanda o rna, s consan. En l quilibrio conómico, l aorro x an in qu sr igual a la invrsión x an, así qu s = k( ), k ( k + s) = 0, 9 Harrod (939) 8

19 ( k + s) = 0. (3...) k La cuación n difrncias obnida rig la dinámica dl quilibrio conómico d s modlo (dond S = I ). Es una cuación linal d ordn omogéna como mos viso, su solución gnral s k + s s = A = A + k k, (3...) n dond la consan arbiraria A srá l valor inicial d la rna, 0. La solución (3...) nos musra qu la rna aumna n l impo a una asa d crcimino consan d s / k. Esa asa s la qu Harrod llama asa d crcimino garanizada s al qu, si la rna crc a s rimo, asgura la coninua igualdad a lo largo dl impo nr invrsión aorro x an, s dcir, prmi alcanzar un crcimino sosnido con asa d crcimino consan. Una vz conocida la racoria mporal d la rna, s obin la dl aorro la invrsión: k + s s 0 = 0 S = s = s s + k k s s = ( ) = = I k k k k s s s k0 + + s0 + k = k k La racoria d crcimino s caracriza por sr insabl, a qu s + >. k., Si por cualquir sock la rna s dsvía d la racoria d crcimino balancado dada por (3...), la rna sguirá crcindo aparándos d dica siuación balancada. 9

20 Para aplicar l modlo a la ralidad, vo a ralizar las simulacions con daos dl FMI 0 l PIB dl año 0 n billons d dólars para varios paíss Gráfico 4. Simulacions para EE.UU., Japón Zona Euro k=0.445, s=0.839, 0 = k=0.56, s=0.93, 0 = k=0.63, s=0.86, 0 = al como s a viso anriormn, n odos los casos la snda d crcimino balancado s monóona mu xplosiva. 0 PERSPECTIVAS DE LA ECONOMÍA MUNDIAL, Spimbr d 005 p:// (página 33) 0

21 3.3 ECUACIONES DE ORDEN 3.3. Rsulados óricos La forma gnral d sas cuacions s + a + a = g( ), (3.3..) n dond a, a son consans dadas, con a 0, g( ), una función conocida. La solución gnral d sa cuación srá d la forma = + con p p una solución paricular d la cuación omogéna asociada 0 la solución gnral d la cuación + a + a =. (3.3..) Esa solución la cuación caracrísica qu rsulan sr s obin, sgún l Torma, a parir d las raícs d λ + a + =, (3.3..3) λ a 0 a ± a 4a λ, λ =. La solución dpndrá d qu sas raícs san rals o compljas (sgún l signo qu nga l discriminan rals, pudn sr simpls o múlipls. a 4a ), n caso d sr A coninuación s musran los disinos casos qu s pudn dar: Caso (): > 0. En s caso, las solucions λ, λ son rals, disinas no nulas al sr a 0, por consiguin, d acurdo con l Torma, = A λ + A λ,

22 n dond A, A son dos consans arbirarias. La clas d movimino a qu da lugar (monóono, oscilan o una combinación d ambos) dpnd dl signo d λ, λ. Puso qu cada solución pud nr cualquir signo, s pudn dar una gran varidad d moviminos, pro cualquir qu sa és srá convrgn a 0, si sólo si, ambas raícs son n valor absoluo mnors qu la unidad. Para sabr l signo d cada solución d la cuación caracrísica, n s caso, podrmos acr uso dl Torma d Dscars. Es orma nos dic qu: n cualquir igualdad algbraica, compla o incompla, l númro d raícs posiivas no pud sr suprior al númro d cambios d signo d los coficins, n ano qu, n cualquir igualdad algbraica compla, l númro d raícs ngaivas no pud xcdr al númro d coninuacions n los signos d los coficins. Casos, d acurdo con l signo d los coficins, a, a : Las dos raícs ngaivas. + + Una raíz posiiva ora ngaiva (la ngaiva s la raíz dominan). + Una raíz posiiva ora ngaiva (la posiiva s la raíz dominan). + + Las dos raícs posiivas. + 0 Una raíz posiiva ora ngaiva con l mismo módulo. Caso (): = 0. Las solucions d (3.3..3) son dos raícs rals iguals λ = λ = a ; sgún l Torma, la solución gnral d la cuación omogéna s noncs

23 ( A A ) = + a. S obsrva qu cuando a < a <, ndrá un movimino amoriguado. Qu l movimino sa monóono u oscilan dpndrá dl signo d a : Si a < 0, l movimino srá monóono. Si a > 0, l movimino srá oscilan. Caso (3): < 0 : En s caso, las solucions d la cuación caracrísica son dos númros compljos conjugados, s dcir, dos númros d la forma α ± iβ, dond i = s la unidad imaginaria α, β son númros rals, con α = a, β = 4 a a. Sgún l Torma, = r ( A cosω + A sn ω), con r α β a = + = ω = arcan β. α El movimino rsulan s una oscilación rigonomérica cuo priodo s π / ω cua ampliud srá crcin, consan o dcrcin sgún qu r = a sa maor, igual o mnor qu la unidad. La condición qu asgura qu la oscilación d sa amoriguada s qu a <. Una vz visos los disinos casos rspco al comporamino d, nos cnrarmos n la sabilidad dinámica dl posibl quilibrio. Esa sabilidad sará d nuvo rgida por la condición d qu las solucions d la cuación caracrísica san mnors qu la unidad n valor absoluo. Esa condición s pud scribir n érminos d los coficins d la cuación caracrísica qu 3

24 coincidn con los coficins d la cuación n difrncias mdian un conjuno d dsigualdads conocidas como las Condicions d Scur. El conjuno d dsigualdads, 0 + a + a > a > 0, (3.3..4) a + a > 0 consiu un conjuno d condicions ncsarias suficins para qu las solucions d la cuación caracrísica san mnors qu la unidad n valors absoluos, n conscuncia, para qu xis, sa asinóicamn convrgn. convrja a 0 l quilibrio, si Una vz conocida, nmos qu obnr una solución paricular p d la cuación no omogéna (3.3..). La obnción d sas solucions s pud vr n l ANEXO II. Sgún mos viso anriormn, la solución d la cuación omogéna, por ano d la compla, dpndn d dos consans arbirarias. Para drminarlas s ncsian dos condicions inicials. Las más usuals son los valors d la variabl n dos insans mporals ( 0, por jmplo). Así s obin l valor d las consans una solución concra d (3.3..) 3.3. Modlo d la inracción aclrador-muliplicador d Samulson Es modlo rduc la conomía a una función d consumo, una función d invrsión (n la cual a ano invrsión xógna como ndógna) xig la igualdad qu dfin l quilibrio d la rna. El consumo dpnd d la rna dl priodo anrior, C = b, con 0 < b <, sindo b la propnsión (marginal mdia) al consumo. Gandolfo (976). Samulson (939) 4

25 La invrsión oal s I = I + I, compusa d I (invrsión ndógna) I (invrsión xógna). La invrsión xógna sría l gaso público, qu s considra consan: I = G, la invrsión ndógna dpndrá d la variación n la dmanda d bins d consumo: I = k( C C ), dond k > 0 s l coficin d aclración. La condición d quilibrio conómico s: = C + I. Si susiuimos las funcions d invrsión consumo n la condición d quilibrio, llgamos a: b( + k) + bk = G, (3.3..) qu rsula sr una cuación n difrncias finias linal d ordn compla, n concro, con érmino indpndin consan (auónoma). La solución d sa cuación n difrncias nos dará l comporamino n l impo d la rna nacional, l consumo la invrsión ndógna. La solución gnral d (3.3..) s = +. Siguindo los pasos p visos n l ANEXO II, como G s una consan, una solución paricular d la cuación (3.3..) s: p G G G = = = = b( + k) + bk b bk + bk b, (3.3..) qu admás s corrspond con l valor d sado sacionario d la rna nacional a qu si n (3.3..) s ac = = = s obin s valor. 5

26 Para calcular, qu s idnifica con las dsviacions d la rna rspco al quilibrio, nmos qu rsolvr la cuación omogéna asociada a la cuación (3.3..): b( + k) + bk = 0, cua cuación caracrísica s λ b( + k) λ + bk = 0. Las solucions d sa cuación caracrísica vndrían dadas por b( + k) ± ( b( + k)) 4bk λ, λ =. Para profundizar n l análisis dinámico rcurrimos al análisis cualiaivo. Para drminar la sabilidad dinámica dl sado sacionario aplicamos las Condicions d Scur (3.3..4), qu n s caso son: b( + k) + bk = b > 0 bk > 0. + b( + k) + bk > 0 Podmos vr qu la primra dsigualdad s cumpl simpr, a qu mos supuso qu la propnsión marginal al consumo s mnor qu (l cual s un supuso mpíricamn acpabl); la rcra ambién s cumpl a qu s una suma d canidads posiivas. Por llo la xisncia d sabilidad nos la marcará la sgunda incuación. Así G = s asinóicamn sabl b b <. k La clas d movimino d las dsviacions rspco a vndrá drminado por las solucions d la cuación caracrísica. Los signos d los coficins d la cuación son + +, aplicando la rgla d los signos d Dscars (visa n l aparado anrior) no abrá ninguna raíz ngaiva, d forma qu podmos xcluir los moviminos qu implican oscilacions 6

27 impropias (oscilacions no rigonoméricas). Calculamos l discriminan d la cuación caracrísica, s s: = b ( + k) 4bk. 4k S vrifica qu >=< 0 b >=< ( + k) 4k En l siguin gráfico rprsnamos las curvas b = b =, k ( + k) nindo n cuna qu b <, para mosrar los difrns comporaminos d las solucions sgún l valor d los parámros b k..0 b Gráfico 5. Dlimiación d las rgions n l plano paramérico P 0.8 A D B C 4k b = ( + k) 0. b = k k S pudn obsrvar 4 rgions n l plano paramérico ( k, b ) : Rgión A. Cualquir puno qu sé n sa rgión saisfac b < / k b k k > 4 / ( + ). S cumpl la condición d sabilidad, las raícs d la cuación caracrísica son rals posiivas; por ano, la rna posrá un movimino monóono 7

28 convrgn acia l valor d quilibrio asinóicamn sabl). (srá un quilibrio Rgión B. Cualquir puno qu sé n sa rgión saisfac b < / k b < 4 k / ( + k). La condición d sabilidad s cumpl las raícs d la cuación caracrísica son compljas; por ano, s acrcara al quilibrio oscilando amoriguadamn (srá un sado sacionario asinóicamn sabl). Rgión C. Cualquir puno qu sé n sa rgión saisfac b > / k b k k < 4 / ( + ). La condición d sabilidad no s cumpl las raícs d la cuación caracrísica son compljas; así l movimino rsulan para xplosiva, aljándos quilibrio insabl). srá una oscilación (srá un sado sacionario Rgión D. Cualquir puno qu sé n sa rgión saisfac b > / k b k k > 4 / ( + ). La condición d sabilidad no s cumpl las raícs son rals posiivas; lugo l movimino d srá monóono xplosivo (srá un quilibrio insabl). El análisis no saría complo si no sudiáramos los punos qu limian las rgions. Excluirmos d nusro análisis los punos d los js l puno P inrscción nr las curvas 4k b = b =, por no sr d inrés k ( + k ) conómicos, a qu omamos qu 0 < b < qu k > 0. Punos siuados nr las rgions A B. Aquí nmos qu b k k = 4 / ( + ) ; lugo la cuación caracrísica in una raíz b( + k) ral dobl λ =. La condición d sabilidad s saisfac, noncs b( + k) srá mnor qu la unidad. El movimino d srá monóono acia l valor d quilibrio quilibrio asinóicamn sabl). (srá un 8

29 Punos siuados nr las rgions B C. En sos punos, b k k < 4 / ( + ) b / = k, por lo qu nmos raícs compljas por ano moviminos oscilans. Como b = / k, l módulo d las raícs s uniario, lo qu implica oscilacions d ampliud consan. Tndrmos un movimino no xplosivo pro ampoco amoriguado, s l caso d sabilidad nural (srá un quilibrio nuralmn sabl). Punos siuados nr las rgions C D. Exis una solución dobl para la cuación caracrísica, pro no s cumpl la condición d sabilidad. Por lo ano, l movimino d srá monóonamn divrgn dl quilibrio insabl). A coninuación s pudn vr las disinas simulacions: (srá un quilibrio 9

30 Rgión A. b=0.6, k=0., G=4, 0 =, = 0 Gráfico 6. Simulacions n las disinas rgions Rgión B. b=0.5, k=, G=4, 0 =, = Rgión C. b=0.75, k=, G=4, 0 =, = Rgión D. b=0.9, k=3, G=4, 0 =, = Inrscción AB. b=0.64, k=0.5, G=4, 0 =, = Inrscción BC. b=0.5, k=, G=4, 0 =, = Inrscción CD. b=0.75, k=0.3, G=4, 0 =, =

31 3.4 ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 3.4. Rsulados óricos La cuación n difrncias finias linal d coficins consans d ordn n s d la forma: + a an n = g( ), (3.4..) con a i conans dadas, an 0 g( ) una función conocida. Siguindo l Torma, la solución gnral d la cuación srá = + dond p p s una solución paricular d la cuación la solución gnral d la cuación omogéna asociada a (3.4..) qu dpndrá d n consans. Para drminar las n consans arbirarias s rquirn n condicions adicionals, qu normalmn son l valor d la solución n n insans mporals, =, =,..., =. Susiundo sos valors n la 0 0 n n solución gnral, llgamos a un sisma d n cuacions linals con n incógnias qu prmi calcular l valor d las n consans. La forma d calcular la xprsión xplicia d p s la sñalada n l Torma xplicada con más dall para l caso d n = d n = (n los aparados anriors). Para calcular s ncsario obnr las n raícs d la cuación caracrísica asociada, lo qu pud sr difícil d ralizar. Por llo l análisis cualiaivo s sncial n cuacions d ordn suprior (aunqu ambién pud sr complicado). Las condicions d sabilidad asinóica para l quilibrio n sas cuacions d ordn n sigu sindo qu l módulo d las raícs d la cuación caracrísica sa mnor qu la unidad. sa condición s pud sablcr n érminos d los coficins d la cuación, xisindo divrsas formulacions (vr ANEXO III). 3

32 En l caso d una cuación d rcr ordn, la forma xplícia d las condicions d sabilidad d Scur-Con 3 son + a + a + a3 > a + a a3 > a aa3 a > 0 0 a + aa3 a3 > (3.4..) 3.4. Modlo d Hicks. Dsfass disribuidos la inracción aclradormuliplicador La ida básica d s modlo s qu la invrsión l consumo n cualquir priodo dpndn d los valors qu la rna nacional aa nido n los n príodos anriors 4. En la función d invrsión, s ac la siguin ipósis: l volumn d la invrsión ndógna por una variación d rna no pud sr llvado a cabo n un solo príodo d impo, sino qu s xind n los n príodos sucsivos (si la variación d rna s, la invrsión ndógna k, sindo k > 0 un coficin d aclración, una par d sa invrsión srá invrida n l príodo siguin, ( k ), ora fracción dos priodos dspués, ( k ), así sucsivamn asa n ( k ), nindo qu n = ). Si llamamos k k, ndrmos qu i i n i= i oal n l príodo, nmos qu k = k > 0. Llamando I ' = k ( ) + k ( ) k ( ). 3 n n n ' I a la invrsión ndógna Para la función d consumo, la ipósis qu s ac s qu l consumo dpnd d los valors d la rna nacional n los n príodos pasados. Tnmos por ano C = b + b + + b,... n n dond b + b bn = b (0,). 3 Frnándz, Vásquz Vgas (003). 4 Hicks (950). 3

33 Supondrmos admás qu la invrsión auónoma s ' ) I = A + g, g > 0, A0 > 0. 0 ( Con sas ipósis imponindo la condición d quilibrio conómico = C + I s obndrá una cuación n difrncias d ordn n +. Vamos a xaminar l caso simpl n l cual ano la invrsión como l consumo ardan n disribuirs dos priodos. Las cuacions dl modlo son noncs: = C + I, C = b + b, con 0 < b + b <, I = I + I, I ' = k( ) + k( 3), con k, k > 0, ' ) I = A + g, con g > 0, A0 > 0. 0 ( Susiundo n la primra cuación odas las dmás, llgamos a ( b + k ) ( k + b k ) + k = A ( + g), (3.4..) 3 0 qu rsula sr una cuación n difrncias linal d ordn 3 compla no auónoma. p Probamos como solución paricular = C( + g), dond C s una consan indrminada. Susiundo n (3.4..) ralizando unas opracions, nos quda qu 5 p A ( + g) = ( + g). (3.4..) ( + g) ( b + k )( + g) ( k + b k )( + g) + k Para obnr, nmos qu calcular las raícs d la cuación caracrísica asociada a la cuación n difrncias λ ( b + k ) λ ( k + b k ) λ + k = 0, 3 5 Suponmos qu l dnominador s posiivo para qu la solución nga snido conómico. 33

34 qu n s caso rsula mu complicado. Por ano, obnr la xprsión xplícia d la solución d la cuación rsula mu compljo. Por llo, rcurrimos al análisis cualiaivo, sudiando la sabilidad dinámica dl quilibrio dado por p. Aplicando las condicions d Scur-Con (3.4..): b k k b + k + k = b b > 0. ) + b + k k b + k k = + ( k k ) + b b > 0. ) 3) 4) k b + k + ( b + k ) k k > 0. + k + b k ( b + k ) k k > 0. La primra dsigualdad s cumpl simpr, a qu vin sablcida por los supusos inicials. D la sgunda no podmos asgurar nada. d la rcra cuara condición, por sparado, no podmos asgurar nada, pro si las sumamos 6 : k > 0 k < 0 < k <. Lugo si k >, podmos asgurar qu l quilibrio srá insabl. Eso s una condición suficin d insabilidad qu s vrifica d acurdo con la vidncia mpírica 7. Para las simulacions, a qu no nconrado unos daos fiabls, vo a usar los daos proporcionados por Gandolfo (976) para la ralización d jrcicios con s modlo. 6 Rcordmos qu > 0. 7 Como sñala Hicks s mu probabl qu la maor par d la invrsión no s concnrada n l primr priodo sino n priodos más aljados, por llo >. los daos mpíricos nos prmin suponr qu l valor d no s mnor qu. Por llo, d + =, d >, s dduc qu >. 34

35 Gráfico 7. Simulacions para disinos casos b =0.3,b =0.6,k =0.8,k =.5,A 0=5,g=0., 0=50, =00, = b =0.,b =0,k =.,k =.8,A 0=0,g=0.5, 0=00, =00, = Como s pud obsrvar, ambos casos nos musran qu no a convrgncia, al como l análisis cualiaivo nos indicaba. 35

36 3.5 SISTEMAS DE ECUACIONES 3.5. Rsulados óricos Dos (o más) cuacions n difrncias, qu conngan dos (o más) funcions dsconocidas, consiun un sisma d cuacions n difrncias. Para qu l sisma sa rsolubl l númro d cuacions db d sr igual al númro d incógnias, sindo admás sas cuacions indpndins consisns. El ipo más sncillo posibl d sisma linal lo consiu l siguin sisma d primr ordn auónomo n forma normal: = a + a z + b + z = a + a z + b + (3.5..) dond los coficins a ij, b, b son consans drminadas. El sisma (3.5..) s no omogéno si b 0 o b 0. El sisma omogéno asociado srá = a + a z + z = a + a z + (3.5..) Para obnr la solución gnral dl sisma (3.5..) s uilizan écnicas d algbra linal 8. En s rabajo nos cnramos n l análisis d la sabilidad dinámica dl quilibrio dl sisma (si xis). Suponmos qu (, z ) s un quilibrio sacionario dl sisma (3.5..), noncs = a + a z + b a a b = +, z = a z a + az + b a z b n noación maricial 9 : a a b = a a z b, 8 Frnándz, Vásquz Vgas (003). 9 Llamamos =, por ano! = " #. 36

37 d dond suponindo b a a b ( I A) = =, z b a a b a a a a = I A 0, I A = ( a )( a ) a a = a a + a a a a = TrazaA + DA 0, noncs xis un quilibrio sacionario dl sisma dinámico (3.5..) qu s = z b. b ( ) I A Como n l caso d las cuacions, l quilibrio anrior srá asinóicamn sabl si, sólo si, los valors propios d la mariz A (solucions d la cuación mnor qu la unidad. A λi = λ Aλ + DA = 0 ) ngan módulo Traza Aplicando las condicions d Scur, la condición ncsaria suficin d sabilidad asinóica s pud scribir d la forma TrazaA + DA > 0 DA > 0. + TrazaA + DA > 0 Esos rsulados s pudn gnralizar a sismas linals d primr ordn pro d n cuacions (vr ANEXO IV) Modlo d duopolio d Courno El modlo d compncia d Courno s un modlo conómico usado para dscribir una siuación d mrcado n la cual dos mprsas compin n las canidads qu van a producir 0. 0 Courno (897) 37

38 Considrmos un mrcado n l cual ambas producn l mismo ( único) bin, dond la función d dmanda dl mrcado vin dada por sindo priodo. p = a b x + x, a, b > 0, ( ) p l prcio dl bin i x la producción d la mprsa i =, n l Para la producción dl bin s ncsia un priodo, por llo, sa producción db planificars con un priodo d anlación. Suponmos qu cada mprsa in un prcio sprado (una xpcaiva dl prcio n l siguin priodo) crndo qu la producción d la ora mprsa no cambiará n l fuuro. Esos prcios sprados srán p + = a b( x + + x ), p = a b( x + x ) + + i dond p + s l prcio sprado dl bin para la mprsa i n l priodo +. sindo i Traarán d maximizar su bnficio sprado Π +, dado por: ( ) ( ) + p + x + c x + ax + b x + bx + x c x + Π = = + p + x + c x + ax + b x + bx + x c x + Π = = c, c los coss d ambas mprsas., Sus produccions n + vndrán drminadas por las condicions ncsarias d opimización: Π + = a bx + bx c = 0 x +, Π = a bx + bx c = 0 x + + aplicando las condicions suficins s pud vr qu para cada mprsa, su puno críico srá un máximo global: Π + 0 = b < ( x + ). Π = b < 0 ( ) + x + 38

39 La volución mporal d las produccions d las mprsas vndrá drminada por l siguin sisma dinámico: a c x + = x + b a c x + = x + b qu s pud scribir d forma maricial, x Ax B = +, + 0 A = 0, a c B =, b a c x x =. x S raa d un sisma linal no omogéno. Como mos viso n l aparado anrior, suponmos qu las solucions d quilibrio son x x. Tnmos pus x Ax B = +, a c = ( ) = x I A B x b a c ; 4 ( a c ) ( a c ) a c + c x b 3 3 3b = = =. x 4 a c + c ( a c ) ( a c ) b 3 3 3b Esas srían las canidads n l quilibrio sacionario. El quilibrio srá asinóicamn sabl si, sólo si, los valors propios d la mariz A inn módulo mnor qu la unidad. 39

40 Los valors propios d la mariz A vinn drminados por las solucions d la cuación A λi = 0, n nusro caso λ = 0, λ =, por ano 4 4 λ = ±. El quilibrio srá asinóicamn sabl, a qu l módulo d s mnor qu. Las implicacions qu in qu sa posiivo o ngaivo qudarán rfljadas n l ipo d movimino por l cual las racorias s aproximarán al quilibrio. Aora podmos afirmar qu las canidads d quilibrio srán las canidads a largo plazo. A coninuación vo a ralizar simulacions. La primra d lla srá para mprsas oalmn iguals (Gráfico 8), la sgunda para mprsas mu disinas (Gráfico 9) Gráfico 8. Simulación para mprsas iguals x Emprsa. a=00, c =50, b=0.8, x =5 x Emprsa. a=00, c =50, b=0.8, x = Gráfico 9. Simulación para mprsas disinas Emprsa. a=00, c =50, b=., x =0 x Emprsa. a=00, c =5, b=., x =5 x En ambos casos s pud obsrvar convrgncia, como anriormn s abía calculado. 40

41 4. COMENTARIO FINAL Como s indica n la inroducción, sa mmoria s l primr paso para lograr uno d mis dsos prsonals, comprndr mjor la ralidad conómica a ravés d la profundización n sus aspcos dinámicos n la inrrlación nr las disinas variabls. Únicamn abordado las cuacions linals n difrncias los sismas d sas, focalizando l análisis n las d bajo ordn, n los concpos d quilibrio sabilidad usando las rprsnacions gráficas para una mjor comprnsión. A psar d llo, vr cómo pudn aplicars sas écnicas n modlos an xplicaivos como l dl aclrador-muliplicador d Samulson, a sido un acica para mi fuura formación n s campo. So conscin d odo lo qu m fala d aprndr, pro no m dsanima. En primr lugar ndré qu nfrnarm a los sismas linals d ordn n, qu son fundamnals a qu una conomía no in sólo dos o rs scors, in mucos, con cnologías difrns cada uno d llos rquir d numrosas variabls para dscribirlo. Por ora par, la ralidad conómica no s linal, aunqu s aproxim cuando las variacions d las variabls son pquñas. Ello m obligará a dar oro salo n mi formación, l paso a sismas no linals dond la obnción d rsulados sobr quilibrios condicions d sabilidad son muco más difícils, pro ambién más promdors. Por úlimo, odos los análisis n difrncias inn un parallo n l análisis difrncial, cuacions linals, no linals, sismas, sabilidad,, qu no pud idnificars con l análisis n difrncias pro qu s complmna con s. Es s oro dsafío pndin. 4

42 5. BIBLIOGRAFÍA - GANDOLFO, G. (976) Méodos modlos mamáicos d la dinámica conómica. Edi. Tcnos, Madrid. - SHONE, R. (00) Enonomic Dnamics. Pas diagrams and ir Economic Applicaion. Cambridg Univrsi Prss, Cambridg. - PÉREZ-GRASA, I., MINGUILLÓN, E. JARNE, G. (00) Mamáicas para la Economía. Programación Mamáica Sismas Dinámicos. Ed. McGraw-Hill, Madrid - HARROD, R.F. (939) An Essa in Dnamic Tor, T Economic Journal, Vol. 49, Nº 93, páginas SAMUELSON, P. A. (939) T inracions bwn Muliplir Analsis and Principl of Aclraion. Rviw of Economic Saisics, Vol., Nº, páginas HICKS, J. R. (950) A Conribuion o Tor of Trad Ccl. Clarndon Prss, Oxford - FERNÁNDEZ PÉREZ, C.; VÁSQUEZ HERNÁNDEZ, F. J. VEGAS MONTANER, J. M. (003) Ecuacions difrncials n difrncias. Sismas dinámicos. Edicions Paraninfo, Madrid. - COURNOT, A.A. (897) Rsarcs Ino T Mamaical Principls Of T Tor Of Wal. T Macmillan Compan, Nw ork 4