CAPITULO 2º FUNCIONES DE VECTORES Y MATRICES_02. Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.
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- Natividad Domínguez Villalba
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1 CAPITULO º FUNCIONES DE VECTORES Y MATRICES_ Ing. Dgo Aljandro Paño G. M.Sc, Ph.D.
2 Funcons d Marcs Torma: Sa f( una funcón arbrara dl scalar y sa A una marz con polnomo caracrísco: S dfn g( un polnomo d ordn (n- d, con cofcns dsconocdos ( Δ m m n n con n (... ( n n g β β β
3 3 Funcons d Marcs Las n ncógnas s ncunran a parr d las cuacons. Enoncs sobr l spcro d A f(a g(a,,...,m,,.., l para ( ( ( ( l l n g f ( ( l l l l l l d g d g d f d f ( ( ( (
4 Funcons d Marcs Ejmplo: Calcular A con A S plana l problma como l cálculo d f( valuado n A. El polnomo carácrísco d A s Δ( ( +. S dfn g( β + β. Sobr l spcro d A, como l valor propo sá rpdo dos vcs: para y l f ( g( ( β + β para df( d dg( d β y l 99 (- 4
5 Funcons d Marcs D dond β -, y β 99, La polnomal g( s: g( 99 Igualando sobr l spcro d A: A β A + β I
6 6 Ejmplo: Calcular A para Funcons d Marcs 4 ( ( ( ( ( ( β β β β β β β β g f g f g f El polnomo caracrísco d A s Δ( ( - ( -. Sa g( β + β + β : ; β β β
7 7 Funcons d Marcs Fnalmn: Igual rsulado s pud obnr mplando la ransformada d Laplac. ( ( ( A I A A A g 3 (
8 Funcons d Marcs Ejmplo: Para l bloqu d Jordan d ordn 4 Su polnomo caracrísco s Δ( (
9 Funcons d Marcs S n vz d slcconar g( β β + β + β, s lg 3 3 ( + β( + β( g( β + β La condcón d f( g( n l spcro d A da las xprsons β Consdrando ( f ( f, β f (, β, β3! ( 3! (3 ( f 9
10 Funcons d Marcs S obn la sgun xprsón gnral para f(a Por jmplo, para la funcón xponncal marcal f(
11 Funcons d Marcs Srs d Ponca: Ora forma d valuar una funcón marcal f(a s mplando la xpansón n sr d poncas d f(. S f( s pud rprsnar por d f f ( β ( j j! d con rado d convrgnca ρ. S odos los auovalors d A nn magnud mnor qu ρ, noncs f(a s pud dfnr como
12 Funcons d Marcs Ejmplo: Consdrar nuvamn l bloqu d Jordan S f( n l sgun dsarrollo n sr d poncas alrddor d
13 Funcons d Vcors y Marcs noncs Como (I A k para k 4, la sr d ponca s rduc a la xprsón nconrada anrormn. 3
14 Funcons d Marcs La Exponncal Marcal: Es una funcón d parcular nrés n aplcacons d conrol. Dado qu la sr d Taylor convrg para odo y fnos, nmos qu A I + A + A +...! k k A k! k 4
15 Funcons d Marcs Usando la xprsón anror s posbl dmosrar las sgun propdads: En gnral: ( A+ B A B La gualdad aplca úncamn s A y B conmuan: AB BA 5
16 Funcons d Marcs La drvada: 6
17 Funcons d Marcs Dfrncacón Ingracón Marcal: S dfnn érmno a érmno Con sas dfncons s posbl dmosrar la sgun propdad o l orma fundamnal dl calculo 7
18 Funcons d Marcs y la rgla d Lbnz 8
19 Ecuacón d Lyapunov Es la cuacón marcal A y B son marcs consans, rspcvamn d dmnsons n n y m m. Las marcs C y la ncógna M son n m. Dcha cuacón s lnal n M y pud scrbrs como ssma d cuacons algbracas n la forma sándar Ax y. Para n 3 y m : 9
20 Ecuacón d Lyapunov s dcr A & M & C &, dond A & s (n m (n m, y M & y C & son d (n m. la cuacón s pud rprsnar por: A( M : AM + MB A( M C Transformacón qu convr un spaco d dmnsón nxm n s msmo
21 Ecuacón d Lyapunov Un scalar η s un valor propo d la rprsnacón marcal A s xs un M no nulo al qu: A( M ηm Como A & s cuadrada d ordn nxm n nxm valors propos η k S y μ j son rspcvamn los valors propos d A y B, los valors propos d A & son: η k + μ j, para,,..., n, j,,...,m y k,,.,nm Los valors propos d A son odas las posbls sumas d los valors propos d A y B
22 Ecuacón d Lyapunov Para qu la cuacón d Lyapunov nga una solucón únca l drmnan d A db sr no nulo: so s cro s y solo s odos los valors propos η k son dfrns d cro. Para s caso xs un M únco. S algún η k s nulo la solucón pud o no xsr.
23 Polnomo Mínmo El orma d Cayly Hamlon sablc qu oda marz sasfac su polnomo caracrísco, s dcr, s Δ(Ad(I-A, noncs Δ(A. Pud xsr un polnomo d grado mnor al d Δ(? La rspusa dpnd d la mulplcdad d los valors propos d A. Cuando los valors propos son odos d mulplcdad (odos dsnos, noncs l polnomo caracrísco s l polnomo d mnor grado qu sasfac A (Polnomo Mínmo, o sa n n s caso. 3
24 Polnomo Mínmo Polnomo mínmo d A: polnomo mónco d mnor grado al qu: ψ ( A El polnomo mínmo s obn fáclmn d la rprsnacón d Jordan. Cuando hay auovalors con mulplcdad mayor qu (rpdos, l polnomo mínmo podrá sr d grado mnor qu n 4
25 5 El polnomo mínmo s pud xprsar como Polnomo Mínmo ( ( 4 ˆ ψ A dond ñ s la dmnsón dl bloqu d Jordan más grand asocado al valor propo, rpdo n. Como pud nr más d un bloqu d Jordan asocado, ñ n Ejmplo. Las marcs: ( n n n n con n ( ψ
26 6 Polnomo Mínmo ( ( 3 ˆ ψ A ( ( 4 ˆ ψ A Las rs marcs d Jordan nn l msmo polnomo caracrísco: Para dfrns l polnomo caracrísco y l mínmo son guals ( ( ( 4 Δ
27 Polnomo Mínmo El polnomo mínmo smpr s facor dl polnomo caracrísco. S s valúa sobr A: n ( A I ψ ( A Por l orma d Cayly Hamlon para odo polnomo f(, l polnomo marcal f(a s pud xprsar como una combnacón lnal d las poncas d A, {I, A,..., A n- }. S l polnomo mínmo s conoc (y por lo ano ñ, f(a s pud xprsar como una combnacón lnal d un conjuno mnor, {I, A,..., A ñ- }, qu s aún mjor. 7
28 REFERENCIAS. CHEN C.T. Lnar Sysms Thory and Dsgn. 3rd Edon. Nw York: Oxford Unvrsy Prss BAY J.S. Fundamnals of Lnar Sa Spac Sysms, Nw York: McGraw Hll Inrnaonal Edon,
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