ANÁLISIS DISCRIMINANTE CON METODOLOGÍA LOGIT

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1 ANÁLISIS DISCRIMINANTE CON METODOLOGÍA LOGIT. ANÁLISIS DISCRIMINANTE INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN LOGIT Conocda la dstrbucón d un conjunto d ndvduos ntr dos o más grupos, s busca ntndr la naturalza d stas dfrncas y a su vz la búsquda d una rgla d comportamnto qu prmta la clasfcacón d nuvos ndvduos para los qu s dsconoc su prtnnca a un grupo. La solucón d st problma s aborda a través d dos técncas:. Método d Fshr 2. Modlzacón logt Las dfrncas ntr ambas técncas s ncuntran n:. El mplo d mtodologías dfrnts - El método Fshr utlza l cálculo d los autovalors d una cuacón. - La modlzacón logt s smlar al la rgrsón tradconal salvo qu utlza como funcón d stmacón la funcón logístca n vz d la lnal. 2. Los rsultados obtndos - Con l método Fshr s obtn una funcón dscrmnant qu prmt valuar qu varabls prmtn dscrmnar ntr grupos y la obtncón d una puntuacón, sn ntrprtacón conómca, qu prmt asgnar a los sujtos a los dstntos grupos. - Con la modlzacón logt l rsultado dl modlo s la stmacón d la probabldad d qu un nuvo ndvduo prtnzca a un grupo o a otro, mntras qu por otro lado, al tratars d un análss d rgrsón, tambén prmt dntfcar las varabls más mportants qu xplcan las dfrncas ntr grupos. Ejmplos: - Un banco qu concd crédtos a sus clnts qur conocr la probabldad d mpago para un futuro clnt - Una mprsa qu va a ncar su ngoco n l sctor txtl qur conocr la probabldad d éxto qu tndrá su pusta n funconamnto. - Un profsor qur conocr la probabldad d aprobar su asgnatura qu tndrá un alumno. - Un polítco o nvrsor stá ntrsado n conocr l rsgo qu xst d producrs una crss cambara n una dtrmnada conomía.

2 2. ARTICULARIDADES DEL ANÁLISIS LOGIT O REGRESIÓN LOGISTA Cntrándonos n l caso más sncllo qu corrspond a la modlzacón dl logt dcotómco, las prncpals caractrístcas qu prsnta st modlo s rsumn n: Varabl ndógna bnara: Idntfca la prtnnca dl ndvduo a cada uno d los grupos analzados: - S dntfca con un al ndvduo qu prtnc al grupo cuya probabldad d prtnnca stmará l modlo. - S dntfca con un 0 al ndvduo qu no prtnc al grupo objto d análss. Varabls xplcatvas: Son las varabls qu srvn para dscrmnar ntr los grupos y qu dtrmnan la prtnnca d un lmnto a un grupo u otro. udn sr: - Varabls cuanttatvas qu un campo d varacón ntr - hasta + - Varabls cualtatvas con dstntas altrnatvas u opcons posbls. Rsultado dl análss: El rsultado s un valor numérco qu ndca la probabldad d prtnnca d un lmnto al grupo qu s l asgnó l valor, s dcr, l grupo objto d análss. 3. TIOLOGÍA DE LA MODELIZACIÓN LOGIT Exstn dstntos tpos d modlos Logt n funcón d las caractrístcas qu prsntn las altrnatvas qu dfnn a la varabl ndógna, qu s la varabl qu va a mdr l númro d grupos xstnts n l análss dscrmnant. Así: - Logt dcotómco: s utlza cuando l númro d altrnatvas son dos y xcluynts ntr sí. - Logt d rspusta múltpl: s utlza cuando l númro d altrnatvas a modlzar s supror a dos. o Logt con datos no ordnados: s utlza cuando las altrnatvas qu prsnta la varabl ndógna no ndcan nngún ordn. Logt multnomal: s utlza cuando los rgrsors dl modlo hacn rfrnca a las obsrvacons mustrals, por lo qu varían ntr obsrvacons pro no ntr altrnatvas. Logt condconal: s utlza cuando los rgrsors dl modlo hacn rfrnca a las altrnatvas, por lo qu sus valors varían ntr altrnatvas pudndo hacrlo o no ntr obsrvacons. o Logt con datos ordnados: s utlza cuando las altrnatvas d la varabl ndógna rprsntan un ordn ntr llas. 2

3 4. RERESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGÍSTICA ara l caso más sncllo d utlzar una únca varabl xplcatva s trata d ncontrar la rlacón qu xst ntr la varabl xplcatva y la ndógna. Las posbldads qu s plantan son:. Qu la funcón qu rlacona ambas varabls sa una funcón lnal. Estaríamos ant l sgunt caso: α + β + ε dond: s ocurr l acontcmnto objto d studo 0 n caso contraro Varabl xplcatva ε y Varabl alatora con E(ε ε j 0 y E(ε 0 La stmacón d st modlo planta problmas d: - No normaldad d la prturbacón alatora. - Htrocdastcdad, problma qu podría soluconars a través d la stmacón MCG. - El rango d varacón d la stmacón no stá acotado ntr 0 y, lo cual carc d sntdo cuando lo qu s prtnd stmar s una probabldad. 2. ara soluconar los problmas qu planta l modlo lnal d probabldad s ralza la modlzacón a través dl uso d funcons no lnals qu prmtan acotar l rango d la stmacón. Esto s consgu a través dl uso d cualqur funcón d dstrbucón. Las funcons más comúnmnt utlzadas han sdo la funcón logístca, qu ha dado lugar a la modlzacón Logt, y la funcón d dstrbucón d la normal tpfcada, qu ha dado lugar a la modlzacón robt. Dado qu la rprsntacón d ambas funcons, así como los rsultados obtndos con la modlzacón d sus corrspondnts modlos, son muy smlars, por una mayor smplcdad n térmnos ntrprtatvos y computaconals l modlo Logt sul sr l prfrdo n la mayoría d las aplcacons práctcas. La funcón logístca s una corrcta aproxmacón a la stuacón n qu: E( 0 cuando E( cuando + 3

4 0 α +β x La xprsón dl modlo Logt para l caso d una únca varabl xplcatva s la sgunt: + α+ β + ε + ε Λ( β + α β α + β + ε Los valors d la funcón ahora s vararán n l rango (0 y s ntrprtarán como la probabldad d ocurrnca dl acontcmnto objto d studo. (-M M Dond M s la probabldad d qu l lmnto prtnzca al grupo (qu ocurra l fnómno objto d studo y (-M s la probabldad complmntara o probabldad d qu l lmnto prtnzca al grupo 0 (qu no ocurra l fnómno objto d studo. 5. ESTIMACIÓN DE LOS ARÁMETROS DEL MODELO A. Con obsrvacons no rptdas El método utlzado para stmar los parámtros s l d máxma vrosmltud, ya qu al tratars d un modlo no lnal no s pud utlzar l método d mínmos cuadrados ordnaros (MCO. La stmacón máxmo-vrosíml busca aqullos valors d los parámtros qu gnrarían con mayor probabldad la mustra obsrvada. or lo tanto, son aqullos valors para los cuals la funcón d dnsdad 4

5 conjunta (o funcón d vrosmltud alcanza un máxmo. Tomando logartmos la funcón d vrosmltud quda como: L α + β ( ( α + β log( + El procdmnto a sgur srá calcular las drvadas d prmr ordn d sta funcón con rspcto a los parámtros qu qurmos stmar ( α, β, gualarlas a 0 y rsolvr l sstma d cuacons rsultant. Las drvadas d prmr ordn d la funcón d vrosmltud qudan como sgun: L α ˆ + β 0 + βˆ + L + β β + βˆ + ˆ 0 S trata d un sstma d cuacons no lnals por lo qu s ncsaro aplcar un sstma tratvo qu prmta la convrgnca n los stmadors. El procdmnto sría l msmo para l caso d qu s stuvsn utlzando más d una varabl xplcatva, con la dfrnca d qu tndríamos tantas cuacons como parámtros a stmar. B. Con obsrvacons rptdas Nos ncontramos n una stuacón dfrnt cuando la varabl xplcatva s una varabl cualtatva qu prsnta dstntos nvls como posbls valors. En st caso, srá fácl ncontrar para cada podrmos stmar mdant: obsrvacons rptdas d, por lo qu n n j j j El modlo logt a stmar ahora lnalzado qudará como Log α + β + ε Dond la varabl ndógna srá una varabl contnua, qu s obtndrá calculando l logartmo dl cocnt ntr la probabldad d ocurrnca dl fnómno para cada uno d los ntrvalos d la varabl xplcatva y su probabldad complmntara. Est modlo rsultant (qu ncluy la transformacón d la varabl ndógna s pud stmar por l procdmnto habtual utlzado n l método d stmacons lnals (MCO. Sn mbargo, l modlo así spcfcado 5

6 prsnta problmas d htrocdastcdad qu s orgnan como conscunca d utlzar la stmacón d la probabldad mustral para cada altrnatva d la varabl xógna n vz d la probabldad poblaconal, por lo qu la stmacón s hac a través d MCG para lo cual s pondran todos los mmbros d la cuacón por la nvrsa d la varanza d la prturbacón alatora qu, dado qu s dsconoc, s valúa n la probabldad mustral. Así, s n ( Var ˆ ( ε ' y l modlo a stmar quda como, s Ln α s + β s + ε k k ostrormnt, y una vz ya s han obtndo los valors d los parámtros alpha y bta, para obtnr los valors stmados d dbmos "dshacr" l cambo d varabl: ˆ + + βˆ + βˆ 6. INTERRETACIÓN DE LOS ARÁMETROS ESTIMADOS La funcón logístca pud fáclmnt xprsars como una funcón lnal qudando la xprsón como sgu: α+ β Ln Ln( α + β Con lo cual, la ntrprtacón dl cofcnt stmado db ralzars como sgu: - El sgno dl cofcnt ndca la drccón n qu s muv la probabldad al aumntar la varabl xplcatva corrspondnt. - La cuantía dl parámtro ndca l ncrmnto n Ln al ncrmntar n una undad la varabl xplcatva cuando l rsto d varabls prmancn constants. - En st sntdo, l valor undad d la varabl xplcatva sobr β md l fcto qu tn l ncrmnto n una, lo cual s conoc como l rato odds y cuatfca l númro d vcs qu s más probabl qu ocurra l acontcmnto qu s asoca con qu l qu s asoca con 0. 6

7 - El concpto d rato odds conduc al cálculo dl cocnt ntr odds qu prmt comparar l númro d vcs qu s más probabl qu ocurra la altrnatva rspcto a dos stuacons. 7. SIGNIFICATIVIDAD DE LOS COEFICIENTES ESTIMADOS ara comprobar la sgnfcatvdad stadístca d los parámtros stmados, s tsta la hpótss nula d qu los parámtros san gual a 0. H0 : β β 2... βk 0 Con l propósto d tstar la hpótss nula s calcula la razón ntr los valors stmados d los parámtros y su rror típco. La razón rsultant dbría sgur una dstrbucón asntótcamnt normal, por lo qu l valor obtndo s compara con una dstrbucón normal standarzada. Gnralzando s utlza como rgla común qu parámtros con valors suprors a,96, n valors absolutos, pudn consdrars sgnfcatvos a un nvl d sgnfcacón d 0, BONDAD DEL MODELO Exstn dos métodos altrnatvos para comprobar s l modlo stmado s n su conjunto un bun modlo:. Rato d vrosmltud El rato d vrosmltud s construy a partr dl valor d vrosmltud calculado para l modlo total (aqul qu tn n cunta todas las varabls xplcatvas y l valor d vrosmltud calculado para l modlo rstrngdo (aqul qu solo tn n cunta l térmno constant: Rato d vrosmltud L(mod lo L( rstrngdo Sndo L(modlo l máxmo valor dl logartmo d la funcón d vrosmltud y L(rstrngdo l valor máxmo d sta funcón con la rstrccón d qu β sa gual a 0 n l modlo d una varabl xplcatva, o β β 2... β k 0 n l modlo d k varabls xplcatvas. El rato calculado tndrá valors comprnddos ntr 0 y d forma qu cuando l modlo ajustado sa prfcto valdrá, mntras qu cuando la stmacón d los parámtros β no mjor l rror qu s comtría s dchos parámtros s gualaran a 0 valdrá 0. 7

8 2. orcntaj d acrtos Otra d las vías utlzadas para dtrmnar la bondad d un modlo ajustado por Logt s prdcr con l modlo los valors d la varabl ndógna d tal manra qu s p 0, 5 ó 0 s p < 0, 5. Dado qu los valors rals d son conocdos, basta con contablzar l porcntaj d acrtos para dcr s la bondad dl ajust s lvada o no. 9. UN MODELO LOGIT DE RESUESTA MÚLTILE Cuando la varabl ndógna a modlzar s una varabl dscrta con varas altrnatvas posbls d rspusta nos ncontramos ant los modlos d rspusta múltpl. Estos modlos s clasfcan n dos grands grupos sgún qu las altrnatvas qu prsnta la varabl ndógna s pudan ordnar (modlos con datos ordnados o no s pudan ordnar (modlos con datos no ordnados. A. Espcfcacón d un logt multnomal En st tpo d modlos las altrnatvas d la varabl rspusta ndcan la prtnnca d las obsrvacons a un dtrmnado grupo sn ncorporar nformacón ordnal. La formulacón d un Logt Multnomal quda rcogda a través d la sgunt cuacón: r ob( β j ' j j J β j ' j 0 Dond para l caso sncllo d un modlo n l qu la varabl ndógna prsnta trs posbls altrnatvas d lccón y sólo xst una varabl xplcatva n la modlzacón, la probabldad asocada a cada una d las altrnatvas posbls d lccón tomarían las sgunts xprsons: con α + β α 2 + β2 + + α+ β α + β α2 + β α 2 + β2 2 α+ β α 2 + β 2 + 8

9 B. Espcfcacón d un logt ordnal En st tpo d modlos las altrnatvas d la varabl rspusta prmtn stablcr un ordn ntr las dstntas obsrvacons. La formulacón dl modlo Logt ordnado quda como sgu: r ob( 0 Λ( β' r ob( Λ( µ β ' Λ( β' r ob( 2 Λ( µ β' Λ( µ β'... r ob( 2 ( J 2 ( J Λ( µ β' dond µ, µ 2,..., µ ( J 2 son parámtros qu rprsntan los valors d los umbrals o barrras y s stman a la vz qu β y β' funcón d dstrbucón logístca. Λ rprsnta la ( 0. ASOS A SEGUIR EN EL DESARROLLO DE UNA ALICACIÓN RÁCTICA - Idntfcacón d la varabl ndógna: dntfcacón d los grupos d prtnnca - Idntfcacón d las varabls xplcatvas - Estmacón dl modlo - Búsquda dl mjor modlo Valdacón dl modlo - Intrprtacón d los rsultados o Sgno d los parámtros stmados o Sgnfcatvdad d los parámtros stmados o Bondad dl modlo - rdccón 9