3.1 OPERADORES DIFERENCIALES a) Gradiente de un c. escalar, U:

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Elisa Peña Lozano
hace 6 años
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1 Obs.: Dfrncal d na mantd varabl n 3(ó 2) 1) En nral (Análss): S f dpnd d (y 1, y m ), df := y1 f dy ym f dy m Lo msmo ocrr s s trata d na mantd vctoral d n componnts, F: df := y1 F dy ym F dy m. El df o l df son los térmnos d prmr ordn n l dsarrollo d Taylor d f o d F alrddor dl pnto y consttyn na apro. dl f o F 2) En 3 : Dfrncal dl vctor poscón r(p) n cart. y n crv. df.: En cartsanas, al pasar d P(,y,z) a Q(+d, y+dy, z+dz), s dfn dr = d + dy + dz = d = PQ = dsplazamnto vctoral ral = r = OQ OP En crvlínas, al pasar d P(,v,w) a Q(+d, v+dv, w+dw), l Análss asra: dr = r r r d v dv w dw d PQ = r El dr s, ps, análoo, pro rslta l dsarrollo contravarant dl vctor dr, y sólo s aproma () l dsplazamnto ral, r, n lar d concdr con él. Pro l vctor dr s ntrínsco (l msmo vctor, prsado n los dos sstmas) porq: col. ª J 1 d r d d d d Obs. (!!!): la prsón d n prodcto scalar dr n crvlínas ncsta las componnts covas dl campo, para oprar con las componnts contras dl dr. Así: dr = d = 1 ( 1, 2, 3 ) d ( 1, 2, 3 ) d ( 1, 2, 3 ) d 3 ; na contraccón T dr ncsta componnts t ( 1, 2, 3 ) para prodcr contras dl rsltado. 3.1 OPERADORES a) Gradnt d n c. scalar, U: 1) dfncón: dado U : 3, n 3 con rfrs. cartsana {O; } y crvlína {O; } asocadas n n pnto orn O d crta rón. S stda la varacón d U rspcto dl pnto P, o sa, al varar la poscón dl pnto n l spaco. D Cálclo sabmos: l ncr. d U: U := U(+d, y+dy, z+dz) U(,y,z) U U U d dy d: z = du y z s análoo n crvlínas, con du = U U U d dv dw U. n ambos casos s pd ntndr du como rsltado (scalar) d la accón d n tnsor d ordn 1 (forma lnal) sobr l vctor dr: n cart.: du = ( U + yu + z U ) dr y n crv. : du = ( 1U 1 + 2U 2 + 3U 3 ) (d ) ( Obs.: prfactor n covas!) S obsrva q s trata dl msmo vctor prsado n los dos sst. S llama vctor radnt d U y s l vctor: fla d J a covas U U U U U U U U + y z l símbolo nabla,, (o atld ) s la dlta may. ra nvrtda, dbdo a Hamlton Métodos - matmátcas /

2 2) Propdads dl radnt d n c. scalar d clas C 1 : ) Prop. fndamntal: l vctor U rla la varacón d U n l spaco, pq. U du=u dr, como s ha vsto. ) Natralza tnsoral: porq la drvada drcconal U(P) d n c. sc. d clas 1 n calqr drccón tomada n P s: U(P) = U(P) U( Pλ ) U( P) U( P) λ dm: U ( P): lm lm U ( P) λ0 λ λ0 λ y sto sr consdrarlo como n tnsor d prmr ordn: U Î (1). ) las lín. d campo d U son ortoonals a las sprf. socantas U = ct. dm: s s tant. a la sp. {U = c} n P, ntoncs U(P) = 0, lo U(P) = 0 Como ocrr " tt. A la sp., rslta q U(P) tt (P) v) la máma drvada drcconal d U n P s U(P) n la propa dr. U dl radnt U(P). dm: U(P) = U(P) = U(P) cos U(P), mámo s l lánlo s 0. 3) El oprador dfrncal nabla: : Es vntaoso consdrar como n oprador dfrncal vctoral q prodc l radnt al "mltplcars" por campos scalars. Las Rlas d actacón d sobr campos scalars q s opran ntr sí: son las msmas d la drvada, s dcr: / lnaldad frnt a comb. ln. con cof. constants, a, b: (au+bv) = a U + b V radnt dl prodcto o cocnt d campos scalars (UV) = (U) V + U (V), (U/V) = [(U)V U (V)]/V 2 radnt d na potnca: (U m ) = mu m-1 U otras rlas d actacón n b) opradors rlaconados con Emplos: 1) En cartsanas s cmpl = 2) En crvlínas: = (altrnatva para calclar ) 3) n cl.: z cos sn z 4) (a r+c), dond a s n vc. ct. y c = ct. scalar: (a r+c) = a 5) (a r /r 2 ) =... D Pr2.12, apartados:1, 2, 3, y 7 Métodos - matmátcas /

3 b) Opradors dfrncals rlaconados con nabla S llama oprador nabla al vctor smbólco: := + y + z =, q rslta al abstrar l campo sc. U dl radnt U. En crv. s análoo: := = + v v + w w ( covas!) o sa: : + y z v w Cando actúa sobr n campo scalar da l radnt U y la forma d tratarlo s: vctor smbólco cyas componnts s "mltplcan" por U prodcndo la drvada parcal q ndcan. En crv. s covarant pro s ntnd al. Otros opradors: l oprador s combna con otros prodctos * d vctors o tnsors y la accón dl oprador rsltant s dtrmna n nral así: 1º) s drva l 2º factor n carts. s dfn: * := * : * 2º ) s fcta l prodcto q.sa n crv. s análoo: * := Casos más mportants: op. dvrnca := op. rotaconal := op. laplacano := = 2 op. radnt-tnsor: 1º) s drva (drv. covarant) * : * 2º ) s fcta l prodcto s aplca la norma nral antror y rslta: S = U = =, s tn: 1) dvrnca d : =... U U U U U y U z carts.:... : y z crv.:... h h :, h, h,,1,2,3 1 Forma práctca n crv. formlº: obs: sa contras d! dm: s obsrva: 1), =, = [ + h h] = + h h 2) (± ) = [ 1, 2, 3 ] = [ 1, 2, 3 ] + [ 1, 2, 3 ] + [ 1, 2, 3 ] = = [ 1 1 +, 2 +, 3 = ± ( = ± h 1, 2, 3 ] [ 1 2 2, 3 ] [ 1, ] 3) h y s ddc: (± ) = ± h h ± = ± (,) = 1/ [ ( )], c.q.d. yz Emplos: Calclar la dvrnca d: 1) F(,y,z) = ; 2) Msmo campo n y z sfércas ; 3) (,, z) = + + z z ( oo, no s r!) PR2.12, apartados 4 y 9 Métodos - matmátcas /

4 2) rotaconal d = U = : =... U U n cart.: U U U : y z y z n crv.: 1 :...,, 1 q. condc a la frmla. práctca (formlº): obs.: covas d! Emplos: Calclar a l rotaconal o a d los campos consdrados n l mplo antror: yz 1) F(,y,z) = ; y z 2) Msmo mplo pasándolo a sfércas ; 3) (,, z) = + + z z 4) PR2.13, cstón. PR2.18, cstón 3) laplacano := U := (U) = 2 U n cartsanas: n crvlínas: U U U U ( U)... y z 1 U U ( U) 4) radnt-tnsor := = U n cartsanas: U n crvlínas:, obs: l dfrncal d n campo vctoral s: d = = () Rlas d actacón d los opradors sobr prodctos formlaro! Emplo: Calclar dv(ar) sndo a n c. vctoral constant dl spaco 3. Otros rccos: PR212, cstons d los problmas PR2.13, 15, 18 Métodos - matmátcas /

5 c) Opradors dfrncals n bas físca crvlína Las fórmlas para calclar los op. dfrncals d campos n bas físca s adaptan con sncllz, cambando las bass o componnts nrals a aqélla : h :=, a = â ê, = h h v h w, = ê /h (para cada ), a = â /h (para cada ), a = h â (para cada ). Así: 1 U 1 U 1 U U ˆ ˆ ˆ h h v h w 1 a aˆ h h h aˆ h h h aˆ hhh a 1 hhh h ˆ h vˆv hwˆw haˆ haˆ h aˆ v v w w 1 hh U hh U hh U v w w v U U h h v h w h v h v v w h w w Emplos y rccos 1) y sndo { = p(+v), y = p(v), z = w} solcón: n contras s (1,0,0); y n covas, s 1 = 1 = (2 Ch2v, 2 Sh2v, 0) lo: (campo rrotaconal) 2 2 Ch2v 2 Sh2v 0 2) Práctca 2b: Erccos: PR2.14, y PR2.15 Problmas d amn: PR2.16, PR2.17, PR2.18. (FIN DE LA MATERIA DEL PRIMER PARCIAL) Métodos - matmátcas /

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