Si v y w son ambos vectores, entonces el resultado de las operaciones v + w y v w son. Dichas operaciones cumplen con propiedades conmutativas y

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1 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy Oprcons con Vctors Adcón y sbstrccón d ctors S y w son mbos ctors, ntoncs rstdo d s oprcons w y w son tmbén ctors. Dchs oprcons cmpn con propdds conmtts y socts, d t modo q: w w ; w w. Mtpccón d n ctor por n scr E prodcto d mtpccón ntr ctor por scr s n ctor cy mgntd cs d ctor, o bn, Est oprcón cmp con propdds conmtts, socts y dstrbts, d t modo q: ; bc bc; b c b c Prodcto pnto ntr dos ctors E prodcto pnto ntr dos ctors y s n scr dfndo por: cos ϕ; dond ϕ s ángo comprnddo ntr os ctors y. Un ntrprtcón gométrc d st prodcto consst n dfnr como mgntd d ctor mtpcd por proyccón d sobr o crs.

2 Prodcto crz ntr dos ctors Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy E prodcto crz ntr dos ctors y s n ctor dfndo por: { sn ϕ}n ; dond n s n ctor ntro r sgnt sccón prpndcr pno comprnddo ntr y, pntndo n drccón n q n torno drcho o hrí s fs grdo d hc trés d ángo ϕ. Oprcons d ctors n térmnos d ss componnts n sstms coordndos Vctors ntros Sn,, ctors d mgntd ntr n drccón d os s, y d n sstm d s coordndos, s combncons d prodcto pnto ntr os rstrín n: 0 Ests oprcons pdn sr gnrzds como δ ; dond y pdn tomr os ors, o. Por o tnto, δ, s δ 0, s E scr δ s comúnmnt dnomndo dt d Kroncr y s d grn tdd pr smpfcr oprcons ctors mpmnt tzds n dscrpcón d fnómnos d trnsport.

3 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy D mnr smr, s combncons d prodcto pnto ntr os ctors ntros rstn n: 0 Ests oprcons pdn sr gnrzds como ε dond ε s,, ε 0 s dos o más índcs son gs ntr sí. ε s,, E scr ε s comúnmnt conocdo como símboo d prmtcón. Epnsón d ctors n térmnos d ss componnts. Todo ctor pd sr prsdo como sm ctor d ctors proyctdos sobr s d n sstm ortogon. D t modo q:

4 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy 4 ; dond s mgntd scr q sr mtpcd por cd ctor ntro rst n s proyccons o componnts d ctor sobr cd coordndo. L rprsntcón d n ctor n térmnos d ss componnts s d tdd pr dscrbr rs oprcons ctors y tnsors. Por mpo, sm d dos ctors y pd sr rprsntd d mnr gnrzd como: ± ± ± D mnr smr, mtpccón ntr n ctor y n scr s s pd prsr como: s s s E prodcto pnto como: δ y prodcto crz como: ε

5 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy Oprcons tnsors n térmnos d ss componnts n sstms d coordnds ortogons Prodcto dádco Admás d os prodctos pnto y crz ntr dos ctors, st n trcr tpo d mtpccón cyo rstdo s conocdo como prodcto dádco. En stá oprcón no s tz nngún sgno d mtpccón y s rstdo d gr cntdds conocds como tnsors d sgndo ordn. E prodcto dádco ntr dos ctors ntros y s dfn como. Psto q mgntd d os ctors y s ndd, tnsor rstnt s tmbén ntro, pro como stá rcondo con n pr d s coordndos. Así ps, os tnsors d sgndo ordn spcfcn cmbo smtáno d n cntdd n térmnos d dos drccons. En probms q nocrn fnómnos d trnsport os tnsors son d grn tdd porq n ocsons s ds conocr como cmb gn propdd con rspcto dos drccons. Un mpo snco o constty dtrmncón d cmbo d momnto n n fdo n sntdo d s trés d n ndd d ár prpndcr drccón y más dts sobr sto srán proporcondos o rgo d st crso. D msmo modo q n ctor pd sr prsdo n térmnos d ss componnts n n sstm d coordnds como sm d componnts scrs proyctdos sobr os s mtpcdos por os rspctos ctors ntros, n tnsor d sgndo ordn pd scrbrs como n cntdd q soc n scr con n pr d s coordndos. D st modo, n ctor pd prsrs como: 5

6 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy dond os scrs son os componnts d tnsor d sgndo ordn. No s dfíc drs cnt d q pdn str tnsors d ordn n, sn mbrgo dchos tnsors stán fr d cnc d prsnt crso y omsón d mpos mostrndo oprcons con sts cntdds no rprsnt nngún mpdmnto pr comprndr probms d fnómnos d trnsport, por o q n st crso sóo s trbrá con tnsors d sgndo ordn. Estn ros tpos d tnsors d sgndo ordn q dbn sr nftzdos. S, ntoncs s dc q tnsor s smétrco, S, ntoncs s dc q tnsor s ntsmétrco, S os componnts d n tnsor ϖ rstn sr os msmos q os d tnsor pro con ss índcs nrtdos o trspstos, ntoncs s dc q tnsor ϖ s ctor trspsto d o. D st modo: S os componnts d n tnsor stán formdos por prs ordndos d os componnts d dos ctors y, tnsor rstnt s conoc como prodcto dádco d y. Es dcr: Nóts q, pro 6

7 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy S os componnts d tnsor son dt d Kroncr, tnsor s ntoncs n tnsor ntro δ. δ δ Adcón d tnsors ϖ ϖ ϖ Mtpccón d n tnsor por n scr s s { s } Prodcto dos pntos d dos tnsors : ϖ ϖ : Prodcto pnto d dos tnsors ϖ ϖ ϖ δ δ ϖ ϖ ϖ δ ϖ : ϖ ϖ ϖ dond pd rfcrs q smtor n corrspond componnt d tnsor rstnt d prodcto. 7

8 Prodcto pnto d n ctor con n tnsor Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy δ por o tnto, componnt d ctor rstnt d prodcto s smtor n. Prodcto crz d n tnsor con n ctor ε ε dond pd rs q prodcto s n tnsor cyo componnt s rstdo d dob smtor n y. Oprcons dfrncs con ctors y tnsors Consdr oprdor ctor dfrnc nb n coordnds rctngrs: dcho oprdor tn componnts como cqr ctor, pro no pd str por s msmo como cntdd, sno q db oprr sobr cntdds o fncons scrs, ctors o tnsors. NOTA: L dfncón d prsntd rrb s sóo ád pr sstms d coordnds rctngrs. Est oprdor pd scrbrs tmbén pr otros sstms d coordnds ortogons r nots dcons. 8

9 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy 9 Grdnt d n cmpo scr S dfn como grdnt d n cmpo scr oprcón n q opr sobr n fncón scr. Por mpo, s s n fncón scr d,, y, s dcr:,, grdnt d s: dond pd rs q rstdo s n ctor. E grdnt d no cmp con propdds conmtts o socts, por o q b b y sí cmp con propdds dstrbts, o s b b Drgnc d n cmpo ctor L drgnc d n cmpo ctor s prodcto pnto ntr oprdor y n fncón ctor n n sstm d s coordndos. Es dcr: δ

10 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy 0 A g q grdnt d n cmpo scr, drgnc d n cmpo ctor no s n conmtt, n soct, pro s s dstrbt. Es dcr: Est oprcón s d grn mportnc n fnómnos d trnsport, como rmos más dnt n st crso, y q n bnc d ms n stdo stconro d n fdo nwtonno ncomprsb stá ddo por drgnc d s ocdd. Cr d n cmpo ctor. Est oprcón s prodcto crz ntr oprdor nb y n fncón ctor n n sstm d s coordndos. Es dcr: ε dond pd rs q -ésmo componnt d ctor rstnt s: ε A g q con s dos oprcons ntrors, cr d n cmpo ctor no s n conmtto n socto, pro s s dstrbto.

11 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy Grdnt d n cmpo ctor Est oprcón stá dfnd por prodcto dádco ntr oprdor nb y n fncón ctor n n sstm d s coordndos. Es dcr: dond pd rs q componnt d tnsor d sgndo ordn rstnt d st grdnt s: Drgnc d n cmpo tnsor Est oprcón stá dfnd como prodcto pnto ntr oprdor nb y n tnsor q s n fncón n n sstm d s coordndos. Es dcr: δ Lpcno d n cmpo scr Está oprcón s rstdo d tomr drgnc d grdnt d n fncón scr. Es dcr: δ

12 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy L coccón d oprdors dfrncs oprndo sobr scr n rstdo d st oprcón s conoc como Lpcno, y s prs como: δ Lpcno d n cmpo ctor S dfn como drgnc d grdnt d n fncón ctor. Es dcr: δ dond pd rs q -ésmo componnt d Lpcno d ctor s. Torms ntgrs d ctors y tnsors Los sgnts torms srán d grn tdd n pntmnto y rsocón d probms d fnómnos d trnsport. L comprnsón d stos torms s fndmnt pr st crso. Torm d drgnc d Gss-Ostrogrds S V s n omn d contro confndo n n sprfc S, ntoncs: V S dv ds n

13 Crso nzdo d Fnómnos d Trnsport Dr. Jn Cros Frro Gonzáz Dprtmnto d Ingnrí Qímc Insttto Tcnoógco d Cy dond n s n ctor ntro norm q pnt prpndcrmnt hc fr d omn d contro. Estn otros dos torms smrs q pdn sr tzdos con frcnc: Torm d Stos V V dv S dv n ds S n ds S n sprfc S stá rodd por n cr crrd C, ntoncs: S n [ ] ds t dond t s n ctor ntro tngnc n drccón d ntgrcón sobr C, y n s n ctor ntro norm S. C dc Fórm d Lbnz pr dfrnccón d n ntgr d omn S V s n omn d contro mó dntro d n sprfc S, y s s ocdd d cqr mnto sobr dch sprfc, y s s n fncón scr d poscón y tmpo, y, z, t: d dt V dv V dv t s n ds s

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