Ecuaciones de Poisson y Laplace

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1 Elctc y Mgntsmo / Elctostátc Dfncón Los conuctos n lctostátc. mpo un cg puntul. plccons l Ly Guss Intgls supposcón. Potncl lctostátco Dfncón Intptcón. Intgls supposcón. Ecucons Posson y Lplc. oncons Intfs.oncons gul. Tom unc, tom l vlo mo. mpo y potncl léctco n puntos ljos: polo, momnto pol,... Polzcón mtls. Métoo ls mágns. stms conuctos. onnsos. Engí y Fuzs. EyM - J.L. Fnánz Jmbn Ecucons Posson y Lplc pu lg l potncl con ls nss cg, sí p mos sótopos: D D E ( E) ( ) E L cucón p mos homogénos, lnls sótopos cb l nomb Ecucón Posson: En l cso gons sn cg, l cucón Posson s uc l Ecucón Lplc: Tos sts cucons son sguno on. J.L. Fnánz Jmbn EyM - Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn

2 Elctc y Mgntsmo / olucons gnls con pnnc un únc coon En muchs stucons s pu supon n pm poxmcón qu l potncl sólo pn un coon: Es ntsnt conoc ls solucons cosponnts. tsns: y z x ( ) x E xˆ líncs: ϕ z z ϕ ϕ z ln ( ) ϕ ( ) E ˆ E ˆ ϕ ( ) z E z ; ; J.L. Fnánz Jmbn EyM - olucons gnls con pnnc un únc coon () Esfécs ϕ ϕ sn sn ϕ sn ˆ E lntg ˆ E sn ϕ ϕˆ E sn sn sn J.L. Fnánz Jmbn EyM -4 Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn

3 Elctc y Mgntsmo / oncons ntfs l Potncl, σ L cucón Posson, po s un cucón fncl, sólo s pu $n E, D, plc n puntos onos l spco: no s pu plc n ls ntfss Mo, σ nt mos. E, D, Es ncso obtn ls concons ntfs: Mo pt l concón p l componnt noml D : nˆ D D s En En s pt l concón p ls componnts tngncls E : nˆ ( E E ) ( Et E t ) ( ) ct t t s No obstnt, st últm concón pu mjos substnclmnt:... J.L. Fnánz Jmbn EyM -5 oncons ntfs l Potncl () Utlzno l un zon tnscón contnu nt mos cuyo spso n s hc tn co, scogn snos puntos y, uno n c mo y n l límt l zon tnscón, fom qu s cumpl: n ; En sts concons: y pusto qu los cmpos no s hcn nfntos: lm ( ) lm E l lm E l n, σ Mo E, D, En sumn, l potncl s contnuo n ls ntfss: Equvlncs nt concons ntfs: ( ) nˆ ( D D ) s s nˆ ( E E ) ( ) EyM - J.L. Fnánz Jmbn n $n σ Mo, E, D, E l ( ) [ ( ) ] [ ] n n E l Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn

4 Elctc y Mgntsmo / oncons Rgul n l Infnto. h o hcno hncpé n toos jmplos con stbucons mnsons fnts n qu l potncl tn l un cg puntul m qu l punto cálculo s lj l stbucón. q Q lm lm q Q 4 4 Q 4 Esto llv l llm oncón Rgul n l Infnto: lm K Pu xpss un concón sml p l cmpo léctco: ( ) q Qˆ lm E lm q 4 Q Q 4 4 lm E Kˆ J.L. Fnánz Jmbn Ls concons gul n l nfnto l cmpo y l potncl son quvlnts. on plcbls smp qu l mo n l nfnto s homogéno, lnl sótopo. EyM -7 Ejcco: potncl y cmpo un stbucón sféc un stbucón sféc cg ns y o. Dtmn l potncl y l cmpo poucos. Métoo Guss: () mpo n l gón xto: 4 D, 4 () 4 q E ˆ ˆ ˆ, 4 4 mpo n l gón nto: 4 D 4 E ˆ, El potncl n l gón xto: q E ˆ ˆ 4 El potncl n l gón nto: J.L. Fnánz Jmbn E ( ) EyM -8 Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn 4

5 Elctc y Mgntsmo / Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn 5 Po ntgcón ct l cucón Posson. El potncl sólo pn : Rgón xto:» Ecucón homogén > olucón gnl: Rgón nto:» Ecucón no homogén > olucón gnl ptcul: xcpto n l ogn coons. Hy cuto constnts tmn con ls concons contono. Ejcco: potncl y cmpo un stbucón sféc () EyM -9 J.L. Fnánz Jmbn oncons contono: Rgul n l nfnto: potncl nulo n l nfnto. El ogn s un punto ono: no tn qu hb snguls. No hy nss cg n : contnu l v Potncl contnuo n. Ejcco: potncl y cmpo un stbucón sféc () EyM - J.L. Fnánz Jmbn

6 Elctc y Mgntsmo / Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn Métoo potcons nfntsmls. En pncpo no s válo: qu mo homogéno. uponno mo homogéno l potncl n culqu punto s obtn mnt l xpsón: Rstngno l cálculo l j Z. (Qu pu n culqu ccón) Ejcco: potncl y cmpo un stbucón sféc (4) 4 ϕ sn () () x y z cos ˆ ˆ L cos sn cos sn 4 ϕ ϕ EyM - J.L. Fnánz Jmbn [ ] cos cos sn Ejcco: potncl y cmpo un stbucón sféc (5) En l gón xto En l gón nto hy qu scompon l ntgl n os tmos [,] y [,]: [ ] [ ] [ ] EyM - J.L. Fnánz Jmbn

7 Elctc y Mgntsmo / oncons p l unc l solucón l cucón Posson Qué concons hy qu plc l cucón Posson p qu su solucón s únc? Esqum:» upongmos os solucons un msmo poblm qu n pncpo s consn fnts:.. : ; :» onstuymos l scl uxl U U» logmos tmn bjo qu concons U, ntoncs, bjo ss msms concons: En lgunos csos hbá qu confoms con U ct ct Est mbgü no fct l unc l cmpo. U ct ct E ( ct) E J.L. Fnánz Jmbn EyM - Unc () onsno mos lnls, homogénos sótopos: Punto pt: [ ( U ) U ] U U U ( U ) U U U J.L. Fnánz Jmbn Po l fncón U, U: plcno Guss: s consgu most U U qu bjo cts concons: Entoncs, n ss msms concons U ( U U ) ( U U ) U U U U > U U Objtvo: usc ls concons contono qu hgn qu: U n ct EyM -4 Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn 7

8 Elctc y Mgntsmo / Unc (): Dchlt y Numnn. U n sob pt l contono s spcfc l vlo qu b tom l potncl: D F ( u, u ) ( u, u ) ( u, u ) D U F D D F Est s l cso conuctos potncl conoco. sob pt l contono s spcfc l vlo qu b tom l v l potncl: N G u (, u ) (, u ) N (, ) N G u u N G u J.L. Fnánz Jmbn EyM -5 Unc (4): Rgul n l nfnto. n pt l supfc qu lmt l gón stuo s l supfc l nfnto y n ll s vfc l concón gul: Ω ct lm ct lm ct lm ct lm snϕ Ω U ct lm lm U U ctu U lm ct U lm U Ω J.L. Fnánz Jmbn EyM - Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn 8

9 Elctc y Mgntsmo / Unc (5): onucto cgo y slo. U n pt l supfc s un conucto slo y cg conoc: q q U U $n U U q σ J.L. Fnánz Jmbn EyM -7 Unc (): onclusons. n toos los puntos l supfc qu lmt l cnto s mpon un y sólo un ls concons:» Dchlt.» Numnn.» Rgul n l nfnto.» onucto cg conoc. ntoncs: U U U ct ct Y l solucón l potncl sá únc slvo un constnt tv. lgun ls concons s l tpo Dchlt o Rgul n l nfnto, ntoncs l constnt s nul. s mpon más un concón n un punto, pu qu l poblm no tng solucón. J.L. Fnánz Jmbn EyM -8 Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn 9

10 Elctc y Mgntsmo / Poblm. Juno 99 (onv. On) stm os conuctos sfécos. El nto s mczo y l xto huco. Exto t. Dléctco nto cgo. c b uáno hy solucón únc? ) on los tos ntos. b) uno l nto stá scgo. c) uno l cg totl s nul. ) uno l cg totl s nul y l nto stá t. ) uno l conucto nto stá pusto t y scgo. Rsolv lo qu s pu. J.L. Fnánz Jmbn EyM -9 Tom l lo Mo. Enunco: En un gón homogén sn cgs l vlo mo l potncl n un supfc sféc s gul l potncl n su cnto. Escogno l ogn coons n l cnto l sf s clcul l vlo mo l potncl sob l sf o R: R snϕ ϕ ϑ ϕ snϕ 4R 4R 4 ϑ v spcto R y sult qu l v s nul: R 4 4R J.L. Fnánz Jmbn snϕ sn 4 R ϕ ϑ R R ϕ ϑ R 4R q 4 E 4 D R R 4 ϕ» L cg nc po l sf, q, s y qu s tt un gón sn cgs. El vlo mo s npnnt l o l sf. omo p R l sf gn n su cnto, l vlo mo conc con l vlo l potncl n l punto y qu mosto l tom. R EyM - Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn

11 Elctc y Mgntsmo / Tom l vlo mo. plccons El potncl n un gón sn cgs no pu tn n máxmos n mínmos: n un punto l potncl tuv un máxmo (mínmo) ntoncs:» El potncl n cho punto s myo (mno) qu n su ntono.» Exstí un sf cnt n s punto tl qu l vlo mo l potncl sob ll sí mno (myo) qu n su cnto. Lo qu contc l tom l m: Lugo s flso qu xst un máxmo o un mínmo. no hy cgs n l nto un supfc qupotncl, l potncl s constnt n su nto. no fu constnt, hbí l mnos un máxmo o un mínmo. Po, p no contc l tom l m, no pu hb n máxmos n mínmos. Lugo l potncl b s constnt. J.L. Fnánz Jmbn EyM - Potncl Escl, Ecucons Posson y Lplc. oncons font. Unc. Págn

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