Prof. Ilia D. Mikhailov
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- Vicenta Rojas Casado
- hace 5 años
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Transcripción
1 MECANICA CLÁSICA (Ml áo p los suns) Pof. Il D. Mhlov Cpulo I DESCRIPCION DEL MOIMIENTO. Dspón l Movmno Un Píul... M Rfn Ssms Coons... Dspón l Movmno n Coons lons on l To... Movmno Cul..4 lo lón n Coons pols..5 Dspón l Movmno n Coons Cuvlíns..6 lo lón n Coons líns sfés... M Rfn Ssms Coons. -Cnmá su l movmno omo l. Poblm pnpl nmá onss n nl l movmno n lbo los méoos spón un movmno un píul o un ssm píuls n l spo n l mpo. -En mán lás s ons u ulu movmno su n l spo mnsonl soópo homogéno ulno - En mán lás s ons u l mpo s bsoluo s s un pámo u onnumn s l pso h l fuuo s homogéno (gul n oos punos l spo) no pn l movmno l m. - Ls píuls (o upos ígos) s muvn un spo os s ls sns n éss vín. S un píul (o un upo) s om omo un Mo Rfn ononlmn s ons omo nmóvl nons l movmno os os píuls spo s s ons omo un movmno bsoluo. Ssm oons lon (s s) on l píul (upo) nmóvl s llm nmóvl (bsolu) n so ono uno s ssm s lon on un píul (upo) n l movmno s llm ssm oons móvl. - Un onuno los punos ls susvs posons un píul n l movmno s llm o. Poblm funmnl nmá s hll l fom pl spón l o vlos lons os íss nmás l movmno un píul o un ssm píuls. os fns mns spón un movmno: vol n oons. ) Méoo vol spón un movmno. S s ons un movmno un píul P spo o píul O (Fg.) u ononlmn s om omo nmóvl l vo l puno P spo puno pu s fno omo un vo-funón L v spo l mpo s llm l vlo l píul P: Fg. () L vlo n ulu puno o s on lo lgo l ngn l uv n s puno.
2 L v () s llm lón l píul P b) Méoo spón un movmno n oons. S OXYZ (Fg.) un ssm Coons Csns nmóvl (lon on l upo O) s vos unos lo lgo los s X Y Z nons vo-funón pu s psn po mo s funons sls - oons l puno P: Fg. () El vlo bsoluo l vlo l ón l spo los s son: (4) El vlo bsoluo l vlo sus ángulos on ls s oons s fnn po mo ls lons: D mn sml s nunn los omponns l vo lón (6) su vlo bsoluo ls ons: Emplo: Coons un píul P vín on l mpo uo on ls fomuls: A b Asnb on A b son onsns. álls l o l vlo lón l píul n funón l mpo. Soluón: D ls os pms lons s v u ls oons sns n ulu momno l mpo umpln l lón: A. Eso sgnf u l píul s muv sob l supf un lno l o l l ul on on l Z. S l ángulo n l poón OA l vo OP sob l plno XOY l OX (Fg. ) nons A A sn b b. Po onsgun l OA s o unfommn mns l puno P s spl unfommn h b lo lgo l AP l o s un spl l o A.Dfnmos l vlo l píul P. Sgún ls fomuls (4) (5) nmos: (5) (7) Ab snb Ab b A b El vlo bsoluo l vlo s un onsn mns u l ón l vlo ví on l mpo: Ab snb Ab b A b A b Dfnmos l lón l píul P. Sgún ls fomuls (6) (7) nmos: A b Fg.
3 Ab b Ab snb Ab El vlo bsoluo l lón s un onsn smp s on lo lgo l noml no PB (Fg.) s l puno B h l puno B pllo AO. Los ngulos on los s ponns s fnn vés ls fomuls: b snb Poblms. ) En un movmno unmnsonl l oon un píul ví on l mpo sgún l fomul:. álls ls fomuls p l vlo lón. ágs los gáf l vlo lón n funón l mpo p fns vlos. Qu po movmno sbn ss fomuls? Anlís l so lm uno. ) En un movmno unmnsonl l oon un píul ví on l mpo sgún l fomul: g. álls ls fomuls p l vlo lón. ágs los gáf l vlo lón n funón l mpo p fns vlos. Qu po movmno sbn ss fomuls? Anlís l so lm uno. ) El movmno un pol n Coons Csns s sb vés fomuls: sn g ( ). álls ls fomuls p los omponns l vlo l lón vlos bsoluos l vlo lón l ángulo u fom l vlo on OX. Anlís l so lím uno... Dspón l Movmno n Coons lons on To. Consmos un o un píul P u s po un uv L n l spo (Fg.4) on A s un puno posón l píul n l momno nl.como pámo mnn l posón píul sob l o s pu om no l mpo mo p l no movmno s puno A no l longu l o s l uv (l oo) m s l puno A hs l puno P. El ovo l puno P pu onss no un funón l mpo () Fg. 4 omo l oo (s). Inoumos s vos unos n b u fomn un h (Fg.4) s n b. Los vos n sán ubos n l plno l o n l puno B sán onos spvmn lo lgo l ngn n l sno mno l o n l ón l noml pnpl l uv n l sno su onv. El o vo l píul P pu onss omo pu onss omo un funón ompus l mpo : ( s ). Dl uso gomí fnl s sb u los vos unos nouos nomn sán lonos n s on l o vo po mo ls sguns lons(v mosons plons n l Apén Mmáo l fnl s páfo): s s n () s s R
4 on R s l o uvu l o n l puno P. Ulno ss lons s pu non los vos vlo lón: s s s s s s n R L fomul () mus u l vo vlo smp s ono lo lgo l ngn l o l vlo bsoluo l vlo pu luls omo l v l oo spo l mpo. Dl fomul () s v u l vo lón smp s ubo n l plno os vos n pu psns n l fom sgun: s n n n (4) R D s mn l vo lón n oons lons on l o pu onss omo un sum l lón ngnl lón noml n. L fomul (4) ps l om ugns sob somposón l lón n os omponns ngnl noml. L lón ngnl l p vón l moulo l vlo mns u lón noml l p vón l ón l vlo. El vlo bsoluo l lón s fn vés ss os omponns omo: n (5) Emplo. L o un píul s po fomuls: o l o uvu n funón l mpo. Soluón. A A Coons ssfn l lón po so l o s un B lps (Fg.5). P hll l o uvu ulmos l lón: 4 n R. (6) R Po oo lo s () () Bsn. lls l fom s A sn B A sn B (7) A B sn (8) A B sn (9) A sn B Al susu (7)-(9) n (6) s obn un psón fnl p l o uvu: R A sn B AB Pulmn n los punos mos l lps suos sob OX (on =) R=B /A suos sob OY(= / /) R=A /B Apén Mmáo. Dmosón lons () gomí fnl. Tom. Al v l o vo spo l sl s l oo lo lgo o s obn un vo uno s go sgún l ngn l o n l sno mno s. Fg.5 4
5 Dmosón. El nuvo vo s pu fn omo lm on n l Fg.6 s s AB s longu u mns u s AB s longu l o. Es sbo u l lón n l u u subn l o l longu l o n uno l longu s úlmo s pom o. Po onsgun s l vo s un vo uno. Amás s pu v s Fg. 6 u l ón l vo uno on l ón l u s pom l ón ngn uno s. Tom. L v un vo uno l spo l mpo s un vo ppnul l gul n moulo su vlo ngul oón. Dmosón. S un vo un vo uno nons su v s fn omo. lm lm Como l vo uno n l poso su vón onsv su longu nons l solo mb su ón omo s v l Fg.7 los vos () ( ) fomn un ngulo OAB sósls. Po so l longu l vo Fg. 7 s gul sn OA sn puso u OA. El moulo l v l vo () s nun sn omo un lím: lm lm Cuno l vo s h ppnul l vo () po so l v l vo () s ppnul l s. Tom. S l vo (s) s l vo uno ngn l o s s l oo lo lgo s o s nons l v s vo ssf l gul n on R s l o uvu n s un vo s R uno ono lo lgo l noml pnpl. Dmosón. Tnno n un u l o uvu s fn omo s obn s n n n n s s s s R R Poblms. ) El movmno un pol n Coons Csns s sb vés fomuls: sn g ( ) Fg.6 s R ulno l sulo l Tom. álls ls fomuls p ls lons ngnl noml ol l o uvu l o n funón l mpo. Anlís l so lm uno. 5
6 ) To un píul s un lps / A / B. El vo lón n oos punos l o s pllo l OY. álls lón ol ngnl l. ) álls ls psons nlís p s vos unos un ssm oons nul (lonos on l o n b ) n émnos los vos vlo lón s s umpln ls onons 4) álls l o uvu l o R s sán os los vos vlo lón. 5) Un píul lo lgo su o n lón on s l o vo ons. L vlo nl l píul fu gul. )álls l fomul p l o uvu. b) Dmuéss u l o l píul s ub sob un ono ul. 6) Un píul n un o n l plno XOY. En momno l mpo s onon l vlo l píul () l o uvu R(). Dmuéss u l o =() =() ssf l sgun ssm uons fnls: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ R( ) Ulno s sulo nuéns l o =() =() s s pnn l mpo l vlo ()=A l o uvu R=B s n l momno nl = píul nó l movmno s l puno ( ) uno su vlo fomb l ángulo on l OX... Movmno Cul S un píul pp n un movmno ul lo lgo un unfn l o R nons l oo s s lono on l ángulo (Fg.8) vés lón s=r. En s lón l ángulo s ons omo funón l mpo l o omo un onsn. Ulno ls lons ()-(4) l páfo no s obn: R R n n Rn () Fg. 8 R Ls íss ps vés ss os íss omo s llmn vlo ngul lón ngul spvmn. L lón ol s 4 R () El.ángulo n lons ol noml s nun vés l lón: g () n Poblms. ) Dmuéss u p un movmno ul on un vlo onsn s umpl l sgun lón n los vos vlo lón:. Como s l ón l vo su vlo? )L o un píul s un unfn l o R. L lón n o l o fom on l vlo un ángulo onsn gul (/) En uno mpo l vlo l píul s nmn n n vs s su vlo nl s? 6
7 ..4 lo lón n Coons pols S l movmno un píul s l n l plno XOY l o pu sbs no n ls oons sns () () omo n pols =() = (). S n l puno P l o un vo uno ono lo lgo l o vo n sno su mno l vo u s obn vés oón l vo l ángulo / n l sno ono ls mnlls l lo (Fg.9) sos os vos fnn ls ons os s ppnuls Fg. 9 n s u s llmn l l l nsvsl. En ssm oons XOY los vos psns omo: sn sn pun () Como oons sns sán lons on ls oons pols vés fomuls = =sn nons omponns l vlo n ls oons XOY son: sn sn () Smlmn s nunn los omponns l lón: sn sn () Ls poons l vlo () sob s pn luls omo los pouos sls los vos () (): s llmn spvmn ls vlos l nsvsl ls uls (4) P ls poons l lón s obnn ls fomuls mn sml: (5) Emplo. L o un píul s n oons pols vés ls fomuls: A B on A B son onsns. lls l fom s o l vlo lón l píul n funón l mpo. Soluón. Eluno ls fomuls l mpo s obn l fomul p l o fom plí n oons pols =A/B u sb un uv u s llm l spl Auíms (Fg ). Ls vs l oon l ángulo son: A B Sgún ls fomuls(4) ls vlos l nsvsl ol son guls: n A AB A B Fg. D mn sml s obnn ls lons ponns: AB AB AB 4 B Poblms. ) En l o un píul u s muv n l plno XOY l ángulo n los vos l vlo l o n oos momnos l mpo s l msmo gul. álls l o l píul n ls oons pols s n l momno nl ( ) (). 7
8 ) L o un píul s n ls oons pols. ( ) ( ). Dmuéss u n l so uno l vlo sol s un onsn ( ons ) l vo lón l o vo son pllos. ) Un pln n un ob n fom un lps u s sb n ls oons pols vés l uón p / on p son pámos. álls ls lons l nsvsl n funón ulno l l onsvón ls ás ( ons ). 4) Un píul n ls oons pols n los omponns l vlo l / / nsvsl A on A s un onsn. L posón nl l píul s n los oons pols ()= () =. álls )l o l píul =() b) los omponns l nsvsl l lón ) los omponns ngnl noml l lón. 5) Un píul s muv n un plno on un vlo l onsn C on l lón l / A. L posón nl l píul s n los oons pols ()= () =.. álls l o l píul =()..5 Dspón l Movmno n Coons Cuvlíns El nálss lo n l páfo no mus u l movmno un píul pu s fn no solo vés ls oons sns sno mbén n oons pols. En l so gnl ulu onuno s númos u fnn l posón l píul n l spo pun onss omo ls oons s píul. Esos númos n l fn on ls oons sns nguls s llmn oons uvlíns. Culu o n ss oons s fn vés s funons ( ) L lón n oons sns uvlíns s fn vés ls guls: ) ( ) ( ) ( ) () ( on ls funons ( ) ( ) ( ) s onsn omo onoos oblmn fnbls. En s so l vo o s ons omo un funón ompus l mpo ) ( ( ) ( ) ( )). S un puno P lgún puno un o nomos sus oons uvlíns omo (Fg. ). Dfnmos omo pm lín oons l uv ) u s ( obn s () l f ls oons vno l oon no un nvlo n vn l vlo. Smlmn s fnn omo l sgun líns oons ls uvs ( ) ) (v Fg. ). Ls ngns ls s líns oons ( ( Fg. n l puno P s llmn s oons on los vos unos onos lo lgo sos s u fnn vés l sgun psón: ( ) ( ) ( ) on los vlos s llmn ofns Lm o ofns mé: () 8
9 ( ) ( ) ( ) () Un ssm oons fn vés s vos l bs () s llm ssm oons uvlíns. En l so uno s vos son oogonls l ssm oons uvlíns más s llm un ssm oogonl. En l uso mán ó s onsn solo oons uvlíns oogonls. Culu vo n s ssm oons pu s fno vés sus s poons sob los s : A A A A A ( A ) (4) Enonmos ls poons los vos vlo lón sob los s ls oons uvlíns. L vlo pu onss omo un funón ompus l mpo () ( ( ) ( ) ( )) Po so ulno l fnón los vos () ofns Lm () nmos: Po oo lo sgún l fnón (4) Aho ompno (6) (7) s nunn ls fomuls p ls poons l vo vlo sob los s ls oons uvlíns (8) P non ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns nomos u sgún l fnón (4) ls poons l lón son guls l pouo sl (5) (6) (7) pun psns n l fom sgun: (9) El sguno émno s psón l v l spo l mpo pu nsfoms mn sgun: () L úlm gul uí s obn vés l vón mbs ps l fomul (6) spo l vbl lo vno ls mbs ps l gul (6) spo s obn:. Po oo Aho susuno () () n s nun l fomul fnl p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns () 9
10 () Es fomul pu psns n un fom más omp: T T T ()..6 lo lón n Coons líns sfés. En oons líns s númos u fnn l posón l píul n l spo son l sn s l ogn l poón sob l plno XOY (Fg.) l ángulo pol oon. L lón n oons sns oons líns s po ls fomuls: Fg. sn () El vo o n ls oons líns s o po ls lons: sn () Enons los ofns mé son: sn sn () Los vos unos l bs lo lgo los s s oons líns sgún ls fomuls () () son guls: sn sn () Es fál vf u los vos son oogonls s sus pouos sls n s son guls o s msmo son guls uno. Aho ulno ls psons () p los ofns mé l fomul (8) l páfo no p ls poons l vo vlo sob los s ls oons uvlíns (4) P u ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns lo pmo h u non l funón T fn vés l fomul () l páfo no ulno l pop l oogonl los vos : T (5) Susuno l psón (5) p l funón T n l fomul () l páfo no s nunn nsgu ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns : (6)
11 Emplo. Un píul s muv n l spo l mn u sus s oons líns vín lnlmn: C B A. lls l vlo ol lón ol l píul. Soluón. Sgún ls fomuls (5): C AB A l vlo ol s gul: C B A A Ulno ls fomuls (6) s fál non los omponns l lón n oons líns: AB AB l lón ol B AB B A B A En oons sfés los s númos u fnn l posón l píul n l spo son l sn s l ogn (Fg.) l ángulo mul l ángulo pol. Fg. L lón n oons sns oons sfés s po ls fomuls: sn sn sn (7) El vo o n ls oons líns s o po ls lons: sn sn sn (7) Enons los ofns mé son: sn sn sn sn sn (8) sn sn sn sn Los vos unos l bs lo lgo los s s oons sfés sgún ls fomuls (7) (8) son guls: sn sn sn sn sn sn (9) Es fál vf u los vos son oogonls s sus pouos sls n s son guls o s msmo son guls uno. Aho ulno ls psons (8) p los ofns mé l fomul (8) l páfo no p ls poons l vo vlo sob los s ls oons uvlíns
12 sn () P u ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns lo pmo h u non l funón T fn vés l fomul () l páfo no ulno l pop l oogonl los vos : sn T () Susuno l psón () p l funón T n l fomul () l páfo no s nunn nsgu ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns : sn sn sn Emplo. sn Un píul s muv n on un vlo onsn sob un sf l o R. L píul n su movmno n l uo l ón su vlo smp fom on los mnos l sf l msmo ángulo (s uv s llm looom). lls l uón l movmno l píul l mpo nso p u píul llg hs l polo l sf. Soluón. L posón un píul sob s sf s fn vés os oons ngul R Rsn (Fg.4) Sgún ls fomuls (): Fg. 4 () L o l píul pu fns pmémn o n un fom plí. Como l puno p l píul s ubo sob l uo nons pomos om ls sguns onons nls: (4) suponno u un l movmno l píul l ángulo s hs o l v (movmno n l sno ls mnlls l lo). Como sgún l onón l poblm l ón l vo vlo fom on los mnos (ls lns oons g ons ) l ángulo nons s umpl l lón (l sgno mnos n s gul s b u n l Fg.4 l vlo mno l ángulo ). Susuno n s gul ls fomuls () nno n un u sgun uón fnl: sn g n l ón on l Soluón s uón s nun nsgu spno ls vbls ngno mbs ps gul: g p g s obn l () (5) (6)
13 S v u s uón ssf l onón nl uno sgún (6) g po so. Po oo lo sgún l fomul (6) l ángulo s nul (onón p u píul llg l polo) solo uno l ángulo s h gul s l looom l un númo nfno vuls ános l polo. Po l longu ol looom s fn pu luls ulno l sgun psón p l longu un lmno nfnsml l looom: s susuno n s fomul ls psons (8) p los ofns mé nno n un u sgún l uón fnl (5) l v sn g s obn: R R R s R g s Tnno n un u l vlo un oo l movmno s onsn snun l mpo l oo: R Poblms. ) L o un píul n un ssm oons uvlíns oogonls s vés s n funón l funón l vo o pnns oons mpo. álls l fomul p l o uvu l o n funón l mpo. ) Un píul s muv sob un supf un sf l o R l mn u sus oonos nguls vín on l mpo lnlmn. uvu l o. A B. álls omo vín on l mpo l vlo lón ol ) P ls sguns ssms oons síbs líns oons hálls ls fomuls p los ofns Lm vos unos bs omponns ls vlos lons: Emplo )Coons lno pbólo: vés lons: sán lons on oons sns b) Coons lno lípo: sán lons on oons sns vés lons: lípo:. Los lms p ls oons lno ) Coons pbóls: sán lons on oons sns vés lons: / P l ssms oons lno lípo ls oons oons sns vés lons: sán lons on. Los lms p ls oons lno lípo: )Dsíbs líns oons )álls )ls fomuls p los ofns Lm b)vos unos bs )omponns ls vlos lons:
14 4 ) S un puno P on ls oons s líns oons u psn vés s puno nn uons. Consmos ss uvs po spo. L pm uv n sgun fom pmé:. Como los pámos ss uons s pu psn mn sgun: / /. Eluno l pámo ls pms os uons nmos l uón plí p pm lín oons: / / Eso s l uón un hpébol n l plno pllo XOY (v Fg.5) Fg.5 Líns oons vos unos bs p ls oons lno lípo Smlmn s obn l uón p sgun lín oons:. P obn l fom l uv n un fom plí psnmos ss uons n fom: / / Fnlmn l fom plí l sgun lín oons s un lps: / / T lín oons s un vl (Fg. 5) ) P non ofns Lm pmo h u lul ls vs pls: ) Enonmos ofns Lm:
15 5 b) Los vos unos l bs lo lgo los s s oons lno lípo son guls: Es fál vf u los vos son oogonls s sus pouos sls n s son guls o s msmo son guls uno ) Aho ulno ls psons nonos p los ofns mé s pu obn fálmn fomuls p ls poons l vo vlo sob los s ls oons uvlíns P u ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns lo pmo h u non l funón T ulno l pop l oogonl los vos T Susuno s psón (5) p l funón T n l fomul () l páfo (..5) s nunn ls fomuls p ls poons l vo l lón sob los s ls oons uvlíns T T ) ( T T
un vector unitario orientado a lo largo del radio vector r en sentido de su crecimiento y e
.. lo lón n Coons pols S l movmnto un ptíul s l n l plno XOY l tto pu sbs tnto n ls oons tsns (t) (t) omo n pols =(t) = (t). S n l punto P l tto un vto unto onto lo lgo l o vto n snto su mnto l vto u s
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En este documento se presentan los estándares de Educación Básica de 7º a 9º grados, en las áreas de Matemáticas y Español.
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2. Conversión de Coordenadas.
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INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES
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10. ANÁLISIS SENOIDAL POR FASORES
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