x x 1) Resuelve las siguientes ecuaciones: 2) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: d) 3 9
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- Gonzalo Sáez Valdéz
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1 Pnnts ºB CCNN Ejros Euons Inuons Rsulv ls sgunts uons: Rsulv ls sgunts uons ponnls: Rsulv ls sgunts uons logrítms: log log log log log log log log log log log log Utlzno l métoo Guss, rsulv los sgunts sstms uons lnls qué tpo son: z 7 z 0 z 6 z z z 6 z z 8 z 6 6 z 6 z 6 z z t t t 6 z t z t 6 z 0 Rsulv ls sgunts nuons: Rsulv los sgunts sstms nuons: Ls trs rs un númro sumn 8. S s númro s l rst l qu rsult nvrtr l orn sus rs, s otn ; l r ls ns s m rtmét ntr ls otrs os. Hll o númro. 8 Ls s un ml orm por los prs un j sumn 86 ños. Hll l uno llos sno qu l l mr s trpl l l j, ls s l pr l j rn n 6 ños.
2 Pnnts ºB CCNN Ejros Trgonomtrí I Sno qu os qu l ángulo stá n l sguno urnt, ll ls más rzons trgonométrs. Sno qu tg qu 80º < < 70º, lul ls más rzons trgonométrs. Clul ls más rzons trgonométrs un ángulo A u tngnt s postv sn A Smpl ls sgunts prsons trgonométrs: tg otg os sn s tg tg tg sn mustr, orm rzon, s son o no rts ls sgunts guls: tg tg tg tg otg otg sn os os sn tg tg sn sn 6 Rsulv uno los sgunts trángulos: C A = º, = 0 m, = 60 m. C = º, = 0 m, = 6 m. C = 70º, = 0 m, = m. = 8 m, = m, = 0 m. A = º, C = 7º, = 0 m. A B 7 s os puntos A B stuos n l msm orll un río stnts ntr sí 80 m, s osrv un punto C, stuo n l orll opust, jo ángulos 60º º, rsptvmnt. Clul ls stns s los puntos A B st l punto C. 8 En un trpo sósls onomos l gonl, qu m m; l lo oluo, qu m m; l ángulo qu st orm on l s mor, qu s 60º. Hll l ár l trpo. Un ntn ro s osrv s os puntos l sulo spros ntr sí 0 m. Los ángulos qu ls vsuls ormn on l orzontl son 7º º. Clul ls stns ntr punto osrvón st l prt supror l ntn. trmn l ltur l ntn.
3 Pnnts ºB CCNN Ejros Trgonomtrí II Sno qu sn qu tg 7, qu 70º < < 60º 80º < < 70º, lul sn utlzr l lulor : sn os tg Sno qu sn, ll ls rzons trgonométrs 0º. mustr qu os os os sn os sn. Sno qu tg A, qu A s un ángulo uo sno osno son ngtvos, lul ls rzons trgonométrs l ángulo A. Sno qu tg A, ll tg A. 6 Smpl ls sgunts prsons: sn os sn os : sn os tg 7 Compru qu os tg tg 8 Rsulv ls sgunts uons trgonométrs: sn tg os Rsulv ls sgunts uons trgonométrs: sn os sn sn sn tg 0 Rsulv ls sgunts uons trgonométrs: sn os s tg 0 6os os
4 Pnnts ºB CCNN Ejros Compljos Sno qu u =, v =, w = +, lul: u + v w u + v u v w w u Rsulv ls sgunts ustons: u v w Hll on l onón qu + s mgnro puro. Enuntr on l onón qu + s un númro rl. trmn l númro rl pr qu l ont s un númro rl. Esr tos ls orms posls los sgunts númros ompljos: + + º 0 º º Etú ls sgunts oprons, prsno los rsultos n orm nóm: 0º º º : º 0 8º : º 0º º Eprs l rsulto ls sgunts oprons n orm polr: 6 Clul ls sgunts rís: Hll tos ls soluons ls uons: z z 0 z 8 0 z 6z 0z Rsulv ls sgunts ustons: trmn pr qu l móulo l ont : s 6. L sum os númros ompljos onjugos s, l sum sus móulos s 6. qué númros ompljos s trt? El númro s un ríz ú un númro ompljo; lul ls otrs rís l númro ompljo. 0 Hll ls oorns los vérts un ágono rgulr, ntro n l orgn, sno qu uno sus vérts s l jo l númro ompljo 80º.
5 Pnnts ºB CCNN Ejros Gomtrí Anlít os los vtors v, ; w,, u : v, w, u El osno qu ormn os os Un vtor norml w Hll, n tos ls orms qu onozs, ls uons ls rts n uno los sgunts sos: Ps por l punto A, tn por vtor rtor v,. Ps por los puntos P, Q,. Ps por l orgn oorns tn pnnt m =. Ps por l punto, s prll l strz l prmr urnt. l rt uón 6 + = 0, sríl n orm ontnu, prmétr, vtorl plít. Estu l posón rltv uno los sgunts prs rts: r : 0 s : 6 0 r : s : 0 r : s : Hll l uón l rt qu ps por l punto ntrsón ls rts 0,, s prll l rt 0. 6 L rt uón s mtrz l sgmnto AB. Sno qu A tn oorns, 0, ll ls oorns l punto B. 7 Hll l uón l mtrz l sgmnto qu s orm n l rt 0 uno st ort los js oornos. 8 os los puntos A, B, l rt 0, ll: El smétro l punto A rspto l punto B. El smétro l punto B rspto l rt. Hll ls uons ls rts prlls 0 qu stn ll uns longtu. 0 Un trángulo rtángulo n A tn os vérts n los puntos B, C, 0. Hll l vért A sno qu stá stuo n l rt 0. Un trángulo sósls tn por lo sgul l sgmnto qu un los puntos,,. El otro vért stá stuo sor l rt 0. Hll ls oorns st vért l ár l trángulo. trmn ls uons ls runrns qu umpln ls onons sgunts: Tn por ntro l punto, s tngnt l rt. Ps por los puntos A,, B0, C,. Ps por los puntos P, 6 Q, tn su ntro n l rt 0. Hll l lugr gométro los puntos l plno qu qustn ls rts 0, 0.
![Pnnts ºB CCNN Ejros Funons Estu l omno ls sgunts unons_ Estu l omno ls sgunts unons: g 6 j uj ls grás orrsponnts ls unons qu vrn ls sgunts onons: om =, ] U [, + ; Im =, ]; mámos rltvos n los puntos,,.](/docs-images/80/82438397/images/6-0.jpg "om = ; Im = [0, + ; smtrí rspto l j oorns, mámo rltvo n l punto 0,, mínmos rltvos n,0 n,0. om = ; smtrí rspto l orgn oorns; ot por, lnzno l unón mos vlors; mínmo rltvo n,, mámo rltvo n,.")
6 Pnnts ºB CCNN Ejros Funons Estu l omno ls sgunts unons_ Estu l omno ls sgunts unons: g 6 j uj ls grás orrsponnts ls unons qu vrn ls sgunts onons: om =, ] U [, + ; Im =, ]; mámos rltvos n los puntos,,. om = ; Im = [0, + ; smtrí rspto l j oorns, mámo rltvo n l punto 0,, mínmos rltvos n,0 n,0. om = ; smtrí rspto l orgn oorns; ot por, lnzno l unón mos vlors; mínmo rltvo n,, mámo rltvo n,. Estu ls smtrís ls sgunts unons: 6 g j k os s ls unons, g, trmn ls sgunts unons on sus rsptvos omnos: g g / g g o g o g 6 s ls unons, g,, lul: 7 S l unón o g o o g o o g. Compru qu o o. 8 Sno, g, lulr l vlor pr qu l omposón ms s onmuttv, s r: o g g o A prtr ls grás ls unons áss, pl ls grás ls sgunts unons: sn g os sn j k
7 Pnnts ºB CCNN Ejros Límts Contnu Clul los sgunts límts: lm 7 lm 7 Clul los sgunts límts: lm lm 0 Clul los sgunts límts: lm lm 8 lm 7 lm lm lm lm Clul los sgunts límts: lm Clul los sgunts límts: lm lm 7 lm lm lm lm lm 6 Estu l ontnu ls sgunts unons: g 6 j tg 7 Estu l ontnu ls sgunts unons ns trozos: s s s s s s 8 Estu l ontnu l unón n =. En so prsntr un 6 sontnu vtl, rínl pr qu s ontnu n =. trmn l prámtro k pr l ul un ls sgunts unons s ontnu n su omno nón: k s s g k s s
8 Pnnts ºB CCNN Ejros rvs Hll ls uons ls rts tngnt norml l urv 0 n los puntos on st ort l j ss. En qu punto l urv l tngnt s prll l strz l prmr urnt? l unón ll pr qu tng un tngnt pnnt 6 n l punto,. L urv ps por l punto P, 7 s tngnt n l orgn oorns l strz l sguno urnt. Hll l uón l urv. l unón, lul 0. 6 Clul l rv n-ésm l unón. 7 Clul ls rvs ls sgunts unons: 8 Clul ls rvs ls sgunts unons: rtg tg tg g os os sn sn sn sn Clul ls rvs ls sgunts unons: os os sn g tg rtg os os sn sn
9 Pnnts ºB CCNN Aplons l rv Hll los ntrvlos rmnto rmnto ls unons sgunts: 6 g trmn los mámos mínmos ls sgunts unons: 6 8 Hll os númros u sum s 6 uns l prouto uno llos por l uro l otro s mámo. S s onstrur l mro pr un vntn rtngulr qu tng, m luz. S s qu l ost l mro s uros por mtro lto uros por mtro no. Hll ls mnsons l vntn mro lo más rto posl. Qué mnsons tnr un otll línr ltro p pr qu s utl n su onstruón l mnor nt mtrl posl? 6 Hll l volumn mámo toos los lnros nsrtos n un sr 0 m. ro. 7 L sum tos ls rsts un prsm rto s ur s 8 m. Hll ls mnsons pr qu l volumn s mámo. Qué vlor lnz st volumn mámo? 8 Estu l onv ls sgunts unons: g Hll los puntos nlón ls sgunts unons: 8 g 6 0 Hll,, pr qu l unón tng un mámo rltvo n 0, un punto nlón n = L unón q p tn un mínmo qu vl pr =. Hll sus mámos mínmos, s s qu los tn, su punto nlón. Rprsnt grámnt un ls sgunts unons:
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c. C=(c ij )=i-j [0] b. B=(b ij )=mín(i,j) [1] x x
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