IES Real Instituto de Jovellanos de Gijón 1º de Bachillerato Matemáticas I (Modalidad de Ciencias y Tecnología) CONTENIDOS PENDIENTES DE SUPERAR

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1 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 IES Rl Instituto d Jovllnos d Gijón º d Bhillrto Mtmátis I Modlidd d Cinis y Tnologí CONTENIDOS PENDIENTES DE SUPERAR Contnidos Comuns Dsrrollr ls trs d mnr ordnd, uidndo l prsntión, vlorndo rítimnt los rsultdos vlorndo l mdurz nsri pr nrntrs on situions nuvs rgumntndo on rátr gnrl los prodimintos dptdos y usndo orrtmnt l trminologí dud. Usr on provhminto un luldor intíi usndo l mmori y los préntsis ronoindo n ll ls distints unions studids durnt l urso. Usr sotwr mtmátio spíio hoj d álulo, sistms d rprsntión d ojtos mtmátios, d álgr omputionl y d gomtrí dinámi, pr ordr álulos ompljos sí omo pr prsntr rsultdos y gráios d orm trtiv y lr y n gnrl todos qullos rursos inormátios qu s utilin pr l dsrrollo d ontnidos qu tngn rátr d mínimos. Aritméti y Álgr Utilizr l notión intíi pr prsr ntidds muy pquñs y muy grnds y pr rlizr álulos ontrolndo los márgns d rror ords on ls situions studids. Conor l onpto d vlor soluto d un númro. Oprr, simpliir y rionlizr rdils. Conor l unidd imginri i Sr rprsntr un númro ompljo n orm inómi. Sr sumr, rstr, multiplir, dividir y hllr potnis ntrs d númros ompljos n orm inómi. Ddo un n ompljo sr lulr su módulo y rgumnto. Sr psr un n ompljo srito n orm inómi orm polr y vivrs. Sr multiplir, dividir, hllr potnis y rís ntrs d númros ompljos n orm polr. Conor l onpto d logritmo d un númro sus propidds más importnts: logritmo dl produto, dl oint, d un potni y d un ríz. Hllr ls rís, rls y ompljs d un polinomio utilizndo l órmul d l uión d º grdo y l división d Ruini y rsolvr uions polinómis utilizndo st prodiminto. Clulr los númros omintorios y númros torils sí omo su signiido. Dsrrollr l potni nturl dl inomio d un sum y d un rst. Rlizr oprions snills on rions lgris. Rsolvr uions y sistms d uions d primr y sgundo grdo on un o dos inógnits y prolms on nunido dl mundo nturl, gométrio y tnológio qu dn lugr ls misms. Rsolvr inuions y sistms d inuions linls on un o dos inógnits, su rprsntión n l rt rl y su prsión n orm d intrvlos. Rsolvr uions iudrds, irrionls y on rions lgris. Conor l onpto d intrvlo rrdo, irto inito o ininito n un rt rl, y sr hllr sus unions intrsions. Trigonomtrí Conor l mdid d ángulos n grdos sgsimls y n rdins sí omo l trnsormión d uns unidds n otrs. Conor l diniión d ls rzons trigonométris d ulquir ángulo y su visulizión sor un irunrni d rdio unidd. Conor y utilizr n onttos normls los vlors ls rzons trigonométris d los ángulos d 0º, º y 60º sí omo ls rduils llos. Rduir l primr udrnt ls rzons trigonométris d ulquir ángulo. Conor y lulr ángulos prtir d l diniión d rsn, ros y rtg. Conor l propidd undmntl d l Trigonomtrí y plirl pr lulr ls rstnts rzons trigonométris prtindo d un dd. Rsolvr prolms gométrios sdos n triángulos utilizndo l torm d los snos y l torm dl osno. Rsolvr uions trigonométris. Vtors y Gomtrí Anlíti Disponr dl onpto intuitivo d vtor.

2 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 Sr rlizr n oordnds intrprtr gráimnt ls oprions: sum d vtors y produto vtor por slr. Clulr l módulo y l rgumnto d ulquir vtor. Clulr l distni ntr dos puntos. Hllr l produto slr d dos vtors y su rlión on l ángulo dtrmindo por mos Hllr l ángulo dtrmindo por dos vtors o dos rts. Otnr vtors prllos o prpndiulrs otro ddo. Conor ls siguints orms d uions d l rt: vtoril, prmétri, ontinu plíit y gnrl y sr ronor n lls los puntos y l pndint y su rlión on su vtor dirtor. Sr sriir l uión d un rt n ulquir d ls orms mnionds prtindo d ulquir d lls. Hllr l punto intrsión d dos rts snts y l punto mdio d un sgmnto. Ronor dos rts prlls y prpndiulrs. Conor y plir l órmul qu prmit lulr l distni ntr un punto y un rt y ntr dos rts prlls. Rsolvr prolms métrios snillos d gomtrí nlíti dl plno. Hllr l uión d l mditriz d un sgmnto ddo. Hllr l uión d ls mdins, istris y lturs n un triángulo ddo. Cónis Comprndr l onpto d lugr gométrio y l d sión óni. Ronor l uión d un irunrni y otnr su ntro y rdio. Esriir l uión d un irunrni suponindo onoidos: ntro y un punto, ntro y rt tngnt, trs puntos. Rsolvr prolms d lugrs gométrios snillos intrprtr gráimnt su rsultdo d trtrs d un uión onoid rt o irunrni Análisis Conor los onptos d unión rl d vril rl, dominio y rorrido. Conor l omposiión d unions y sr plirl n sos snillos. Sr hllr l rípro d un unión dd tnto grái omo nlítimnt n sos snillos. Rprsntr gráimnt los dtos ddos trvés d nunidos, tls o prsions nlítis snills, ligindo los js y l sl dud, sí omo l dominio n d so. Sr intrprtr gráis d unions tnto lgris omo dids prolms dl mundo nturl, gométrio y tnológio y d los mdios d omuniión, vlorndo l prsión y l voulrio mpldo n l prsntión, vrl o por srito, d lguns onlusions otnids d l inormión rogid. Conor los mios gométrios qu s produn n l grái d un unión on trnsormions d tipo k y k Ronor y sr rprsntr ls siguints unions: vlor soluto, polinómis d y grdo, proporionlidd invrs, rionls snills, trigonométris, ponnils, logrítmis y trozos stimndo los mios gráios qu s produn l modiir un onstnt n l prsión lgri. Anlizr ls propidds glols d ls unions mdint l studio d sus dominios, rorridos, intrvlos d riminto y driminto, trmos solutos y rltivos, priodiidd, simtrís y puntos d ort on los js. Ronor susions d númros rls y otnr l término gnrl. Comprndr intrprtr gráimnt l onpto d límit d un unión n un punto y n l ininito 0 Clulr límits lmntls dl tipo, y n susions y unions polinómis y rionls. 0 Comprndr intrprtr gráimnt l onpto d ontinuidd d un unión n un punto y n un intrvlo. Hllr ls síntots vrtils y horizontls n un unión. Sr studir l ontinuidd d un unión n un punto y n un intrvlo Ronor los tipos d disontinuidd d: slto inito, ininito y vitl. Comprndr intrprtr gráimnt l onpto d drivd d un unión n un punto Clulr l drivd n un punto d un unión polinómi o d proporionlidd invrs sí omo su unión drivd plindo l diniión. Conor l unión drivd d unions lmntls: polinómis, trigonométris, ponnils y logrítmis. Sr plir ls rgls d l drivión: drivd d un sum, produto, oint y d l ompust d dos unions. Dtrminr los intrvlos d riminto y driminto d unions lmntls: polinómis, trigonométris, ponnils y logrítmis studindo l signo d su unión drivd

3 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 Mtmátis Mdids omplmntris Bhillrto Cintíio Ténio Bhillrto d CC d l Nturlz y l Slud Tr: Prsntr l dí dl mn d sptimr un udrno on l rlizión d los siguints jriios Nomr dl lumno/lumn:.. Atividds d ruprión. º Bhillrto Cintíio-Ténio Númros irrionls. Rionlizr

4 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 6 7 Rionliz y simplii: 6 d Simplii ls siguint oprión rionlizndo l rsultdo: Rionliz d un d ls siguints prsions, simpliindo undo prod: 6 6 Euions Eponnils y logrítmis Rsulv ls siguints uions: 0 0 d log log = log g log log log j log log 6 log log h log log 6 log log log log i 0 0 log 0 log Rsulv ls siguints uions: Euions Irrionls 6 = + 6 d 6 Euions Trigonométris Rsulv ls siguints uions: os os sn sn sn tg + otg = Not.: tg = / tg Rsulv ls siguints uions trigonométris on 0 : sn os sn os 0 tg os d os sn tg s

5 Rsulv ls siguints uions trigonométris: os os tg o 0 os os IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 d sn os 6 sn 0 Rís d un polinomios y torizión Ftoriz l siguint prsión indindo l prodiminto qu sigus pr llo: Construy un polinomio P d grdo qu sólo tng por rís - y y qu dmás umpl l ondiión d qu P=0. Enontrr l vlor d m pr qu l polinomio: P m tng por ríz. Ftoriz l siguint polinomio rgumntndo rvmnt omo lo hs: P 6 7 Ftoriz l siguint polinomio P plindo ómo lo hs: P= Esri un polinomio P d grdo qu tng por únis rís - y y tl qu P=8. Cuánto vl P-? 7 Dsompón l polinomio P 6 n produto d tors simpls. Euions En un prminto púlio s or, por d hor omplt o rión d hor. Como ort, s or sólo los qu prqun mnos d mdi hor. Eprs n orm d unión trozos l orrspondni ntr l timpo t y l tri Ct pr 0< t <. Rprsnt gráimnt dih unión. Pr l nvío d rts qu no dn d 00g, l srviio d orros d un irto pís tin ls siguints tris: Hst 0 g d pso, s pg 0,6, prtir d s pso hy qu sumrl 0,0 por d grmo d so d pso. Esri l unión trozos qu prs l rlión ntr l pso d l rt y prio dl nvío y rprsnt gráimnt l unión En l rio d l luz nos orn, mnsuls por l potni ontrtd y 0,098 por d kilowtio-hor onsumidos. Clul uánto nos orrín un ms n l qu hymos onsumido 9 Kwh. Si nos turn 8,80, uántos Kwh hrímos onsumido s ms? Un tndro ds mzlr un mrní d 0,80 l Kg on otr d idénti nturlz, pro inrior lidd, d 0,0 l Kg, d mnr qu 60 Kg d mzl s vndn 0,60 l Kg. Qué ntidd d d tomr d d un? 6 A inls d 000, Jun tní l mitd d ños qu su ul. Si l sum d los ños n qu niron s 80, qué dd tndrí Jun inls d 00? Trigonomtrí Dsd l in d un vión qu mntin onstnt su dirión y ltur prodnt d Londrs, l visul dl piloto dirigid Gijón orm on l trytori dl vión un ángulo d 0º.Sindo su vloidd igul 900 Km/hor, minutos más trd, diho ángulo s igul 0º. En st situión: Hr un diujo qu rprsnt l situión dsrit por l prolm.

6 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 Clulr l ltur l qu vul diho vión sí omo l timpo qu l rst l vión pr sorvolr Gijón. Rsulv l siguint triángulo y hz un diujo ilustrtivo d l situión: Â º, m, m En l noh, un ro prodnt d Frni, s dntr n l ost sturin. Ls visuls trzds dsd l ro los purtos d Gijón torr d ontrol mrítimo dl Musl y Lstrs ormn ntr sí un ángulo d 6º. Ls visuls trzds dsd Gijón l ro y Lstrs ormn ntr si un ángulo d 0º. En st situión, y sindo qu ntr Lstrs y Gijón hy Km, lulr l distni dl ro d uno d los purtos. Hr un diujo ilustrtivo. Entr l iglsi d Luno y l in dl mping d Gijón l Providni hy n lín rt km. Ls visuls l im dl más lto d los dpósitos d gs d l Cmp Torrs trzds dsd dihs lolidds ormn, on l horizontl, ángulos rsptivos d 0,7º y 0,7º. Si smos qu l diámtro d un dpósito s igul m, lulr: l ltur l qu s nuntr l mp Torrs L distni qu hy dsd l mping d Gijón l s d l Cmp Torrs. Hz un diujo ilustrtivo. En un prtido d l Roj, l jugdor Vill, s nuntr m dl post izquirdo d l portrí y m dl post drho y v l portrí jo un ángulo d 0º. Clul l distni d jugdor l lín d gol y l nho d l portrí. Hz un diujo ilustrtivo. 6 En un triángulo isósls l ldo myor mid 0m. Rsuélvlo sindo qu hy un ángulo d 0º. 7 Dos individuos osrvn un gloo qu stá situdo ntr llos ormndo los trs un mismo plno vrtil. L distni ntr los individuos s d km. Los ángulos d lvión dl gloo dsd los osrvdors son 6º y º rsptivmnt. Hll l ltur dl gloo y su distni d osrvdor. 8 Hll l longitud d los rstnts ldos dl triángulo dl qu s onon: = m. A = º B = 0º 9 Hll l ár dl triángulo dl qu s onon: = m. = m. C = º 0 Clul l ár d un pntágono rgulr d 0m d ldo Vtors D irto vtor s s qu s prllo l vtor,. Admás s s qu su módulo s igul 0. Clulr sus oordnds. Ddos, y, oordnds prsds n un s ortonorml, Clulr: proy Euions d l rt y posiions rltivs. Prolms métrios Clulr ls uions prmétris d l rt prpndiulr -y+=0 qu ps por l punto d intrsión d ls rts. Hr un diujo ilustrtivo. r : y s : y Clulr l distni dl punto A-, l rt d uión. Clulr l simétrio d diho punto rspto l rt n ustión. r : y y Clulr l ángulo qu ormn ls rts qu ps por los puntos A-, y B, y l rt s : y

7 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0. El ldo dsigul d un triángulo isósls s poy sor los js sgún l rt d uión: C st sor l rt s: y= -+8. Clul su ár.. Clul l distni ntr ls rts: y 8 r : s : y 6 y r : y. El otro vérti. Dds r y s, on r : 6y 0 por l, y l rt s. y s : y, lul l ángulo qu ormn l rt prpndiulr r qu ps 7. Otén los ángulos dl triángulo uyos vértis son,-,,6 y -, 8. Hll un punto d l rt r : y 8 0 qu quidist d los puntos,0 y -,. y r : Dds y s : y, lulr: Ángulo qu ormn. Euions d sus istris. 0. Dd l rt qu ps por l punto,- y s prpndiulr l rt r : y+=0, lulr l distni d l mism l punto,.. Clulr uánto tin qu vlr C pr qu l rt -y+c=0 s nuntr unidds d l rt: Esriir n prmétris l uión d l mditriz r d los puntos A,- y B,. s : y Esriir n orm ontinu l uión d l prpndiulr t l rt, Clulr l ángulo qu ormn r y s. s : y 0 qu ps por l punto Hllr ls oordnds dl punto simétrio l punto, rspto l rt d uión - y - = 0. Númros ompljos Esriir n orm polr l númro ompljo i z i i Ddo z i, lulr y rprsntr z Clul los vlors d m y n pr qu s umpl l iguldd: m i º ni Sindo z = --i, lul z 8. Ddos los númros ompljos z y z :

8 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 z z z Clulr Clulr y rprsntr z Opr l siguint prsión, prsndo l rsultdo n orm inómi : i i Cónis y lugrs gométrios Hll l uión d un irunrni sindo qu P7, -0 y Q-, 6 son dos puntos dimtrlmnt opustos Dtrmin ls rtrístis d l siguint irunrni: y y 0 Hll l uión d l irunrni qu ps por los puntos A, B-, C-,- Hll l uión d l irunrni qu tin su ntro n,- y ps por l punto, Hll l uión d l irunrni qu tin su ntro n,0 y s tngnt l rt y 0 6 Hll l uión d l irunrni on ntro sor l rt y y ps por los puntos A, y B-, 7 Considr los puntos P dl plno tls qu distn dl punto, l tripl d lo qu distn dl punto -,. Dmustr qu l onjunto d todos stos puntos onstituy un irunrni y hll l ntro y l rdio d st irunrni. 8 Diuj on todos sus lmntos l óni: y 6y 0 9 Diuj y sri l uión d d uno d los siguints lugrs gométrios: Lugr gométrio d los puntos qu stán un distni d unidds dl punto -, Lugr gométrio d los puntos qu quidistn d l rt r: y= y l punto, Lugr gométrio d los puntos qu quidistn d los puntos A, y B, d Lugr gométrio d los puntos tls qu l sum d sus distnis los puntos -,0 y,0 s igul 8. Cálulo d dominios d unions Clulr l dominio d ls siguints unions: Not: Esri primro l uión, inuión, sistm d uions o d inuions qu indin los puntos qu no ormn prt dl dominio, s dir, qullos dond l unión no stá dinid:

9 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 9 ln tg j d h g Clul l dominio d ls siguints unions: g ln Cálulo d límits y rsoluión d indtrminions Hll los siguints límits d l unión: - d Hll: 7 Lim 8 - Lim d Lim Clul los siguints límits: 6 6 g d Clul los siguints límits rsolvindo, undo prod, ls indtrminions orrspondints: 6 0 d Clul los siguints límits 8 Cálulo d drivds Clul l drivd d ls siguints unions: os ln,,, os sn d d Clul ls siguints drivds: lnos h g sn Clul l drivd d l unión dd n d so, simpliindo dntro d lo rzonl: ln d os 7

10 IES Rl Instituto Jovllnos d Gijón - Dprtmnto d Mtmátis - Curso 0/0 Invrs y omposiión d unions, g ln h Dds ls unions, lulr: h g g g h d Dd l unión, lulr su invrs. Drivilidd Clulr los vlors d,, pr qu l urv d uión tngnt n st último punto s prll l rt y=-6. ps por los puntos 0, y, y l Clul l uión d ls rts tngnt y norml l grái d l unión n =. Clul l uión d ls rts tngnt y norml l grái d l unión = n =0. Clul l uión d ls rts tngnt y norml l grái d l unión n =. Binomio d Nwton Esri dirtmnt l urto término dl dsrrollo d + y 9 y l quinto dl dsrrollo -y 8. Esri l término sto dl dsrrollo d l potni siguint, y vrigu su grdo: - 9. Esri y simplii l trr término dl dsrrollo d 7. Esri y simplii l término ntrl dl dsrrollo d 9 +