PROGRESIONES. Capítulo TRILCE. Progresión aritmética (P.A.) 3. Número de términos (n)

Transcripción

1 TRILCE Cpítulo 7 PROGRESIONES Progrsió ritméti (PA) Es qull susió or l qu térmio, xpto l primro, s igul l térmio trior umto u vlor ostt llmo rzó l progrsió Rprstió u PA r r ( )r Númro térmios () r 4 Térmios quiistts los xtrmos ( x y y ) x y Do : "m" térmios "m" térmios = Iiio l PA = Sprió térmios = Primr térmio = Térmio -ésimo = úmro térmios r = rzó l PA Clss PA Si : r > 0, l PA s rit Si : r < 0, l PA s rit 5 Térmio trl ( ) x y Sio "" impr, l PA mit térmio trl 6 Sum los "" primros térmios u PA ( S ) Osrvió : Si, r = 0, s i qu l progrsió ritméti s trivil Propis u PA D l siguit progrsió ritméti, s umpl : Rzó (r) r Térmio -ésimo ( ) 6 S ( )r 6 S Mios Aritmétios So los térmios u PA omprio tr sus xtrmos, vmos u jmplo : Mios ritméti os ( )r 89

2 Álgr Itrpolió Mios Aritmétios Cosist formr u PA, pr lo ul s oor los térmios xtrmos y l úmro mios qu s quir itrpolr S l progrsió ritméti : Por fórmul : Rmplzo : Mios ritméti os ( ) r = + (m+)r r m Fórmul uyo omr s rzó itrpolió Progrsió rmói (P H) Es qull susió or, o iguo sus térmios s ro y los ríproos los mismos form u progrsió ritméti Si l susió : ; ; ; ; s u progrsió rmói, s vrifi lo siguit: Clss PG Si : q >, l PG s rit Si : 0 < q <, l PG s rit Si : q < 0, l PG s osilt Propis u PG D l siguit progrsió gométri, s umpl : Rzó (q) t : t : t : : t : t Térmio -ésimo ( t ) t t t q t t t t t q Númro térmios () Tio ut qu t, t y q so positivos Log(t ) Log (t ) Log (q) Progrsió gométri (PG) Es qull susió or l ul l primr térmio s ifrt ro y s rtriz porqu ulquir térmio, xpto l primro, s igul l térmio trior multiplio por u vlor ostt llmo rzó l progrsió Rprstió u PG t : t : t : t : t q : t q Do : : t : : t q = Iiio l progrsió : = Sprió térmios t t q = Primr térmio = Térmio -ésimo = Númro térmios = Rzó l PG 4 Térmios quiistts los xtrmos ( t x y t ) y t : :t "m" térmios : x : t y t t t t x y : :t "m" térmios 5 Térmio Ctrl ( t ), sio "" impr, l PG mit térmio trl t t t 6 Sum los "" primros térmios u PG ( S ) q S t q ; q 90

3 TRILCE 7 Sum límit ( S ) Lím Pr PG ifiitos térmios, s ir so qu t S ; q Lím q Itrpolió mios gométrios Cosist formr u PG, pr lo ul s oor los térmios xtrmos y l úmro mios qu s quir itrpolr S l progrsió gométri : 8 Prouto los "" primros térmios u PG ( P ) : "m" mios gométri os : P (t t ) Por fórmul : t t q Mios gométrios So los térmios u PG omprios tr sus xtrmos, vmos u jmplo : Rmplzo : m q q m : : 4 : 8 : 6 : Mios gométrios : 64 Fórmul uyo omr s rzó itrpolió 9

4 Álgr EJERCICIOS PROPUESTOS 0 E l siguit PA : Cuál s l vlor " "? :( 7)5( ) ) ) ) 5 ) 7 ) 8 0 Si l sum los 6 primros térmios u PA s igul l sum los 0 primros térmios, lulr l sum los 6 primros térmios ) ) - ) 0 ) ) FD 0 S l progrsió ritméti Si l sum sus térmios s "" y l rzó s "" Clulr : E ) ) ) 6 ) 4 ) 04 E u PA l ifri os térmios s 96 y l ifri sus rsptivos lugrs s 8 L rzó l progrsió s : ) 5 ) 7 ) 9 ) 0 ) 05 E l siguit PA : : l úmro térmios omprios tr 0 y 76 s l tripl l úmro térmios omprios tr 76 y 00 Cuál s l sum los térmios l PA? ) 0 ) 4 ) 705 ) 86 ) Dtrmir l éimo quito térmio u PA, si l sum los primros "" térmios stá trmi por : S ( 8) ) ) 5 ) 7 ) 9 ) 4 07 E u progrsió ritméti, l térmio lugr A s B y l térmio lugr B s A Clulr l vlor (A+B), sio qu l sguo térmio l progrsió s l ol su sxto térmio ) ) 0 ) ) ) No s pu trmir 08 Si : x, y, z; so lmtos osutivos u progrsió ritméti, simplifir : x (y z) y (z x) z (x y) S (x y z) ) ) /9 ) 7/9 ) /9 ) 4/9 09 Dos urpos qu s utr l isti 5 m uo l otro, s muv l utro mutuo, l primro rorr 0 m/s y l sguo rorrió m l primr sguo, sguo siguit rorr 5 m más qu l sguo trior Dspués uátos sguos los urpos s utr? ) s ) 4 ) 6 ) 0 ) 0 El quito térmio u PA s igul 9 y l éimo s 9 Cuátos térmios hy qu tomr pr qu su sum s 465? ) ) 5 ) 9 ) ) D los trs primros térmios u progrsió ritméti, l térmio itrmio s 5 y l prouto los mismos s 45 Etos, l térmio l éimo primr lugr s : ) 76 ) 77 ) 87 ) 97 ) 98 U progrsió ritméti stá form l 4 l 55 L sum los 6 primros úmros s 69, los 6 siguits s 77 y l sum los 6 últimos s 85 El sguo y l éimo térmio l progrsió srá : ) 7 y ) 0 y 4 ) 0 y 8 ) y 7 ) 8 y E u progrsió ritméti, los lmtos los lugrs j, k y (j+k), so tls, qu l sum los primros s igul l último mos Si l sum los primros s "x", hllr l rzó l progrsió ) ) ) x (j k ) (x ) (j k ) (x ) (j k ) ) ) (x ) (j k) (x ) (j k 4 Dtrmir l térmio trl u progrsió ritméti 7 térmios, sio qu l sum los térmios lugr impr s 77 y los lugr pr 56 ) ) 5 ) 5 ) 9 ) 8 9

5 TRILCE 5 Iir ls rís l uió : x px q 0, si stá progrsió ritméti (p 0) ) -q; 0; q ) q ; 0; q ) p ; 0; p ) p q ; p ; p q ) p ; 0; p 6 Iir l rzó tr "x" "y", tl mr qu l mio lugr "r" tr "x" y "y" s l mismo qu l mio lugr "r" tr "x" "y" Hio "" mios ritmétios itrpolos so ) ) r r r ) ) r r r ) r 7 Asumio qu S k s l sum ls "k" primros térmios u PA, lulr l vlor : ) ) 6 ) 9 ) ) 5 S 9 S S Hllr u úmro tl qu l rstrl 8, multiplirlo por y por 4 s oti trs rsultos qu s utr progrsió gométri ) 8 ) ) 8 ) 6 ) 6 9 L sum úmros positivos PA s 8 Si stos úmros, s ls sum, 4 y, rsptivmt; los uvos úmros form u PG Cuál s l myor los úmros primitivos? ) ) ) 6 ) 9 ) 0 Hllr l rzó u PA uyo primr térmio s l ui, tl qu los térmios lugrs :, 0 y 4 form u PG ) /5 ) / ) /4 ) 5/7 ) / Si s itrpol 5 mios gométrios tr 8 y 58 Cuál s l quito térmio l progrsió totl? El primr térmio u progrsió gométri s igul (x - ), l trr térmio s igul (x + 6), y l mi ritméti los térmios primro y trro s l sguo omo 5 s Dtrmir l vlor "x" ) ) ) ) 4 ) 7 L sum los primros térmios u progrsió gométri s igul 6 y l sum l sguo, trro y urto térmios s igul - Clulr l éimo térmio ) -/ ) -/8 ) -/6 ) -/64 ) No s pu trmir 4 L ifri l trr térmio o l sxto térmio u PG s 6, si su oit s 7 Cuál s l primr térmio l PG? ) 45 ) 4 ) 4 ) /9 ) 5/9 5 L sum los térmios u progrsió gométri rit ifiitos térmios s "m" vs l sum sus "" primros térmios Hllr l rzó l progrsió gométri ) ) ) m m m m m / / m / ) ) m m m / m / m 6 El primr térmio u susió gométri s igul x-, l trr térmio s igul x+6, y l mi ritméti los térmios primro y trro s l sguo térmio l susió omo 5 s Hllr l sxto térmio l susió y r omo rspust l sum sus ifrs ) 6 ) 9 ) 8 ) 4 ) 7 Trs úmros tros stá PG Si l último térmio s l rst, s form u PA; pro si l sguo térmio st PA, s l rst 4 s form u uv PG Sgú llo, sñl l sum los trs úmros tros ) 50 ) ) 6 ) 7 ) 60 ) 944 ) 648 ) 79 ) 96 ) 65 9

6 Álgr 8 E u PG, l primr térmio s "", l rzó "q"; S 4 l sum ls urts potis los "" térmios l progrsió Sñl l quivlt : / 4 S (q ) 4 4 (q ) ) ) Primr térmio ) ) Sguo térmio ) Térmio trl 9 Si los térmios lugr p; q y r u PG so,,, rsptivmt, lulr : qr rp ) / ) ) ) ) pq 0 E u PG o osilt l térmio lugr "6" s K y l térmio lugr "4" s, hllr l térmio lugr "+" ) K ) ) ) K ) 6K S itrpol utro mios gométrios tr 60 y 5 Hllr l sum los os últimos térmios l progrsió gométri form ) 40 ) 00 ) 60 ) 5 ) 5 Clulr l límit l sum : 7 5 S ) 9/4 ) 8/ ) 7/ ) 6 ) 4 Clulr l límit l sum : S ) 9/ ) /9 ) 80/8 ) 9/8 ) 7/4 4 L sum los mios gométrios u sri 4 térmios s 4 y su ifri 4 Si l rzó s myor qu uo, l lulr l primr y urto térmio s oti : ) 6, 48 4 ) 8, 64 4 ) 7, 56 4 ) 0, 70 4 ) 8, E l PG : 4 : : : 8 8 "m" mios "m" mios Hllr "", si l rzó l progrsió s 4 ) 6 ) 8 ) ) 4 ) 64 6 E u sri gométri úmros turls rzó r >, r N, l sum los primros térmios o s, ( >) Si s l primr térmio l sri Clulr : o o o o ) 4 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 7 E u PA "" térmios, l sum los (-) primros térmios s "" y l sum los (-) últimos térmios s " " Hllr l rzó ih progrsió ) ) ) + ) - ) 8 Dos los térmios : A m y m B u progrsió gométri { } Hllr : m ) A ) AB ) m B ) m A ) AB 9 E u PG térmios positivos, s osrv qu térmio s igul l sum los os térmios siguits Cuál s l rzó l progrsió? ) ) 5 ) 7 ) 5 40 S j r u plot s u ltur 90 m, rot l plot s lv / l ltur, l ul yó l últim vz Qué isti rorr l plot hst qur rposo? ) 0 m ) 80 ) 90 ) 50 ) 40 4 Si : x = 86, tos, l vlor "x" s : ) 5 ) 0 ) ) 4 ) 46 ) 58 94

7 TRILCE 4 A lo lrgo u mio hí u úmro impr pirs 0 m u otr S quiso jutr ésts u lugr o s otr l pir trl El homr rgo poí llvr u sol pir Empzó por uo los xtrmos y los trsl susivmt Al rogr tos ls pirs, l homr mió km Cuáts pirs hí l mio? ) 7 ) 4 ) 9 ) ) 5 4 Dos los úmros, x, y, z, w; s osrv qu los trs primros stá PA y los trs últimos PG sio l sum los xtrmos 4 y l sum los mios Hllr "x" ) /4 ) 4/ ) / ) ) 8 44 Etr y 6, tr y 968 s h itrpolo l mismo úmro mios gométrios Clulr l ifri ls rzos, sio qu l rzó l primr s / l rzó l sgu ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 45 L figur rprst u prso su "skt" qu v rorrr u rmp smiirulr logitu 80 m A hst B, vij ( u xtrmo otro), sólo rorr l 70% lo rorrio l vij trior Clulr l isti totl qu "rrió" o l skt hst trs l tro l rmp 47 Los úmros rls,,, so positivos y stá progrsió ritméti rzó "r" Si : T 4 tos, l xprsió simplifi T térmios "", y ) ) ), s : ) ) 48 Si, u PG utro térmios s umpl qu l sum l primro o l trro s 7, más, l sum l urto o l sguo s 78 Hllr l ifri tr l urto y sguo térmio ) -0 ) -54 ) -8 ) -6 ) -45 A B 49 E u PA, l ultimo térmio s "u", l rzó s "r" y sus vlors s oti l rsolvr l siguit sistm: u r 5 ur u r 70 Si : r > 0 Si l sum térmios s 6, hllr l úmro térmios ) 00 ) 540 ) 600 ) 900 ) D u progrsió ritméti, s s qu: Do : S T ( )( ) S : sum los "" primros térmios T : térmio grl Si : "" s impr, iir l térmio trl ) + ) + ) + ) + 4 ) + 5 ) 9 ) 7 ) 4 ) ) 5 50 U prso ió l sgu mit l siglo pso; u ño qu goz l propi qu ls utro ifrs so tls qu ls trs ifris forms rsto l primr ifr l sgu, l sgu l trr y l trr l urt sté PG Cuátos ños umplirá l 006? ) 49 ) 54 ) 56 ) 57 ) 5 95

8 Álgr 5 D l siguit progrsió gométri, P G : : Clulr : E ) + + ) ) ) ) 5 E u PG sis térmios rits, s umpl qu l sum los térmios xtrmos s 5 y l prouto los mios s Clulr l rzó 4 56 Etr y 8 s itrpol, form spr y ; térmios, formo trs progrsios gométris ifrts Hllr l prouto ls trs rzos gométris otis Si : + + = ) 9 ) ) ) 9 ) 57 Dl gráfio, hllr l sum tos ls logitus ls prpiulrs qu s proyt ilimitmt prtir l puto "P" S 40 4 P ) 5 5 ) ) 5 5 ) 5 5 ) Hy rspusts 5 S : t y S l primr térmio y l sum límit u PG rit Si t s l primr térmio u uv PG l ul l rzó s l mit l rzó l trior PG El quivlt l rzó tr ls sums límits l primr y l sgu PG xprs térmios t y S s : ) t S ) (t S ) ) (t ) S t ) S ) t S 54 Hllr l uió sguo gro, uys rís y l prouto lls stá progrsió gométri rit, más, l prouto sus rís, l sum lls y l myor ls rís stá progrsió ritméti t ) 0 ) 0 ) 0 ) 50 ) D l progrsió ritméti rit : sio, qu l sum sus térmios s "S" y qu l sum sus uros s ) ) ) S ( ( S S ( ( S ( ) S ) S ) ) ) S, su rzó "r", srá : ) x 6x 8 0 ) x 6x 8 0 ) x 6x 8 0 ) x 6x 0 0 ) x 6x S ti progrsios, u ritméti y otr gométri, uyos primros térmios so iguls igul l rzó omú, sio qu l sum los 8 primros térmios l progrsió ritméti s igul l sum los ifiitos térmios l progrsió gométri Hllr l ovo térmio l progrsió ritméti ) 5/4 ) 5/6 ) 6/5 ) 5/4 ) 5/6 ) ) 4( S S ) ( ( ) ) 6( S S ) 96

9 TRILCE 59 Ds ls rlios : Log x Log ylog z x : y : z Clulr l vlor qu tomr l logritmo "z" s "x" ) Log ) ) Log ( / ) ) Log ( / ) Log ( / ) Log( / ) Log Log 60 Si l xprsió : ( )x ( )xy ( )y s u uro prfto, tos,,, ; s utr formo : ) Progrsió ritméti ) Progrsió gométri ) Progrsió rmói ) Progrsió hiprgométri ) Progrsió ritméti or suprior ) Log Log 97

10 98 Álgr Clvs Clvs

11 TRILCE Í N D I C E PRIMER BIMESTRE Cpítulo Lys Expots - Euios Expoils 9 Cpítulo Poliomios 9 Cpítulo Proutos Notls 7 Cpítulo 4 Divisió tr poliomios - Divisiili Algri - Coits Notls 5 Cpítulo 5 Ftorizió 49 SEGUNDO BIMESTRE Cpítulo 6 MCD y MCM Poliomios - Frios Algris 59 Cpítulo 7 Torm l Biomio 69 Cpítulo 8 Riió 79 Cpítulo 9 Númros Compljos 89 Cpítulo 0 Euios Primr y Sguo Gro 99 TERCER BIMESTRE Cpítulo Euios Gro Suprior 09 Cpítulo Mtris - Dtrmits 7 Cpítulo Sistm Euios Cpítulo 4 Dsiguls Iuios - Vlor Asoluto 4 CUARTO BIMESTRE Cpítulo 5 Fuios 59 Cpítulo 6 Logritmos R 77 Cpítulo 7 Progrsios 89 99

12 Álgr 00