( ) [ ( )] ( ) PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN UNIDAD V V.1 PRODUCTOS NOTABLES. a + b se puede obtener multiplicando término a término:
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- Lucas Hidalgo Araya
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1 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN UNIDAD V V. PRODUCTOS NOTABLES Tto l ultiliió lgri oo l ritéti s sigu u lgorito uos sos ou l rsulto. Si rgo, ist routos lgrios u rso u rgl u liió silii l otió l rsulto. Estos routos ri l or routos otls. S ll routo otl l u u sr otio si tur l ultiliió tério tério. A otiuió s sri los ás iortts. V.. CUADRADO DE UN BINOMIO El routo u ioio or sí iso ri l or uro u ioio. El srrollo l uro l ioio s u otr ultilio tério tério: ( ) ( )( ) El uro u ioio s igul l uro l rir tério ás l ol l routo los térios ás l uro l sguo tério. Ahor, l lvr l uro l ioio, tié ultilio tério tério, s oti: ( ) ( )( ) El uro u ioio s igul l uro l rir tério os l ol l routo los térios ás l uro l sguo tério. E ls óruls triors u sr uluir rsió lgri tr uluir sigo. Por lo tto, sgu l órul s u so rtiulr l rir u: ( ) [ ( )] ( ) Ejlos. ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( )( ) 0 ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) 0
2 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios 0α λ 0α 0α λ λ 00α 0α λ λ ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Rrstió goétri ( ) : Cosist osirr l ár u uro los ls rgios u sts is gr l uro. Los sgtos horiotls vrtils ivi l uro utro árs ors: os uros, uo lo otro or lo, os rtágulos lrgo ho. L su ls árs stos uros rtágulos s igul l ár totl l uro lo : Rrstió goétri ( ) : Cosist osirr l ár u uro los. Los sgtos horiotls vrtils ivi l uro utro árs ors: os uros, uo lo otro or lo, os rtágulos lrgo ho. L su ls árs stos uros rtágulos s igul l ár totl l uro lo. Por lo tto, l ár l uro s igul l ár totl os l ár los rtágulos os l ár l uro or, sto s: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V.. CUADRADO DE UN POLINOMIO El routo u trioio or sí iso ri l or uro u trioio. El srrollo l uro l trioio s u otr l siguit or: ( ) [( ) ] ( ) ( ) oro s ti ( ) Por su rt, l srrollo l uro l olioio utro térios l siguit or: s u otr ( ) [( ) ( )] ( ) ( )( ) ( ) oro s llg : ( )
3 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios E grl, l uro u olioio stá o or l su los uros uo sus térios ás l ol routo lgrio sus térios, toos os os. Ejlos. ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 ) g g g g g g g ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) t r t r t r ( )( ) ( )( ) ( )( ) t r t r 0 0 t r t r t r t r ) ( ) s j h s j h ( ) s j h j h j h ( ) ( ) s s j h s j h s s s j h j h 0 V.. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS Dos ioios so ojugos si iir sólo or l sigo uo sus térios. Ejlos. ) ( ) ( ) ) ( ) j ( ) j Al tur l routo u ioio or su ojugo, s ti:
4 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ( )( ) sto sigii u l routo os ioios ojugos s igul l iri los uros sus térios. Esto s: Ejlos. ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) w w w ) ( )( ) ) j j j ) ( )( ) ( )( ) 0r t v s u w 0r t v s u w 00r t v s u w 0 ) ( )( ) α α α ) ( )( ) L rrstió l routo os ioios ojugos s tú rtir u uro lo u uro itrior lo. El ár sor rrst stá or l su los rtágulos ( ) : ( ), sto s, ( )( ) ( )( )
5 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios V.. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN Est routo otl orrso l ultiliió ioios uo tério oú s l or ( ) or ( ). Al srrollr l routo s ti: ( )( ), u s u grur oo sigu: ( )( ) ( ) Esto sigii u l routo ioios o u tério oú s l uro l tério oú, ás l su los térios istitos ultili or l tério oú ás l routo los térios istitos. Ejlos. ) ( )( ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) α α α α α α ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 Pr rrstr l routo os ioios o u tério oú s utili u uro lo. A uo los los s l grg u ti otro s l grg u ti, or lo u s or u surii o utro rgios: ( )( ) ( )
6 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios El ár totl u s ( )( ), tié stá or l su u ls árs, s ir, u or silii s: ( ). V.. CUBO DE UN BINOMIO El srrollo l uo l ioio s u otr ultilio st ioio or su uro: ( ) ( )( ) ( )( ) u siliio s: ( ) Por su rt, l srrollo l uo l ioio, s oti or siilr: ( ) ( )( ) ( )( ) u siliio s: ( ) E ls óruls triors u sr uluir rsió lgri tr uluir sigo. Por lo tto, sgu l órul s u so rtiulr l rir u: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) Cosiro lo trior, s ri u l srrollo trior rst l siguit strutur: El uo l su os térios s igul l uo l rir tério ás l tril l uro l rir tério or l sguo ás l tril l rir tério or l uro l sguo ás l uo l sguo tério. Ejlos. ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) )
7 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 V.. CUBO DE UN TRINOMIO El srrollo u uo trioio s oti ultilio st trioio or su uro: ( ) ( )( ) ( )( ) siliio u oo: ( ) El rsulto ost i térios rst l siguit strutur: El uo u trioio s igul l su los uos uo los térios, ás l tril routo l uro tério or uo los térios rstts ás sis vs l routo los trs térios. Ejlos. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
8 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios 0 0 ) g g g g g g g g g g g g g g g g g g g ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 λ λ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 λ λ ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) λ λ λ ( )( ) ( )( ) 000 λ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) λ λ λ λ ( )( )( ) 0 λ λ λ λ λ λ λ,,, V.. SUMA Y RESTA DE CUBOS Pr otr l su os uos l or s tú l siguit routo: ( )( ) uo srrollo s: siliio s ti: Esto sigii u:
9 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios L su los uos os térios s igul l routo l su los térios, or u trioio oro or l uro l rir tério, os l routo los os, ás l uro l sguo. Es ir: ( )( ) Ejlos. Coror u los routos iios rrst l su os uos. ) ( )( ) Soluió. ( )( ) ) ( )( ) Soluió: ( )( ) ) ( j )( 0 j j ) ( ) ( ) Soluió: j 0 j j 0 j 00 j 0 j 00 j j ( )( ) j ( ) ( j ) Siilrt, r otr l iri os uos l or routo: ( )( ) s tú l siguit uo srrollo s: siliio s ti: Esto sigii u: L iri los uos os térios s igul l routo l iri los térios, or u trioio oro or l uro l rir tério, ás l routo los os, ás l uro l sguo. Es ir: ( )( ) Ejlos. Coror u los routos iios rrst l iri os uos ) ( )( ) Soluió. ( )( )
10 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) ( )( 0 ) Soluió: ( )( ) ) 0 Soluió: 0 ( ) ( ) V.. BINOMIO DE NEWTON El tor l ioio, tié llo ioio Nwto, rs l ési oti u ioio oo u olioio. El srrollo l ioio ( ) os sigulr iorti u r o uh rui Mtátis os ivrss liios otrs árs l ooiito. Si l ioio l or ( ) otis: s ultili susivt or si iso s oti ls siguits ( ) ( ) ( )( ) vs ( ) ( )( )( ) vs ( ) ( ) ( ) vs ( ) ( ) ( ) 0 0 vs ( ) ( ) ( ) 0 vs D los srrollos triors, s osrv u: El srrollo ( ) ti térios El ot i o l rir tério v isiuo uo o tério, hst ro l últio El ot i o ro l rir tério v uto uo o tério, hst l últio 0
11 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Pr tério l su los ots s El oiit l rir tério s uo l l sguo s El oiit u tério uluir s igul l routo l oiit l tério trior or l ot iviio tr l úro u ii l or s tério Los térios u uiist los tros ti oiits iguls. Ejlo. 0 ( ) s ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) Alio ls osirios usts los iisos r l so grl s ti: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) S i oo toril u úro turl l routo or toos los úros u l r hst l uo. S ot it!: Por iiió, l toril ro s uo: 0! Ejlos. ( )( ) ( )( )( )( ) 0 ( )( )( )( )( )( )( ) 0, 0 ( )( )( ) ( )( ),', 00!!!! ( )( )( ) ( )( )! Ahor, si s itrou l otió toril, l órul l ioio u sriirs sí: ( ) ( )!!! ( )( )! ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) Ejlos. ) Otr l srrollo ( ) Soluió. Hio, Alio l órul s ti: ( ) ( ) ( ) ( )!!! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )!
12 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) Hllr l sió ( ) Soluió. Hio, Alio l órul s ti: ( ) ( ) ( ) ( )!!!! ( ) E l srrollo ioil: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 0( )( ) 0( )( ) ( )( ),,,0,000,000 00! ( )! ( )( )! ( )! ( ) Alio ls rtrístis l srrollo si s i llr u tério uluir l srrollo oo r-ésio tério, s osrv u: El ot s: r El ot s: ( r ) r El oior l oiit s: ( r )! r El uror l oiit s: ( )( ) ( ) E osui l r-ésio tério l sió ( Ejlos. ( )( ) ( r ) ( r )! ) s: r r ) Eotrr l trr tério l srrollo ( ) Soluió.,,, r 0,0! ( )( ) Alio l rsió s ti: ( ) ( ) ( )( ) ) Clulr l sto tério l srrollo ( ) Soluió.,,, r ( )( )( )( ) Alio l rsió s ti: 0 0,! ( ) ( )!
13 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios El triágulo Psl s u su u ti oo rtrísti u uo los oots sus ils rrst los oiits l srrollo ioil. S ostru l siguit r: S i or l l ur. D u il l siguit s sri los úros o u ss io lugr o sill r u sill tg os úros justo rri, l il trior. C tro l il ti u l vlor u s sri u sill s l su los úros u stá i. Dsués, s tú u rlió tr los úros l triágulo Psl l su ls otis, or u los oiits s sig l iso or u r. Gráit sto s: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por jlo, r otrr los oiits l srrollo ( ) séti il, tl oo s ustr l siguit igur:, s l li los tors l 0 0
14 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Ejlos. Soluió. Uio los oiits rstivos s ti: ) Alir l triágulo Psl r srrollr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) lio l triágulo Psl. Soluió. Uio los oiits rstivos s ti: ) Eotrr l sió ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, (, )( ) ( )( ) 0( )( ) ( )( ) ( )(,0 ),0 0,,000 0,000 0,000,000 0,0,0 V. FACTORIZACIÓN U tor s uo los úros u s ultili r orr u routo. Ejlo. S los siguits routos: ( )( ) ( )( ) 0 ( )( )( ) 0, or lo u tors so., or lo u tors 0 so., or lo u tors 0 so,. Nóts oo l úro r oo tor oú, 0 0 oru uo stos úros s ivi tt tr iho tor oú. Cuo u rsió lgri stá oti tt toos uo los térios u olioio, s i u s tor oú llos. Ejlos. ) El tério s tor oú rsrs oo l routo ( )( ) ( )( ) ( )( ), or otro tério, s ir: oru ooio u
15 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) El tério s tor oú, 0 rsrs oo l routo or otro tério, s ir: ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) oru ooio u Ftorir s l roso u rit soor tors u rsió táti. Esto sigii u torir s ovrtir u rsió l routo iio sus tors. E to rsió otrs l ái toriió osil. Los tios toriió ás utilios s o otiuió. V.. MONOMIO COMO FACTOR COMÚN Pr otrr l tor oú los térios u olioio s us l áio oú ivisor (MCD) los oiits toos los térios, ls litrls u r toos los térios, s sog ls u tg l or ot. Ejlos. Ftorir los siguits olioios. ) 0 El MCD los oiits s, ls litrls or ot u r toos los térios so:, or lo u l tor oú s: 0 Así u: ( ) ) El MCD los oiits s, ls litrls or ot u r toos los térios so:,, or lo u l tor oú s: Así u: ( ) ) ( ) ) ( ) ) 0 ( ) ) 0 ( 0 ) ) ( ) ) α λ α λ α λ α λ α λ ( α λ α λ α λ ) Nóts oo o r l tor oú l litrl u o stá toos los térios l olioio. V.. POLINOMIO COMO FACTOR COMÚN E u rsió, uo l áio oú ivisor (MCD) toos los térios s u olioio tos s u soor oo l routo st tor oú or u olioio uo rsulto s l rsió origil, tl oo s ustr otiuió.
16 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Ejlos. Ftorir ls siguits rsios. ) ( ) ( ) El MCD los toos los térios s: ( ) Así u: ( ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) s r El MCD los toos los térios s: ( ) Así u: ( ) ( ) ( ) ( )( ) s r s r ) ( ) ( ) w Est rsió u rsriirs oo: ( ) ( ) ( ) w or lo u l MCD los toos los térios s: ( ) Así u: ( ) ( ) ( )( ) w w ) ( ) ( ) Est rsió u rsriirs oo: ( ) ( ) El MCD los toos los térios s: ( ) Así u: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) u u u u ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) w w w w ) ( ) ( ) ( )( ) V.. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Eist olioios uos térios o oti u iso tor oú. E sos sos, s torir or gruió, roiito u oi los os étoos triors. Ejlos. Ftorir los siguits olioios: ) w w Pr los riros os térios s to oo tor oú r los otros os w : ( ) ( ) w hor, s tori l olioio ( ) : ( )( ) w ( )( ) w w w ) El tor oú r los riros os térios s r los otros os s : ( ) ( ) sués, s tori l olioio ( ) :
17 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ( )( ) ( )( ) ) 0 Pr los riros os térios s to oo tor oú ( ) ( ) hor, s tori l olioio ( ) : ( )( ) 0 ( )( ) ) El tor oú r los riros os térios s ( ) ( ) sués, s tori l olioio ( ): ( )( ) ( )( ) ) 0 Est rsió u rsriirs oo: El tor oú r los riros os térios s : ( ) ( )( ) 0 r los otros os : r los otros os s : ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Otr or rsolvr st jriio s sriirlo oo : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) V.. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO U ti s uro rto uo s l routo os tors iguls, s ir, s l uro otr ti. Por jlo, s uro rto, u s l uro. S oo oo trioio uro rto (TCP) l rsulto u s oti lvr l uro u ioio: ( ) Curo u ioio Trioio Curo Prto Pr itiir si u trioio s uro rto, s ulir u os sus térios s uros rtos u l otro tério orrso l ol routo ls rís urs los térios urátios.
18 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Ejlos. Dtrir si los siguits trioios so uros rtos. ) 0 Priro s oru u os térios s uros rtos: l ol routo ls rís urs sr igul l otro tério: ( )( ) 0 or lo tto l trioio, s u TCP. ) Coru u os térios s uros rtos: l ol routo ls rís urs sr igul l otro tério: ( )( ) or lo tto, l trioio s u TCP. ) 0 Priro s oru u os térios s uros rtos: l ol routo ls rís urs sr igul l otro tério: ( )( ) 0 or lo tto l trioio o s u TCP. Pr torir u trioio uro rto s tr l rí ur los térios u so uros rtos, s sr or l sigo u ti l tério u o lo s ilt s lv l ioio l uro. Ejlos. Ftorir los siguits TCP: ) S tr ls rís los térios uros rtos: s sr or l sigo l otro tério ( ) l ioio s lv l uro: ( ) ( ) ) Etro ls rís los térios uros rtos: s sr or l sigo l otro tério ( ) l ioio s lv l uro: ( ) ( )
19 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) 0 00 S tr ls rís los térios uros rtos: 00 0 s sr or l sigo l otro tério ( ) 0 00 ) ( ) 0 ) ( ) 00w 00w 0w ) ( ) ) l ioio s lv l uro: ( 0 ) ( 0 ) w t r r wt r r wt w t r wt ) ( ) Orió: Coltr u trioio uro rto Ejlos. Coltr los siguits TCP: ) S tr ls rís los térios uros rtos: s ultili stos os térios s uli l rsulto: ( )( ) or lo tto l TCP olto s: ) Ls rís los térios uros rtos so: 0 s ultili stos os térios s uli l rsulto: ( )( ) or lo tto l TCP olto s: 0 ) α Etro ls rís los térios uros rtos: α α α α s ultili stos os térios s uli l rsulto: ( )( ) or lo tto l TCP olto s: α α ) S tr l rí l tério uro rto:
20 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios s ivi l otro tério tr l rí oti: st rsulto s ivi or os, ilt, s lv l uro: or lo tto l TCP olto s: ) L rí l tério uro rto s: s ivi l otro tério tr l rí oti: st rsulto s ivi or os or lo tto l TCP olto s: 0 ) g g h Etro l rí l tério uro rto: s ivi l otro tério tr l rí oti:, ilt, s lv l uro: ( ) 0 g g g h g st rsulto s ivi or os h 0 or lo tto l TCP olto s: g g h h h h, ilt, s lv l uro: ( ) h h V.. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS U iri uros s l rsulto l routo os ioios ojugos: ( )( ) Esto ili u r torir u iri uros, s tr ls rís urs los térios s or u ioio. Filt s rs l routo st ioio or su ojugo. Ejlos. Ftorir ls siguits rsios: ) S tr ls rís los térios: s or l ioio: ( ) ( )( ) or lo u: ( )( ) ) Ls rís los térios so: s ultili or su ojugo: 0
21 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios s or l ioio: ( ) ( )( ) sí u: ( )( ) ) 00 ( 0 )( 0 ) s ultili or su ojugo: ) r ( r )( r ) 0 ) t ( t )( t ) ) 00 g h ( 0 g h )( 0 g h ) ) ) ( ) w ( ) ( ) w ( ) w ( ) ( ) w w w w w [ ] ( )[( ) ][( ) ] ( )( )( ) V.. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA Pr torir u trioio l or, o s u uro rto turl r, s rs oo routo os ioios uo rir tério r os s l rí ur s ir,. Por su rt, los térios o ous st routo ioios ulir o l ol oiió u su su s igul l oiit su routo igul l oiit. E grl: Si l tério s ositivo tos los os úros usos ti l iso sigo. Si s ositivo los úros so ositivos. Si s gtivo los úros so gtivos. Si l tério s gtivo tos los úros usos ti sigos otrrios l sigo l úro ás gr s l iso u l l oiit. Ejlos. Ftorir los siguits trioios: ) 0 L rí l rir tério s: l tério s ositivo tié lo s, or lo u los os úros usos u suos s ultilios s 0 so ositivos. Estos úros so. 0 Por lo tto: ( )( ) ) L rí l rir tério s: l tério s ositivo s gtivo, or lo u los os úros usos u suos s ultilios s so gtivos. Estos úros so. Por lo tto: ( )( ),
22 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) L rí l rir tério s: l tério s gtivo s ositivo, or lo u los os úros usos u suos s ultilios s ti sigos otrios l ás gr s ositivo. Estos úros so. Por lo tto: ( )( ) ) L rí l rir tério s: l tério s gtivo tié lo s, or lo u los os úros usos u suos s ultilios s ti sigos otrios l ás gr s gtivo. Estos úros so. Por lo tto: ( )( ) ) w w 0 ( w )( w ) 0 ) ( )( ) ) 0 ( 0)( ) ) 0 ( )( ) ) ( ) ( ) ( )( ) 0) ( ) ( ) ( )( ) V.. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA Pr torir u trioio l or, s tú l siguit roiito : S ultili toos los térios or l oiit S rs l rir tério or uro r l sguo tério s itri l oiit or S tori lio l so trior S ivi l rsulto tr or tl u o u igú oit. Ejlos. Ftorir los siguits trioios: ) Multilio los térios l trioio or : ( ) ( ) ( ) rso l rir tério or uro r l sguo tério s itri l oiit or l : ( ) ( ) lio l so trior toriió s us os úros u suos s ultilios s s ti: ( )( ) s ivi or ( )( ) ( ) ( ) or u o u oits: ( )( ) or lo tto: ( )( ) Grlt o s uro rto ú siéolo o s l or oru o s tro.
23 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ) Multilio los térios l trioio or : ( ) ( ) ( ) rso l rir tério or uro r l sguo tério s itri l oiit or l : ( ) ( ) lio l so trior toriió s us os úros u suos s ultilios s s ti: ( )( ) s ivi or ( )( ) ( ) ( ) or u o u oits: ( )( ) or lo tto: ( )( ) ) Multilio los térios l trioio or : ( ) ( ) ( ) rso l rir tério or uro r l sguo tério s itri l oiit or l : ( ) ( ) 0 lio l so trior toriió s us os úros u suos s ultilios s 0 s ti: ( )( ) s ivi or or u o u oits: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) or lo tto: ( )( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( 0) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0)( ) ) α 0α ( )( ) ( ( α ) ) ( ( 0α ) ) ( ) ( α ) 0( α ) ( α )( α ) α α ( )( α α ) α 0α ( α )( α ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
24 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ( ) ( ) ( )( ) 0 ) ( )( ) 0 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) V.. FACTORIZACIÓN DEL CUBO DE UN BINOMIO U ti s uo rto uo s l routo trs tors iguls, s ir, s l uo otr ti. Por jlo, s uo rto, u s l uo. El uo u ioio s l or: ul o ls siguits rtrístis: ( ) Pos utro térios. El riro oo l últio tério so uos rtos El sguo tério s l tril routo l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio. El trr tério s l tril routo l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio. Pr vriir u l toriió u rsió utro térios s l uo u ioio s ror l siguit r:. S or l olioio or st o st rsto u litrl.. S tr l rí úi l rir últio térios l olioio.. S osrv si toos los sigos so iguls o si s ltr.. S trili l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio s or o l sguo tério l olioio o.. S trili l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio s or o l trr tério l rsió.. Si ls os orios hhs los sos rvios so iguls, s trt l srrollo l uo u ioio s tori sí: s or u ioio o ls rís úis l rir últio tério l olioio, o los sigos u s otg (si toos los sigos so iguls) o or l sigo os (si los sigos s ltr). Filt, s lv l ioio l uo. Ejlos. Ftorir los siguits olioios: ) S tr ls rís úis los térios tros:
25 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios El tril routo l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio s: ( ) ( ), u s igul l sguo tério. El tril routo l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio s: ( )( ), u s igul l trr tério. Do u toos los sigos so ositivos, l ioio l uo oro or ls rís úis los tros s: ( ), sí u: ( ) ) S tr ls rís úis los térios tros: El tril routo l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio s: ( ) ( ), u s igul l sguo tério. El tril routo l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio s: ( )( ), u s igul l trr tério. Do u los sigos s ltr, l ioio l uo oro or ls rís úis los tros s:, sí u: ( ) ( ) ) S or l olioio o rsto : s tr ls rís úis los térios tros: El tril routo l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio s: ( ) ( ), u s igul l sguo tério. El tril routo l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio s: ( )( ), u s igul l trr tério. Do u toos los sigos so ositivos, l ioio l uo oro or ls rís úis los tros s: ( ), sí u: ( ) ) S or l olioio o rsto : s tr ls rís úis los térios tros: El tril routo l uro l rí úi l rir tério or l rí úi l últio s: ( ) ( ), u s igul l sguo tério. El tril routo l rí úi l rir tério or l uro l rí úi l últio s: ( )( ), u s igul l trr tério.
26 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Do u los sigos s ltr, l ioio l uo oro or ls rís úis los tros s: ( ), sí u: ( ) ) ( ) w w w w w w w ) ( ) ) ) ( ) ( ) V.. FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES S u úro tro ositivo. L su otis iguls irs s sir ivisil or l su ls ss. Esto s: s ivisil or L. Por lo tto: ( )( ) L su otis iguls rs, o s ivisil i or l su i or l iri ls ss os u s osil trsorrl u su uivlt otis irs. L iri otis iguls, s rs o irs, s sir ivisil or l iri ls ss. Esto s: s ivisil or L. Por lo tto: ( )( ) L iri otis iguls rs, s sir ivisil or l su ls ss. Esto s: s ivisil or L Ejlos. Ftorir ls siguits sus otis iguls: ) Soluió. Ls otis so irs, tos s ivisil or 0 Por lo tto: ( )( ) ) Soluió.. Por lo tto: ( )( ) :
27 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios, ls otis so irs, tos s ivisil or Por lo tto: ( )( ) ) Soluió. L rsió s ivisil or 0 : Por lo tto: ( )( ) 0 : ) Soluió:, ls otis so rs, tos o s ivisil or i or. Si rgo, uivl ( ) ( ), rsió u s toril u:
28 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tto: ( )( ) ) Soluió: Ls otis so rs, tos s ivisil or : 0 Por lo tto: ( )( ). L rsió, tié s u rsr oo ( ) ( ) uros, or lo tto, su ái toriió s: ( )( ) 0, u s u iri s u vr l vtj sor l ltito trior r otr l ái toriió. ) Soluió. Ls otis so rs, tos s ivisil or :
29 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios 0 Por lo tto: ( )( ). Ftorio or gruió s oti su ái toriió: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) Est iso jriio uo hrs torio l iri uros: ( )( ) s u vr l vtj sor l ltito trior r otr l ái toriió. ) Soluió., l rsió s ivisil or : 0 Por lo tto: ( )( )
30 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios V..0 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS El íio oú últilo (MCM) os o ás rsios lgris s l rsió lgri or oiit uério or gro u s ivisil tt or u ls rsios s. Ejlos. ) 0 s l MCM ) s l MCM ) 0 s l MCM,,. Pr otr l íio oú últilo ooios s utr l MCM los oiits otiuió s sri ls litrls ous o ous, o litrl l or ot u tg ls rsios s. Ejlos. Otr l íio oú últilo los siguits ooios: ) l MCM s: ) l MCM s: ) j l MCM s: 0 ) l MCM s: ) j, 0 α, α λ λ l MCM s: ) l MCM s: ), rs l MCM s: ), l MCM s: α λ, r r s s 0 r s, 0 0 Pr otrr l íio oú últilo olioios riro s tori los olioios os sus tors rios sués s ultili (osrvo l MCM or tori) los tors rios, ous o ous o su or ot. Ejlos. Otr l íio oú últilo los siguits olioios: ) 0 0 Too oo tor oú r l rir rsió: ( ) 0
31 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios Too oo tor oú 0 r l sgu rsió: 0( ) l MCM s: 0( )( ) ) ( ) Ftorio u ls rsios: ( ) ( )( ) ( )( ) l MCM s: ( ) ( ) ) Too oo tor oú ( ) Ftorio l sgu rsió: ( )( ) l MCM s: ( )( ) ) Too oo tor oú ( ) Ftorio l TCP: ( ) Too oo tor oú ( ) l MCM s: ( ) ), Ftorio u ls rsios: ( )( ) ( )( ) ( ) l MCM s: ( ) ( )( ) ) Ftorio tos ls rsios: r l rir rsió: r l rir rsió:, 0 ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) l MCM s: ( )( )( )( ) ), 0 Ftorio ls rsios: ( )( ) r l sgu rsió:
32 Pági l Colgio Mtátis l ENP-UNAM Proutos otls toriió Autor: Dr. José Mul Brr Esios 0 ( )( ) ( ) l MCM s: ( )( )( ) ), Ftorio tos ls rsios: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) l MCM s: ( ) ( )( )
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TEMA 8: DETERMINANTES
DETERMINNTES MTEMÁTICS II TEM : DETERMINNTES Dtrnnts orn os trs S non trnnt l tr ur orn os t l nº rl rsultnt t Ejplos: s rprsnt S non trnnt l tr ur orn l nº rl rsultnt : t Est prsón s ono oo rl Srrus Ejros:
Determinantes D - 1 DETERMINANTES
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BORSÍ TÈCNIC/A AUXILIAR D'INFERMERIA LLISTAT PROVISIONAL
OÍ ÈI/ UII 'II I OIIO ÈI UII 'II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 otal 48,8000
2. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS.
. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. E un étodo r hllr un olución rticulr d l cución linl colt [], u conit fundntlnt n intuir l for d un olución rticulr. No udn dr rgl n l co d cucion linl con coficint
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MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE
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COTOS REGIONALES Y ZONAS DE CAZA CONTROLADA
OO IO O OO 2013 esto cazadores istado de dmitidos por úmero de orteo úm ol. 5 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 25 26 27 28 29 31 32 34 35 37 38 41 42 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61
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IE Pdr Povd (Gudi) Mtátics plicds ls CC II Dprtto d Mtátics Bloqu I: Álgr il Profsor: Ró ort Nvrro Uidd : ists d Ecucios ils UNIDD : ITEM DE ECUCIONE INEE DEFINICIONE U sist d cucios lils co icógits s
FACTORIZACIÓN. Capítulo TRILCE
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( )( 2) 6 ( )( 2) 10 ( )( 3)( 2) 30
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