DESIGUALDADES E INECUACIONES VALOR ABSOLUTO

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1 TRILCE Cpítulo DESIGUALDADES E INECUACIONES VALOR ABSOLUTO DESIGUALDADES Torms l Dsigul Dfiniión S nomin sigul l omprión qu s stl ntr os prsions rls, mint los signos rlión >, <; o. Ejmplo : Sino, y númros rls : > myor qu < mnor qu myor o igul qu mnor o igul qu Osrvión : A los signos rlión > o < s ls l nomr signos simpls mintrs qu o s ls nomin signos ols. Aioms l sigul. Ly Triotomí R:. R : ,, R : > > + > +.,, R :. > >. >., R ; o, R 6., R,n Z /. Ly Trnsitivi, R /., R n,n Z n n. Ly Aitiv, R /. Ly Multiplitiv.., R R /.., R R / Equivlnis Usuls : Sino,, númros rls. n n n Propis l sigul. 0, :. 0 :..

2 Álgr Propi iionl : Pr númros rls positivos, tnmos : MP MA MG MH = Mi potnil = Mi ritméti = Mi gométri = Mi Armóni Pr os númros : ; k k k MP MA MG MH k Z pr trs númros :, ; k Z k k k k INTERVALOS Dfiniión S nomin intrvlo l onjunto uyos lmntos son númros rls, ihos lmntos s nuntrn ontnios ntr os númros fijos nominos trmos, vs los trmos formn prt l intrvlo.. Intrvlos otos : Son toos qullos intrvlos uyos trmos son rls, stos pun sr :..Intrvlo irto : No onsir los trmos, s prsnt por istni lgún signo rlión simpl. En l rt, s tnrá : Don : ; Tmién : ];[..Intrvlo rro : S onsir los trmos, s prsnt por istni lgún signo rlión ol. En l rt rl, s tnrá : Don : [ ;] Tmién : (;)..Intrvlo mito (smi irto o smi rro) : Consir sólo uno sus trmos pr : ;] pr : [;. Intrvlos no otos : Son toos qullos on l mnos uno los trmos no s un númro rl... Intrvlo oto infriormnt : Don : ; Don : [ ;.. Intrvlo oto supriormnt : Don : ; Don : ;] Osrvions :. Un onjunto s i qu s oto si y solo si s oto supriormnt infriormnt l vz.. Pr l onjunto los númros rls R, s tin : R ] ; [ ; Es vint qu y no son númros rls.. Como los intrvlos son onjuntos, on llos s porán ftur tos ls oprions istnts pr onjuntos, tls omo l unión, intrsión, ifrni simétri, t.

3 TRILCE Clss sigul. Dsigul solut : Es qull qu mntin l sntio su signo rlión pr too vlor su vril. Vmos un jmplo : * 0 0 ; R. Dsigul rltiv : Es qull qu tin l sntio su signo rlión pr trminos vlors su vril. Vmos un jmplo : * INECUACIONES Dfiniión S nomin inuión ulquir sigul rltiv. Los vlors l vril qu vrifin l inuión formn l onjunto soluión, l ul s prsnt n funión intrvlos.. Inuions rionls :.. Inuions primr gro (linl) R / Inuions sguno gro (uráti), R / 0 Propis I. Trinomio simpr positivo Si : 0; R, 0 ntons : 0 0 II. Trinomio simpr ngtivo Si : 0; R, ntons : 0 0..Inuions gro suprior : n n n... 0 o n,,,... R / 0 o n º n N / n Rsoluión l inuión : S romin utilizr l métoo los puntos ort uy pliión onsist n los siguints psos :. S trsln toos los términos l primr mimro, otnino simpr un prsión ofiint prinipl positivo.. S ftoriz totlmnt l prsión otni.. S luln los puntos ort. Son los vlors rls "" otnios l igulr ftor primo ro.. S uin, ornmnt, toos los puntos n l rt rl, ihos puntos originn n l rt os o más zons.. S mrn ls zons otnis prtir l rh ltrnno los signos "+" y "". 6. Si l signo rlión s > o, l onjunto soluión strá formo por tos ls zons positivs, pro si l signo rlión s < o l onjunto soluión lo formrán tos ls zons ngtivs. Ejmplo : Rsolvr l inuión : 6 Rsoluión : D uro on l métoo los puntos ort, promos sí : 6 0 Ftorizno : (+)() > 0 Hllno puntos : = ; = En l rt : mrno zons : + + omo l signo rlión s > l soluión vin por tos ls zons positivs. + + ; ;.. Inuions frionris : F() 0; [H]º H()

4 Álgr Ejmplo : Rsolvr : 9 0 Rsoluión : Promos un moo similr qu n l jmplo ntrior : Puntos : + 6 = 0 + = 0 = ; Osrvión : En un inuión frionri, si l signo rlión s ol, sólo rrrmos los trmos qu provinn l numror. Ejmplo : Rsolvr : Rsoluión : 0 0 Osrvr qu: ( )( ) 0 ( )( ) Puntos : {, } + + [ ; ;. Inuions Irrionls.. Form : n A B;n Z s rsulv : n S (A 0 B 0 A B ) S (A 0 B 0) CS S S.. Form : n A B ;n Z CS A 0 B 0 A.. Form : m A < > n n B B ; m n Z n m CS A 0 B 0 A B Ejmplo : Rsolvr : Rsoluión : D uro on l form (.), s plnt : S : 0 0 ( ) ( ) 0 Intrstno : Osrvr qu : S : S [; 0 0 Intrstno : Osrvr qu : Finlmnt : Ejmplo : Rsolvr : + + S [ ; CS S S CS [ ; Rsoluión : D uro on l form (.) s plnt:

5 TRILCE Intrstno : Ejmplo : Rsolvr : = CS [; VALOR ABSOLUTO (V.A.) Dfiniión Do l númro rl "", l rlión funionl not por s l vlor soluto "", finio l mnr siguint : ; 0 0 ; 0 ; 0 Sgún l finiión : * = > 0 * = () < 0 = Torms :. 0; R. ; R..y. y ; y R. ; y R / y 0 y y. ; R 6. ; R. y y ; y R Propis :. Si : +y = + y, ntons : y 0. Si : y = + y, ntons : y 0 Euions on vlor soluto : Ejmplo : Rsolvr : = ; 0 Rsoluión : Osrvr qu : = > 0. Lugo, tnmos : 8 6 CS { ; } Rsoluión : S plnt lo siguint : 0 ( ) 0 (6 ) ( ) Osrvr qu : CS vrifi <. vrifi <. { ; } Inuions on Vlor Asoluto.. 0 ( ). y ( y)( y) 0 Ejmplo : Rsolvr : + < Rsoluión : D uro on l form (), s plnt : Lugo, sólo s rsulv : Ejmplo : 0 ( ) R < + < < < 9 < < < < ;? porqu s un vr Rsolvr : Rsoluión : S s qu. Lugo, s tnrá : 0 ( )( ) 0 Osrv qu : 0; R En onsuni : 0 Sgún l form () : ; ] [ ;

6 Álgr EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Rsolvr ls siguints inuions : I. Rpt.... II. ( ) ( ) Rpt.... III. ( ) ( ) Rpt.... IV. Rpt.... V. Rpt.... VI. 0. Rsolvr : 0, 0, Rpt.... ) < 0 ) > 0 ) 0 ) > ) > 0. Hllr l sum los ntros qu opt: N ; si : ;] ) ) ) 0 ) ) 6 0. Hllr lo inio n so : I. < < II. 9 < < III. < < IV. 8 < < V. < < VI. 9 < < Hllr l vlor : P = y. Don :, y son númros ntros positivos qu stisfn ls siguints siguls : y y y 0. Si : m, n, p R, y más : m n K mn n p np Lugo, s posil firmr qu : ) K 6 ) K ) K 08. Rsolvr : si : 0 < <. ) K m p mp ) K ) ; ) ; ) ; ) ; ) 09. Un vhíulo, mrhno km/h rorr un mino qu mi un númro ntro km. Cuno llv rorri l mit l mino, l flt mnos h min, y uno llv rorrios 60 km l fltn más h min mrh. Cuál s l longitu l mino? ) 0 km ) km ) km ) 0 km ) F.D. 0. Rsolvr : I. Si : [ ;, inir l intrvlo vriión : f() 6( 8) II. Si : ;], inir l intrvlo vriión : 6 f() III. ;], inir l intrvlo vriión : f() 6 ) ) ) ) 8 ) Si : 0 ; ;, ntons, stá omprnio ntr : ) 0 y ) 0 y ) y 0 ) y 0 ) y 0. Rsolvr l sistm : (,) 6 (0,6) ) < ) < ) 0 < ) 0 < ) < 6

7 TRILCE y. Hllr l vlor, E, si : z, y, z, son ntros positivos qu stisfn ls siguints siguls : y z y z y z y ) / ) / ) 0 ) ). Si : > > 0; > 0 on rlión :, pomos firmr qu : ) < < ) < < ) < < ) < < ) < <. S s qu l uáruplo l númro ojtos qu hy ntro un pósito, s tl, qu isminuio n, no pu r y qu l quíntuplo l mismo númro ojtos, umnto n no s mnor qu 0. Hllr st númro. ) 0 ) 8 ) 6 ) 0 ) No s posil. Un lost tin pi pr 60 trjs, pro, sólo hy irto númro trjs guros n él. Si l númro trjs s rujr l st prt s ouprí mnos l éim prt su pi; pro si s uplir l númro trjs; más oho trjs no porán sr guros por flt spio. Cuántos trjs hy n iho lost? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 6. D ls siguints proposiions : I.,,, R : II. R : III.,,, R. Si: 6, Inir l vlor vr un. ) VFV ) VVV ) VFF ) FVF ) FFF. Pr : > 0 y > 0. Cuál ls siguints prsions s vrr? ) ) ) ) ) 8. Sn p, q, r, trs númros positivos ifrnts, qu umpln : pqr =. Entons, l sum : s = p+q+r stisf. ) s > ) s < ) 0 < s < ) s < ) < s < 9. Sn :, R / > ; l mnor vlor : E ; s : ) ) ) 6 ) 8 ) 9 0. S : > 0; lulr l mínimo vlor l prsión : K ) ) ) ) ). Rsolvr l sistm : + y > y < + y < 6 {; y} Z. Inir "y". ) ) 6 ) ) 6 ) 0. L sum los os númros ntros positivos s myor qu 6; su ifrni mnor qu 0, y si l myor s l sum l uplo l mnor, l rsulto no llg. Cuál s l myor? ) ) 8 ) ) ) 8

8 Álgr. Si :, y, z R, hllr l máimo vlor "" n : y z yzw w ) ) ) ) ) 8. Cuno ní, ppá tní más 0 ños; h 0 ños l ol mi r myor qu l él; si tngo mnos ños, qué tin él? ) ) ) ) ). Si : "S" s l sum "n" ntis positivs,,,..., ntons : rsult : E S S S... S S S ) E n ) E n n ) E n ) E n n n ) E n 6. Sn :, R, tl qu : + =. Si : M N, ntons, MN rsult : 9. Si : 0 < <, Amás : K ; ( ) ( ) lugo, pomos firmr qu : ) K ) K ) K 0 ) K 8 ) K 8 0. Si : > 0 y P ( ), lugo : ) P > ) P > ) P > 0 ) P > ) P > 0. Rsolvr uión uráti : I. II. ( ) III. 6 0 IV. ( ) ( ) 9. Rsolvr inuión sguno gro : I. 0 II. 9 0 III. 8 0 IV. 0 ) ) 6 ) ) ). Dtrminr "m+n", si l inuión : m n 0 prsnt omo onjunto soluión : ;. A qué númro ntro s proim : S ) 669 ) 999 ) 866 ) 999 ) Sn :,, ; númros no ngtivos, tls qu : ++ =, hllr l máimo l prouto : P Inir l sum ls ifrs 0 8 P. ) ) ) ) 8 ) 0 ) ) ) ) ). Dtrminr l mnor vlor "E", si s umpl : s vrifi pr too E R. ) ) ) ) ). Rsolvr sigul : I. ( + )( )( + ) > 0 II. ( ) ( ) ( ) 0 III ( 6)( ) ( )( ) 0 IV. ( )( )( ) 0 8

9 TRILCE 6. Rsolvr : ) ; ; ) ; ; ) R ) ) ;. Dspués rsolvr : 8 0 Sñlr l myor ntro qu vrifi l sigul. ) 0 ) ) ) ) 8. Rsolvr : I. 0 II. III. 9. Rsolvr ls inuions : I. II. III. 8 IV Inir l intrvlo soluión : ) [ ;] ) [ ;] ) [;] ) ;] ) [;. Rsolvr ls inuions : I. 9 II. 8 III. ( )( ) ( ). Rsolvr l inuión : ( ) ( ) inir un intrvlo soluión. ) ; ) 0;. Al rsolvr : s otuvo omo soluión : Hllr : + +. ; ; ) ) ) 6 ) ) 8. Rsolvr : ) ; 0;] ) ;] [; ( )( ) 0 ) ; ; 0 ) ; [ ;0] ). Sn ls funions : f() m g() m Qué rro?, s osrv qu l rl ulquir vlor "" s otin qu f()<g(), ntons, "m" s : ) Myor qu. ) Mnor qu. ) Está ntr y. ) Myor qu. ) Mnor qu. 6. Inir l mnor númro "n" ntro qu prmit : n s vrifiqu pr too "" rl. ) ) ) ) 6 ) 0. El onjunto : ( )( ) A R / 0, s : ( )( ) ) [ ; ; ) [ ; ) [ ; ; ; ) ; ] ; ) ; ; ) ; ) ; 0 ) ; 0 9

10 Álgr 8. Pr qué vlors "" n l inuión uráti siguint, s umpl qu pr too ) 6; ) 0; ) ; ) ; 0 ) ; 6 R :? 9. Dtrminr n qué onjunto númros ngtivos str ontnio "", pr qu : 60 0 ( 8 ) ) ; ) ; ) ; 0 ) ; ) ; 0 0. Sn :, R, on 0 < <. Entons, l onjunto : A { R / oini on : ) ; ) 0; } ) ; ) ; ) 0;. Lugo rsolvr : 6, inir l sum vlors ntros "". ) ) ) ) ) 0. D l inuión : on : > >. Hllr l onjunto soluión. ) ; ] ) [ ;] ) [;]. Rsolvr : 6 8( ) 0 ) ) R ) [; ] ) {; } ) <; >. Si : "S" s l onjunto soluion l sigul : ( ( ) 6 ntons, s vr qu : ) [ ;0] S ) [ ; S ( ) 0 )( 6) ) S ;0] ; ) [0; S ) { } S 0. Dtrminr l vlor vr ls proposiions : I. Si : ; 0; 6 II. Si : [0; 0 III. Si : ) FVV ) FVF ) FFV ) FFF ) VVV 6. Rsolvr : Si : < 0. ) ; ) [ ; ) ; ; ) ; ; ) ; ;. Dtrminr, por tnsión, l onjunto : A { R / 0} ) { ;0; } ) ; 0 ) [;] ) { } ) 0; ) ; [ ; [; ) ; ] 0

11 TRILCE 8. Al rsolvr : ( )( ) 0 s otin omo soluión : Clulr : mn. R [m;n] ) ) ) ) ) S : ( ) 0 Entr qué vlors stá :? 6 6 ) ; ] ) 0 ; ] ) ; ] 6 ) ; ] ) ; ] 60. Do : f(), tl qu : R ; f() 0. Hllr l mínimo vlor positivo : A 6. Inir l intrvlo soluión : ) [ ;] ) [ ;] ) [;] ) ;] ) [; 6. S "S" l onjunto soluión : ntons : ) S [ ; ) S ; 0; ) S [ ; 0 ) S ; 0; ) S ; 6. Cuántos vlors ntros vrifin l inuión : ) 6 ) ) ) )? ) ) ) 66. Hllr l intrvlo formo por los vlors "" qu stisfn l siguint sigul : ) ) 6. Cuánts ls proposiions siguints son vrrs? I. Si :, ntons, > II. Si :, ntons, III. Si : <, ntons, IV. Si : >, ntons, V. Si :, ntons, < ) ) ) ) ) 6. Rsolvr ls inuions : I. II. III. 8 IV. 0 ( ) ) ; ) ; ) ; ) 0; ) ; 6. Rsolvr : inir l númro vlors ntros qu no l vrifin. ) ) ) ) ) El onjunto soluión l sigul : stá ontnio n : 6 ) [; ] ) [ ;8 ) ; 6 ) [ 8; ) ; ]

12 Álgr 69. El onjunto soluión otnio l rsolvr : s : ;. Inir :. ) ) 6 ) 8 ) ) 0. Hllr l intrvlo soluión l inuión : 0 ) [;] ) ;] ) 0;] ) ;. Lugo rsolvr : ) ; Inir l sum los trmos finitos l intrvlo soluión. ) 0 ) ) ) ). Rsolvr : 8 0 ) ; 0] [;] ) [; ) ; ] [0;] ) [ ;0] [ ; ). Inir l intrvlo soluión l rsolvr : ) [0;] [8 ; ) 0; ; ) [0;] [ ; ) ;0] [ ; 6 8. Rsolvr : Inir uántos vlors ntros l vrifin. ) ) 6 ) ) 8 ) 6. Rsolvr : ) ; ) ; ) ; ) ; ) ;. Consirr los psos pr rsolvr l sigul : 9 Pso : 8 9 Pso : 8 ( 9) Pso : simplifino Pso : R, por lo tnto, l soluión s too R. Entons, s pu ir qu : ) Toos los psos son orrtos. ) El primr rror s omt n l pso. ) El primr rror s omt n l pso. ) El primr rror s omt n l pso. ) El únio rror s omt n l pso. ) ; ] 8. Rsolvr : Inir l onjunto no soluión Al rsolvr : 0, s otin un 9 onjunto soluión l form: [ ; ;]. ( ) Dr omo rspust :. ( ) ) R ) [ 0;6 ) 0; 6 ) ; 6 ) R 8 ; ) / ) 9/ ) 0/ ) /6 ) /

13 TRILCE 9. Al rsolvr l uión : 6 6 9, s otin un onjunto soluión l form : [; ]. Hllr : +. ) ) ) ) ) El onjunto soluión l inuión :.( ) 0 ( )( ) s: ) ; ) [; ) [ ;] ) ; ] ) ; ] [; 8. Rsolvr : ) [; ) [; ) [; ) [; 9 ) [; 8. Rsolvr : + = 6, inir l sum soluions. ) 0 ) 8 ) ) ) 8. Un soluión : + = s : ) ) ) 86. Hllr l onjunto soluión l uión mostr : 6 ) { ; } ) { ;} ) { ; } ) R ) { } 8. Inir l prouto soluions l uión : ) ) 0 ) ) ) 88. Lugo rsolvr : 8 Pr uántos vlors s vrifi l uión mostr? ) ) ) ) ) Infinitos 89. Hllr l únio vlor ntro qu vrifi l uión : n n... 0 ) ) ) 0 ) ) Rsolvr : Inir l onjunto soluión : 6 ) ) { } ) { } ) { } ) { } ) ) 8. Lugo rsolvr : 9. Rsolvr : Inir l sum soluions otnis. ) ) 8 ) 9 ) 0 ) 8. Hllr los vlors "" n : Inir l sum stos. ) ) 0 ) ) 6 ) 0 ) [; ] ) [; ] ) [; ] ) [; ] [; ] ) [; ] [; ] 9. Rsolvr : ) R ) ) [ ; {} R ) R {0} ) R

14 Álgr 9. Rsolvr : inir un intrvlo soluión. ) ; ) ; ) [ ; ) ; ] 9. Si :,, m R. Rsolvr pr "". ) ) 9. Rsolvr : ) ; m m R ) R Ro ) R o ) R inir l númro vlors ntros "". ) 00 ) 009 ) 0 ) 006 ) Rsolvr : 0 6 inir un intrvlo soluión. ) [ 6; 0 ) ; ) ; 6 ) 6; ) 0; 9. Rsolvr : 0 ) [ ; ) R o ) [; ] ) [ ; {} ) R {} 98. Hllr l máimo : 006 ) 006 ) 006 ) 00 ) 00 ) Rsolvr : < ) ; ; ) ; ) ; ) ; ) ; 00. Si :, y y 6 ntons : ) + y < 0 ) y < ) y > 0 ) y ) y < 0. Al rsolvr : y y 006 hllr l vriión "", si "y" tom su mínimo vlor ntro. ) < < 0 ) 0 < < ) < < ) < < 0 ) < < 0. Rsolvr : ( ) 6 ) ; ) 0; ) ; ) ; ) ; 0. Rsolvr : ) ;0] ) [ 0; ) ;0] ) ;0] ) 0. Rsolvr : + 8 < 9 +. ) ; ; 9 6 ) ; ) ; 9 6 ) ; 6 ) ; 6 0. Rsolvr : Inino su intrvlo soluión. ) [ ; ; ] ) [ ;0 ; ] ) [ ; ; ] ) [ ;0 ; ] ) [; ; ]

15 TRILCE 06. Dos los onjuntos : A { R / } B { R / } ntons : A B s igul : ) ; 9 ) ; ) ; ) ; ) ; 0. Al rsolvr : 0, pomos firmr : ) = {} ) = {0; } ) > 0 ) < 0 ) 08. Rsolvr : ) ; 006 {0} ) ; 006 ) R {006} ) R {006} ) R 09. Rsolvr : 0 8 inir un intrvlo soluión.. Dos los onjuntos númros rls : S {p R / p 6 p} T {q R / q q ; 0} Entons : S T, s : ) R ) 0; ) 0; ) ; ) ;. Ds ls inuions : y y Hllr l onjunto vlors "y", uno "" tom su myor vlor ntro. ) ; 0 ) ; ) ; ) ; ; ) ; ;. Si :, ntons : 6 Lugo, "", s pu firmr : ) [ ; ) ; 0 ) 0; ) ; ) [; 0. Rsolvr : ) 0; ) [0; ] ) ) R o ) R R. Rsolvr inir un intrvlo soluión : < ) ; 0 ) [ ;6 ) [ ; 0 ) ; 0 ) ;. Rsolvr : ) < ) < ) ) 6. Rsolvr : ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ) ; ; ) ) [0; ] ) [6; ] ) [8; ] ) [8; ] ) [; ]

16 Álgr. Rsolvr l sigul : 6 0 Dr omo rspust l sum ntr l myor vlor ntro ngtivo y l mnor ntro positivo qu vrifi l sigul. ) ) ) ) ) 8. Si l onjunto : A { R / 0}, ntons, l onjunto RA stá o por : ) ) [;] ) ; ) ; ) [;] 9. Ds ls siguls : y ( ) 0 ( y ) y 0; 0 Lugo, pomos firmr qu "y" s : ) Mnor qu. ) Mnor qu 0. ) Mnor qu. ) Mnor qu. ) Mnor qu. 0. Rsolvr : inir un intrvlo soluión. ) ;] ) [ ; ) [ ; ) ; ] ) [, ] 6

17 TRILCE Clvs Clvs ,. 6,

18 Álgr 8