ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 173

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1 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 173 TEMA DEFINICIÓN DE GRAFO Grfos. A mnuo, uno s osrv l r ruts érs un pís intrs osrvr ómo ir un iu otr por ls ruts posils. En onsuni, s tin os onjuntos ojtos istintos: ius y ruts. L Figur 5.1 mustr un mnr rprsntr l rlión xistnt ntr ls ius y ls ruts, sí omo l istni ntr ls istints ius. OVIEDO BILBAO MADRID BARCELONA 538 ALICANTE 1006 SEVILLA MELILLA 221 MALAGA Figur 5.1. Rprsntión ls onxions ntr ius.

2 174 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS En gnrl, un grfo s un mnr rprsntr rlions qu xistn ntr prs ojtos. Así, un grfo s un onjunto ojtos, llmos vértis 1, y rlions ntr ojtos qu stln un rlión ntr prs vértis, rprsnts por rists. En l jmplo ntrior, l grfo l Figur 5.1 rprsnt ls onxions érs ntr ius. Los vértis rprsntrín ls ius. Ls rists rprsntn ls onxions ntr ius y, n st so, s lmnn l istni n kilómtros ntr ls ius qu un. Dfiniión 1. Un grfo s fin omo un pr G = (V, A), on V s un onjunto finito no vío vértis y A s un onjunto prs vértis V, s ir, ls rists. Dfiniión 2. Un grfo G s fin omo un pr orno, G = (V, A), on V s un onjunto finito y A s un onjunto qu onst os lmntos V. 1 L trminologí l torí grfos no s stánr. El onpto vérti tmién s rfrni omo noo. Asimismo, rists (gs n inglés) y ros notn l mismo lmnto. En lgunos liros, sin mrgo, s stl un ifrni ntr rists (unn vértis n un grfo no irigio) y ros (unn vértis n grfos irigios). En st pítulo, s rá prfrni los términos vérti y rist.

3 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS TERMINOLOGÍA Y CONCEPTOS Grfos irigios y no irigios Dpnino l tipo rlión ntr los vértis l grfo, s finn istintos tipos grfos. Así s istingun rists irigis y no irigis: Arist irigi: s qull qu fin un pr orno vértis (u,v), on l primr vérti u s l orign l rist y l sguno vérti v s l término (o vérti finl). El pr (u, v) (v, u). Arist no irigi: s qull qu fin un pr no orno vértis (u, v), on (u, v) = (v, u). D st form s istingun ntr grfos irigios y grfos no irigios. Grfo irigio: Es qul uys rists son irigis. Los grfos irigios suln rprsntr rlions simétris omo por jmplo: rlions hrni, los vulos ntr ius, t. Grfo no irigio: Es qul uys rists son no irigis. Rprsntn rlions simétris omo rlions hrmn y olorión, onxions trnsports, t Inini, yni y gro un vérti S un grfo G = (V, A), los vértis u y v prtnints V; y un rist (u,v) prtnint A, s i qu: Inini: l rist (u,v) s inint on los vértis u y on v. Ayni: Dos vértis u y v son ynts si xist un rist uyos vértis sn u y v: o El vérti u s ynt v o El vérti v s ynt s u Gro: El gro un vérti u s l númro vértis ynts u. Pr un grfo irigio, l gro sli un vérti u s l númro vértis ynts s u, mintrs qu l gro ntr un vérti u s l númro vértis ynts u. L Figur 5.2 mustr los gros los vértis pr un grfo no irigio y un grfo irigio.

4 176 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS Grfo no irigio: Grfo irigio: Gro () = 3 Gro () = 3 Gro () = 2 Gro () = 4 Gro () = 4 GroE () = 2 GroE () = 3 GroE () = 0 GroE () = 2 GroE () = 1 GroS () = 1 GroS () = 0 GroS () = 2 GroS () = 2 GroS () = 3 Figur 5.2. Gro los vértis n un grfo no irigio y irigio Grfos simpls y multigrfos Un grfo simpl s qul qu no tin rists prlls o múltipls qu unn l mismo pr vértis. Un grfo qu unt on múltipls rists ntr os vértis s nomin multigrfo. L Figur 5.3 mustr un jmplo grfo simpl y multigrfo, on xistn rists prlls inints los vértis y, y y. En st so, s i qu l grfo tin multiplii 2 (máximo rists prlls ntr os vértis). GRAFO SIMPLE: MULTIGRAFO: Figur 5.3. Grfo simpl y grfo no simpl Si sumimos un grfo simpl, s osrvn ls siguints propis: Si G s un grfo no irigio on m vértis, ntons Σ gro(v) = 2m. v n G Un rist (u, v) s unt os vs n st sumtorio, uno omo vérti finl u y otro omo vérti finl v. Entons, l ontriuión totl ls rists los gros los vértis s os vs l númro ls rists.

5 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 177 Si G s un grfo irigio on m vértis, ntons: Σ v n G gro E(v) = Σ v n G gro S(v) = m En un grfo irigio, un rist (u,v) ontriuy un uni l gro sli su orign u y un uni l gro ntr su vérti finl v. Por tnto, l ontriuión totl ls rists l gro sli los vértis s igul l númro rists, y similr pr los gros sli. S G un grfo simpl on n vértis y m rists, ntons: o Si G s no irigio: m n(n-1)/2. o Si G s irigio: m n(n-1) Cmino, ul y ilo Un mino s un suni qu ltrn vértis y rists qu ominz por un vérti y trmin n vérti tl qu rist s inint su vérti prsor y susor. Es ir, un mino s un susión vértis v i V: <v 0, v 1, v 2, v k > qu umpl qu: (v i,,v i+1 ) A i {0 k-1. S i qu st mino tin longitu k. Es ir, l númro rists un mino o ilo s l longitu l mino. Un mino s simpl si vérti n l mino s istinto, xpto posilmnt por l primro y l último vérti. Un mino simpl umpl l siguint rstriión: vi vj i {0 k, j {1 k-1, i j Pr too vérti x, xist l mino simpl <x>, qu srí l mino longitu 0. Un ul s un mino longitu 1 qu ominz y trmin n l mismo vérti: <x i, x i >. Un ilo s un mino simpl <v 0, v k > qu umpl ls siguints rstriions: v 0 = v k Si s no irigio, k = 1 (s un ul) o k 3. L Figur 5.4 ilustr stos onptos pr un grfo no irigio y un grfo irigio.

6 178 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFO NO DIRIGIDO: GRAFO DIRIGIDO: <,,,,>: mino simpl longitu 4. <,,,,,>: mino longitu 5. <,>: no s un mino. <,>: mino, ul y ilo Grfos onxos <,>: mino simpl longitu 1. <,,,>: mino longitu 3. <,,>: no s un mino. <,>: mino, ul y ilo Figur 5.4. Cminos, uls y ilos n un grfo irigio y no irigio. S G = (V, A) un grfo no irigio, s l nomin onxo si xist un mino ntr os vértis ulsquir G. Pr un grfo irigio G, su grfo soio no irigio s qul qu s otin ignorno l irión ls rists. G s onsir onxo si su grfo soio s onxo. L Figur 5.5 mustr jmplos grfos onxos y no onxos. GRAFO 1: NO DIRIGIDO CONEXO GRAFO 2: DIRIGIDO CONEXO GRAFO 3: NO DIRIGIDO NO CONEXO GRAFO 4: DIRIGIDO NO CONEXO Figur 5.5. Ejmplos grfos onxos y no onxos

7 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS Grfos vloros y grfos tiqutos 2 Un grfo vloro (o ponro) s un trn <V, A, f> on <V, A> s un grfo y f s un funión ulquir, nomin funión ost, qu soi un vlor o pso rist n l grfo. El pso un mino n un grfo on psos s l sum los psos tos ls rists trvss. En un grfo tiquto, l funión f tin omo imgn un onjunto tiquts no numéris. GRAFO VALORADO GRAFO ETIQUETADO Muso Muniipl isño-por stilo stá-n hurrigurso stilo Pro Rir nio-n Mri Plz Myor stá-n Slmn Figur 5.6. Grfo vloro y grfo tiquto 2 En st urso no s vn trtr los grfos vloros ni tiqutos.

8 180 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS 5.3. IMPLEMENTACIONES DE GRAFOS Los os tipos implmntión más frunts (inpnintmnt l lnguj progrmión) pr l rprsntión grfos son ls mtris ynis y ls lists ynis. En st tm, s tllrán ms implmntions n l lnguj Jv Intrfz l TAD Grfo. Los métoos ojto qu pormos utilizr sor ls vrils l ls Grfo (no tiquto ni ponro) prn n l siguint intrfz: import jv.io.ioexption; puli intrf Grfo { puli voi insrtvrti(int n); /** Insrt un vérti n l grfo simpr qu no s supr l númro máximo noos prmitios **/ puli voi liminrvrti(int v) /** Elimin un vérti l grfo **/ puli voi insrtarist(int i, int j); /** Insrt un rist ntr los vértis i y j **/ puli voi liminrarist(int i, int j); /** Elimin l rist ntr los vértis i y j **/ puli ooln svio(grfo g); /** Dvulv tru si l grfo no ontin ningún vérti **/ puli ooln xistarist(int i, int j); /** Dvulv tru si xist un rist qu un los vértis i y j. **/ puli int groin(int i) ; /** Dvulv l gro ntr l vérti i **/ puli int groout(int i); /** Dvulv l gro sli l vérti i **/ puli int inini (int i) /** Dvulv l inini l vérti i **/ puli int tmno(); /** Dvulv l tmño (númro rists) l grfo **/ puli ooln sdirigio (Grfo g) ; /** Dvulv tru si l grfo g s irigio **/ puli voi ponrmxnoos(int n); /** Asign l númro máximo noos o vértis prmitios n l grfo**/ puli voi ponrdirigio(ooln ); /** Dtrmin si s un grfo irigio o no irigio **/

9 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS Mtriz ynis Un mtriz ynis A (implmnt omo un mtriz iimnsionl) trmin ls ynis ntr prs vértis un grfo. En un mtriz ynis, los vértis s onin omo ntros n l onjunto {0,1,,n-1 y ls rists omo prs tls ntros. Esto prmit lmnr rfrnis ls rists n ls ls l mtriz iimnsionl nxn. C fil y olumn rprsntn un vérti l grfo y posiión rprsnt un rist (o l usni st) uyo vérti orign s nuntr n l fil y vérti finl s nuntr n l olumn. L Figur 5.7 mustr l rprsntión gráfi un grfo y su mtriz ynis Figur 5.7. Grfo y mtriz ynis orrsponint Nóts qu l mtriz ynis pr un grfo no irigio s un mtriz simétri omo s pu prir n l Figur 5.8: Figur 5.8. Grfo y mtriz ynis pr un grfo no irigio En un tl ynis, los vértis s rprsntn mint ínis. Así, s un grfo on los vértis {,,,,, stos srán rprsntos mint sus ínis {0,1,2,3,4 tl y omo s mustr n l Figur 5.9. VÉRTICES: ÍNDICES: Figur 5.9. Rlión ntr vértis ínis

10 182 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS D st mnr, pomos finir un mtriz A iimnsionl n x n on l l [i, j] gur informión rfrnt l rist (v, w), n so qu xist, on v s l vérti on íni i y w s l vérti on íni j. Existn vris posiilis pr rprsntr l rist (v, w) n su orrsponint l A [i, j]: Si no s tiquto: un vlor oolno qu tom l vlor 1 si xist l rist y 0 n so ontrrio. Si s vloro: un rl on l vlor f (i, j) si xist l rist. En so ontrrio, tom l vlor. S otnrí l mtriz osts l grfo. Si s tiquto: un tiqut on l vlor f (i, j) si xist l rist. En so ontrrio, tom l vlor tiqut imposil. S otnrí l mtriz tiquts l grfo. A ontinuión, s mustr un posil implmntión un grfo n un mtriz ynis n Jv. S sum qu s trt un grfo simpl no tiquto (tnto irigio omo no irigio) Rprsntión l ls Grfo L siguint sintxis mustr l implmntión l ls grfo on un mtriz ynis: puli lss GrfoMA implmnts Grfo { privt ooln irigio; privt int mxnoos; privt int numvrtis; privt ooln mtrizay [ ] [ ]; // Ini si s irigio o no. // Tmño máximo l tl. // Númro vértis l grfo. // Mtriz ynis l grfo. L rprsntión gráfi un vril l ls Grfo llm grfo1 qu rprsnt l grfo l Figur 5.7 srí: grfo1 tru 5 5 Vril státi irigio mxnoos numvrtis mtrizay Cls Grfo Figur Rprsntión gráfi l vril grfo1

11 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS Construtors l ls Grfo 3. S utiliz pr rr un grfo vío, on un tmño máximo y númro vértis igul 0. S ps omo rgumnto un oolno qu ini si s trt un grfo irigio o no irigio. puli GrfoMA (ooln ) { mxnoos = numvrtis = 0; irigio = ; Tmién s pu inluir un onstrutor l qu s l psn omo rgumntos l númro vértis l grfo y l vlor pr l mpo irigio: puli GrfoMA (int n, ooln ) { irigio = ; mxnoos = n; numvrtis = 0; mtrizay = nw ooln[n][n]; Algoritmos ásios moifiión: insrtr y liminr rists. L insrión un rist (i, j) n l mtriz supon signr l l orrsponint l vlor tru. Si s trt un grfo irigio, tnrs n unt qu l vérti orign i orrspon fil, mintrs qu l vérti stino j orrspon l olumn. En so qu s trt un grfo no irigio, rorrs qu l rist (i, j) s igul l rist (j, i) pr qu l mtriz mntng l propi l simtrí. puli voi insrtarist (int i, int j) { mtrizay [i] [j] = tru; if (!irigio) mtrizay [j] [i] = mtrizay [i] [j]; L liminión l rist (i, j) s snill, onsist n signr l vlor fls l l orrsponint l mtriz. En so qu s trt un grfo no irigio, hrá moifirs igulmnt l vlor orrsponint l rist (j, i): puli voi liminrarist (int i, int j) { mtrizay [i] [j] = fls; if (!irigio) mtrizay [j] [i] = fls; 3 Ants jutr st oprión rá sgurrs qu no xist prvimnt ningún grfo on l mismo nomr pus su juión hrí qu s pris l ontnio l grfo prxistnt.

12 184 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS Algoritmos ásios moifiión: insrtr vértis L moifiión los vértis l grfo supon un gro omplji myor qu l trtminto ls rists. Pr l insrión un vérti, l óigo quí mostro simplifi l métoo mnr qu no j insrtr vértis si s supr l límit vértis l grfo (vlor l mpo mxnoos). En so qu no s supr l númro máximo vértis, simplmnt s sign l vlor fls ls ls orrsponints y s tuliz l mpo numvrtis: puli voi insrtvrti (int n) { if ( n > mxnoos - numvrtis ) Systm.out.println ("Error, s supr l númro noos máximo"); ls { for (int i=0; i < numvrtis + n; i++) { for (int j = numvrtis; j < numvrtis + n; j++) mtrizay [i] [j] = mtrizay [j] [i] = fls; numvrtis = numvrtis + n; L liminión un vérti suponrí mir los ínis los vértis. D mnr qu no s v rprouir st oprión. S j l lumno omo jriio l posil implmntión liminión un vérti Otros métoos Pu sr intrsnt onor l gro ntr y sli un vérti. Rtóms l grfo y su mtriz l Figur 5.7. En un grfo irigio, l gro ntr un vérti, por jmplo, vin o por l sum los vlors l olumn ; mintrs qu su gro sli vnrí o por l sum los vlors l fil : Gro sli () = Gro ntr () = 3 Figur Gros ntr y sli n un mtriz ynis. puli int groin(int j) { int gin = 0; for (int i = 0; i < numvrtis; i++) //rorrio por fils if (mtrizay [i] [j]) gin++; //mntnino l posiión l olumn n [j] rturn gin;

13 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 185 puli int groout(int i) { int gout = 0; for (int j= 0; j < numvrtis; j++) if (mtrizay [i][j]) gout++; // mntnino l posiión l fil n [i] rturn gout; En un grfo no irigio, l inini un vérti vnrí por su gro ntr: puli int inini (int i) { if (!irigio) rturn groin (i); ls rturn groin (i) + groout (i); El tmño un grfo vin o por l númro rists. D notrs qu ls rists un grfo no irigio s untn os vs. puli int tmno() { int tm = 0; for (int i = 0; i < numvrtis; i++) for (int j=0; j < numvrtis; j++) if (mtrizay [i] [j]) tm++; if (irigio) rturn tm; ls rturn tm/2; Pr ompror si un grfo s irigio o no, st on ompror si s trt un mtriz simétri, on l posiión [i, j] = [j, i]: puli ooln sdirigio (Grfo g) { ooln ir = tru; for (int i = 0; i < numvrtis; i++) for (int j = 0; j < numvrtis; j++) if (mtrizay [i] [j]!= mtrizay [j] [i]) ir = fls; rturn ir; Por último, l siguint métoo imprim un mtriz ynis un grfo: puli voi imprimirtl () { Systm.out.println ("L mtriz ontin " + numvrtis + " vértis: \n"); for (int i = 0; i < numvrtis; i++) { for (int j = 0; j < numvrtis; j++) { if (mtrizay [i] [j]) Systm.out.print ("1 "); ls Systm.out.print ("0 ");

14 186 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS List ynis Otr implmntión frunt pr l strutur grfo s l list ynis. En un list ynis, vérti i s l soi un list nlz on toos los vértis j ynts i. D st form sólo s rsrv mmori pr ls rists ynts i y no pr tos ls posils rists qu puirn tnr omo orign i (omo ourr n un mtriz ynis). El grfo, por tnto, s rprsnt por mio un vtor n omponnts, sino n l númro vértis l grfo, on omponnt onstituy l list ynis orrsponint uno los vértis l grfo. C noo l list onst un mpo inino l vérti ynt. En so qu l grfo s tiquto o vloro, hrá qu ñir un sguno mpo pr mostrr l vlor l tiqut o l pso l rist. L Figur 5.12 mustr un grfo y su rprsntión n un list ynis. 0 1 null null 0 3 null 0 1 null null Figur Grfo irigio y list ynis soi Rprsntión l ls Grfo omo list ynis Pr l implmntión l ls Grfo omo un list ynis, s hrá uso l ls List Clifi Orn (tl y omo s vio n l tm 3.6.), sí omo l ls NooList on ls siguints vrils mimro y onstrutors: puli lss NooList { puli int lv; puli NooList sig; puli NooList (int to, NooList siguint) { lv = to; sig = siguint; puli lss List { puli NooList iniio; puli List () { iniio = null;

15 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 187 L implmntión los istintos métoos l ls Grfo quí propust utiliz los siguints métoos List: voi insrtr (int x) ; voi liminr (int x); ooln usqu (int x); L siguint sintxis mustr l implmntión l ls grfo on un list ynis: puli lss GrfoLA implmnts Grfo { ooln irigio; // Ini si s irigio o no. int mxnoos; // Tmño máximo l tl. int numvrtis; // Númro vértis l grfo. List listay []; // Vtor lists ynis l grfo. Figur Cls Grfo Construtors Grfo El onstrutor Grfo(ooln ) s utiliz pr rr un grfo vío, on un tmño máximo y númro vértis igul 0. El rgumnto oolno ini si s trt un grfo irigio o no irigio. puli GrfoLA (ooln ) { mxnoos = numvrtis = 0; irigio = ; Tmién s pu inluir un onstrutor l qu s l psn omo rgumntos l númro vértis l grfo y l vlor pr l mpo irigio. S r un vtor n lists iniilizs. puli GrfoLA (int n, ooln ) { irigio = ; mxnoos = n; numvrtis = 0; listay = nw List[n];

16 188 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS Algoritmos ásios moifiión: insrtr rists. L insrión un rist (i, j) n l list ynis supon insrtr un noo on lv j n l list on íni i. En so qu s trt un grfo no irigio, rorrs qu l rist (i, j) s igul l rist (j, i) form qu hrá qu insrtr n l list on íni j l noo on lv i. puli voi insrtarist (int i, int j) { if (i >= numvrtis) Systm.out.println ("Error, no xist l vérti n l grfo"); ls { listay[i].insrtr (j); if (!irigio) listay[j].insrtr (i); L liminión l rist (i, j) onsist n liminr l noo on lv j l list on íni i. Si l grfo s no irigio, hrá qu liminr l noo on lv i l list on íni j: puli voi liminarist (int i, int j) { if (j >= numvrtis) Systm.out.println("Error, no xist l vérti n l grfo"); ls { listay[i].liminr (j); if (!irigio) listay[j].liminr (i); Algoritmos ásios moifiión: insrtr vértis Al igul qu n l mtriz ynis, no s prmit insrtr vértis si s supr l límit vértis l grfo (vlor l mpo mxnoos). El métoo quí propusto tin omo rgumnto un ntro qu ini l númro vértis qu s s ñir l grfo. En so qu no s supr l númro máximo noos l grfo, s iniilizn ls n lists orrsponints los vértis qu s ñn l grfo. puli voi insrtvrti (int n) { if (n > mxnoos - numvrtis) Systm.out.println ("Error, s supr l númro noos máximo l grfo"); ls for (int i = numvrtis; i < numvrtis + n; i++) listay[i]= nw List(); numvrtis += n; Do qu l liminión un vérti suponrí mir los ínis los vértis, no s v rprouir st oprión.

17 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS Otros métoos Pr onor l gro ntr un vérti v n un gro irigio, s n ontr ls vs qu pr l noo on lv v n ls istints lists yni. Pr llo, s utiliz l métoo ojto usqu l ls List. puli int groin (int v) { int gin = 0; for (int i = 0; i < numvrtis; i++) if (i!= v) if (listay[i].usqu(v)) gin++; rturn gin; El gro sli un vérti v vin o por l númro lmntos su list yni (list on íni v): puli int groout (int i) { //ontr los lmntos l list int gout = 0; NooList ux = listay[i].iniio; whil (ux!= null){ gout++; ux = ux.sig; rturn gout; En un grfo no irigio, l inini un vérti vnrí por su gro ntr. En mio, si s trt un grfo irigio, l inini un vérti i s l sum su gro ntr y sli: puli int inini (int i) { if (!irigio) rturn groin (i); ls rturn groin (i) + groout (i); El númro rists fin l tmño un grfo. En un implmntión s n lists ynis, l tmño l grfo vin o por l númro noos totl ls lists ynis. Pr llo, s h uso l métoo uxilir numelms qu ri omo rgumnto un list y vulv l númro noos l list ntr. En l so qu l grfo s no irigio, hrí qu iviir por os l sum l númro noos ls lists ynis pusto qu ls rists un grfo no irigio s untn os vs:

18 190 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS puli int tmnno () { int tm = 0; for (int i=0; i<numvrtis; i++) tm += numelmntos (listay[i]); if (!irigio) tm = tm / 2; rturn tm; stti int numelmntos (List list) { NooList ux = list.otnriniio(); int rsul = 0; whil (ux!= null) { rsul += 1; ux = ux.otnrsig(); rturn rsul; El siguint métoo oolno vulv un vlor vrro n so qu l grfo s no irigio. En un grfo irigio simpl l pr (i, j) s nsrimnt istinto l pr (j, i), mintrs qu n un grfo no irigio s umpl qu l pr (i, j) = (j, i). El métoo propusto ompru pr, pr vértis i, j, qu l vérti j s nuntr n l list ynis l vérti i; igulmnt qu l vérti i s nuntr n l list ynis l vérti j. puli ooln snodirigio () { ooln ir = tru; for (int i=0; i<numvrtis; i++) for (int j=0; j<numvrtis; j++) if (listay[i].usqu (j)!= listay[j].usqu (i)) ir = fls; rturn ir; Por último, l siguint métoo imprim l list ynis pr un grfo, iho métoo utiliz l métoo ls sriir (List): puli voi imprimirgrfo () { Systm.out.println("Tmño máximo l grfo: " + mxnoos + "\n"); Systm.out.println("El grfo ontin " + numvrtis + " vértis: \n"); for (int i = 0; i < numvrtis; i++) { Systm.out.print ("vérti " + i + ": "); sriir (listay [i]); stti voi sriir (List list) { NooList ux; ux = list.iniio; whil (ux!= null) { Systm.out.print (ux.lv +", "); ux = ux.sig; Systm.out.println ("FIN");

19 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS Consirions sor l implmntión l grfo omo mtriz o omo list ynis L prinipl vntj l mtriz ynis s l rápio so l informión rists. Es un strutur romnl si s vn rlizr onsults frunts l stilo: xist l rist (u, v) n l grfo? O, n so sr un grfo vloro, uál s l ost l rist (u, v)? Tmién s un strutur romnl pr grfos on poos vértis o in grfos on muhos vértis y muhs rists. L prinipl svntj qu prsnt l mtriz s qu rquir un lmnminto proporionl l uro l númro vértis l grfo, unqu l grfo ontng muhs mnos rists los posils. Rspto ls lists ynis, sts horrn mmori n l rprsntión grfos on muhos vértis y pos rists. Asimismo, si l prosminto s ntr n l trtminto los vértis ynts uno o, l list ynis s prfril l mtriz.

20 192 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS 5.4. RECORRIDOS DE GRAFOS El onpto rorrio l grfo, omo s h visto n l tm 4 árols, onsist n visitr toos los vértis l grfo susivmnt mnr sistmáti mnr qu vérti s visit un úni vz. En l rorrio un grfo, xistn os tipos vértis: Vértis visitos: vértis y visitos n l rorrios Vértis frontr: vértis qu un no h sio visitos pro stán ontos on lgún vérti visito (stán pnints visitr). Al igul qu un árol ( hho, un árol s un tipo grfo orinto sin ilos), un grfo pu sr rorrio n profuni o n mplitu. Existn os ifrnis funmntls l hor rorrr un grfo rspto un árol: ) Pusto qu un árol s un grfo orinto sin iruitos, l vnzr n l rorrio no l posiili qu s vulv visitr un vérti y visito. En l rorrio un grfo sí l posiili l vnzr visitr un vérti y visito. S rá implmntr lgún mnismo qu vit st situión. ) Prtino l ríz un árol s pun visitr toos los vértis, mintrs qu n un grfo s pu r l posiili qu no s lnn toos los vértis s un vérti. Hrí qu omnzr l rorrio n otro vérti pr por lnzr toos los vértis Rorrio n profuni En l rorrio n profuni, s prfrni visitr los vértis ontos on l último visito. Do un grfo G, n l qu iniilmnt ningún vérti h sio visito, l rorrio n profuni slion un vérti v G omo vérti iniil, qu s mr omo visito. Entons, s us un vérti no visito ynt v, w, qu s mr omo visito y s slion omo vérti iniil pr riniir l rorrio. Un vz qu s hn visito toos los vértis lnzls w s vulv v y s slion un nuvo vérti no visito. Cuno s hn visito toos los vértis lnzls s v, s por trmino l rorrio v. Si qun vértis por visitr, s slion uno llos omo nuvo vérti prti y s rprou too l proso. Es ir: S un grfo G y un vérti v qu prtn G, mrr v omo visito mintrs qun vértis sin visitr hr slionr un vérti no visito, v, vnzrenprofuni prtir v fin mintrs Don vnzrenprofuni onsist n: mrr l vérti v omo visito slionr un vérti ynt v no visito, w vnzr n profuni prtir w.

21 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 193 Por jmplo, s l siguint grfo G: Figur Ejmplo grfo S tom omo vérti iniil 1, v1 visito (l onjunto vértis ynts v1 s 2,3) S tom vérti 2: v2 visito (l onjunto vértis ynts v2 s 3,4) S tom vérti 3 v3 visito (l onjunto vértis ynts v3 s 1) //v1 y stá visito por lo qu s trmin l rorrio n profuni prtir l vérti 3. S tom l vérti 4 v4 visito (l onjunto vértis ynts v4 s 3) //v3 y stá visito por lo qu s trmin l rorrio n profuni prtir l vérti 4. //v3 y stá visito por lo qu trmin l rorrio n profuni prtir l vérti 3. No s posil lnzr más vértis s v1, mnr qu hy qu slionr un nuvo vérti s l qu romnzr l xplorión n profuni, s lig l vérti 5: v5 visito (l onjunto vértis ynts v5 s 4) //v4 y stá visito mnr qu s trmin l rorrio n profuni prtir l vérti FIN--- El lgoritmo rorrio n profuni unt on un prt rursiv qu rorr prilmnt un sugrfo prtir un vérti iniio y un prt no rursiv qu s nrg rlnzr l proso n vérti no visito. S utiliz más un vtor vlors lógios pr mrr los vértis visitos. S utilizn los ínis los vértis pr iniir y mrr l proso rorrio. El óigo n Jv pr un rorrio n profuni s l siguint: //proiminto rursivo puli voi rorrrprofuni (Grfo g, int v, ooln [ ] visitos) { //s mr l vérti v omo visito visitos [v] = tru; //l trtminto l vérti onsist únimnt n imprimirlo n pntll Systm.out.println (v); //s xminn los vértis ynts v pr ontinur l rorrio for (int i = 0; i < g.numvrtis; i++) { if ((v!= i) && (!visitos [i]) && (g.xistarist (v, i)) ) rorrrprofuni (g, i, visitos); //proiminto no rursivo puli voi profuni (Grfo g) { ooln visitos [ ] = nw ooln [g.numvrtis];

22 194 GRAFOS ESTRUCTURAS DE DATOS for (int i = 0; i < g.numvrtis; i++) //iniilizr vtor on mpos fls visitos [i] = fls; for (int i = 0; i < g.numvrtis; i++) { //Rlnz l rorrio n if (!visitos [i]) //vérti visito rorrrprofuni (g, i, visitos); En mplitu En un rorrio n mplitu, s lig un vérti no visito v, omo punto prti y s ps visitr uno sus vértis ynts, pr ontinur postriormnt visitno los ynts stos últimos y sí susivmnt hst qu no s pun lnzr más vértis. Si qu lgún vérti sin visitr, s slion y s vulv rlnzr l proso. Pr rlizr un rorrio n mplitu un grfo s nsrio utilizr un strutur tos ol (f. l rorrio n mplitu l ls árol). En l ol s vn lmnno los vértis mi qu s llg llos. Los vértis s mrn n l ol omo visitos y son trtos uno s xtrn l ol l timpo qu s introun n l ol los ynts l vérti trto. El óigo n Jv pr l rorrio n mplitu s l siguint: puli stti voi mplitu (Grfo g) { Col ol = nw Col (); ooln visitos [ ] = nw ooln [g.otnrnumvrtis()]; int v; //vérti tul //S iniiliz l vtor visitos [] fls for (int i = 0; i < g.otnrnumvrtis (); i++) visitos [i] = fls; //El rorrio n mplitu s inii n vérti no visito for (int i = 0; i < g.otnrnumvrtis (); i++) { //s pon n l ol l vérti prti y s mr omo visito if (!visitos [i]){ ol.nolr (i); visitos [i] = tru; whil (!ol.stvi ()) { v = ol.snolr (); //snolr y trtr l vérti Systm.out.println (v); //y nolo los noos ynts v. for (int j = 0; j < g.otnrnumvrtis (); j++){ if ((v!=j) && (g.xistarist (v, j) && (!visitos [j])) { ol.nolr ( j ); visitos [j] = tru;

23 ESTRUCTURAS DE DATOS GRAFOS 195 TEMA finiión grfo trminologí y onptos Grfos irigios y no irigios Inini, yni y gro un vérti Grfos simpls y multigrfos Cmino, ul y ilo Grfos onxos Grfos vloros y grfos tiqutos Implmntions Grfos Intrfz l TAD Grfo Mtriz ynis List ynis Consirions sor l implmntión l grfo omo mtriz o omo list ynis Rorrios grfos Rorrio n profuni En mplitu