Solución de los Problemas del Capítulo 3

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1 1. Slccion l rspust corrct y xpliqu por qué. Un lctrón qu tin un n= y m= ) Db tnr un m s =+1/ b) Pud tnr un l= c) Pud tnr un l=, ó 1 d) Db tnr un l=1 L rspust corrct s l c) porqu si n=, los posibls vlors pr l son y 1. Culquir d los dos s posibl, por tnto l rspust d) s incorrct porqu dic qu l db sr 1 y como m= no hy obligtoridd n l vlor d l, simpr qu s ó 1. Tmpoco s corrct l rspust ), y qu l stdo d spín podrí sr d m s =+1/ ó m s =-1/ y por tnto l plbr db hc incorrct l rspust.. Cuál o culs d ls siguints proposicions son corrcts pr un lctrón n un n= y m=? Justifíclo ) El lctrón s un orbitl d Es corrct, y qu si n =, l pud vlr, 1 y. Un vlor d m=, por tnto, sólo pud provnir d un l=, por tnto d un orbitl d. b) El lctrón stá n l trcr cp principl Es corrcto. n=1 s l primr cp; n= s l sgund cp, n= s l trcr cp. c) El lctrón pud str n un orbitl p No s corrcto. Si stuvir n p, l =1 y m no podrí sr nunc d) El lctrón pud tnr un m s =+1/ Corrcto. El vlor d m s pud sr +1/ ó -1/. En rlción con ls cps, subcps y orbitls ) Qué nombr rcib l cp con n=? Cp M o Cp trcr b) cuánts subcps s ncuntrn n st nivl?. Subcp s, subcp p y subcp d

2 c) cuántos orbitls pudn tnr los númros cuánticos n= y l=1?. p 1, p o y p -1. Si los xprsmos como orbitls rls: p x, p y y p z. d) cuántos orbitls pudn tnr los númros cuánticos n= y m=1? Dos. El qu tng l =1 y m =1, y l qu tng l = y m=1 ) cuál s l númro totl d orbitls n l nivl? 9= n n l m Pr un lctrón n un átomo hidrognoid qu stá dfinido por un vlor d n= y d l=1. Cuánto vl su nrgí n J? Cuánto vl l módulo d su momnto ngulr orbitl? Cuánto pud vlr l componnt L z d su momnto ngulr orbitl? Not: utilic l bibliogrfí pr obtnr l vlor d ls constnts qu ncsit. Pr un átomo hidrognoid l nrgí d sus stdos sólo dpnd dl númro cuántico n y no dl l. Est nrgí, s dirctmnt proporcionl, invrsmnt proporcionl n, sindo l constnt d proporcionlidd R, l constnt d Rydbrg. E(n) = - R /n R = 1, m -1 x, m.s -1 x 6, J.s = 1, J E(n) = - 1, / = -.5, J Módulo dl momnto ngulr orbitl dl lctrón: h h h L = l ( l + 1) = 1(1 + 1) = π π π Componnt L z dl momnto ngulr orbitl: Son posibls trs posibls vlors L z = L z = + 1 h π

3 L z = 1 h π 5. Dtrmin l vlor d r, como función d, pr l qu l probbilidd d ncontrr l lctrón s cro, cundo stá n un orbitl p n un átomo d hidrógno. Rlic l mism oprción pr l ión Li + Pusto qu ncsitmos l vlor d r qu hc l función d probbilidd (ψ ) nul. Sólo hmos d tnr n cunt l función rdil, y qu n ls otrs funcions ngulrs, l rdio no stá como vribl y por tnto, tng ést l vlor qu tng, l rmónico sférico no s vrá fctdo. Pusto qu l función qu d l probbilidd s l función d ond l cudrdo y lo qu ncsitmos s sbr dond ést s nul, podmos rzonr igulmnt sobr cundo l función d ond s nul (dond s nul l función d ond tmbién s nulrá l probbilidd) Función rdil d un orbitl p (R,1 ): R,1 = 7 / 8 r r r / 6 6 Clculmos los vlors qu pudn nulr st función r r 6 r / = i. Si r= l función s nul ii. Si r= l función tmbién s nul, y qu l xponncil s hc cro r 6 iii. Si =, l función tmbién s nul. 6 Dspjndo r d st últim xprsión: r = 1. En l hidrógno =1, por tnto s nul n, 6,. En l Li +, =, por tnto s nul n,, A mdid qu umnt l crg dl núclo los orbitls s contrn normmnt. 6. Rprsnt n dos dimnsions l función Y(θ,φ) pr un orbitl p y n l plno xy Si s h d rprsntr n l plno xy, l vlor d θ=π/ y por tnto snθ=constnt=1. Anlizrmos l vrición dl rmónico sférico con l vrición d φ. Utilizrmos l coordnd r pr rprsntr l vlor d l función rmónico sférico.

4 Tbl d vlors d l función:.snφ = (/4π) 1/ φ snφ φ snφ 18º 1º,174 19º -,174 º,4 º -,4 º.5 1 -,5 45º,77 5 -,77 6º ,866 9º º,866 -,866 15º, ,77 15,5 -, Dtrmin n Å cul s l rdio d máxim probbilidd pr l lctrón n un orbitl 1s dl átomo d hidrógno. Pr clculr l rdio d máxim probbilidd, hmos d clculr l rdio d l suprfici sféric qu proporcion l máxim probbilidd d ncontrr l lctrón n ll.

5 Rcordmos lo qu signific l función dnsidd d probbilidd rdil. P = π 4 r Ψ1 s 4π r = ár d l sfr d rdio r. P= r R(r) Pr un orbitl 1s st función s: dp dr Pr vr cundo st función s máxim n función dl rdio, dbmos oprr pr ncontrr dond stá s máximo, s dcir plicr l drivd primr igulr cro: r / / 4 r r r = dscomponindo n términos (scndo fctors comuns) 4 P = r 4 r. por tnto l iguldd s cumpl si: = d dr r / r / r / ( r 4 1 r = r=; r= ; r= / Si clculmos l drivd sgund d l función y sustituimos los vlors ntriors ncontrdos, obtndrmos un vlor d l drivd sgund > pr los dos primros vlors d r y < pr l último vlor. Por tnto r mx = /. En l cso dl H, st vlor s, como pud prcirs n l figur. ) =, Dnsidd d probbilidd rdil pr un orbitl 1s.

6 8. Tnindo n cunt qu los puntos d máximo y mínimo n ls funcions sn y cos coincidn con puntos d máximo pr ls funcions sn y cos, dtrminr, pr l orbitl d xy, ) culs son ls dirccions d máxim probbilidd. b) Culs son los vlors d θ y φ pr los qu l probbilidd s nul c) qué plnos dfinn sos puntos n coordnds crtsins Función ngulr d los orbitls d xy, 1/ 5 ( d ) = ( sn θ ϕ ) Y, ± xy sn 4π ) Ls dirccions d máxim probbilidd srán qulls qu hgn qu l vlor d l función ngulr (xcptundo l término constnt) vlg uno. Es dcir: sn θsnφ = ±1, lo cul sólo s cirto si sn θ= ±1 y snφ = ±1. Pr qu sn θ= ±1, s db cumplir qu θ=π/, lo cul sitú l plno d máxim probbilidd n l plno XY. Pr qu snφ = ±1; φ = π/ + kπ, sindo k un númro ntro o cro; o s, φ = π/4 + kπ / Si k= φ = π/4, s dcir 45º, lo qu coincid con l bisctriz dl primr cudrnt dl plno XY d coordnds crtsins Si k=1 φ = π/4 + 1.π/ = π/4 s dcir 15º, lo qu coincid con l bisctriz dl sgundo cudrnt dl plno XY d coordnds crtsins. Si k= φ = π/4 + π = 5π/4 s dcir 5º, lo qu coincid con l bisctriz dl trcr cudrnt dl plno XY d coordnds crtsins. Si k= φ = π/4 + π/ = 7π/4 s dcir 15º, lo qu coincid con l bisctriz dl curto cudrnt dl plno XY d coordnds crtsins. b) Pr qu l función ngulr s nul, bst con qu lguno d los fctors dl producto s nul. Es dcir, sn θ=, ó snφ = Pr qu sn θ=, l ángulo db sr o un númro ntro d vcs π. Como l ángulo θ sólo tom vlors ntr y π, sólo stos dos vlors cumpln l condición. Los vlors d θ = dfinn los puntos sobr l j positivo d ls. Los vlors d θ = π dfinn los puntos sobr l j ngtivo d ls. Así pus, l j s un j nodl. Pr qu snφ =, l ángulo db sr o un númro ntro d vcs π, por lo qu: φ = + (k/) π Si φ =, los puntos stán sobr l prt positiv dl j X Si φ = π/, los puntos stán sobr l prt positiv dl j Y Si φ = π, los puntos stán sobr l prt ngtiv dl j X Si φ = π/, los puntos stán sobr l prt ngtiv dl j Y

7 c) Conjugndo los vlors obtnidos pr θ y pr φ, nos qud qu l plno X s un plno nodl y l plno Y s otro plno nodl.

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