Matemáticas II Junio 2004

Transcripción

1 Mtmátics II Junio EJERIIO PROBLEM.. En un plno, l trdo d un crrtr discurr sgún l cución y, sindo un río l j OX. En l trrno ntr l río y l crrtr hy un pinr. Si prsmos ls distncis n kilómtros, cuánto vl l pinr si l hctár s pg uros? omo y, s un prábol, hcmos un rprsntción gráic proimd. lculmos los puntos d cort con l j OX L rprsntción gráic srá, El trrno n qu stá l pinr srá l on sombrd dl gráico. lculmos l ár dl pinr, como ls distncis stán n Km, ls unidds dl ár son Km, d Eprsmos l ár dl pinr n hctárs. ár dm, hctár árs dm. Km dm h h Vlor uros l pinr vl. Km

2 Mtmátics II Junio EJERIIO B PROBLEM. Hllr todos los vlors rls tls qu d ln, puntos. Estudimos l continuidd d l unción intgrndo, y { }, R ± ± n continu s y Lugo En primr lugr clculmos l intgrl indinid, dscomponmos l intgrndo n sum d dos rccions d d d d B B cución sustituyndo n B B B B B B B B B ª lculmos hor l intgrl dinid, l cálculo qu rlirmos s válido cundo l unción intgrndo s continu n l intrvlo [, ]. d Buscmos d mnr qu, ± En l cso, l intgrndo no s continuo n [, ] por lo qu st solución no s válid. En l cso, l intgrndo s continuo n l intrvlo [, ], st solución s válid. Solución.

3 Mtmátics II Sptimbr EJERIIO PROBLEM. S m dond m s un prámtro rl y l unción drivd d. S pid: Hllr l vlor dl prámtro m pr qu tng un mínimo rltivo n -/, puntos. b Pr l vlor d m clculdo n, dtrminr l ár d l rgión comprndid ntr l curv y y l rct d cución y, puntos. omo s un polinomio d º grdo n, s un unción continu y drivbl n R. Pr qu tng un mínimo rltivo n -/ db sr -/ y -/> m -/ m -/ m m / omo > simpr, pr m / l unción tin un mínimo rltivo n -/ b Hy qu clculr l ár d l rgión comprndid ntr ls uncions y Ests dos uncions son continus y drivbls n todo R son uncions polinómics por lo tnto podrmos plicr l rgl d Brrow pr clculr l ár comprndid ntr lls. Buscmos los puntos d cort ntr ls dos uncions, pr llo rsolvmos l cución:... ± ± ± lculmos ls ordnds d los dos puntos d cort pr rlir un rprsntción proimd d ls dos uncions y dl ár qu qurmos clculr. lculmos ls ordnds prtir d l cución d l rct, y Pr y Pr / / / u d d

4 Mtmátics II Sptimbr EJERIIO B PROBLEM. Obtnr rondmnt l siguint intgrl d, puntos. b plicndo l rgl d Brrow, clculr d punto. Pr obtnr st intgrl clculmos l drivd dl dnomindor con l in d prsr l numrdor d l orm dcud, D, D Eprsmos l numrdor como sigu, d d d d d d rc tg omo pr culquir vlor d, >, podmos liminr l vlor bsoluto dl rgumnto dl logritmo; l rsultdo d l intgrl qud como sigu, rctg b Pr podr plicr l rgl d Brrow l intgrndo db sr un unción continu n l intrvlo dinido por los límits d intgrción. omo l dnomindor,, s simpr positivo, s distinto d cro pr culquir vlor d, por lo qu l intgrndo s un unción continu n R. onsidrndo l rsultdo obtnido n l prtdo ntrior, d [ rc tg ] rc tg rc tg rc tg rc tg

5 Mtmátics II Junio EJERIIO PROBLEM. Dds ls curvs y, y clculr rondmnt: Su punto d cort, puntos. b El ár ncrrd por lls y l j OY, puntos. lculmos l punto d cort rsolvindo l cución ; buscmos solucions por Ruini Un solución Rsolvmos ; - No tin solucions rls mbs curvs s cortn n l punto d bcis y ; l punto d cort d ls curvs s, b Pr clculr l ár pdid hcmos un rprsntción gráic proimd, y s un cúbic y s un prábol, mbs sncills, mbs psn por, y y El ár clculr s y y l on pintd dl gráico: El cálculo mdint l intgrl dinid ntr y d l prábol mnos l cúbic. [ ] d [ ] d [ ] [ ] u.. d d

6 Mtmátics II Junio EJERIIO PROBLEM. Dibujr rondmnt l gráic d l unción g, cundo -, puntos. b Obtnr rondmnt los vlors máimo y mínimo bsolutos d l unción n l intrvlo [-, ], puntos. c lculr l ár dl rcinto limitdo por l curv d cución y y ls rcts, y, puntos. omo l unción g st dinid como un troo d prábol, hrmos los cálculos puntos d cort con los js, vértic pr rprsntr l prábol y clculrmos los puntos d inicio y in d g. y L rprsntción d g srá: Puntos d cort con los js coordndos: j OY,, y,, j OX, y ; ; ±,, y, Vértic b,, lculmos l inicio y in d g inicio, y ;, in, y ;, b n l intrvlo [-, ] Por su dinición g Por lo qu podmos dibujr l unción prtir d l rprsntción d g trndo l prt ngtiv d g simétric rspcto dl j OX. L rprsntción d srá: Los vlors máimo y mínimo bsoluto d podmos obtnrlos dirctmnt d l gráic, l máimo bsoluto s lcn n l punto, l mínimo bsoluto s lcn n l punto,

7 c L dinición d s <,, El ár clculr srá L obtndrmos mdint l siguint cálculo intgrl, d d El ár dl rcinto pdido mid.. u

8 Mtmátics II Sptimbr EJERIIO PROBLEM. Dds ls uncions y g, s pid: lculr l máimo bsoluto d l unción n l intrvlo [, ] punto. b lculr l punto d cort d l curv y y l rct y g punto. c Obtnr l ár dl rcinto limitdo por l curv y y ls rcts y g, y, puntos. Máimo bsoluto d n l intrvlo [, ] omo s un unción polinómic, s un unción continu. El máimo bsoluto d un unción continu n un intrvlo crrdo s lcn un trmo locl d l unción o n los trmos dl intrvlo. lculmos los trmos locls d l unción, ; ; ; ± < lugo n hy un máimo locl. > lugo n hy un mínimo locl. omo prtnc l intrvlo [, ] lcn un máimo locl n st intrvlo.... Lugo lcn su máimo bsoluto n l intrvlo [, ] n l punto, b ort ntr y g Pr, g El punto d cort ntr y g s,. c Ár limitd por y, y g,, D los cálculos d los prtdos ntriors podmos rlir un rprsntción gráic d ls uncions qu limitn l ár clculr, lculmos st ár d l siguint orm,

9 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. d d d d d d El ár pdid mid u..

10 Mtmátics II Junio Problm.. S considrn ls uncions rls Dtrminr ls cucions d ls síntots l gráic d l unción g y g. S pid:, puntos. b lculr l unción H d qu cumpl H., puntos. g síntots d y síntot horiontl. Por lo tnto no tin síntot horiontl. síntot vrticl. Buscmos ls posibls síntots vrticls, ± Posibls. v.... ± y ± ± lugo s síntot vrticl. lugo s síntot vrticl.

11 síntot oblicu. L síntot oblicu s l rct d cución y m n sindo, g n g m Por lo tnto l síntot oblicu s: y b.. H sr omo db d H g lugo polinómic división l ctumos g d g H Por lo tnto H

12 Mtmátics II Sptimbr Problm.. S considrn ls uncions rls y g. S pid: Dtrminr ls cucions d ls síntots l gráic d l unción, puntos. g b lculr l unción H d qu cumpl H., puntos. g y síntots vrticls: sin rícs rls. Vmos si s.v. Por lo tnto s síntot vrticl. síntot horiontl: nálogmnt, Por lo tnto y s l síntot horiontl. síntot oblicu: m Por lo tnto no hy síntot oblicu. b H d B B B

13 B. B. B B B B H d d como > R Db sr H Por lo qu, H d

14 Mtmátics II Junio Problm.. S considr, n l primr cudrnt, l rgión R dl plno limitd por: l j X, l j Y, l rct y l curv y. lculr rondmnt l ár d l rgión R., puntos. b Encontrr l vlor d pr qu l rct divid l rgión R n dos prts iquird y B drch tls qu l ár d s l dobl qu l d B., puntos. Rprsntción gráic d y Dom y R ; no tin solucions rls, Dom y R Puntos d cort con js coordndos, ¼ ; y ¼ y ; no hy solución síntots No tin síntot vrticl y qu l dominio d l unción s R horiontl, lím lím por lo tnto y s l. h. oblicu, no tin y qu s un cocint d polinomios con. horiontl R, > > L unción stá por ncim dl j OX prtir d stos dtos podmos hcr un rprsntción proimd d l unción dd, Est rprsntción s suicint pr rsolvr l problm. L rprsntción gráic d l rgión R s, Por lo tnto l cálculo d su ár lo rlimos mdint l siguint intgrl dinid,

15 [ ] rctg rctg rctg rctg rctg d d d d Lugo l ár d l rgión R mid.. u b Gráicmnt l problm rsolvr s, d orm qu Ár ÁrB álculo dl ár d, utilimos prt dl cálculo intgrl rlido n l prtdo ntrior rctg rctg rctg rctg rctg rctg rctg d Ár álculo dl ár d B, rctg rctg rctg rctg rctg rctg rctg d B Ár Por lo qu,,. rctg rctg rctg rctg rctg rctg rctg

16 Mtmátics II Sptimbr Problm.. Dd l unción t t b con y b constnts rls, s din dt t F. S pid obtnr rondmnt: L intgrl dt t, puntos. b L prsión d l drivd F d l unción F., puntos. c L rlción ntr los vlors y b pr l qu s vriic: F., puntos. b b b b b b b b b t t dt b t dt t. b dt t F onsidrndo l rsultdo obtnido n l prtdo ntrior, b F lugo b b F c En l prtdo ntrior obtuvimos F, b F b F lugo b F omo db sr F b b b Finlmnt, pr qu s vriiqu qu F dbr sr b.

17 Mtmátics II Junio Problm.. Dtrminr, rondmnt, l dominio y los intrvlos d crciminto y dcrciminto d l unción. punto. B b Obtnr rondmnt los vlors y B tls qu. punto. c lculr rondmnt l ár d l suprici S limitd por l curv y, l j OX y ls rcts d cucions y., puntos. Dominio intrvlos d crciminto y dcrciminto d l unción. Dom omo s un unción rcionl busqumos ls rícs dl dnomindor, Lugo Dom R {, } Intrvlos d crciminto y dcrciminto Dbmos studir l signo d. Buscmos ls rícs dl numrdor y dnomindor, ; ; ; ; ± Mrcmos n l rct rl ls rícs obtnids ntriormnt y tnmos n cunt n dominio d l unción, omo l dnomindor d stá lvdo l cudrdo srá positivo, por lo qu l signo d sólo dpnd dl numrdor qu s > ; > Y l signo d srá s dcrcint n, U, y s crcint n, U, b Ectundo l sum qu qud indicd, B B Lugo db sr B, buscmos los vlors d y B dándol vlors pr B

18 pr B B B c Pr clculr st ár dbmos dibujr, d orm proimd, l curv dd L curv corrspond l unción studid n l prtdo. Por lo tnto conocmos: su dominio, Dom y R {, } y sus intrvlos d crciminto y dcrciminto: D lo ntrior dducimos qu n l curv tin un mínimo rltivo, y mínimo rltivo, Puntos d cort con l j OX y, no tin solución Posibls síntots vrticls y ; vámoslo, lím lugo s un síntot vrticl.. lím lugo s un síntot vrticl prtir d lo studido podmos rlir l siguint rprsntción, No s ncsrio rlir más cálculos sobr l rprsntción d l curv pusto qu l ár buscd stá limitd por ls rcts vrticls y y hmos rprsntdo l curv ntr y Gráicmnt, l ár qu dbmos clculr s,

19 como El cálculo d st ár lo rlimos mdint l siguint intgrl d por l prtdo b sbmos qu, d u u Finlmnt, l ár d l suprici pdid s

20 Mtmátics II Junio Problm.. Dd l unción rl -, s pid clculr rondmnt: L unción., puntos. b L intgrl d, dond s un númro rl positivo., puntos. c El punto d inlión d., puntos. b [ ] d d c Punto d inlión d Estudimos l signo d l iquird y drch d > < Por lo tnto como cmbi d signo n, n hy un punto d inlión., Lugo l punto d inlión d s,.

21 Mtmátics II Sptimbr Problm.. S considrn ls uncions rls y g. S pid obtnr rondmnt: Ls cucions d ls síntots l gráic d l unción, puntos. g b L unción H d qu cumpl H., puntos. g Ls cucions d ls síntots l gráic d l unción y g g síntot horiontl, lím lím lím lím lím lím y s l síntot horiontl síntots vrticls, lculmos ls rícs dl dnomindor, sin rícs rls Por lo qu l posibl síntot vrticl srá l rct, comprobmos si lo s clculndo l límit siguint,.. lím Por lo tnto s l síntot vrticl. síntot oblicu, lím lím lím lím y obtndrímos l mismo rsultdo l clculr l límit cundo ; por lo tnto no hy síntot oblicu. b H d / H g H d Dscomponmos l intgrndo,.

22 , B lugo B B lculmos los vlors d, B y dndo vlors :. B ; sustituyndo los vlors obtnidos d y,. B B B Por lo tnto, rctg rctg d d d d d d d sprdo por cd intgrl clculmos d d d d H y * * lculmos l vlor d pr qu s cumpl l condición igid,. rctg rctg H H Finlmnt, l unción pdid s: rctg H

23 Mtmátics II Sptimbr PROBLEM.. Dds ls uncions y g, s pid: Obtnr rondmnt los puntos d intrscción y B d ls curvs y y g. puntos b Dmostrr qu g cundo. puntos c lculr rondmnt l ár d l suprici limitd por ls dos curvs ntr los puntos y B. puntos Puntos d intrscción ntr y y g Dbmos rsolvr l siguint cución: - - Pr,, Pr,, - Los puntos d intrscción buscdos son:, y B, b g Vmos cundo s cumpl st dsiguldd. Sgún hmos obtnido n l prtdo ntrior: omo s simpr positivo, por str lvdo l cudrdo, l signo dl primr mimbro d l dsiguldd dpnd dl d. Lugo pr s cumpl qu y por lo tnto g. c.q.d. c Rprsntmos gráicmnt ls dos curvs. Por lo rsulto n l prtdo conocmos los puntos d cort ntr mbs,, y B,. y Es un prábol. Buscmos sus puntos d cort con los js coordndos y su vértic. y, y Vértic b. y,,, y L rprsntmos prtir d un tbl d vlors, y - -

24 L rprsntción gráic srá: El ár clculr s: El cálculo dl ár pdid srá mdint l siguint intgrl dinid: d d El ár d l suprici limitd por ls dos curvs mid. u.

25 Mtmátics II Junio PROBLEM.. S l unción dinid por Obtnr rondmnt: El dominio y ls síntots d l unción. puntos b Los intrvlos d crciminto y dcrciminto d l unción. puntos c L intgrl d d puntos Dominio y síntots. álculo dl dominio, ± Por lo qu Dom R {, }... ± ± ± álculo d ls síntots, síntots vrticls, ls posibls síntots vrticls son y... s. v. s. v. síntot horiontl, Lugo y s l síntot horiontl. síntot oblicu, Es un unción rcionl con síntot horiontl, por lo qu no tin síntot oblicu. omprobémoslo, L síntot oblicu srá l rct d cución y m n; clculndo los coicints m y n m omo m, no hy síntot oblicu.

26 b Intrvlos d crciminto y dcrciminto d, Estudimos l signo d y, y Obtngmos ls rícs dl numrdor y dl dnomindor,, ± prtdo rsult n l Rprsntmos n l rct rl ls cutro solucions obtnids y tnmos n cunt l dominio d l unción, omo l dnomindor d y stá lvdo l cudrdo, l signo d y sólo dpnd dl numrdor qu s un polinomio d sgundo grdo con coicint d ngtivo y rícs ±, s dcir: Por lo qu l signo d y srá: Finlmnt s crcint n,, y dcrcint n,,,. c álculo d l intgrl, El dnomindor tin dos rícs simpls, y, lugo B B Lugo, B, clculmos los vlors d y B: pr pr B. B Entoncs: d d d d d

27 Mtmátics II Junio PROBLEM.. on l símbolo ln s rprsnt l logritmo d un númro positivo cundo l bs dl logritmo s l númro. S l unción qu pr un númro positivo stá dinid por l iguldd ln. Obtnr rondmnt: El vlor d dond l unción lcn l mínimo rltivo. puntos b L cución d l rct tngnt l curv y ln n l punto,. puntos c El ár limitd ntr ls rcts y, y y l curv y ln. puntos Mínimo rltivo d Primro obtngmos l dominio d. omo ln sólo pud clculrs pr vlors d >, Dom, ln ln ln ln ln lculmos l sgund drivd pr dtrminr si s máimo o mínimo, Pr > mínimo / L unción lcn l mínimo rltivo n. b Rct tngnt y ln n, Pr, y.. ln, l punto, s d l curv. D l rct pdid, un punto s, y l pndint srá y. y ln sgún hmos obtnido n l prtdo ntrior l clculr y ln Por lo tnto, l rct tngnt srá: y ; y c Ár limitd ntr ls rcts y, y y l curv y ln. Pr obtnr st ár s convnint rlir l rprsntción gráic dl problm. En primr lugr rprsntmos l curv y ln, Por cálculos d los prtdos ntriors, d st curv conocmos: Dom y, y ln,, Puntos d cort con los js coordndos:, no s dl dominio Dom y y, ln, ln Su único trmo s l mínimo rltivo n

28 prtir d stos dtos l rprsntción gráic srí, Pr obtnr l rgión dl plno d l qu dbmos clculr su ár nos lt por rprsntr ls rcts y. Tnto como son myors qu, por lo qu no ncsitmos rlir más cálculos sobr l curv. Gráicmnt, l ár pdid s: Est ár s clcul prtir d l siguint intgrl dinid, ln d lculmos n primr lugr l intgrl indinid. u ln du d ln d ln dv d v ln Por lo qu, d ln d [ ] [ ] ln d [ ln ] ln ln ln Finlmnt, l ár pdid mid: u.. u..

29 Mtmátics II Sptimbr PROBLEM.. S dinn ls uncions y g por y g. Obtnr rondmnt: Los intrvlos d crciminto y dcrciminto d cd un d ss dos uncions. puntos. b El máimo rltivo d l unción y l mínimo rltivo d g. puntos. c Los puntos d intrscción d ls curvs y y. puntos. d El ár ncrrd ntr ls curvs y y, dond n mbs curvs l vrí ntr y. puntos. y g son uncions polinómics, por lo qu su dominio s R. > ; > ; < Por lo tnto: s crcint n, y dcrcint n, g g > ; > Por lo tnto g s crcint n, y dcrcint n, b D lo obtnido n l prtdo ntrior: D sbmos: lugo tin un máimo rltivo n Pr,. tin un máimo rltivo n, D g sbmos: lugo g tin un mínimo rltivo n Pr, g g tin un mínimo rltivo n, c Rsolvmos l cución: ; ; ; Pr, g, g Los puntos d cort ntr ls dos curvs indicds son:, y,

30 d Pr clculr l ár pdid rprsntmos ls dos curvs indicds. D lo studido n los prtdos ntriors d ls curvs y y g conocmos: los puntos d cort ntr mbs y sus trmos rltivos, gráicmnt: L rprsntción gráic d ls dos curvs srá: Dl nuncido dl problm, d l rprsntción gráic ntrior sólo dbmos considrr ls uncions pr vlors d ntr y. El ár clculr s l sombrd. Y l cálculo d st ár s: d d d g.. El ár pdid mid u..