CONICAS ESTUDIO DE SUS FORMAS REDUCIDAS. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO EN DOS VARIABLES
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- Ignacio Miranda Herrera
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1 CONICAS ESTUDIO DE SUS ORMAS REDUCIDAS. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN GENERAL DE º GRADO EN DOS VARIABLES Lug Goétio: Consios l plno oo onjunto puntos llos lug goétio n l plno too suonjunto puntos l iso finio po oniions goétis istni plliso t. Si n l plno intouios un sist js fni los puntos l iso s intifin on los ps onos núos ls. Entons ls oniions qu finn un lug goétio quivln un uión o un inuión n ls vils qu s vifi po ls oons toos los puntos l lug solo po llos. A st Euión o inuión s l ll uión o inuión l lug goétio. Ejplo: C / ist { } C ist O 4 qu llos { } uión l lug go étio. Lugo C / 4 En l gotí nlíti l plno oo sí tién l spio os onsi os ustions:. Dfinio l lug goétio hll un uión f qu lo psnt s i un uión qu vifiqun toos los puntos l lug goétio qu s fin sólo po llos.. D l uión l fo f nont popis qu pitn gfi l onjunto puntos us oons stisfn l is. Un uión l tipo f s ll uión tsin l lug goétio. Al qu tién s pu psnt po otos tipos uions oo po jplo: f t n uo so noinos l vil t oo páto sin psntión l los js h t tsinos. Est tipo uions s ls noinn uions pétis. Coo jplo poos it ls uions pétis l t. Estuios lgunos lugs goétios us uions son sguno go n ls vils s i uions l fo A B C DE Don A B C no son nulos siultánnt. LA CIRCUNERENCIA Dfiniión: Do un punto fijo C l plno un núo l llos iunfni nto C io l lug goétio los puntos l plno u istni C s s i: C{ / istc} Si onsios l sist js fni tsino sult C C istc C C s l uión nóni l iunfni Li. An Mí Vozzi ágin
2 Si l punto C s l oign s i C l uión l iunfni on nto n l oign io s: O: Ejplo: Los tos un iáto un iunfni son los puntos A3 B-45. Hll l uión l uv El nto l iunfni sá l punto io l sgnto AB l qu llos M -4 l ul s otin lul: -4/- 35/4 AB El álulo l io sá ntons { } L uión l iunfni sá: M: 4 Nos poponos nont ot fo quivlnt l uión st uión s un so ptiul l uión on AC ; B; D.; - S tt vigu si to uión sipt po o 3 tin po psntión gáfi un iunfni. Si kr{} l uión qu otnos 3 ultipliánol po l nº k sá: k k k k k k - k 4 Si opos ls uions 4 poos osv qu si p qu psnt l lug goétio un iunfni s nsio qu: AC B Coniions qu sultn insufiints qu l uión : upl tls oniions po no ist ningún punto l plno qu l vifiqu. qu l uión l tipo s psnttiv un iunfni ttos psl l fo A B C D E A C B on A A D E A plzno n l uión:.... si iviios po D E otnos:.. A A A D E.. opltno uos A A A D D E E D E.. A 4A A 4A A 4A 4A D E D E A A A 4A 4A D E D E A A A 4A 4A D E D E 4A 5 A A 4A Copno ls uions 5 vos qu l uión 5 psntá o no un iunfni sgún l vlo qu su l sguno io l igul. llo nlizos: Si D E D E - 4A. L uión 5 psnt un iunfni nto ; A A Li. An Mí Vozzi ágin
3 D E 4A io A Si D E D E - 4A l uión 5 psnt un solo punto oons ; A A 3 Si D E - 4A l uión 5 no psnt ningún lug goétio. Ejplo: Dtin si l uión psnt o no un iunfni. En uo so hll su nto su io. 4 8 Euions pétis l iunfni Consios l iunfni po l siguint uión: C: Don C son ls oons l nto l io l is. tiz los puntos os os C6 ipont: s / sn sn os os C sn sn Lugo 6 son ls uions pétis un iunfni Intsion un óni un t Consios un iunfni uión: A B C un t uión Ttos hll ls oons los puntos ouns s. Anlítint signifi hll l o ls soluions l sist: A B C solvlo spjos un ls inógnits l uión linl l plzos n l uión sguno go. D uo on ls soluions otnis poos onlui :.- Si s úni s i qu ist un únio punto oún s l t n ustión s tngnt l iunfni.- Si otnos os vlos n l uión uáti poos fi ntons qu istn os puntos intsión nt os spios goétios s ; on onluios qu l t s snt l iunfni. 3.- En l so no isti soluión ios qu l t l iunfni no s intptn. Cα /Cα Cα α: io l iunfni Li. An Mí Vozzi ágin 3
4 Li. An Mí Vozzi ágin 4 Intsion nt os iunfnis: Sn ls iunfnis : : Hll los puntos ouns s signifi solv l sist foo po ls uions o quivlnt l sist: Si l sgun uión psnt un t.entons :. En uo so tnos oo hos poio opo os uno o ningún punto oún s. Si s s iunfnis son onénti Si Φ. o si A l t uno ist s l ll j il lugo uno ls iunfnis son snts l j il stá tino po los puntos intsión s iunfnis uno son tngnts s l tngnt oún s iunfnis. Tngnts un iunfni s un punto no ptnint ll. El pol s l hll l uión ls ts tngnts un iunfnis uno lls istn s un punto o. S l punto plntos: S Nos poponos nont l o ls soluions l sist S n on l pnint no stá tin. Intntos nont l soluión úni l sist qu ovint pná llo un popust s spj l vil n l uión l t plzl n l uión l iunfni. Otnos: * Entons S tin soluión úni uno * tin soluión úni o s uno l isiinnt qu s otin l soluión l uión o go n s igul o. Esto gn un uión o go n. Entons tná os un o ningun soluión po lo tnto pun isti os un o ningun t on sts tístis. Ejplo.
5 Li. An Mí Vozzi ágin 5 LA ELISE Dfiniión: Dos os puntos fijos istintos l plno sn stos llos lips l lug goétio los puntos l plno u su istnis s onstnt l qu l os l vlo { } / los puntos s los lln foos l lips po supusto l onstnt. L istni s l ll istni fol tién s onstnt: onsios l tiángulo s pu osv po qu Si onsios stos puntos so un sist fni D n qu l j ontng los foos po lo ul s Ll j fol l oign quiist los isos. Entons lips un punto l s s l lips / oo oo uo lvo l uión nóni l lips Gáfi l lips Anlizos l uión l is: Sitís: oign oons spto l : s siéti j spto l : s siéti j spto l : s siéti Intsión on los js: ± A los puntos A A qu son los l intsión l lips on l j s lln vétis l lips l sgnto A A u longitu s s lo ll j o
6 Li. An Mí Vozzi ágin 6 ± A los puntos B B qu son los l intsión l lips on l j s lln vétis l lips l sgnto B B u longitu s s lo ll j no Entii l lips S ll ntii l lips s no not on l lt l núo qu j o longitu l j fol longitu l Si l uión psnt un iunfni io su ntii s Euión l lips no nt n l oign: punto nto sití s l on l Euions pétis l lips Consios l lips po l siguint uión: Don C son ls oons l nto sití. tiz los puntos 7 π on sn os ipont: s / π on sn os π on sn os sn os Lugo 7 son ls uions pétis un lips o zons sití st h l stuio n l pi unt on ; D l uión uios qu ; ás uno
7 Osvión: En l so n qu l j fol l lips s l j ls oons los foos sán - l uión qu otnos sá: Ejplo: Hll l uión nóni l lips uos foos son los puntos - su ntii igul /3 ntons l uión us s: su j fol s l j 9 5.Coo LA HIERBOLA Dfiniión: Dos os puntos fijos istintos l plno sn stos llos hipéol l lug goétio los puntos l plno uo vlo soluto l ifni istnis s onstnt l qu l os l vlo h { / } los puntos s los lln foos l hipéol po supusto l onstnt. L istni s l ll istni fol tién s onstnt: onsios l tiángulo s pu osv po qu Si onsios stos puntos so un sist fni D n qu l j ontng los foos po lo ul s Ll j fol l oign quiist los isos. Entons s un punto l hipéol h ± ± sollno nlítint sts uions l igul qu n l uión l lips s otin: on s ás on h uión nóni l hipéol Gáfi l hipéol Anlizos l uión l is:.- Sitís: : s siéti : s siéti : s siéti spto l j spto l j spto l oign oons.- Intsión on los js: Li. An Mí Vozzi ágin 7
8 Li. An Mí Vozzi ágin 8 ± A los puntos A A qu son los l intsión l lips on l j s lln vétis l hipéol l sgnto A A u longitu s s lo ll j l l hipéol j po lo tnto no ist intsión on l l soluión s - Φ Entii l Hipéol S ll ntii l hipéol s no not on l lt l núo qu j o longitu l j fol longitu l Euión l hipéol no nt n l oign: punto su nto sití s l si C Asíntots un hiéol nont ls uions ls síntots un hipéol plntos l pol nont ls oniions qu upli un t qu ontin l oign p intpts on un hipéol tién nt n l oign oons. Es nsio ntons solv l siguint sist uions: - Es i hos nonto l oniión p qu un t intpt un hipéol. Lugo qulls ts uión ± liitn un ángulo on n su intio s nuntn puntos l hipéol. Ests ts in l no síntots l hipéol Dfiniión: - - o zons sití st h l stuio n l pi unt on ; D l uión uios qu ulqui ; ulqui ás uno
9 Un hipéol s ll quilát uno. Lugo su uión sá síntots ls ts ± Euión éti l hipéol: s π. tng sus Osvión: En l so n qu l j fol l hipéol s l j ls oons los foos sán - l uión qu otnos sá: - Ejplo: Hll l uión nóni un hipéol j fol l j u istni nt los foos s sus síntots son ls ts uión ± ás 4 lugo 8 otnos sí l uión soliit : 8 LA ARABOLA Dfiniión: D un t fij l plno noin itiz un punto fijo noino foo tl qu llos páol l lug goétio los puntos l plno qu quiistn s i: / _p -p { } p p p p 4 p Gáfi l pol Anlizos l uión l is: 4 p p uión { / 4 p } p Si uios los puntos n l sist fnis tsino n tl qu l foo sté so l j l t itiz s pll l j st n l foo tin oons p l t itiz tin po uión: : p D st n poos osv qu: st n p p nóni l páol Li. An Mí Vozzi ágin 9
10 .- Sitís: : s siéti spto l j vlos p oo l vil stá solo pu sui vlos positivos. lv l uo ntons l vil.- Intsión on los js: 4 p 4 p p -p Al oign oons l llos véti l páol o zons sití st h l stuio n l pi unt on ; D l uión uios qu p p ; ulqui ás uno Osvión: p p p p -p p -p p -p - 4 p 4 p - 4 p Ejplo: Hll l uión nóni l páol uo véti s l oign l j fol s l j ls ons l uión l itiz : - p 4 sino l foo Euión l páol no nt n l oign: Si l véti l páol s l punto C 4 p Euión éti l páol: Li. An Mí Vozzi ágin
11 4 p t t 4 p t R 4 p t t 4 p t R Rotión js Suponos qu gios los js oonos n un ángulo α Nusto intés s nont ls oons un punto M n los js otos sino qu n los oiginls no otos n M M α Q N D l igul tiángulos poos ui qu l tiángulo QMN α uios ás qu si: ON O N O QN osvos l tiángulo ON ntons: O ON osα osα Osvno l tiángulo N QM: QN MN snα snα α N Conluios qu: osα - snα Anlognt si: NM NQ QN N QM oo tiángulo ON s sjnt l tiángulo N QM ntons: N ON snα snα QM N M osα. osα Conluios qu: sn α osα Lugo ntons p i ls vils l sist fni l sist fni oto un ángulo α on los js os h l siguint tnsfoión: os α sn α sn α os α Est io vils liin l uión o go n os vils l téino tngul s: S l uión gnéi: A B C D E utilizos l io vils: os os α.sn α sn os α sn α α osα.sn α sn α.os α os α osα.sn α sn os sn α osα Rplzno n l uión o go otnos: α α α sn α Li. An Mí Vozzi ágin
12 Aos α Bos α.snα Csn α A Csnα os α Bos α sn α A α B α α C α D α E α D α E α p qu spz l téino tngul os onsi qu: A C.snα.osα B os α o ot fo pso : sn sn.os os os sn sn os B A - C snα Bosα A Csn α B os α tgα A C A C π o in ot gα p α B Roos lguns intis tigonoétis uh utili: os α os α os α os α snα tg α S pu ost qu uno un óni no gn pos un otión n sus js istn lgunos ofiints invints tl otión s: Si l uión s: A B C D E un vz liz l otión js otnos un uión l tipo: A C D E osvos ls siguints invints:.-.- AC A C 3.-B -4AC B - 4 A C s not qu B l núo B -4AC s lo noin isiinnt l uión tiná qué tipo gáfi otnos lugo l otión n l so no s un óni gn. Entons: Si B -4A C l óni sultnt sá un lips Si B -4AC l óni sultnt sá un páol Si B -4AC óni sultnt sá un hipéol Li. An Mí Vozzi ágin
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