SEPTIEMBRE Tiempo: 90 minutos OPCIÓN A ( ) ( )

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1 SEPTIEMRE 5 INSTRUCCIONES El mn psn os opcions ; l lumno bá lgi un sólo un lls solv los cuo jcicios qu cons. No s pmi l uso clculos con cpci psnción gáfic. PUNTUCIÓN L clificción máim c jcicio s inic n l ncbzmino l mismo Timpo 9 minuos OPCIÓN Ejcicio. ( punos) Discui sgún los vlos l pámo l λ l posición liv los plnos π z λ π π ( λ ) ( λ ) z λ ( λ ) ( λ 6) z λ L posición liv s plnos s soci l ipo solución qu ng l sism cucions qu fomn., ss su vz, con los ngos l mics qu finn l sism sgún l om Rouché. * * Dminos (g g n).s.c.d. Compibls (g g ) Sisms * Inminos (g g < n).s.c.i. * Incompibls (g g ).S.I. Ls mics qu finn l sism qu fomn ls cucions los s plnos son λ λ λ ( λ ) ( λ 6) * λ λ λ λ λ 6 λ Po ls imnsions qu inn ls mics * * g( ) g( ) Si l minn s isino co, los ngos ls mics coincin son igul l númo incógnis, po lo qu l sism s compibl mino psn s plnos concuns n un puno, nino n cun so, s iscu l posición los plnos p los vlos l pámo λ qu nuln l minn. λ λ ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ 6) ( λ ) ( λ 6) igulno co l psión l minn λ λ ( λ ) ( λ ) λ λ Discusión i. Si λ,, g g * n. Plnos concuns n un puno. El puno co s l solución l sism.

2 ii. Si λ, como l minn s co, l g <. P compob qu 6 in ngo s busc un mno on os, g. P sui l ngo 6 l miz mpli s p l mno on os nio solo s 6 suin sus mnos olos, los os posibls, uno s l minn coficins, qu s nulo, l oo s 56 ; g * g, los plnos no inn 6 punos comuns, ls os posibls posicions livs, nino n cun qu n los vcos ccísicos los plnos no is popocionli, s isponn fomno un pism ingul iss plls. iii. Si λ, como l minn s co, l g <. P compob qu in ngo s busc un mno on os, g. P sui l ngo l miz mpli s p l mno on os nio solo s suin sus mnos olos, los os posibls, uno s l 7 minn coficins, qu s nulo, l oo s ; 7 g * g, los plnos no inn punos comuns, ls os posibls posicions livs, nino n cun qu n los vcos ccísicos los plnos π π is popocionli, h os plnos pllos uno qu los co.

3 Ejcicio. ( punos) S consin ls cs z s z 7 ) ( puno). Hll l c, ppnicul s, qu ps po l oign. L c busc s clcul con l mínim minción linl (Puno, vco). El puno s sc l nuncio P (,, ). El vco icción s obin min l pouco vcoil los vcos icción ls cs s, nino n cun qu l vco icción l c b s ppnicul los vcos icción ls cs s. λ λ (,, ) λ z (,, ) z λ µ z µ (, 7, ) s 7 µ 7 s (,,) z µ s (,, ) (,,),, (,,) Con l vco icción l puno s obin ls pméics l c. δ P (,, ) δ δ R,, z δ b) ( puno). Hll ls coons l puno inscción l c s con l c obni n l po ). S busc un puno Q( o, o, z o ) qu pnc ls os cs (s ), po no b cumpli mbs cucions o µ o δ Q s z o o 7 µ µ Q igulno s obin un sism s cucions con os incógnis (µ, δ) µ δ µ δ 7 µ δ ; onno µ δ 7 µ δ µ δ P sb qu l sism in solución únic nino n cun qu l ngo l miz coficins s os 7 h qu compob qu l minn l miz mpli s co. 7 ( ) ( 7) L os cucions qu sulv l sism nino n cun l mno on os isino co son z o o δ δ

4 7 µ δ µ Rsolvino po Cm 7 µ δ 7 7 δ 7 Susiuno µ n s ó δ n s obin l puno Q o δ o Q (,, ) z o Ejcicio. ( punos) Ds ls mics I ) ( puno). Hll os consns α β ls qu α βi. P clcul los pámos α β s susiun n l igul α βi. α β α β α α β igulno émino émino. α β. α.. α β s obin un sism os cucions con os incógnis α β α α β susiuno n l psión I. b) ( puno). Clcul 5 uilizno l psión obni n l po nio. 5 ( ) ( I) Tnino n cun qu ls mics I conmun, s pu s pu soll l binomio po l méoo Nwon ( I) ( ) I I I ( I) I I susiuno n l psión 5. 5 I ( I) 5 I c) ( puno). Hll os ls mics X qu sisfcn ( X) ( X) X. Opno con l pim mimbo l igul s obin l conición qu bn cumpli ls mics X p sisfc l igul. X X X X X X X X X X P un miz gnéic X z, l igul s pu convi n un sism.

5 z z z z z. z. igulno simplificno z. z z z. z El sism no pn, po lo s vibl pu om culqui vlo ( µ). Qu po solv l cución cución qu in solución inmin, ncsino un pámo p solvl. z λ quno l miz pi l fom λ µ X λ, µ R λ Ejcicio. ( punos). D l función f s pi ) ( puno). Hll l cución l c ngn su gáfic n l puno (, f ) p >. L cución l c ngn un función n un puno n fom puno-pnin s o m ( o ) ( o, o ) Puno on m Pnin Tnino n cun qu l pnin l c ngn s l iv l función piculiz n l puno ( m f ( o )), qu l puno pnc l función po no in l fom ( o, f ( )), l cución l ngn n l puno o in l fom f f ( ) on f () f f susiuno n l cución l c ngn ( ) muliplicno o l cución po onno s ps fom gnl b) ( puno). Hll los punos co l c ngn hll n l po ) con los os js coonos. P obn los punos inscción l c con los js coonos, s ps l cución fom cnónic. OX (,) OY, 5

6 6 c) ( puno). Hll l vlo > qu hc qu l isnci n los os punos hllos n b) s mínim. b b P obn l mínimo s función s iv spco s igul co. ± Como s pi l vlo posiivo, l posibl mínimo sá n. P compob qu s un mínimo, l signo l pim iv l izqui uno ( ) b s ngivo (ccin) l ch ( ) posiivo (ccin). P qu sul más sncillo l suio, s convnin simplific l psión l iv nino n cun l psión simplific l iv, su signo solo pn l numo. > < p is un mínimo.

7 OPCIÓN Ejcicio. ( punos) D l función f ln on ln signific logimo npino, fini p >, hll un puno (, f() ) l qu l c ngn l gáfic f() n s puno s pll l j OX. Tnino n cun qu l iv un función n un puno s l pnin l c ngn l función n s puno, qu ls cs hoizonls inn pnin co, s pi hll los punos l función on s nul l iv P simplific l iv s pu simplific l psión l función nino n cun ls popis los logimos. f ln Ln Ln( ) Ln Ln( ) ( ) f ( ) p clcul l sgun componn l puno s susiu n l función. f ln Ln En l puno (, Ln ) l función in un ngn hoizonl. Ejcicio. ( punos) S consi l función f ( ) ) ( puno). Clcul los mos locls /o globls l función f(). L conición ncsi suficin p qu un función ng un mo livo n un puno, s qu n s puno l pim iv s co l sgun iv s isin co. P iscni si s un máimo ó un mínimo s pun us os ciios, n s cso, po l complji l sgun iv, s más ápio l ciio l signo l pim iv n ls poimis l puno. Sí f f ( o ) > ( Ccin) f ( o ) < ( Dccin) n o, f ( o ) o f ( o ) < ( Dccin) f ( o ) > ( Ccin) n o, f ( o ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) Ln f ( ) is un máimo is un mínimo P sui l signo l iv n ls poimis co, s sui l signo l psión, qu ls más psions son posiivs p oo Rl ( > R). ( ) > f ( ) < f En, l función psn un máimo livo. Puso qu l función s coninu n oo R los límis cuno in ± son finios, Lím ( ) ( ) Lím L H Lím Lím ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

8 l máimo livo s máimo bsoluo l función. f() > p oo Rl, in máimo bsoluo vlo ¼, po lo no s un función co n,, l ínfimo l función s co po no s mínimo bsoluo qu l función nunc llg vl co. b) ( puno). Dmin l vlo l pámo l qu f ( ) f n n f () () f '() C n RROW n ( ) Ln Ejcicio. ( punos) S consi l fmili plnos m (m ) (m l)z (m ) sino m un pámo l. S pi ) ( puno). Dmin l c común oos los plnos l fmili. Dno m os vlos ls, s obinn ls cucions os plnos l hz, l inscción los os plnos s l c busc. m π () (l)z (), onno π z. M σ ( ) ( l)z ( ), onno σ. Los plnos π σ finn l c, is l Hz. z p ps l c pméics s nsfom un ls vibls n pámo ( λ) λ λ λ R z λ b) ( puno). Dmin l plno s fmili qu ps po l puno P (l, l, ). Si un puno pnc un plno, ls coons l puno cumpln l cución l plno. m (m ) (m l) (m ) m m susiuno l vlo m n l hz 5 z simplificno 5 z

9 9 c) ( puno). Dmin l plno s fmili qu s pllo l c z z P qu un c un plno sn pllos, l vco noml l plno l icción l c bn s ppniculs. po no su pouco scl sá co. El vco icción l c s obin muliplicno vcoil los vcos nomls los plnos qu l finn.,,,,,,,, π π,, m, m m, n n o,, m, m m, o 6m 6 m susiuno n l Hz 6 5 z simplificno 5z 5 Ejcicio. ( punos).ds ls mics ) ( puno). Hll. S clculn ls sucsivs poncis p v si is lgun l cunci n lls. pi, os ls poncis son l miz nul, po lo no

10 b) ( puno). Hll l miz invs. L conición ncsi suficin p qu un miz cu ng invs, s qu su minn s isino co. j j j j c) ( puno). En l cso picul, hll. P S clculn ls sucsivs poncis p v si is lgun l cunci n lls. siguino l scunci, s pu infi.