PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)

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1 I.E.S. CASTELAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE VALENCIA SEPTIEBRE (RESUELTOS por Anonio enguino) ATEÁTICAS II Tiempo máimo: hors Se elegirá el Ejercicio A o el B, del que sólo se hrán res de los curo ejercicios. Cd problem se punurá de, según l punución máim indicd en cd prdo. L sum de ls punuciones ms será l clificción de es prueb. Cd esudine deberá disponer de un clculdor cienífic o gráfic pr el emen. Se prohíbe su uilición indebid (pr gurdr fórmuls en memori). EJERCICIO A º) Clculr el vlor de por el que iene infinis soluciones el sisem siguiene: Obener ods ls soluciones correspondienes l vlor de e inerprer geoméricmene por qué el sisem iene infinis soluciones. Por rrse de un sisem homogéneo, pr que el sisem eng infinis soluciones es necesrio que el rngo de l mri de coeficienes se menor que el número de ecuciones de incógnis, o se, dos; eso implic que el deerminne iene que ser cero. Pr el sisem iene inf inis soluciones A. enguino

2 Pr resul un sisem compible indeermindo, por lo cul, pr su resolución se puede desprecir un ecución resolver el sisem resulne, por ejemplo: ;; ;; R Solución : L eplicción geoméric es l siguiene: cd un de ls ecuciones repre un plno; los dos primeros plnos son secnes, si, el ercer plno es un combinción linel de los dos primeros, lo cul signific que perenece l h de plnos que deerminn los dos primeros, es decir: que ienen un rec en común, por lo no ienen infinios punos en común, que son ls infinis soluciones.

3 º) Se lnn cinco moneds simérics l ire. Clculr: ) L probbilidd de no obener ningun cr. b ) L probbilidd de obener un cr. c ) L probbilidd de obener más de un cr. Se r de un disribución binomil, siendo p l probbilidd de cr q l probbilidd de cru; en ese cso p q ) p p q ' p b ) p p q 5 ' 5 p c ( p p ) ( ' '5) '88 ' ) p> 8 p>

4 5 º) Se considern ls recs r r'. Comprobr que los punos O (,, ) A (,, ) perenecen l rec r, que los punos (, 5, ) C, 5, perenecen l rec r. Clculr l disnci enre ls dos recs. B Eplicr l relción enre el produco mio de los vecores OA (,, ), BC OB, el produco vecoril de OA BC l disnci enre ls rec r r. L comprobción de l perenenci de los punos ls recs es evidene. Los vecores direcores de ls recs pueden ser: (,, ) ;; s v BC C B (, 5, ) (, 5, ) (,, ) v r u OA Como ls recs r r se crun, su disnci es l siguiene: Se eniende como disnci enre dos recs que se crun, l menor disnci enre mbs. Pr un mejor comprensión, hcemos un esquem de l siución. r P- u r clculr l dis- r nci A enre ls recs vmos deerminr un prlelepípedo cus dimensiones son los vecores direcores de ls recs el vecor w, cuo origen es el puno A r como eremo B r' : (, 4, ) w AB B A. d w B v El volumen del prlelepípedo es el produco mio de los res vecores. Por or pre, mbién se puede deerminr el volumen como el produco del áre de l bse por l lur. Observemos que l lur h es igul l disnci pedid d enre mbs recs. h Todo lo nerior se puede epresr de l siguiene form: V u ( v w ) u v h u v d d u ( v w ) u v

5 d u ( v w ) u v i 4 j k 4 j k 5 j k 5 j k u d Observndo el proceso seguido neriormene se deduce que el produco mio de OA,,, OB es el volumen del prlelepípedo el produco los vecores BC vecoril de OA BC es l bse del prlelepípedo, siendo d l lur. L relción es que el produco mio de los vecores OA (,, ), BC OB dividido por el produco vecoril de OA BC es l disnci enre ls rec r r.

6 4º) Se divide un hilo de meros en dos roos de longiudes e. Con el roo de longiud se form un cudrdo con el de longiud se form un recángulo, cuo ldo mor mide el doble que el ldo menor. Enconrr e pr que l sum de ls áres del cudrdo del recángulo se máim. Idem pr que se mínim. 4 ;; S T ( ) 8( ) S T S' T S' T ;; 7 8 ;; S' ' T 7 > 7 L solución obenid pr es un mínimo ;; No eise solución pr que el áre se máim, lo cul se inerpre que se obiene sin corr l cuerd.

7 EJERCICIO B º) Obener l disnci del puno A(,, 7) l plno deermindo por el origen de coordends los punos B(,, ) C(,, ). Dos vecores direcores de son u OB (,, ) v OC (,, ) que su ecución generl es l siguiene: ( O; u, v ) ;; ;; L disnci de un puno un plno es: d( P; ) A B. A B C C Aplicndo l fórmul l puno A(,, 7) l plno : d ( A; ) uniddes d D ( A; ), por lo

8 º) Obener en función de ls soluciones del sisem. Eplicr l relción enre el conjuno de soluciones obenids l inersección de los plnos de ecuciones β α. Ls mrices de coeficienes mplid son: 5 ' ;; de Rngo R do Deer Compible incógnis n Rngo Rngo, min º ' Resolviendo por l Regl de Crmer: L inersección de los plnos β α es l rec de ecución, que puede comprobrse en ls soluciones del sisem.

9 º) L esur de un poblción se disribue normlmene con medi de 7 m desvición ípic. Se seleccionn l r curo persons se pide cuál es l probbilidd de que un, solo un de ells mid más de 7 m. Deerminr mbién cuál es l probbilidd de que l menos dos de ls curo persons midn más de 7 m. En primer lugr ipificmos l vrible (esur) X, pr lo cul uilimos l fórmul Z X, donde : X 7; μ 7 σ, con lo cul resul: σ Z '7 '7 ' ' ' ' L probbilidd de que un person mid más de 7 es equivlene l unidd menos l probbilidd de que mid menos de 7, o se: p ( X '7) p( Z ') '57 ' 47 L probbilidd de que seleccionds l r curo persons, un, sólo un de ells mid más de 7 m es: 4 p ( X ) '47 '57 4 '47 '44 ' 7 p L probbilidd de que l menos dos de ls curo persons midn más de 7 m es equivlene l unidd menos l probbilidd de que ninguno o uno de ellos mid menos de 7, o se: p p 4 4 ( X ) '47 '57 ' ( ) p( < ) p( ) p( ) ' '7 ' 5

10 4º) Al girr l elipse lrededor del eje OX engendr un superficie que encierr un figur precid un huevo, llmd elipsoide. Hllr el volumen de ese elipsoide. Si el puno A(, ) se despl hci l derech de mner que 5, obener l función derivd del volumen del elipsoide respeco, eplicndo su significdo. El volumen que engendr un función coninu f() que gir en orno l eje OX en un inervlo (, b) viene ddo por l epresión [ ] b d f V. Por ser l función siméric con respeco l eje Y, en nuesro cso serí: [ ] d f V ; eniendo en cuen que l función es: [ ] [ ] ;; f f Susiuendo ese vlor en el volumen, resul: [ ] [ ] 8 8 cos cos 8 cos 8 cos 8 cos 8 d d d d V d d d d d f V V u O X Y A f()

11 Siendo V, hciendo 5, resul: V ( 5 ) V ' Cons n e V, su derivd: ' L inerpreción geoméric es que unque se desplce l figur el volumen es consne.

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