L[u] = ( pu ) + qu. u(t) =

Transcripción

1 Función de Green Asumiremos que el operdor diferencil esá en form de divergenci: L[u] = ( pu ) + qu con p C [, b], p > y q C[, b], q. El problem es, dd un ϕ C[, b] enconr u l que: { L[u]() = ϕ() (, b) B[u] = Con B un operdor que indic ls condiciones de borde. Por ejemplo: B[u] = { u() u(b) B[u] = { u() u(b) u () u (b) B[u] = { αu() + βu(b) γu () + δu (b) Hy que nor, sin embrgo que no pr ods ls condiciones de borde hbrá solucion. Por ejemplo, si se piden condiciones periódics, el forzne endrá que ser periódico mbién. Armmos que u esá dd por: u() = G(, s)ϕ(s)ds. con G : [, b] [, b] R l llmd Función de Green. Nor ls siguienes propieddes que deberá cumplir G. (Tommos el primer ejemplo de condiciones de borde, Dirichle Homogenes.). Como u() = u(b) = enonces G(, s)ϕ(s)ds = G(b, s)ϕ(s)ds. Como eso será ciero pr cád función coninu ϕ y C[, b] es denso en L [, b], se iene que: G(, s) G(b, s) Es decir, G(, s) mbién cumple con ls condiciones de borde.. Como el operdor L es uodjuno pr el produco ineno de L, se iene que G es siméric: G(, s)ϕ(s)ψ()dsd = ( ) G(, s)ϕ(s)ds ψ()d = u()ψ()d =

2 = u()l[k[ψ]]()d En dónde LK = Id. Llmndo v() = K[ϕ](), enemos, usndo que L es uodjuno ( u, Lv = Lu, v ) G(, s)ϕ(s)ψ()dsd = = L[u]()v()d = G(, s)ϕ()ψ(s)dsd ( ) ϕ() G(, s)ψ(s)ds d = Con lo cul, como eso vle p odo ϕ, ψ, se iene que G(s, ) = G(, s) en el dominio. 3. G C ({(x, s) [, b] [, b] : x s}) y en x = s l derivd pegrá un slo: u() = G(, s)ϕ(s)ds + G(, s)ϕ(s)ds u () = G(, )ϕ( ) + G(, s) ϕ(s)ds G(, + )ϕ( + ) + G(, s) ϕ(s)ds Ahor, como ϕ es coninu, pidiendo l coninuidd de G, G(, ) = G(, + ): u () = Derivndo nuevmene: G(, s) b ϕ(s)ds + G(, s) ϕ(s)ds u () = G(, ) G(, s) ϕ( ) + ϕ(s)ds G(, +) Pedimos que el slo se G(, ) G(, +) = p() enemos: u () = ϕ() p() + G(, s) ϕ(s)ds + ϕ( + ) + G(, s) ϕ(s)ds G(, s) ϕ(s)ds Vemos enonces que L[u] = (pu ) + qu = f, busndo un poco l noción escribiremos Gds = Gds + Gds sbiendo que l G se compor disino en cd cso. = p()ϕ() p() p() [ (pu ) + qu ] () = p()u () p ()u () + q()u() = G(, s) ϕ(s)ds p () G(, s) ϕ(s)ds+q() G(, s)ϕ(s)ds

3 Lu() = ϕ() + [ p() G(, s) = ϕ() + p () pidiendo que L [G] fuer de l digonl G(, s) L [G](, s)ϕ(s)ds = ϕ() ] + q()g(, s) ϕ(s)ds = Psndo en limpio, l función G depende de dos vribles y iene ls siguienes propieddes: si (, b), enonces G(, s), G(,s) y G(,s) exisen pr < < s y pr s < < b. Supongmos, demás, que ess derivds ienen un exensión coninu en ls regiones ringulres s y s b. El efeco de es mplición es que G(s +, s) = G(s, s ), G(s, s) = G(s, s +), G(s +, s) = G(s, s ), G(s, s) = G(s, s + ) En l digonl = s, insisimos que G(, s) es coninu. Pr l derivd prcil G(,s) sin embrgo, necesimos un slo de disconinuidd. En resumen, u() = G(, s)ϕ(s)ds con con G l que. L [G](, s) = pr < < s y pr s < < b. B[G] = : cumple ls condiciones de borde. 3. G C([, b] [, b]). En priculr en = s, con lo cul G(s, s) = G(s +, s) 4. G C ([, b] [, b]\{ = s}), y peg un slo: G(s,s) Enconrr un G mno Se el problem: G(s +,s) = p(). { u () = f() (, ) u() = u() = ) En primer lugr, sbemos que G fuer de l digonl, con lo cul: { + b s G(, s) = c + d > s Teniendo en cuen que, b, c, d pueden depender de s. ) Luego, debemos uilizr ls condiciones de bode: G(, s) =, como s obenemos que b =. 3

4 G(, s) =, como < s obenemos que c + d =, o c = d. con lo cul hs hor enemos: { G(, s) = s d( ) > s 3) Usmos hor l coninuidd en l digonl G(s, s) = G(s +, s) s = d( s) 4) y el slo de l derivd G (s, s) G (s +, s) = p() : ( d) = Obenemos d = s y = s. Con lo cul llegmos l expesión de l función de Green: G(, s) = { ( s) s s( ) > s Vemos que nd en un ejemplo sencillo, ϕ : L solución de u =, con condiciones Dirichle Homogenes es u() = ( ). Vemos que mbién se podí llegr medine l función de Green: ( s = u() = ) ( ) + Oro Ejemplo G(, s)ϕ(s)ds = (s s ) = ( ) ( ) s( )ds + ( + ( s)d = ) ( ) 3 = ( ) En generl, el problem de enconrr l función de Green se reduce resolver un sisem de curo incógnis, b, c, d que dependen de s, dds ls 4 propieddes que iene que cumplir. Dos de borde, l coninuidd y el slo de l derivd: Vemos en un ejemplo sencillo que resolver el sisem puede ser re edios: { u () + u() = f() (, ) u() = u(); u () = u () Aquí el operdor viene ddo por L[u] = u + u, con lo cul p, q. Ls soluciones del sisem L = vienen dds por g() = Ae + Be. Vemos enonces cómo hrímos pr enconrr l { e G(, s) + be s ce + de > s 4

5 ) Condición de borde: G(, s) = G(, s) enonces + b = ce + de. ) Condición de borde: G (, s) = G (, s) enonces b = ce de. 3) Coninuidd en s = : G(s +, s) = G(s, s = enonces e s + be s = ce s + de s. 4) Slo de l derivd: G (s, s) G(s +, s) = enonces (e s be s ) (ce de ) = Con lo cul qued un sisem: e e e e e s e s e s e s e s e s e s e s b c d = Que se puede hcer ls cuens y resolver, pero dá l pu que complicndo un poco ls condiciones de borde o el operdor, v erminr siendo un dolor de cbez. Vemos un méodo que provech más ls condicones de borde: Méodo del Wronskino Volvmos Lu = u y supongmos condiciones de borde Dirichle homogenes. Elijmos un bse {u, u } del núcleo del operdor L les que u () =, u (), u (), u () = Por ejemplo en ese cso podrín ser u () =, u () =. Ahor, consruir G como sigue: { Au () + Bu G(, s) = () s Cu () + Du () > s Aplicndo ls condiciones de borde, se iene que Bu () = y = Cu (). Con lo cul B = y C =. En generl, siguiendo es losofí, pr culquier condición de borde, dos de ls 4 incógnis quedn deerminds de nemno. L condición de coninuidd y l del slo de l derivd nos dn ls ecuciones:. = G(s +, s) G(s, s) = Du (s) Au (s) p(s) = G(s +, s) G(s, s) = Du (s) Au (s) De ess dos ecuciones obenemos: A = u (s) p(s)w (s) 5

6 y D = u (s) p(s)w (s) en donde W es el Wronskino de u y u : W (s) = u (s) u (s) Finlmene l G resul: u (s) u (s) { u (s) p(s)w (s) G(, s) = u () u (s) p(s)w (s) u () s s < Vle recordr l fórmul, que si T [u] = u +P u +Qu enonces, si c perenece l dominio: W (s) = W (c)e R s c P ()d Con lo cul, en los ejemplos de L[u] = (pu ) + qu = pu + p u + qu, si p es consne, P =, con lo cul W (s) = W (c) pr odo s. Finlmene, si llmmos W = pw, que vimos que es consne: { G(, s) = u W (s)u () u W (s)u () s s < Es écnic es bsne diec y horr muchs cuens. Mnuel Muree Sepiembre 9-r versión 6