Unidad 1 Matrices PÁGINA 7 SOLUCIONES. 1. La resolución de los sistemas puede expresarse de la forma siguiente:

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1 Unidad 1 Marices PÁGINA 7 SOLUCIONES 1. La resolución de los sisemas puede expresarse de la forma siguiene: La segunda mariz proporciona la solución x = 5,y = 6. La úlima mariz proporciona la solución x =, y = 3, z = 4. 1

2 . Veamos que P = P. Para ello, Las igualdades aneriores son debidas a: (1) la definición de la poencia al cuadrado; () la hipóesis PQ = P; (3) la propiedad asociaiva del produco; (4) la hipóesis QP = Q; (5) la hipóesis PQ = P. 3. La que indica las relaciones exisenes en el grafo es:

3 PÁGINA 3 SOLUCIONES 1. Supongamos que la edad de la madre es de 39 años; imponiendo las condiciones del problema, obenemos: = 39 P H H H H P H H H H = P H H H H = Luego si la madre iene 39 años, el padre iene 37 y los cuaro hijos ienen respecivamene, 13, 7, 3 y 1 años. Observamos que si parimos de que la madre iene 38 años obenemos la misma respuesa, e igual que para 37, 36, 35 años. Es decir, independienemene de la edad de la madre, nos salen las edades del padre, 37 años, y las edades de los hijos: 13, 7, 3 y 1 años. En general la madre endrá xy años xy = 10x + y años. Ahora bien: xyxyxy xyxyxy = xy P H H H H = P H H H H xy xyxyxy x y x + 100y + 10x y = = xy 10x + y x y 10101(10 x + y) = = = x + y 10x + y Descomponemos en facores y es: 10101= Luego las edades serán: Q = 37 años H = 3 años H H = 13 años H = 1año 1 4 = 7años 3 3

4 . Llamamos x, y a los números. Se debe cumplir que: x x + y = x y = y Resolviendo: x + y = x y x y = x x 1 x y = y xy = x y = ± 1 x Luego para y = + 1 = 1 no iene solución. x 1 x 1 Para y = 1 = 1 x = x 1 1 La solución válida es: x = ; y = 1 4

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6 SOLUCIONES 1. Realizando las operaciones indicadas y aplicando la igualdad de marices, obenemos: Resolviendo el sisema, a = 5, b = 1, c = 6, d= 4.. La solución en cada caso queda: 3. Los producos quedan: 6

7 4. Los producos posibles son: 5. En general, las igualdades aneriores no son cieras, ya que el produco de marices no es conmuaivo. 6. Llamamos A y B a las marices numéricas que aparecen en cada uno de los sisemas. Resolvemos ésos por el méodo de reducción y obenemos: 7

8 7. En cada uno de los casos queda: La solución del sisema es c = 0, a = d y b cualquiera. Por ano, las marices que conmuan con reales cualesquiera. 1 1 son de la forma 0 1 De una forma análoga obenemos que las marices que conmuan con d c c forma c d a 0 b a con a y b números 1 son de la Las operaciones quedan: a) C A ( 7 1) c) = b) = C C 4 6 d) 1 9 = A B B A C 3 5 = 9. Toda mariz cuadrada A puede expresarse de la forma En la suma anerior, el sumando A + mariz anisimérica. Las descomposiciones pedidas son: A A + A A A A = +. es una mariz simérica y el sumando A A es una 8

9 10. En cada uno de los dos casos queda del siguiene modo: Calculamos las poencias sucesivas de A y B. Observamos que las poencias de la mariz A se repien de cuaro en cuaro. Así: 0 Calculando las sucesivas poencias de B = obenemos que: B B B = = B = B B = B = B B = B = B B = 4 0 Podemos coninuar y observar que las poencias pares siguen una recurrencia y las impares ora. Es decir: n n+ 1 n 0 n 0 Si n es par B = n y si n es impar B = n Por ano B = 9 0 9

10 11. Quedan del siguiene modo: a) b) c) d) 10

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12 SOLUCIONES 1. Las riangulares equivalenes son: 13. Las inversas quedan del siguiene modo: 1

13 14. Queda: 13

14 15. Queda: 16. Realizamos operaciones elemenales en las filas de las marices, obeniendo marices equivalenes

15 17. Queda del siguiene modo: 15

16 18. Quedan: 19. La solución queda: 16

17 0. Quedan: a) b) 1. Las respuesas quedan: a) En el caso de que la mariz A enga una dimensión m n, con m 1, es imposible enconrar la mariz B cumpliendo las condiciones pedidas. En el caso de que la mariz A enga dimensión 1 n, la mariz B endrá dimensión n m y la mariz resulane será la mariz fila 1 m. b) ( A + A ) = A + ( A ) = A + A por ano la mariz ( A + A ) es simérica pues coincide con su raspuesa. c) Una mariz A es anisimérica si A = A. Veamos cómo son las poencias sucesivas: ( A ) = ( A A) = A A = ( A) ( A) = A, luego 3 3 ( A ) = ( A A) = A ( A ) = ( A) A = A, luego A es simérica. 3 A es anisimérica. Por ano, las poencias pares son marices siméricas y las poencias impares son anisiméricas. 17

18 . Sean X, Z, Y res marices de dimensiones m n, p q y r s, respecivamene. Si es posible calcular XZ iene que cumplirse que n = p y la dimensión del produco es m q. La dimensión de Y, s r, debe coincidir con la de XZ, es decir, con m q ; lo que implica que s = m y q = r. Con las condiciones aneriores, las dimensiones de las marices aneriores son m n para X, q m para Y y n q para Z. Es posible calcular ZY X ya que se puede efecuar el produco ZY resulando de dimensión n m, dimensión que coincide con la de la mariz raspuesa de X. 18

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20 SOLUCIONES 3. La solución es: 1. b = 0, enonces a = 0 ó a = 1, y d = 0 ó d = 1. Las marices solución son:. a = 1 d, enonces = ± con d [ 0,1] b d d. Las marices solución son: 4. Queda del siguiene modo: El valor que hace que la úlima mariz sea la mariz nula es k = 1. 0

21 5. Queda: 6. Queda del siguiene modo: 7. Queda: 1

22 8. La solución es: 9. Calculamos la posible mariz inversa por el méodo de Gauss-Jordan, obeniendo:

23 La mariz M siempre es inverible, ya que a y b no pueden ser 0 simuláneamene enonces a + b 0. La mariz inversa de M es: 30. Queda: 31. La solución queda: 1 a) Calculamos A mediane el procedimieno de Gauss-Jordan. Para ello inercambiamos las filas primera y segunda y, poseriormene la segunda y la ercera para obener: b) Teniendo en cuena que siguiene expresión A 1 1 A A A A I 1 = A siguiendo la definición de mariz inversa obenemos la = = y ( A A) = ( A A) = I = I. 3

24 3. La solución queda: Rango m 3 1 m m + 1 = rango m m 1 1 m + 1 = rango m m Por ano, si m = 0 el rango es y para odos los demás valores de m el rango es En cada uno de los casos queda: a) x = 4x x 1 x 0 La mariz A iene inversa para odos los valores de x excepo aquellos que anulen el 1 deerminane de A, es decir, A x ± b) A = c) La mariz X ha de ser de dimensión 3x. Despejando obenemos: 1 X = A B C Calculando la mariz 1 A para x = 1 y susiuyendo obenemos: 1 1 X =