Sistemas lineales con ruido blanco

Transcripción

1 Capíulo 3 Sisemas lineales con ruido blanco 3.1. Ruido Blanco En la prácica se encuenra procesos esocásicos escalares u con media cero y la propiedad de que w( 1 ) y w( 2 ) no esán correlacionados aún para valores 2 1 que son basane pequeños, es decir, R w ( 2, 1 ) para 2 1 > ε (3.1) donde ε es un número pequeño. La función covarianza de al proceso esocásico se puede idealizar como sigue: R w ( 2, 1 ) = V ( 1 ) δ( 2 1 ) (3.2) Aquí δ( 2 1 ) es una función dela y V ( 1 ) se considera como la inensidad del proceso en el insane. Esos procesos se denominan: procesos de ruido blanco. Ese concepo se puede exender a procesos vecor-valuados. Definición 3.1. Consideremos w() un proceso esocásico vecor valuado con media cero y mariz covarianza: R w ( 2, 1 ) = V ( 1 ) δ( 2 1 ) (3.3) donde V (). Enonces w() es un proceso esocásico de ruido blanco con inensidad V (). En el caso de que V () es una consane V, el proceso es esacionario en el senido amplio y podemos deerminar su mariz de densidad especral de poencia: Σ w (ω) = e jωτ V δ(τ) dτ = V (3.4) Eso demuesra que ese ipo de procesos iene igual densidad de poencia para odas las frecuencias. Las reglas que enrega el siguiene eorema serán uilizadas más adelane. 27

2 Teorema 3.1. Tomemos w() como un proceso vecor-valuado de ruido blanco con inensidad V (). También, consideremos como dadas las marices A 1 (), A 2 () y A(). Enonces: a.) E b.) E c.) E { 2 1 { [ 2 1 { [ 2 1 A() w()d = (3.5) ] T [ 4 ] A 1 ()w()d W A 2 ( )w( )d [ = r V ()A T 1 ()W A 2 () ] d (3.6) 3 I ] [ 4 ] T A 1 () w()d A 2 ( ) w( )d = A 1 () V () A T 2 ()d (3.7) 3 I donde I es la inersección de [ 1, 2 ] y [ 3, 4 ] y W es una mariz de ponderación o peso Sisemas diferenciales lineales exciados con ruido blanco Un sisema diferencial lineal exciado con ruido blanco es un buen modelo para formular y resolver problemas de conrol lineal que envuelven ruido y perurbaciones. El siguiene eorema nos proporciona propiedades esadísicas del esado de un sisema diferencial lineal exciado con ruido blanco. Teorema 3.2. Supongamos que x() es la solución de ẋ() = A() x() + B() w() (3.8) x( ) = x donde w() es ruido blanco con inensidad V () y x es una variable esocásica independiene w(), con media m y Q = E{(x m )(x m ) T como su mariz covarianza. Enonces x() iene la media: m x () = Φ(, ) m (3.9) donde Φ(, ) es la mariz de ransición del sisema (3.8). La mariz covarianza de x() es: min(1, 2) R x ( 1, 2 ) = Φ( 1, ) Q Φ T ( 2, ) + Φ( 1, τ)b(τ) V (τ) B T (τ) Φ T ( 2, τ) dτ (3.1) La mariz varianza Q() = R x (, ) saisface la ecuación diferencial maricial: Q() = A() Q() + Q() A T () + B() V () B T () (3.11) Q( ) = Q Además: R x ( 1, 2 ) = { Q(1 ) Φ T ( 2, 1 ) 2 1 Φ( 1, 2 ) Q( 2 ) 1 2 (3.12) 28

3 La mariz de momeno conjuno de segundo orden de x() es: C x ( 1, 2 ) = E { x( 1 ) x T ( 2 ) = Φ( 1, ) C x (, ) Φ T ( 2, ) + min(1, 2) Φ( 1, τ)b(τ) V (τ) B T (τ) Φ T ( 2, τ) dτ (3.13) La mariz momeno C x (, ) = Q () saisface la ecuación diferencial maricial: Q () = A() Q () + Q () A T () + B() V () B T () (3.14) Q ( ) = E { x x T Además: C x ( 1, 2 ) = { Q ( 1 ) Φ T ( 2, 1 ) 2 1 Φ( 1, 2 ) Q ( 2 ) 1 2 (3.15) 3.3. Mariz varianza de esado esacionario para sisemas invarianes en el iempo Es ineresane deerminar el comporamieno asinóico de la mariz varianza en los sisemas LIT, es decir, cuando A, B y V son marices consanes. En ese caso la ecuación (3.1) queda: R x (, ) = Q() = e A( ) Q e AT ( ) + e A( τ) B V B T e A dτ (3.16) Si y sólo si, A es asinóicamene esable, Q() iene el siguiene límie para Q arbirario: lím Q() = lím Q() = Q = e A τ B V B T e AT τ dτ (3.17) Ya que Q() es la solución de la ecuación diferencial (3.11) su límie Q ambién la debe saisfacer, luego: A Q + Q A T + B V B T = (3.18) Los resulados que se indican a coninuación demuesran que Q es la única solución de la ecuación (3.18). Lema 3.1. Tomemos M 1, M 2, M 3 como marices reales nxn, mxn y nxm, respecivamene. Además λ i, i = 1, 2,..., n y µ j, j = 1, 2,..., m como los valores caracerísicos de M 1 y M 2 respecivamene. Enonces la ecuación maricial: M 1 X + X M T 2 = M 3 (3.19) iene una única nxm mariz X de solución si y sólo si para odo i, j: λ i + µ j (3.2) 29

4 Aplicando ese lema a (3.18), omando M 1 = A, M 2 = A T. Resula m = n y µ j = λ j, j = 1, 2,..., m. Como A es asinóicamene esable, odos los valores caracerísicos ienen pare real esricamene negaiva, enonces: para odo i, j. Luego (3.18) iene solución única. Lo anerior se resume en el siguiene eorema: Teorema 3.3. Consideremos la ecuación diferencial esocásica: λ i + λ j (3.21) ẋ() = A x() + B w() (3.22) x( ) = x donde A y B son consanes y w() es ruido blanco con inensidad consane V. Enonces si A es asinóicamene esable y o, la mariz varianza de x() iende a una mariz consane no negaiva definida: Q = que es la única solución de la ecuación maricial e A B V B T e AT d (3.23) A Q + Q A T + B V B T = (3.24) Las ecuaciones mariciales del ipo (3.24) aparecen en eorías de esabilidad son conocidas como las ecuaciones de Lyapunov. Podemos observar que si A es asinóicamene esable y, la salida del sisema diferencial (3.22) es un proceso esocásico en el senido amplio Modelado de procesos esocásicos Más adelane usaremos el modelado de un proceso esocásico por un sisema diferencial lineal exciado por ruido blanco. Las ecuaciones que lo describen son: v() = C() x() (3.25) ẋ() = A() x() + B() w() donde w() es ruido blanco y v() es el proceso esocásico Expresión inegral cuadráica Más adelane se emplearán expresiones de la forma: { E x T () R() x() d + x T ( 1 ) P 1 x( 1 ) en el siguiene eorema se resumen fórmulas para esa expresión: (3.26) 3

5 Teorema 3.4. Consideremos el sisema diferencial lineal ẋ() = A() x() + B() w() (3.27) donde w() es ruido blanco con inensidad V () y x( ) = x es una variable esocásica con E { x x T = Q. Tomemos R() como una mariz simérica y no negaiva definida para 1, y P 1 como una mariz consane, simérica y no negaiva definida. Enonces: { { E x T () R() x() d + x T ( 1 ) P 1 x( 1 ) = r P ( ) Q + donde P () es la mariz simérica no negaiva definida: P () = B() V () B T () P () d (3.28) Φ T (τ, ) R(τ) Φ(τ, ) dτ + Φ T ( 1, ) P 1 Φ( 1, ) (3.29) donde Φ(, ) es la mariz de ransición del sisema P () saisface la ecuación diferencial maricial: P () = A T () P () + P () A() + R() (3.3) con la condición erminal: P ( 1 ) = P 1 (3.31) En paricular, si el sisema (3.27) se reduce al sisema diferencial auónomo: Es decir, V () = y x( ) deerminísico, enonces ẋ() = A() x() (3.32) x T () R() x() d + x T ( 1 ) P 1 x( 1 ) = x T ( ) P ( ) x( ) (3.33) Para el caso en que A, B, V y R son consanes, la ecuación (3.29) se reduce a: P () = e AT (τ ) R e A(τ ) dτ + e AT ( 1 ) P 1 e A(1 ) (3.34) Si A es asinóicamene esable, obenemos cuando 1 : P () = P = Haciendo un cambio en la variable de inegración enemos: P = e AT (τ ) R e A(τ ) dτ (3.35) e AT R e A d (3.36) Eso demuesra que P es una mariz consane y por lo ano saisface la ecuación (3.3), luego enemos que: A T P + P A + R = (3.37) Como se supone que A es asinóicamene esable, el lema 3.1 garaniza que esa ecuación algebraica iene solución única. 31