PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4, Opción B Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B Sepiembre, Ejercicio 4, Opción A Sepiembre, Ejercicio 4, Opción B hp://emesrada.wordpress.com

2 x 5 z 6 Considera el plano π de ecuación x + y z + y la reca r de ecuación y m a) Halla la posición relaiva de r y π según los valores del parámero m. b) Param, halla el plano que coniene a la reca r y es perpendicular al planoπ. c) Para m, halla el plano que coniene a la reca r y es paralelo al planoπ. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x 5 z 6 x+ y 5 a) Podemos pasar la ecuación de la reca r a implícias y m mx+ z + 5m x+ y z Esudiamos el sisema formado por las ecuaciones de la reca y el plano x+ y 5 mx+ z + 5m A 6+ m m m R(A) R(M) m Reca paralela al plano. m Reca secane al plano. b) La ecuación de odos los planos que conienen a la reca r es: x+ y 5 + k ( x+ z+ ) ( k) x+ y+ k z 5+ k El vecor normal de ese plano ( k,, k) y el vecor normal del plano π (,, ), ienen que ser perpendiculares, luego su produco escalar vale. ( k,, k) (,, ) 6k+ k k Susiuyendo, enemos que el plano pedido es: x+ 4y+ z 7 c) La ecuación de odos los planos que conienen a la reca r es: x+ y 5 + k ( x+ z+ ) ( k) x+ y+ k z 5+ k El vecor normal de ese plano ( k,, k) y el vecor normal del plano π (,, ), ienen que ser paralelos, luego sus componenes ienen que ser proporcionales. k k k Susiuyendo, enemos que el plano pedido es: 4x+ y z 8

3 x + y z Considera el puno P (,,) y la reca r x + z + a) Halla la ecuación del plano que coniene a P y a la reca r. b) Deermina las coordenadas del puno Q simérico de P respeco de la reca r. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) La ecuación del haz de planos que coniene a la reca r es: x+ y z + k ( x+ z+ ). De odos esos planos nos ineresa el que pasa por el puno P (,,), luego: + + k (+ + ) k por lo ano, el plano pedido iene de ecuación: x+ y z ( x+ z+ ) x+ y 4z 7 b) El puno Q simérico del puno P respeco de la reca r, esá siuado en un plano que pasando por el puno P es perpendicular a r y además la disancia que hay desde el puno P a la reca r es la misma que la que hay desde el puno Q hasa dicha reca. P M Q x x+ y z Pasamos la ecuación de la reca a forma paramérica r r y 4+ x+ z+ z Calculamos la ecuación del plano que pasando por el puno P es perpendicular a r. Como la reca es perpendicular al plano, el vecor direcor de dicha reca y el vecor normal del plano son paralelos, luego: Vecor normal del plano vecor direcor de la reca (,,) La ecuación de odos los planos perpendiculares a dicha reca es: x+ y+ z+ D. Como nos ineresa el que pasa por el puno P (,,) : D D x+ y+ z Calculamos las coordenadas del puno de inersección de la reca con el plano (M); para ello susiuimos la ecuación de la reca en la del plano: ( ) + (4+ ) + luego las coordenadas del puno M son: x ( ) ; y 4+ ( ) ; z Como el puno M es el puno medio del segmeno P Q, si llamamos (a, b, c) a las coordenadas del puno Q, se debe verificar que: + a ; a ; + b ; b ; + c ; c Q,, Luego el simérico es: ( )

4 Sean u ( x,,), v ( x,,) y w (, x, 4 x) res vecores de R. a) Deermina los valores de x para los que los vecores son linealmene independienes. b) Halla los valores de x para los que los vecores son orogonales dos a dos. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Los vecores son linealmene independienes si y solo si de ( u, v, w) x + de ( u, v, w) x 7x 4, sea cual sea el valor de x, luego los vecores son x 4x siempre linealmene independienes. b) Si los vecores son orogonales dos a dos sus producos escalares son cero. u v x x x x ± (,,) (,,) 4 u w ( x,,) (, x, 4 x) x x x puede omar cualquier valor. v w ( x,,) (, x, 4 x) x + x 4x x puede omar cualquier valor. Por ano, los valores que puede omar x son y para que los res vecores sean orogonales dos a dos.

5 x a + x y + z Sea r la reca de ecuación y y s la reca de ecuación z 4 a) Calcula el valor de a sabiendo que las recas r y s se coran. b) Calcula el puno de core. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Si las recas se coran, cualquier puno A ( a+,,4 ) de la reca r iene que verificar la ecuación de la reca s, luego: a+ + 4 a+ 6 4 a ; a+ 8 Luego para a, las recas se coran. b) El puno de core será: A ( a+,,4 ) (+,, 4 ) (,,)

6 Halla un puno A de la reca r de ecuación x y z y un puno B de la reca s de ecuación y z+ x de forma que la disancia enre A y B sea mínima. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. Escribimos las ecuaciones de las dos recas en forma paramérica. x x s r y y s y s z z + s A,, y cualquier puno de la reca s endrá Cualquier puno de la reca r endrá de coordenadas ( ) de coordenadas B ( s, s, + s). + El vecor AB endrá de coordenadas: AB ( s, s, s ) Como el vecor AB iene que ser perpendicular a la reca r y s se debe cumplir que: ABu s s + s AB v s + s + + 4s Resolviendo las dos ecuaciones, obenemos que y s 7 7 Luego, los punos A y B que esán a mínima disancia ienen de coordenadas A,, y B 4,, +,,

7 x 5 y + z x y + z Sea r la reca de ecuación y s la reca dada por 4 x + y z a) Deermina la posición relaiva de ambas recas. b) Halla la ecuación del plano que coniene a la reca r y es paralelo a la reca s. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. a) Calculamos las ecuaciones implícias de la reca r. x 5 y+ z x+ 5 y+ 4 x+ y 4 4x z x z x y+ z x + y z Formamos el sisema con las ecuaciones de las dos recas: y calculamos el x+ y x z rango de la mariz de los coeficienes y el de la mariz ampliada del sisema. Como sale que el rango(a) y el rango (M) 4, las dos recas se cruzan. b) Calculamos el vecor direcor de la reca s i j k 6i j+ 6k k+ 9j i (4,8, 4) Calculamos el haz de planos que coniene a la reca r. x+ y + k(x z ) (+ k) x+ y kz k El vecor normal del plano (+ k,, k) y el vecor direcor de la reca (4,8,4), ienen que ser perpendiculares, luego, su produco escalar es cero. ( ) (+ k,, k) 4,8, k+ 6 4k 4k k 5 Luego el plano pedido es: 9x+ y+ 5z+ 49.

8 x + y + z Considera la reca r de ecuaciones x y + z a) Deermina la ecuación del plano que coniene a la reca r y no cora al eje OZ. b) Calcula la proyección orogonal del puno A (,,) sobre la reca r. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) Calculamos el haz de planos que coniene a la reca r. x+ y+ z + k( x y+ z) ( + k) x+ ( k) y+ (+ k) z El vecor normal del plano (+ k,, k) y el vecor direcor de la reca (,,), ienen que ser perpendiculares, luego, su produco escalar es cero. Luego el plano pedido es: x+ 5y. (+ k, k,+ k) (,,) + k k b) Pasamos la reca r a paraméricas 5 x x+ y+ z + y x y+ z z 5 + Cualquier puno B de la reca r, endrá de componenes: B,,. El vecor 5 5+ AB,, y el vecor direcor de la reca ( 5,,) u, ienen que ser perpendiculares, luego su produco escalar vale cero AB u, +, ( 5,,) Luego el puno B será: B,,,, 9 9 9

9 Considera los punos A (,,) y B (, 4,) y la reca r de ecuación a) Deermina un puno C de la reca r que equidise de los punos A y B. b) Calcula el área del riángulo de vérices ABC. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x y z a) Pasamos la reca r a paraméricas x z x y y + z + Cualquier puno C, endrá de componenes C (, +,+ ). Como queremos que el puno C equidise de A y de B, enonces, el módulo del vecor AC iene que ser igual al módulo del vecor BC. Calculamos las coordenadas de dichos vecores: AC (, +, + ) y BC (,, + ) e igualamos sus módulos: ( ) + ( + ) + (+ ) + ( ) + (+ ) Luego el puno C será: C (,,) b) El área pedida es S AB AC AB (,, ) ; AC (,, ). i j k S AB AC módulo módulo ( i+ j+ 9 k) '76u

10 Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano π de ecuación x + y + z y forme con los ejes de coordenadas un riángulo de área8. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. C B A Un plano paralelo al plano x+ y+ z es elx+ y+ z D. Los punos de core de dicho plano con los ejes coordenados serán: A ( D,,) ; B (, D,) y C (,, D) El área pedida es S AB AC AB ( D, D,) ; AC ( D,, D). i j k 4 S AB AC módulo D D módulo ( D i+ D j+ D k) D 8 D D D 8 D 6 ± 6 Por lo ano, hay dos planos que cumplen la condición pedida que son: x+ y+ z 6 y x+ y+ z 6

11 x y + z Sea la reca r de ecuación y el plano π de ecuación x y + z +. Calcula el área del riángulo de vérices ABC, siendo A el puno de core de la reca r y el plano π, B el puno (,,) de la reca r y C la proyección orogonal del puno B sobre el plano π. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. Calculamos el puno de core de la reca r con el planoπ. Para ello pasamos a paraméricas la x + x y+ z ecuación de la reca y + y la susiuimos en el plano. z Luego las coordenadas del puno A son: A +, + 7,,5, Calculamos la proyección orogonal del puno B sobre el plano π. Para ello calculamos la reca que pasa por B y es perpendicular a π. x + y z + El puno C es el puno de core del plano con dicha reca Luego las coordenadas del puno C son: C, +,,, El área pedida es S AB AC AB, 4, ; AC,, S AB AC módulo 4 módulo i, j, k '5u 8 i j k

12 Halla las ecuaciones paraméricas de una reca sabiendo que cora a la reca r de ecuación x y z, es paralela al plano π de ecuación x + y z 4 y pasa por el puno A(,, ). MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA 4. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. A B n Cualquier puno B de la reca r x y z, será: B (,, ). Calculamos el vecor direcor de la reca que buscamos que será AB (,, + ). Como la reca que buscamos iene que ser paralela al plano x+ y z 4, el vecor AB y el vecor normal del plano n (,, ) serán perpendiculares, luego su produco escalar valdrá cero. AB n (,, + ) (,, ) 4 8 Luego la reca que nos piden pasa por A(,, ) y su vecor direcor es AB (,,), luego su x + ecuación paramérica será: s y z +

13 x Deermina los punos de la reca r de ecuaciones z que equidisan del plano π de y ecuación x + z y del plano π ' de ecuación y z. MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN A. x x Pasamos la reca r a paraméricas z y + y por ano podemos omar como y z + puno genérico de la reca P (, +,+ ). Como piden los punos que equidisan de los planos π y π ', enemos que d( P, π ) d( P, π '), luego: d( P, π ) d( P, π') + 5 de donde salen las ecuaciones: ,, P + 5+ P, 4,9 ( )

14 Considera los punos A(,, ) y B (,,) a) Deermina los punos del segmeno AB que lo dividen en res pares iguales b) Calcula el área del riángulo de vérices A, B y C, donde C es un puno de la reca de ecuación x y z. Depende el resulado de la elección concrea del puno C? MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. a) A M B Observamos la siguiene igualdad enre vecoresab AM, y como AB (,,) y AM ( x, y, z+ ), obenemos: (,, ) (x, y,z+ 6) x ; y ; z, es decir el puno M es M (,, ) También se observa que el puno N es el puno medio del segmeno MB, es decir: M + B + N,, (,,) b) Anes de calcular el área del riángulo de vérices A, B y C escribimos la reca r en forma x x y z paramérica r y + z Cualquier puno C de la reca r iene de coordenadas C (, +, ). Calculamos los vecores AB y AC. AB (,, ) y AC (, +, + ) i j k (+ 6) i+ ( ) j (+ ) k (+ ) i+ (+ 6) j ( ) k (,,) + + S AB AC u Vemos que el área no depende del parámero, luego no depende de la elección del puno C.