( ) [ ab, ] definidas como ( ) ( ) ( ) 1.2. Curvas paramétricas. funciones continuas de R R para un intervalo. Definición.
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- Luz Santos Sandoval
- hace 7 años
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1 1.. urvas paraméricas. Definición. Sean x 1, x,, xn funciones coninuas de R R para un inervalo [ ab, ] definidas como con [ a, b]. ( ( ( x1 = f1, x = f,, xn = fn El conjuno de punos ( x1, x,, xn = ( f1(, f(,, fn( define una curva en n R y esas funciones represenan las ecuaciones paraméricas de la curva para el parámero [ a, b], eso es f ( ( f1 x1 f n x : R R / f ( = = f n( xn f( a b Figura 9. urva Paramérica
2 Si la curva esá definida en R por la función vecorial f : / f ( f1( iˆ f( ˆj f( kˆ en un inervalo [ ab, ]. Enonces el conjuno de odos los punos (,, R R = + +, donde f 1, f y f son funciones escalares ales que x = f (, y f ( 1 = y z f ( x yz en el espacio = donde los valores de perenecen al inervalo [ ab, ], se llama curva paramérica en el espacio. Para esa curva, la función vecorial definida por f ( = ( f1(, f(, f( es el vecor posición del puno P( f1(, f(, f( sobre la curva. EJEMPLO 5. Represene la curva en ( ( ( ( f : R R / f = cos, sen, R, si ésa esa dada paraméricamene por Solución. Para la represenación en el espacio de esa función evaluamos algunos valores de y el vecor posición resulane es un puno pereneciene a la gráfica de la curva dada de forma paramérica, al represenar los vecores de posición se obiene la represenación gráfica que se observa en la Figura 10. Figura 10. Represenación de la curva paramérica del ejemplo 5.
![], se llama curva paramérica en el espacio. Para esa curva, la función vecorial definida por f ( = ( f1(, f(, f( es el vecor posición del puno P( f1(, f(, f( sobre la curva. EJEMPLO 5.](/docs-images/47/21642140/images/page_2.jpg "Represene la curva en ( ( ( ( f : R R / f = cos, sen, R, si ésa esa dada paraméricamene por Solución.")
3 De manera similar una curva en R esará definida por la función vecorial ( ( ˆ ( f : R R / f = f i + f ˆj, donde las funciones reales f 1 y f, son sus 1 funciones componenes, para un inervalo [ ab, ]. Enonces el conjuno de odos los punos ( x, y en el plano ales que x = f ( e y f ( 1 = donde los valores de perenecen al inervalo [ ab, ], se llama curva paramérica en el plano. Para esa curva la función vecorial definida por f ( = ( f1(, f( es el vecor posición del puno P( f1(, f( sobre la curva. EJEMPLO 6. Represene la curva en R, definida paraméricamene por ( ( f : / f, R R = para. Solución. La represenación gráfica de la rayecoria de esa curva definida por la represenación del vecor de posición f ( (, =, se realiza evaluando al parámero, desde = hasa =, en la función vecorial que describe la rayecoria de la curva, y luego al graficar los punos resulanes en el plano caresiano se obiene la represenación que se observa en la Figura 11.
4 f( - Figura 11. Trayecoria de la curva f ( (, =. EJEMPLO 7. Represene la curva en ( θ ( θ θ g : / g cos,5sen R R = para 0 θ π. R, definida paraméricamene por Solución. La curva g es la represenación en forma paramérica de una elipse cenrada en el origen y cuya gráfica en el plano caresiano es la que se muesra en la Figura 1, el dibujo de dicha curva se obuvo al realizar la evaluación del parámero θ en el inervalo correspondiene.
5 Figura 1. Trayecoria de la curva f ( ( cos ( θ,5sen( θ =. EJEMPLO 8. Represene la curva en ( ( h: R R / h =, + 1 para 4. R, definida paraméricamene por Solución. La gráfica de la curva dada paraméricamene por la función h, se corresponde a una parábola de vérice en el puno (,1, y se muesra su represenación gráfica en la Figura 1. Figura 1. Trayecoria de la curva f ( (, 1 = +. EJERIOS PROPUESTOS 1.. Realice la represenación gráfica de las siguienes curvas dadas en forma paramérica. 1 f :0, [ ] R / f ( = (, g: [ 1, ] R / g( = ( + 1, 5 π R = 6 h: 0, / g( θ ( cos ( θ,sen( θ Orienación de una curva
6 Definición. Si es una curva definida paraméricamene por la función vecorial definida por f : R R n / f ( = ( f1(, f(,, fn ( con [ a, b], enonces la orienación de esa curva se define según, si su rayecoria o desplazamieno se realiza desde f ( a hasa f ( b (orienación posiiva o desde f ( b hasa f ( a (orienación negaiva. Para la curva del Ejemplo 6, se observa las dos orienaciones para una curva en la Figura 14. (a Orienación Posiiva (b Orienación Negaiva Figura 14. Orienación de una curva paramérica, f :[, ] R / f ( = (, 1... Paramerización de algunas de las curvas más uilizadas. Tabla 1. Paramerización de una curva dada de forma explicia o implicia. urva Paramerización de la curva y = f ( x ( x = g y x= y = f x ( ( x= g y =
7 ircunferencia: Elipse: x a y b + = 1 x + y = a Segmeno de línea reca: Desde ( x, y, z hasa ( x, y, z x= rcos y = rs en ( θ ( θ,0 θ π Donde θ, es el ángulo que forma el radio vecor con el semieje posiivo de las x. x= acos y = bs en ( θ ( θ,0 θ π Donde θ, es el ángulo que forma el radio vecor con el semieje posiivo de las x. ( ( ( x= x0 + x1 x0 y = y0 + y1 y0,0 1 z = z0 + z1 z0 Fuene: Propia. EJEMPLO 9. Realice la paramerización de la curva definida por la inersección de las superficies definidas por el cilindro x + y = 4 y el plano z+ x+ y = 5. Solución. Una paramerización para la curva implícia dada es ( ( ( ( x= cos y = cos z = 4 cos Sin Es decir, la función vecorial que define a esa curva definida en forma paramérica vendría dada por f : / f ( ( cos (,sin (,4 cos( sin ( R R = con 0 π, y al realizar la represenación gráfica se obiene la curva mosrada en la Figura 15
8 x + y = 4 z+ x+ y = 5 Figura 15. Represenación en el espacio de la curva. EJEMPLO 10. Paramerizar la curva definida por la reca que va desde el puno ( 1,1,1 al puno (,, 4. Solución. Una paramerización para la curva esá dada por ( ( 1,1,1, [ 0,1] f = + + +, y su represenación en el espacio ridimensional se observa en la Figura 16. Figura 16. Represenación en el espacio de la curva del ejemplo 10. EJEMPLO 11. Paramerizar la curva definida por la circunferencia definida en el plano por ( x ( y = 6 Solución. Obsérvese que el cenro de esa circunferencia esá en el puno(, ( 1, x y =, si ahora omamos la siguiene paramerización 0 0
![Una paramerización para la curva esá dada por ( ( 1,1,1, [ 0,1] f = + + +, y su represenación en el espacio ridimensional se observa en la Figura 16.](/docs-images/47/21642140/images/page_8.jpg "Figura 16. Represenación en el espacio de la curva del ejemplo 10. EJEMPLO 11.")
9 [ ] ( ( ( π R = =, referida al puno (, h :0, / h 6cos, 6 sen x, y además como ( x, y ( x x, y y x y, 0 0 = + +, una paramerización para la curva dada es [ ] ( ( h:0, π R / h = 1+ 6cos, + 6sen. donde al graficar los vecores de posición de dicha curva se obiene la represenación gráfica que se observa en la Figura 17. ( 1, Figura 17. Represenación en el plano de la curva del Ejemplo 11. EJERIIOS PROPUESTOS 1... Realice la paramerización de las siguienes curvas. 1 y = x 1 x + y = y x + y = Vecor angene. Definición. Sea la curva definida en forma paramérica por la función vecorial f : R R n / f ( = ( f1(, f(,, fn (, se define al vecor angene a la curva en el puno ( x1, x,, xn = ( f1( 0, f( 0,, fn( 0 de la siguiene manera 0 0 0
10 '( 0 = ( 1' ( 0, ' ( 0,, n '( 0 f f f f f ( f( a b Figura 18. Vecor angene a la curva f ( f ( (a Figura 19. Vecor Tangene f ( (a En R y (b En R (b
11 EJEMPLO 1. Sea la curva definida en forma paramérica por la función vecorial ( ( f : R R / f =,,, calcule sus vecores angenes en los punos ( x, y = ( 1,1 y ( x, y = ( 1, Solución. El vecor angene a la curva en un puno genérico 0 es f '( 0 ( 1,0 de manera que f '( 1 = ( 1, y '1 ( ( 1, represenación en el plano caresiano. =, f = y en la Figura 0 se observa su Figura 0. Represenación de los vecores angenes a la curva del ejemplo 1 en 0 = 1 y 0 = 1 EJEMPLO 1. Sea la curva definida paraméricamene por la función vecorial [ ] ( ( h:0, π R / h = cos, sen, calcule sus vecores angenes en los punos, =, ( x y 0 0 y ( x y 1, =, 1 1 Solución. El vecor angene a esa curva para puno genérico 0 es ( 0 ( ( 0,cos( 0 h' = sen, de manera que h ' π =, 4 y
12 π h ' =, y en la Figura 1 se observa su represenación en el plano caresiano. Figura 1. Represenación de los vecores angenes a la curva del ejemplo 1 en π π 0 = y 1 = 4 EJEMPLO 14. Sea la curva definida de forma paramérica por la función vecorial ( ( : /, 1, f R R f =, calcule sus vecores angenes en los punos ( x, y = ( 0, 1 y ( x, y = ( 1, Solución. El vecor angene para la curva en puno genérico 0 esá dado por ( ( f ' = 1,, de manera que los vecores angenes en los punos señalados son 0 0 f '0 ( = ( 1,0 y '1 ( ( 1, la Figura. f =, y su represenación en el plano caresiano se muesran
13 Figura. Represenación de los vecores angenes a la curva del ejemplo 14 en 0 = 0 y 1 = 1 El vecor angene uniario T( a la curva definida paraméricamene por la función vecorial f (, se define como ( T = e indica la dirección de la curva. El vecor normal uniario (principal N( a la curva definida paraméricamene por la función vecorial f (, se define como ( N e indica la dirección del radio de curvaura. f ' f ' T' = T' ( ( ( (
14 1..4. urva suave y parcialmene suave. Definición. Sea la curva definida paraméricamene por la función vecorial R R n ( = ( 1( ( n (, con [ a, b] f : / f f, f,, f suave si '( se dice que esa curva es f es coninua y f '( 0, eso es, si f '(, f '(,, f '( 1 ienen primeras derivadas coninuas en el inervalo [ ab, ] y no son simuláneamene iguales a cero. n Definición. Una curva formada por un número finio de rozos o curvas suaves, unidas de manera coninua, se llama curva suave a secciones o curva parcialmene suave, eso es siendo, i = 1,,, n curvas suaves. i = 1 n EJEMPLO 15. Represene la gráfica de la curva definida por = 1 donde 1 : f ( =,0 :, 4 g =, ( :,4 6 h = + y ( Solución. omo se observa enemos una curva formada por res curvas suaves, se graficará cada una de las curvas para los valores del parámero respecivo, como se muesra en la Figura.
!['( 1 ienen primeras derivadas coninuas en el inervalo [ ab, ] y no son simuláneamene iguales a cero. n Definición.](/docs-images/47/21642140/images/page_14.jpg "Una curva formada por un número finio de rozos o curvas suaves, unidas de manera coninua, se llama curva suave a secciones o curva parcialmene suave, eso es siendo, i = 1,,, n curvas suaves.")
15 1 Figura. Gráfica de las curvas 1, y urva simple y curva cerrada simple. Definición. Sea una curva definida paraméricamene por la función n R R ( = ( 1( ( n (, con [ a, b] f : / f f, f,, f, se dice que es una curva simple si la función f (, de clase 1 a rozos, es inyeciva en el inervalo [ ab, ]. Así pues, una curva simple es aquella que no se cora así misma, siendo f ( a y f ( b los exremos de la curva. f( f( a b a b Figura 4. (a urva simple y (b urva no simple
![es una curva simple si la función f (, de clase 1 a rozos, es inyeciva en el inervalo [ ab, ].](/docs-images/47/21642140/images/page_15.jpg "Así pues, una curva simple es aquella que no se cora así misma, siendo f ( a y f ( b los exremos de la curva.")
16 Definición. Sea una curva definida paraméricamene por la función vecorial R R n ( = ( 1( ( n (, con [ a, b] f : / f f, f,, f, se dice que la curva es una curva cerrada simple si la función f (, de clase 1 a rozos, es inyeciva en el inervalo [ ab,, y al que f ( a = f ( b. uando f ( a f ( b =, pero f ( no es necesariamene inyeciva en [ ab,, se dice enonces que es una curva cerrada. f( f( a b a b Figura 5. (a urva cerrada simple y (b urva cerrada
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