LECCIÓN 13: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES DI- FERENCIALES

Transcripción

1 LECCIÓN : INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES DI- FERENCIALES Problema Calcula el sisema de primer orden equivalene a la ecuación + = 0, dibuja suficienes vecores del campo vecorial como para ener una idea de su esrucura geomérica haz un croquis de algunas soluciones en el plano de fase. Problema.- La ecuación + k = 0 describe el movimieno de un oscilador armónico simple m de masa m consane de resore k. (a) Halla la consane β para que () = cos(β) sea una solución de la ecuación. (b) Escribe el sisema de primer orden equivalene. Cuál es la solución del sisema correspondiene a la hallada en el aparado anerior para la ecuación? (c) Cuál es la condición inicial correspondiene a esa solución? (d) Cuál es el periodo de esa solución en érminos de k m? (e) Esboza la curva solución en el plano de fase asociada a esa ecuación. (Es decir, el del sisema equivalene). Problema.- Para los siguienes sisemas realiza las siguienes areas: dibuja el campo vecorial con suficienes vecores como para ener una idea de su esrucura geomérica (es decir, para hacere una idea de cómo es) haz un croquis de las soluciones en el plano de fase. = = = = = = = = Problema 4 A coninuación se dan 8 sisemas de ecuaciones 4 campos vecoriales. Dí a qué sisema le correponde cada campo vecorial = = (v) = = = = (vi) = = = + = (vii) = = = = (viii) = = (a) (b)

2 (c) (d) Problema El campo vecorial del sisema = + = se muesra en la figura de al lado. (a) Dibuja varias curvas solución diferenes sobre el plano de fase. (b) Describe el comporamieno de la solución que cumple la condición inicial ( 0, 0 ) = (0, ). Problema 6.- A coninuación se muesran las gráficas de las componenes de las soluciones de cuaro sisemas de ecuaciones diferenciales de dimensión ; así como las gráficas de las curvas paraméricas correspondienes en el plano de fase. Debes emparejar cada curva paramérica con la correspondiene gráfica de las componenes de las soluciones., = ( + ) = 0 ( ) (a) (I)

3 , = ( ) + ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) = ( ) + ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) (b) (II), = = ( + ) (c) (III), = / + = + 0. (d) (IV) Problema 7.- Las curvas que se presenan más abajo son las gráficas de las componenes de las soluciones de un sisema de ecuaciones de dimensión cuas gráficas (paraméricas) en el plano de fase se muesran en la siguiene figura: = 0.7 = ( ) Deermina qué curva en el espacio de fase corresponde a cada par de curvas componenes. Luego, sobre el eje, marca los valores que corresponden a los punos disinguidos (cambios de dirección) de la curva paramerizada.

4 , 5 5, (a) 0 (b) 5,, (c) (d) Problema 8.- Se presenan a coninuación los campos vecoriales las gráficas de las soluciones de dos sisemas de ecuaciones diferenciales de dimensión en el plano de fase. En la primera de ellas aparecen dibujadas dos soluciones en la segunda sólo una. Esboza las gráficas de las componenes de las soluciones de los sisemas para cada una de las res gráficas. = = sin() = 5 = 5 Problema 9.- Considera el siguiene sisema no lineal de dimensión : = = + (a) Suponiendo que d d no es cero ni indefinida, muesra (usando la regla de la cadena) que d d = + (b) Aprovecha que esa ecuación se puede reducir a variables separables para dar la epresión analíica de la solución en el plano de fase. (Es decir, halla la solución de la ecuación en forma implícia). 4

5 Problema 0.- Dado el sisema = ( sen ) cos = cos + sen (a) Muesra que 0 () =, 0 () = sen es una solución del sisema. (b) Dibuja la solución del aparado (a) en el plano de fase. (c) Sea = (), = () la solución del sisema con la condición inicial (0) = π/, (0) = 0. Muesra que necesariamene () < sen(()) para odo. Problema.- Dado el sisema = e ( e ) = e (a) Muesra que 0 () =, 0 () = e es una solución del sisema. (b) Dibuja la solución del aparado (a) en el plano de fase. (c) Sea = (), = () la solución del sisema con la condición inicial (0) = 0, (0) =. Muesra que necesariamene () > e () para odo. Problema.- Dado el sisema = ( + ) = ( + ) (a) Muesra que 0 () = sen, 0 () = cos es una solución del sisema. (b) Dibuja la solución del aparado (a) en el plano de fase. (c) Sea = (), = () la solución del sisema con la condición inicial (0) = 0 5, (0) = 0. Muesra que necesariamene () + () < para odo. Problema.- Para cada uno de los sisemas que se muesran a coninuación realiza las siguienes areas: (a) Dibuja las nullclinas de cada sisema. (b) Calcula las coordenadas de los punos de equilibrio. (v) = 0, 0,004 = 0, + 0,005 = = = = sen (vi) = 4 = 4 = = 4 + = + = + Problema 4.- Para cada uno de los sisemas que se muesran a coninuación realiza las siguienes areas: (a) Dibuja las nullclinas de cada sisema. (b) Calcula las coordenadas de los punos de equilibrio. (c) En cada región del primer cuadrane definida por la inersección de las nullclinas respeco a respeco a deermina la dirección de la raecoria de las soluciones. 5

6 (d) Esboza la gráfica de algunas soluciones = ( ) = ( ) = ( ) = (6 ) (v) = = (vii) = = = 4( ) = ( ) = 4( ) = ( ) (vi) = = (viii) = = 6