TEMA 2: CINETICA DE LA TRASLACIÓN

Transcripción

1 TEMA 2: CINETICA DE LA TRASLACIÓN 1.1. Inroducción. Para ener caracerizado un movimieno mecánico cualquiera, hay que esablecer primero respeco a que cuerpo (s) se va a considerar dicho movimieno. Ese cuerpo o conjuno de cuerpo consiuye el sisema de referencia y su elección es, en principio, arbiraria; la experiencia será la encargada de decir, en cada caso, cual es el más conveniene, en función del esudio que se preende hacer. En la prácica, para describir el movimieno de un cuerpo hay que asociar al sisema de referencia un sisema de coordenadas que permia una descripción analíica del movimieno Movimieno de raslación. Cuerpo rígido es aquel que no se deforma bajo la acción de fuerzas aplicadas a él. El movimieno de raslación de un cuerpo rígido es aquel en el cual cualquier reca razada sobre el cuerpo y fija a él, permanece durane odo el movimieno paralela así misma. En la Fig. 1.1 el observador colocado en O, ve siempre la reca AB moverse paralela a sí misma. Z Y A A B Fig El cuerpo para el observador siuado en O, esá animado de movimieno de raslación. B NOTA: Para analizar el movimieno de raslación del cuerpo rígido, basa realizar solamene el esudio del movimieno de uno de los punos del cuerpo, ya que odas las parículas de ese, deben recorrer rayecorias similares. Concepo de parícula. En mecánica se eniende por parícula al cuerpo cuyas dimensiones y formas pueden ser despreciadas al planearse el esudio de su movimieno Movimieno recilíneo de una parícula Sea una parícula P que se mueve recilíneamene a lo largo de un eje x, fijo a un objeo y que precisamene y que precisamene se ha hecho coincidir con la dirección del movimieno (Fig. 1.2). O P 0 a Fig La parícula P se mueve a lo largo del eje O. La posición de la parícula en cada insane quedará deerminada por el vecor de origen O y el exremo en el lugar que ocupa la parícula. Ese vecor recibe el nombre de vecor de posición de la parícula. El desplazamieno realizado por la parícula se define por el vecor de origen a y exremo b, cuyo valor es evidene. Δ = 0 b c

2 NOTA: El signo que se obenga para deerminará el senido del vecor. La longiud recorrida (ΔS) por la parícula es una magniud escalar que expresa la suma de los segmenos recorridos, medidos sobre la propia rayecoria. Así, en la Fig. 1.2., la parícula se mueve desde a hasa c y rerocede hasa b, la longiud recorrida es la suma, expresada modularmene, enre los segmenos ac y bc. Se define la velocidad media (V m ) de la parícula como el cociene enre su desplazamieno (Δ) y el inervalo del iempo (Δ) durane el cual ese se procede. Es una magniud vecorial y su dirección y senido son los del vecor desplazamieno. respeco al iempo, de la posición y la longiud recorrida respecivamene. ( ) Magniud vecorial: velocidad insanánea(1.3) ( ) Magniud escalar: rapidez insanánea(1.4) En el límie, cuando el desplazamieno Δ es infiniamene pequeño y el inervalo Δ iende a cero, la longiud recorrida ΔS es igual al módulo de desplazamieno Δ. De ahí, que la rapidez insanánea sea igual módulo de la velocidad insanánea. La aceleración media(a m ) de la parícula durane el inervalo ranscurrido al rasladarse desde a hasa b, como se muesra en la Fig. 1.3., se define como el cociene de la variación (Δv) enre el inervalo de iempo ranscurrido (Δ). NOTA: El signo algebraico de la velocidad media es el mismo que del desplazamieno. O a V 0 Fig Parícula que se mueve sobre O. b V Se define la rapidez media (W m ) de la parícula como el cociene enre la longiud recorrida (ΔS) y el inervalo del iempo ranscurrido (Δ). En general, el módulo de la velocidad media es diferene del de la rapidez media. Ambas magniudes llevan asociado un inervalo de iempo; sin embargo, a veces es necesario obener información acerca de cómo es la rapidez de la variación de la posición en un insane de iempo dado. Para eso se puede ir reduciendo el inervalo Δ, haciéndole ender a cero. Así, se define la velocidad insanánea como la razón de cambio, NOTA: El signo algebraico de la aceleración dependerá del signo que enga la variación de la velocidad. La aceleración insanánea se define como el límie de la aceleración media cuando el inervalo de iempo Δ iende a cero y señala la razón de cambio, respeco al iempo, de la variación de la velocidad. ( ) Se puede expresar que:

3 ( ) Por ano, la expresión de la velocidad omará la forma: v = a + v 0 - a 0 Es decir, la aceleración es la segunda derivada de la posición respeco al iempo. O sea: v = v 0 + a ( - 0 ) (1.7) 1.4. Movimieno recilíneo uniformemene acelerado Se analizará el movimieno de una parícula en una dirección, por ejemplo, la, que de mueve con aceleración consane, es decir, con movimieno uniformemene acelerado. Para eso, se denomina 0 al insane en que se comienza a analizar el movimieno y, por x 0 y v 0, a la posición y la velocidad iniciales de ese respecivamene. Es decir, para = 0, x= x 0, v=v 0. Como la aceleración es consane, se puede llamar a en odo el movimieno. Es decir, a=consane. Para obener la expresión de la velocidad de la parícula en cualquier insane, se uiliza la siguiene definición de aceleración: Análogamene, para hallar una expresión para la posición de la parícula en función del iempo, se uiliza la definición de velocidad: De donde: x= vd En ese caso, la velocidad varía con el iempo según la expresión (1.7) obenida aneriormene. Por ano, susiuyendo esa expresión en función de para poder inegrar se iene: De donde: Para hallar C se hará uso de las condiciones iniciales: Para = 0,v=v 0. Para evaluar C se hará uso de las condiciones iniciales para la posición, es decir: Para = 0,x=x 0. Por ano: Luego: C = v 0 - a 0 Y la expresión de la posición oma la forma:

4 un sisema de coordenadas en la dirección del movimieno, para así poder analizar los resulados. Por úlimo con las expresiones (1.7) y (1.8), se obiene una relación enre la velocidad de la parícula y su posición, dada por: Las ecuaciones deducidas aneriormene se simplifican y oman la siguiene forma: 1.5. Análisis grafico del movimieno recilíneo de una parícula A menudo resula conveniene represenar gráficamene la variación de la posición, de la velocidad y la aceleración de una parícula en movimieno recilíneo, a medida que ranscurre el iempo. La Fig se refiere al movimieno recilíneo de una parícula sobre un eje de coordenadas, por ejemplo, el. En ella se observa la posición de la parícula en función del iempo; por ejemplo = 0 la posición de la parícula es x= x 0. Oro caso paricular, aparece cuando la aceleración es nula. Como esa mide el cambio de la velocidad con el iempo, si aquella es cero, la velocidad no variará, sino que permanecerá consane. Por ello, la aceleración nula implica velocidad consane. En ese caso, las expresiones (1.10), (1.11) y (1.12) se reducen a solamene dos ecuaciones. Así, si a = 0. v = v 0 y x = v 0 (1.13) NOTA: Para usar cualquier de las expresiones aneriores deducidas, será necesario saber respeco a cuál cuerpo esá referido el movimieno, en qué dirección se realiza, así como, en qué senido serán posiivas la velocidad y la aceleración; es decir, es necesario escoger un sisema de referencia, y asociarle Fig Gráfica de conra del movimieno de una parícula. Ese resulado permie afirmar que la velocidad sobre la dirección viene dada, en la gráfica de x conra, por la pendiene de la reca razada enre dos punos de la gráfica correspondiene a los exremos del inervalo en el cual se esá deerminando la velocidad. Así como en la Fig. 1.4., la pendiene de la reca que une los punos 1 y 2 es igual, numéricamene, a la velocidad media en el eje. Es decir: x 0 0

5 1.7. Movimieno parabólico 2 2 Δ 1 1 ϕ 1 Δ 2 Fig Deerminación gráfica de la velocidad media. De igual forma, a parir de la definición de velocidad insanánea a lo largo de un eje, se puede afirmar que esa vendrá dada por la pendiene de la angene a la curva x conra en cuesión, en el insane considerado. En la Fig. 1.5., la velocidad insanánea v en = 0, esá dada por la pendiene de la reca angene en dicho puno, es decir: ΔN ΔM x 0 Fig Deerminación gráfica de la velocidad insanánea Movimieno en un plano 0