Carga y Descarga de un Condensador Eléctrico

Transcripción

1 ACUMULADORES DE CARGA ELÉCTRICA Acumuladores de Carga Elécrica Carga y Descarga de un Condensador Elécrico 1. OBJETIVOS - Esudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador. - Medida de capacidades por el méodo de la consane de iempo. 2. MATERIAL - Generador de ensión - Amperímero y Volímero - Cronómero - Resisores y condensadores: Elegirlos de modo que RC sea del orden de 100 segundos, (por ejemplo R = 470 KΩ, C = 220 µf) y una resisencia de carga y descarga rápida apropiada (por ejemplo: r = 100 Ω (2W). - Un pulsador y un conmuador bipolar de doble conexión. 3. FUNDAMENTO TEÓRICO En esa prácica se inroduce el condensador como un elemeno del circuio, y eso nos va a llevar a considerar corrienes variables con el iempo. Uilizaremos en nuesro esudio el circuio de la Fig. 1, en el que se iene un condensador, de capacidad C, que puede cargarse y descargarse a ravés de una resisencia R. Ambos elemenos esán conecados en serie a los bornes cenrales de un conmuador bipolar de doble conexión. Los bornes superiores de dicho conmuador esán conecados a una fuene de alimenación de poencia, que suminisra una diferencia de poencial consane, V. Los bornes inferiores del conmuador esán conecados enre sí mediane un hilo de resisencia nula. Figura 1 CyD 1

2 CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO Se considera que inicialmene el condensador esá descargado. Cuando se pasa el conmuador a la posición "superior", el condensador se va cargando hasa que la diferencia de poencial enre sus armaduras se iguala al poencial de la fuene. Si, una vez que el condensador ha adquirido carga, se pasa el conmuador a la posición "inferior", el condensador se descarga ravés de la resisencia R. Ni el proceso de carga, ni el de descarga son insanáneos, requiriendo ambos un iempo que depende, según veremos, de los valores de C y de R. Proceso de carga.- Represenemos por q() la carga y por i() la inensidad de la corriene en el circuio en función del iempo, conado a parir del momeno en que se cierra el circuio conecando la baería (se coloca el conmuador en la posición "superior"). Las diferencias insanáneas de poencial en la resisencia y el condensador, V ac y V cb, son: por ano V V = i R ; q V cb = C ac (1) =V =V ac +V cb = i donde V es consane. La inensidad i es enonces: q R + C ab (2) V q i = - (3) R CR En el insane en que se efecúan las conexiones, cuando q = 0, la inensidad inicial es V I 0 = (4) R que sería la inensidad permanene si no hubiera condensador. Cuando la carga va aumenando, crece el érmino q/rc, y la inensidad disminuye hasa anularse finalmene. Cuando i = 0, finaliza el proceso de carga y el condensador queda cargado con una carga final Q f, dada por: Q f = C V (5) CyD 2

3 ACUMULADORES DE CARGA ELÉCTRICA Para obener las expresiones de q, i, V ac y V cb en función del iempo, derivemos la ecuación (3) respeco al iempo y susiuyamos dq/d por i. Así : d d i = - i R C (6) Por inegración de (6) obenemos i() e igualándola a dq/d, mediane una segunda inegración, se obiene q(). Una vez halladas i() y q(), las ecuaciones (1) dan V ac () y V cb (). En las cuesiones, al final de la prácica, proponemos al alumno demosrar que q = Q i = I f - o e RC (7) - e R C ) (8) (1 - de modo que ano la inensidad como la carga son funciones exponenciales del iempo. Las Fig. 2 y 3 muesran las gráficas de las funciones (7) y (8), respecivamene. Obsérvese que debe ranscurrir un iempo infiniamene grande para que la inensidad se anule y el condensador adquiera la carga final de equilibrio, ya que ano la inensidad como la carga se aproximan asinóicamene a dichos valores. Figura 2 Figura 3 El produco RC, que aparece en el exponene, iene dimensiones de iempo (demuésrese) y se denomina consane de iempo o iempo de aenuación del circuio. Cuando ranscurre un iempo = RC la inensidad es i = I 0 = 0.37I e 0 (9) CyD 3

4 CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO de modo que la consane de iempo represena el iempo que arda el condensador en adquirir el 63% de su carga final de equilibrio: q = Q f 1 (1 - e )= 0.63 Q f (10) El semiperíodo del circuio, h, es el iempo necesario para que el condensador adquiera la miad de su carga final o para que la inensidad se reduzca a la miad. Poniendo i() = I 0 /2 en (7), se obiene h = R C ln 2 (11) Proceso de descarga.- Supongamos que el condensador haya adquirido una carga Q 0 y que pasamos el conmuador a la posición "inferior", de modo que pueda descargar a ravés de la resisencia R. Nóese que Q 0 represena la carga inicial en un proceso de descarga y que no es necesariamene igual a la Q f definida aneriormene. Sólo si el conmuador ha permanecida en la posición "superior" un iempo >>RC será Q 0 Q f. Represenemos de nuevo por q la carga y por i la inensidad de la corriene de descarga en un ciero insane conado a parir del momeno en que se coloca el conmuador en la posición "inferior". Dado que ahora no hay f.e.m. en el circuio (eso es V = 0) la ecuación (3) se escribe: q = - R C i (12) y, en el insane de iniciarse la descarga, pueso que q = Q 0, la inensidad inicial I 0 es: I Q = - 0 R C 0 (13) y a medida que el condensador se va descargando, la inensidad disminuye hasa anularse. El signo negaivo en las expresiones aneriores pone de manifieso que la corriene de descarga va en senido conrario al indicado en la Fig. 1. Para obener las expresiones de q, i, V ac y V cb en función del iempo, susiuyamos en (12) i por dq/d, e inegremos para obener q(). Por derivación de q() respeco al iempo se obendrá i() y susiuyendo esas funciones en (1) se iene V ac () y V ab (). Se propone que el alumno demuesre que CyD 4

5 ACUMULADORES DE CARGA ELÉCTRICA q = Q - 0 e R C (14) i = I - 0 e R C (15) de modo que, de nuevo, ano la carga como la inensidad decrecen exponencialmene con el iempo, debiendo ranscurrir un iempo infiniamene grande para que el condensador se descargue oalmene. En la página siguiene, las figuras 4 y 5 muesran las gráficas de las funciones (14) y (15), respecivamene. Es fácil comprender que, en el proceso de descarga, la consane de iempo del circuio, RC, represena el iempo que arda el condensador en reducir su carga a un 37% de su valor inicial, eso es en perder el 63% de su carga. El semiperíodo ( h = RC ln2) represena el iempo que arda el condensador en reducir su carga a la miad. Figura 5 Figura 4 Medida de capacidad.- Se puede uilizar el circuio de la Fig. 1 para la medida de capacidades. De acuerdo con odo lo expueso, basará deerminar la consane de iempo o el semiperíodo del circuio, bien en el proceso de carga o en el de descarga. Si conocemos el valor de la resisencia podremos, enonces, deerminar el valor de la capacidad. CyD 5

6 CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO 4. REALIZACIÓN PRÁCTICA a) Proceso de carga - Monar el circuio de la figura, colocando el conmuador en la posición "inferior" anes de conecar la alimenación de poencia. Póngase aención a polaridades de los disinos elemenos. - Comprobar, por la lecura del volímero, que el condensador esá compleamene descargado. Si no fuera así, descargarlo pulsando el pulsador P. - En el mismo insane (insane = 0) en que se pase el conmuador a la posición "superior", leer simuláneamene las indicaciones del galvanómero y del volímero (un alumno se ocupará de cada insrumeno). Anoar los resulados en las columnas marcadas i y V cb, respecivamene, de la abla correspondiene. - Repeir las lecuras simuláneas de los insrumenos de medida a inervalos regulares de iempo (de 15 segundos, por ejemplo). Anoar los resulados en la abla. - Se dará por finalizado el proceso de carga del condensador cuando las lecuras de los insrumenos de medida permanezcan invariables en 2 o 3 observaciones seguidas. - Complear, por cálculo, las demás columnas de la abla. - A parir de las anoaciones de la abla, represenar gráficamene la inensidad y la carga del condensador en función del iempo. - Deerminar, sobre dichas gráficas, la consane de iempo RC y el semiperíodo del circuio. Comprobar los resulados con los previsos eóricamene. b) Proceso de descarga. - Si fuera necesario, se puede acelerar el proceso de carga del condensador pulsando el pulsador P. - Finalizando el proceso de carga, comenzaremos el de descarga pasando el conmuador a la posición "inferior", y en ese mismo insane (insane = 0) se leerán simuláneamene las indicaciones del galvanómero y del volímero. Anoar los resulados en la Tabla correspondiene. CyD 6

7 ACUMULADORES DE CARGA ELÉCTRICA - Repeir las lecuras simuláneas de los insrumenos de medida a inervalos regulares de iempo (15 segundos, por ejemplo). Anoar los resulados en la abla. - Se dará por finalizado el proceso de descarga cuando las lecuras de los insrumenos de medida permanezcan invariables en 2 o 3 observaciones seguidas. - Complear, por cálculo, las demás columnas de la abla. - A parir de las anoaciones de la abla, represenar gráficamene la inensidad y la carga del condensador en función del iempo. - Deerminar, sobre dichas gráficas, la consane de iempo RC y el semiperíodo del circuio. Comparar los resulados con los obenidos aneriormene. Tabla para la oma de daos y cálculos: R =... C =... RC =... s h =... s Error! Marcador no definido.ie mpo min. Sec i (µa) q(µc) V ac (vols) V cb (vols) V (vols) c) Medidas de capacidad elécrica - Pasar el conmuador a la posición "inferior" y reemplazar el condensador uilizado hasa aquí por oro de capacidad desconocida. - Pasar el conmuador a la posición "superior" y cargar el condensador hasa que exisa una ciera ensión V 0 enre sus armaduras. Se puede acelerar el proceso de carga pulsando P un ciero iempo. - En el mismo insane en que se pase de nuevo el conmuador a la posición "inferior" (posición de descarga) leer y anoar la indicación del volímero. CyD 7

8 CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO - Medir y anoar el iempo que arda el condensador en reducir la ensión enre sus armaduras a la miad de la ensión inicial V 0. Ese iempo es el semiperíodo del circuio RC, o sea h = RC ln2. - Para deerminar con mayor fiabilidad h, omar inicialmene res medidas y aplicar eoría de errores hasa conseguir su valor y error. - Conocido el valor de la resisencia R, deerminar el valor de la capacidad desconocida (uilizando la ecuación 11). Cuesiones: 1) Compare los diferenes valores obenidos (eórica y experimenalmene, a parir de las gráficas) para la consane de iempo del circuio. 2) Obenga las expresiones (7) y (8) 3) Demuesre que el produco RC iene dimensiones de iempo y que 1Ω 1F =1 s 4) Calcule el iempo que arda el condensador en adquirir el 99.9% de su carga final, expresando el resulado en función de la consane de iempo RC. CyD 8