Tema 5: 5 Técnicas de Evaluación de la Fiabilidad

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1 Tema 5: 5 Técnicas de Evaluación de la Fiabilidad.- Inroducción 2.- Funciones para la evaluación de STFs 3.- Técnicas de modelado Arboles de fallos Modelos combinaorios Cadenas de Markov 4.- Modelado con coberuras 5.- Modelos de Markov para la fiabilidad 6.- Modelos de Markov para la Modelo para la seguridad 7.- Modelos de Markov para la disponibilidad 8.- Ejemplos --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5- - Inroducción La evaluación de la garanía de funcionamieno de un STF es necesaria para demosrar el buen funcionamieno de los disinos mecanismos de olerancia a fallos que ése incluye y consecuenemene poder poner ciera confianza en el servicio que proporciona el sisema. Tiene como objeivo el realizar una esimación cuaniaiva de las caracerísicas de garanía de funcionamieno de un sisema Permie realizar comparaciones enre diferenes STFs dependiendo de sus especificaciones de funcionamieno Para evaluar la fiabilidad se uilizan diferenes écnicas de modelado, dependiendo de las suposiciones de operación del sisema (degradación y reparación) Técnicas de modelado Fallos hasa avería Fiabilidad Fallos con reparación Disponibilidad Combinaorio Markov Combinaorio Colas Serie/ Paralelo M-de-N Noserie/ Noparalelo Invariane emporalmen Variable emporalmen Híbrido Tiempo discreo Tiempo Simulación conínuo Mone Carlo --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-2

2 Los crierios de evaluación uilizan dos écnicas básicas Modelado deerminisa: Calcula el nº máximo de fallos que olera el sisema Modelado probabilísico: Se basa en las asas de fallos y de recuperación de los componenes MODELO Deerminisa Probabilísico Se sobrevive a al menos k fallos CRITERIO Funciones Función asa de fallos z() Fiabilidad R() Tiempo de misión MT(r) Tasa de reparación µ Disponibilidad A() Parámeros Tiempo medio al fallo (MTTF) Tiempo medio de reparación (MTTR) Tiempo medio enre fallos (MTBF) Coberura Medidas comparaivas Diferencia en la fiabilidad R2() - R() Ganancia de fiabilidad R2() / R() Incremeno del iempo de misión MT2(r) / MT(r) Indice de incremeno en la fiabilidad log Rviejo / log Rnuevo Se uilizan 4 niveles de modelado: Nivel de sisema, nivel de módulo, nivel de pueras y nivel de componenes En los sisemas con degradación hay que esudiar las presaciones ane los fallos --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº Funciones para la evaluación de STFs R() - Función de fiabilidad: Es la probabilidad de que el sisema funcione correcamene durane un inervalo de iempo Si considero T como una v.a. que mide el iempo que ranscurre hasa el próximo fallo y F() es su función de disribución. F() = P[ T ] = f () d La fiabilidad se calcula como: [ ] R () = F () = PT> Si T sigue una disribución exponencial f () = λe F() = λe = e R() = e La fiabilidad (y no-fiabilidad) de un componene en un insane viene dada por: λ λ λ λ N() N() R () = = N N () + N () f Nf() Nf() Q () = = = R () N N () + N () f --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-4

3 Z() - Función Tasa de fallos (Hazard funcion) Si diferenciamos el número de componenes que han fallado en un insane con respeco al iempo, obenemos la asa de fallos insanánea de esos componenes. Dividiendo ese valor por el número de componenes que aún esán operaivos en ese insane, obenemos la función asa de fallos o función de riesgo del componene. dn f () z () = = N () d N () N dr d dr() dq() () d d = R () = Q () En fallos por unidad de iempo La asa de fallos insanánea se calcula ambién como la P de que un superviviene en, falle en un insane +, cuando P ( < X< + / X> ) = P ( < X< + ) = P( X > ) F ( + ) F ( ) R () df() F ( + ) F ( ) Z () = lim = d = R () R () f() R () --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-5 Disribución de la asa de fallos La función asa de fallos depende claramene del iempo, sin embargo la experiencia muesra que para los componenes elecrónicos exise un periodo de iempo en donde es pracicamene consane z () = λ = dr() d R () Si inegramos la ec. diferencial R()= e λ A la relación enre la fiabilidad y el iempo de se denomina Ley de fallos exponencial: Para un valor consane de la función asa de fallos, la fiabilidad varía exponencialmene con el iempo En el sw, la asa de deección de fallos no es consane por lo que se uilizan funciones que se basan en la D. de Weibull --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-6

4 Cálculo de la asa de fallos Es fácil de medir si conocemos la hisoria de la vida del componene Se calcula eniendo en cuena el iempo enre los fallos Se puede esimar mediane el esándar MIL-HDBK-27 El modelo calcula la asa de fallos usando los daos experimenales de componenes reales. La asa de fallos consane de un circuio inegrado viene dada por la expresión: λ = π π ( Cπ + C π ) π L Q T 2 E P fallos por millón de horas L (facor de aprendizaje): Represena la madurez del proceso de fabricación (de a ) Q (facor de calidad): Mide el nº de ess recibidos anes de ser vendido (de a 3) T (facor de emperaura): Su valor es una función de la ecnología de fabricación π T 82 T j T j =. e π T =. e E (facor ambienal): Depende de lo ruidoso que sea el enorno (de 2 a ) P (facor de erminales): Depende del número de erminales (de a 2) Los facores de complejidad son función del nº de pueras para los circuios lógicos, del nº de ransisores para los circuios lineales y del nº de bis para las memorias. --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-7 MTTF - Tiempo medio hasa la avería: Es el iempo medio en que rabajará un sisema anes de que se esropee por primera vez Si enemos N sisemas idénicos que empiezan a funcionar en el insane = y medimos el iempo que arda cada uno en averiarse, la media de esas medidas consiuye el MTTF. Si T es una v.a. que mide el iempo que arda un componene en averiarse E T MTTF f d dq ( ) d dr ( [ ] ( ) ) = = = = d = d d D. Exponencial: MTTF = / λ R(MTTF) = e - = 3678 R( ) d MTTR - Tiempo medio de reparación: Indica el iempo medio que se necesia para reparar un sisema Su valor se calcula experimenalmene inyecando fallos y calculando el de reparación Se expresa mediane una asa de reparación µ que es el nº medio de reparaciones por u.. MTTR = µ En horas La reparación requiere: desmonar, diagnosis, cambiar componene, comprobar, monar La diagnosis gasa el 8 % del iempo ---- Uso de circuios BIST --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-8

5 MTBF - Tiempo medio enre fallos: Es el iempo medio que ranscurre enre dos averías consecuivas de un sisema Para calcularlo se iene que ener en cuena el iempo necesario para reparar el sisema y volverlo a poner en funcionamieno Se aplica únicamene a sisemas reparables Si consideramos que al reparar un sisema, ese queda como nuevo (en las mismas condiciones que cuando se puso en funcionamieno por primera vez), exise una relación enre MTTF, MTTR y MTBF: A() - Disponibilidad: Define la probabilidad de que el sisema esé funcionando en un iempo deerminado Se aplica a sisemas reparables A veces impora más la P de que el sisema ese funcionando que la P de fallo Inuiivamene, A() = iempo oal del sisema operaivo / iempo desde la insalación --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-9 En el esado esable ( iempo infinio) la disponibilidad depende Tiempo medio enre fallos Tiempo de reparación del sisema Si un sisema experimena N fallos a lo largo de su vida, esará N*MTTF horas operaivo y N*MTTR horas en reparación. La disponibilidad media será N MTTF ASS = * = N * MTTF + N * MTTR MTTF MTTF + MTTR Para asas de fallos y de reparación consane A SS = MT(r) - Función del Tiempo de Misión: Calcula el iempo a parir del cual la fiabilidad de un sisema se reduce por debajo de un ciero nivel r. Se aplica en sisemas con necesidades de un iempo de vida mínimo Imposibilidad de reparación / Reparación cara / Con manenimieno periódico R[MT(r)] = r Para un sisema con una asa de fallos consane ln r MT() r = λ µ λ + µ MT[R()] = --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-

6 3 - Técnicas de modelado Modelos combinaorios Se uilizan en sisemas sencillos sin reparación para modelar la fiabilidad Cada pare del sisema se represena con un bloque en esado operaivo o de fallo Se uilizan dos modelos: Modelo serie y modelo paralelo Se mezclan para calcular la fiabilidad de un conjuno R () = R () R () L R () = R() serie 2 N i i= N N λi λ λ 2 λ N i= Rserie ( ) = e e L e = e R () = Q () = paraleo N paralelo Q () = ( R ()) N i i= i= i --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5- Arboles de fallos Es un méodo gráfico que se aplica a los casos más simples El sisema se represena como un árbol de pueras AND y OR La salida del árbol iene una función lógica que represena la fiabilidad del conjuno Para un sisema con 2 procesadores y 3 módulos de memoria conecados por un bus El sisema funciona si al menos funcionan un Procesador, una Memoria y el bus El diagrama de bloques para el cálculo combinaorio es: [ 2 ] [ 2 3 ] [ ] R () = R () R () R () R () R () R () c P P M M M Bus --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-2

7 Modelos de Markov Desvenajas de los modelos combinacionales: No es fácil modelar sisemas complejos de forma combinacional. La inclusión de la coberura en esos modelos es basane difícil. No conemplan el proceso de reparación y de reconfiguración de los sisemas. No se ve el esado en el que se encuenra el sisema Se basan en los Procesos de Markov (Cadenas de Markov si el nº de esados es finio) Son procesos esocásicos (la v.a. es el iempo) Tienen ausencia de memoria (El iempo en un esado no influye sobre la disribución de probabilidad, ni del esado acual ni del próximo esado). Las Cadenas de Markov pueden ser discreas (. discreo) o coninuas (. coninuo) En los modelos se uilizan dos concepos: Esado del sisema (combinación de módulos con fallo o sin fallo) Transiciones enre esados (se basan en P o asas de ransición de un esado a oro) Esados sin fallo = {(),(),(),()} Esados con fallo ={(),(),(),()} --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-3 Si consideramos un modelo de Markov discreo en el iempo Cada ransición enre esados lleva asociada una probabilidad de ransición Esas probabilidades se recogen en una mariz de ransiciones A cuyos elemenos p ij son las probabilidades de ransición desde el esado i al j. El modelo se resuelve mediane un conjuno de ecuaciones lineales que se basan en la mariz de probabilidades de ransición. Esas ecuaciones se definen como: r r P( k + ) = AP( k) A n es la mariz de probabilidades de ransición del paso n Para calcular las probabilidades de ransición, se supondrá que cada módulo sigue la ley de fallos exponencial (asa consane de fallos λ). Su asa de fallos insanánea (probabilidad de que haya fallado en un insane + dado que funcionaba en ) será: λ ( F ( + ) F ( ) R( + ) e P( < T < + T > ) = = = F ( ) R( ) e + ) λ = e λ λ La Cadena de Markov del sisema TMR se puede reducir agrupando esados equivalenes y sumando sus asas de ransición, quedando como: R() = - p F () = p 2 () + p 3 () --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-4

8 Cálculo de la Mariz de ransición: La P de esar en un esado s en un iempo depende De la p de esar en un esado en donde exisa una ransición a s De la p de que se produzca esa ransición p3( + ) 3 p3() p2( + ) 3 2 p2() p 2 F( + ) = λ λ λ λ pf() r r P ( + ) = AP ( ) Vecor de probabilidad en + Mariz de ransición Vecor de probabilidad en Cadenas de Markov conínuas r r Pn ( ) = A n P( ) Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov dp3() = 3λp3 () d 3λ p3() = e dp2() = 3λp3() 2λp2() 2λ 3λ d p2() = 3e 3e dpf () 2λ 3λ = 2λp2() pf () = 3e + 2e d Solución a la Cadena de Markov en iempo discreo En ese modelo, las ransiciones pueden ener lugar en cualquier insane de iempo. Se consideran las ecuaciones aneriores como un conjuno de ecuaciones diferenciales uilizando límies cuando ( ) Función de fiabilidad R () = pf () = λ = 3e 2e 2 3λ --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-5 Comparación con un sisema sencillo λ p ( ) = e R () = p F () = e λ p ( ) = e F λ,9,8,7,6,5,4,3 Rsys R(. de misión) = '7 Simple TMR,2, MT ['7] = 793 h. MT ['7] = 3 h. horas MTTF simple = λ MTTF TMR = = 2λ 3λ 6λ MTTF simple > MTTF TMR --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-6

9 4 - Modelado con coberuras La coberura de fallos es la capacidad del sisema en: DETECCIÓN LOCALIZACIÓN AISLAMIENTO RECUPERACIÓN Los méodos de evaluación pueden ser: Experimenales: Inyección de fallos Teóricos: Generación de es de fallos cuando el sisema enra en una siuación no válida Variación de la fiabilidad en función de la coberura (Sisema dual) R() = p 2 () + p () = - p F () λ R ()= 2e e 2λ λ R () = 2Ce ( 2C ) e 2λ --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº Modelos de Markov para la fiabilidad No disinguen enre los fallos seguros de los no seguros No ienen en cuena la reparación R( ) = Sisema sencillo E M M2 S E Ec E2 S2 C Ec CO S Error R ()= e λ 2 : 2 Módulos bien : Falla módulo (Fallo cubiero) F : Fallo de 2 módulos o no deecado Sisema dual (diagnosis off-line) C p = Coberura de la auodeección de fallos C c = Coberura del comparador λ = Tasa de fallos del módulo λ(+cc) - 2λCcCp) 2λCcCp + λ(-cc) 2 F --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-8

10 Sisema dúplex E M M2 S E E2 S2 CO S Error : 2 Modulos ok 2 : Falla repueso (F. Cubiero) ó falla el ppal y enra R 3 : Falla el repueso (No cubiero) 4 : Falla odo Sisema con procesador de guardia : Funciona odo 2 : Falla el P. G. 3 : Fallo oal 4 : Fallo emporal cubiero P p = P (fallo permanene) C i = Coberura fallos ransiorios λ m = Tasa de fallos del módulo λ w = Tasa de fallos del P.G. --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº Modelos de Markov para la seguridad Tenemos esados de fallo seguros y no seguros S( ) si exise la deección de fallos Sisema sencillo sin deección de fallos Sisema sencillo con deección de fallos S() = R() = p () R ( ) = p( ) S() = p () + p () FS Sisema dual (Diagnosis off-line) 2λCc(-Cp) λ(-cc) 2λCcCp + λ(-cc) λ R ( ) = p( ) + p( ) 2 S( ) = p ( ) + p ( ) + p ( ) 2 FS --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-2

11 Sisema dúplex R( ) = p ( ) + p ( ) + p ( ) 2 3 S( ) = p ( ) + p ( ) + p ( ) + p ( ) 2 3 FS Sisema con procesador de guardia R( ) = p ( ) + p ( ) 2 S( ) = p ( ) + p ( ) + p ( ) 2 FS --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº Modelos de Markov para la disponibilidad Se añaden asas de reparación a los modelos de fiabilidad (o seguridad) A( ) Sisema sencillo µ λ po() = + e λ + µ λ + µ λ λ pf () = e λ + µ λ + µ ( λ + µ ) ( λ + µ ) Dual (Diagnosis on-line) Dúplex Con P. de Guardia --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-22

12 Comparación de un sisema sencillo con y sin reparación λ = µ = 8,8,6,4,2 R() A() A SS = µ λ + µ Tiempo en horas --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº Ejemplos Sisema con voo adapaivo λ = Tasa de fallos C = Coberura Enradas M M2 C C V Salidas MN C R () = p () F --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-24

13 Triple - Dúplex λ = Tasa de fallos C = Coberura del comparador λ = 2λ C >>> C del caso anerior --Tema 5 P. J. Gil, J.J. Serrano. DISCA, U.P.V -- R. Marínez. I. Informáica. U.V Trans nº 5-25