MODELADO Y SIMULACIÓN INTRODUCCIÓN. Eduardo Martínez

Transcripción

1 MODELADO Y SIMULACIÓN INTRODUCCIÓN Eduardo Marínez

2 Sisemas Dinámicos Modelos Maemáicos Principios de la Teoría General de Sisemas 3 Modelos Coninuos Discreos

3 Sisemas Dinámicos Deinición de Sisema Un Sisema es una disposición delimiada de enidades ineracuanes. Disposición: deine la Esrucura del Sisema. Delimiación: las acciones del reso del unierso sobre el sisema se reemplazan por enradas. Enidades ineracuanes: son los componenes del sisema: procesos, elemenos, subsisemas, ec. Deinición de Sisema Dinámico Un Sisema Dinámico es un Sisema en el cual ha almacenamieno de energía, maeria o inormación; es decir, un Sisema Dinámico es un sisema con memoria.

4 Modelos Maemáicos Por cuesiones de coso, riesgo o imposibilidad si el sisema odaía no exise por ejemplo, en muchas ocasiones no se puede experimenar sobre los sisemas reales. En esos casos se recurre a la experimenación sobre Modelos del sisema. Deinición de Modelo Un Modelo es una represenación simpliicada de un Sisema que permie responder inerroganes sobre ese úlimo sin recurrir a la experimenación sobre dicho sisema. Deinición de Modelo Maemáico Conjuno de expresiones maemáicas que describen las relaciones exisenes enre las magniudes que caracerizan al sisema.

5 Variables parámeros Las magniudes que caracerizan rigen la eolución de un sisema se denominan ariables parámeros. Los parámeros son magniudes consanes o que arían lenamene, independienes de lo que ocurre en el sisema. Ej: masa, resisencia elécrica, ec. Las ariables son magniudes que cambian con el iempo. Enre ellas enconramos: Variables undamenales: iempo espacio x,, z. Son independienes de la eolución del sisema. Enradas: represenan la acción del reso del unierso sobre el sisema. Son independienes de la eolución del mismo. Variables dependienes: represenan la magniudes que cambian en unción de la eolución del sisema. Salidas: Son ariables dependienes que nos ineresan que podemos obserar.

6 Sisemas Dinámicos Modelos Maemáicos Principios de la Teoría General de Sisemas 3 Modelos Coninuos Discreos

7 Teoría General de Sisemas La Teoría General de Sisemas esudia las propiedades generales de los Sisemas Dinámicos de sus modelos maemáicos. Enre oros problemas, la Teoría General de Sisemas esudia deine: Clasiicación de Modelos Maemáicos Modelado de Sisemas Conrol de Sisemas Simulación de Modelos

8 Modelado Simulación Modelado Es el proceso de obención de modelos maemáicos. Dos caminos posibles: A parir de principios analíicos /o ísicos. Mediane experimenación ideniicación Simulación Es la experimenación sobre un modelo maemáico de un sisema, generalmene implemenado en una compuadora. La simulación de un sisema, además del modelado, suele requerir la uilización de écnicas de aproximación méodos numéricos de inegración, por ejemplo.

9 Clasiicación de Modelos Maemáicos Los modelos se pueden clasiicar de disinas ormas. Una de ellas es en unción de la manera en que las ariables eolucionan en el iempo. Tiempo Coninuo: Las ariables eolucionan coninuamene en el iempo. Generalmene se represenan mediane ecuaciones dierenciales. Tiempo Discreo: Las ariables sólo pueden cambiar en deerminados insanes de iempo. Se suelen represenar mediane ecuaciones en dierencias. Eenos Discreos: Las ariables pueden cambiar en cualquier momeno, pero sólo puede haber números inios de cambios en ineralos de iempo inios.

10 Sisemas Dinámicos Modelos Maemáicos Principios de la Teoría General de Sisemas 3 Modelos Coninuos Discreos

11 Modelos de Tiempo Coninuo Ha dos grandes caegorías: Modelos de Parámeros Concenrados, que se represenan mediane Ecuaciones Dierenciales Ordinarias EDO g sin péndulo sin rozamieno l Modelos de Parámeros Disribuidos, que se represenan mediane Ecuaciones en Deriadas Parciales u u x, x x, diusión del calor

12 Modelos de Tiempo Discreo Los modelos de iempo discreo se represenan generalmene como ecuaciones en dierencias. N K. N K. e ap K P K N K. e ap K Nicholson Baile Los insanes de iempo en los cuales ha cambios en las ariables se denoan,,..., k,.... La disancia k+ k se denomina paso suele ser consane.

13 Modelos de Eenos Discreos Consideremos el siguiene ejemplo: un sisema, que posee un sensor deeca cada ez que enra o sale una persona de una habiación regisra el número de personas denro de la misma. El número de personas se imprime en un panel cada ez que se modiica. Cada ez que enra o sale una persona, ocurre un eeno de enrada. Al imprimirse el número en el panel, ocurre un eeno de salida. El número de personas denro de la habiación represena el esado del sisema. Ese ipo de modelos no iene un ormalismo de represenación uniicado.

14 Sisemas coninuos: M S clases de modelos coninuos

15 Sisemas coninuos: modelos Modelo presa-depredador Loka-Volerra x x x, b p x g x, g rx d C b ln p rx d ln x x=, presa, sólida; =, depred., punos

16 Sisemas coninuos: simulación Soluciones numéricas. A. Méodo de Euler =, en [a,b] con = diidimos [a,b] en M subineralos iguales k =a+kh d d d d,, k+ - k =h=δ k+ = k + k, k Δ para k=,,.,m-

17 Sisemas coninuos: simulación B. Méodo de Runge-Kua =, en [a,b] con = n n n!...!! Si omamos Δ=- n n n!...!!

18 Sisemas coninuos: simulación B. Méodo de Runge-Kua de º orden,,,,, u u u donde u u que se suele presenar así: Si hacemos el desarrollo hasa el érmino de º orden calculamos

19 Sisemas coninuos: simulación B. Méodo de Runge-Kua de 4º orden,,,, donde RK de 4º orden es el méodo más uilizado ho en día para resoler EDO s