Los Procesos de Poisson y su principal distribución asociada: la distribución exponencial

Transcripción

1 Los Procesos de Poisson y su principal disribución asociada: la disribución exponencial Lucio Fernandez Arjona Noviembre Revisado Mayo 2005 Inroducción El objeivo de esas noas es inroducir al esudio de la disribución exponencial, una de las funciones más usadas debido a cieras propiedades que la hacen ideal para simplificar ciera clase de problemas frecuenes en emas acuariales. Esa simplicidad se deriva de su ínima conexión con la disribución de Poisson, cuyo proceso generador posee como caracerísicas principales la esacionariedad en el dominio del iempo y de los esados. La primera sección esará dedicada a la presenación de una función asociada a cualquier ipo de disribución: la asa insanánea de ocurrencia. A coninuación se verán las propiedades de la disribución exponencial, especialmene las relacionadas con esa asa insanánea de ocurrencia. Por úlimo se dará un panorama de las aplicaciones acuariales de esa disribución, juno con algunos ejercicios.. Tasa insanánea de ocurrencia Considérese una variable aleaoria coninua posiiva X con densidad f (x): Definición: La asa insanánea de ocurrencia λ(x) esá dada por: f(x) λ (x) = - F (x) Si X represena el iempo de vida de un elemeno, la asa insanánea es la asa a la que el elemeno que sobrevivió hasa el momeno es eliminado de la población en el inervalo infiniesimal de iempo d. P (X = + d) - P (X > ) ( ) P ( < X = + d X > ) = ( ) - P (X = ) f d PX ( ) =λ

2 La Función de Tasa Insanánea de Ocurrencia deermina unívocamene la disribución de probabilidad. Esas dos funciones esán relacionadas de manera que dada una como dao, la ora puede obenerse. Llamando Λ( ) 0 0 a la inegral de λ(), obenemos df() s Λ () = λ() s ds = ds = ln( F()) ds F( s) Enonces F () λ ( s) ds 0 = e (.) Esa es la relación enre la función de disribución y la asa insanánea de ocurrencia. 2. La Disribución Exponencial Propiedades de la disribución: Carece de memoria: Si X denoa el iempo de vida, una variable aleaoria se dice carene de memoria si para odo s, > 0 P(X > s + ) = P (X > ). P( X > s) (2.) Veamos cómo se cumple en el caso de la disribución exponencial: λ( s ) λs λ PX ( > s+ ) = e + = e e = PX ( > ). PX ( > s) De (.) se implica P(X > s + X > s) = P(X > ) (2.2) Se recomienda resolver los ejercicios Nº y Nº 2 anes de coninuar. La disribución exponencial es la única disribución coninua que carece de memoria. La asa insanánea de ocurrencia de una variable exponencial es consane: λ() = λ El parámero λ se llama asa de la disribución. La suma de variables aleaorias exponenciales con parámero λ i se disribuye de la siguiene manera (llamada disribución hipoexponencial):

3 f X+X2+...Xn () = C, λe (2.3) n λ n n in i = λ i i= i= i= λi e ( λi λj) j i C in, = λ λ j i j i j λ Si X y X 2 son variables exponencialmene disribuidas enonces: λ P( X < X 2 ) = (2.4) λ + λ Generalizando: 2 P [Xi = Min j (X j )] = P [X i < Min j i (X j )] = n λ i= i λ i 3. La Disribución Exponencial y su aplicación a la Biomería El esudio de las probabilidades de muere La Biomería se encarga, en resumen, del esudio de las leyes probabilísicas que gobiernan la moralidad humana. Las funciones más uilizadas acuarialmene para ese fin son las llamadas ablas de moralidad, las cuales para cada edad enera x (enre 0 y un número arbirario ω - usualmene enre 00 y 0) conienen la probabilidad de morir enre el cumpleaños nº x y el nº x +. A esa probabilidad se la expresa con el símbolo q(x;0;), donde x represena la edad, 0 es el momeno en que se empieza a correr el riesgo de muere (desde la edad x+0) y es el largo del período de riesgo. Un problema de probabilidades condicionales Si q(x;;) es la probabilidad que iene una persona de edad x de morir enre la edad x+ y x+2 y q(x+;0;) ambién es la probabilidad de morir enre las edades x+ y x+2 Cuál sería la diferencia enre q(30;;) y q(3;0;)? La diferencia esá dada por la edad de la persona considerada. Una persona de 30 años deberá sobrevivir odo un año ( con el riesgo de moralidad que eso implica) anes de esar en la misma siuación que la persona de 3 años sobre la que se aplica la q(3;0;). Dado

4 que la diferencia enre ambas es la condición inicial, podemos demosrar a ravés del eorema de Bayes que: q(30;;) q(3;0;) = q (30;0;) Eso es, Probabilidad condicionada = Probabilidad sin condicionar / Probabilidad de la Condición Probabilidad de muere para edad 30 Probabilidad de muere para edad 3 = Probabilidad de sobrevivir enre los 30 y 3 años De esa manera, si f(x) es la función de densidad de muere y F(x) es su función de disribución: 32 f( x) dx 3 F(32) F(3) q(30;;) = = 30 f( x) dx F(30) 0 y 32 f( x) dx 3 F(32) F(3) q (3;0;) = = 3 f( x) dx F(3) 0 El ámbio de aplicación de la disribución exponencial Uno de los problemas más comunes es que las ablas de moralidad esán expresadas para edades eneras, de manera que no exise manera de saber cuano vale, por ejemplo, q(20;0;½), o sea, la probabilidad que iene un persona de 20 años de morir enre las edades 20 y meses. Mediane inerpolación, sin embargo, se puede aproximar esa probabilidad. Una opción es aplicar una inerpolación lineal de manera que q(20;0;½) ½*q(20;0;), en oras palabras, la probabilidad de morir durane medio año es la miad de la probabilidad de morir durane un año enero. La ora opción, que nos ocupa aquí, es aplicar una inerpolación exponencial, llamada en el lenguaje de la biomería, el supueso de µ consane. Por qué ese nombre? Pues resula que µ() no es ora cosa que lo aquí hemos dado en llamar λ(): la asa insanánea de fallecimieno (fallecimieno es equivalene a ocurrencia en biomería). Aplicando esa inerpolación exponencial es posible calcular la probabilidad para períodos menos al año. Es imporane noar que lo que se esá inerpolando es la función de probabilidad acumulada y no la función de densidad, dado que lo que se hace es buscar el valor del parámero λ al que λexp( λ) d = q( x;0;). 0 Un dealle imporane a ener en cuena es que la función exponencial no puede usarse para aproximar períodos prolongados de iempo. Eso se debe a su propiedad de fala de

5 memoria: en un proceso con disribución del iempo de espera exponencial, la probabilidad de muere sólo es proporcional al largo del inervalo de iempo considerado, sin imporar la edad del proceso (la probabilidad de morir enre los 20 y 2 años sería igual a la probabilidad de morir enre los 60 y 6), mienras que la moralidad humana regisra el fenómeno conrario. Guía de Lecura: Qué quiere decir La Función de Tasa Insanánea de Ocurrencia deermina unívocamene la disribución de probabilidad? Cuál es la diferencia enre inerpolar la función de densidad e inerpolar la función de disribución? O es lo mismo?

6 Ejercicios Guía Prácica Nº : Disribución Exponencial y uniforme. Convolución. Aplicaciones Acuariales. Demuesre que una disribución de probabilidad carece de memoria si y sólo si su asa insanánea de ocurrencia es consane a ravés del iempo. Noa: Para demosrar A B (B ocurre si y sólo si ocurre A), se debe demosrar por separado que A B (A implica B) y que B A (B implica A). Tome como A la propiedad de fala de memoria A: P(x> s+) =... Tome como B la propiedad de asa de ocurrencia consane, B: λ() = λ Relacione los concepos usando la fórmula (.) 2. Verifique que la relación (2.2) se cumple para la disribución exponencial. 3. Demuesre (usando los resulados del ejercicio ) que la disribución exponencial es la única disribución coninua que carece de memoria. 4. Used posee un hamser, del cual sabe que no vivirá más de 4 años. El fallecimieno de su mascoa durane los primeros res años sigue una disribución exponencial con los siguienes parámeros (consanes denro del año): Edad 0- = 0,6 Edad -2 = 0,9 Edad 2-3 =.4 a. Calcule: q(0;0;), q(;0;), q(2;0;) y q(3;0;) b. Calcule: q(0;;), q(0;2;) y q(0;3;) c. Calcule: q(0;0;4) 5. Demuesre que en procesos donde, como en el caso de la moralidad humana, exise memoria y a medida que se envejece es mayor la probabilidad de ocurrencia, la función µ() es creciene. 6. Demuesre que dado {X n }: conjuno de variables aleaorias exponenciales independienes con parámeros λ i (i=...n), P[min(X,...,Xn)>x]=Exp[- λ x j ] n j= 7. Demuesre que P(T <s N()=) = s (siendo {N()} un proceso de Poisson y T i el iempo al i-esimo eveno) compleando el siguiene desarrollo: PT [ < s, N( ) = ] PN [ ( s) = ]. PT [ 2 > s] PT [ < s N( ) = ] = = PN [ ( ) = ] PN [ ( ) = ]

7 8. Si la enrada de clienes a la sucursal 9 del Banco Ciudad sigue un proceso de Poisson, y habiendo pasado dos minuos desde que abrió sólo enró un cliene, a. Cuál es la probabilidad de que ese cliene haya enrado durane el primer minuo? b. Cuál es la probabilidad de que el primer cliene haya enrado durane el primer minuo si uno no sabe cuános clienes han enrado pasados dos minuos desde la aperura? 9. Demuesre que dado X exp(λ ) y X 2 exp(λ 2 ), λ P( X < X 2 ) = (fórmula 2.4) λ + λ 2 0. a) Demuesre que si {X n } son variables exponenciales iid con parámero λ (único), X=X +...+X n iene disribución Gamma (n,λ). b) Verifique la fórmula 2.3 para n=3 Cuál es la diferencia con el caso anerior? (Sugerencia: Use inducción maemáica juno con convolución). Puede usar la ransformada de Laplace calculada con una abla o con el Mahemáica para faciliar los cálculos).. Demuesre que µ().[-q(x ;0 ;)] = λ.exp[-λ.], si suponemos que la asa insanánea de fallecimienos es consane. Sugerencia: re-exprese la idenidad en función de las funciones de densidad y disribución. 2. Cuál es mayor enre q(30;;) y q(3;0;)? Explique concepualmene y demuesre maemáicamene. 3. Used ha esudiado un grupo de 000 personas de 30 años durane dos años (odos cumplieron 30 años el mismo día de comienzo del esudio). Durane el primer año murieron 3 y durane el 2º año murieron 4. a. Esime por el méodo de momenos la probabilidad q(30;0;), q(30;0;2), q(30;;) y q(3;0;). b. Se quiere conocer cuano vale q(30;½;) (eso es, la probabilidad de muere enre la edad 30+½ y 3+½), para eso deberá usar la disribución exponencial. Encuenre el parámero λ a usar en la edad 30, en la edad 3 y luego calcule la probabilidad. 4. Used es el acuario en una compañía de seguros de vida, la cual iene un asegurado que acaba de cumplir 30 años. En el caso de que su asegurado muera, used deberá pagar $ a fin de año. Si la probabilidad que el asegurado muera durane ese año es de 0,007 y la asa de inerés es del 4% (efeciva anual) a. Cuál es el pago esperado a fin de año, eso es, la esperanza maemáica del pago? Cuál es el valor acual de ese pago esperado?

8 Dado que used desconoce q(30;;) o sea, la probabilidad de que muera enre los 3 y 32 años dado que esá vivo con 30 años, desea exrapolar exponencialmene a parir del q(30;0;)=0,007. Cuáno vale q(30;;)? Cuál es el pago esperado al fin del 2º año y cuál es su valor acual? 5. Used es el responsable de un plan de jubilaciones que funciona de la siguiene manera: Todos los años a principio de año se cobra la cuoa anual a los rabajadores acivos y se la paga la jubilación (anual) a los pasivos (la primera jubilación se cobra al cumplir los 65 años). Anes de cobrar la cuoa anual se calcula el mono de esa, sabiendo que a cada jubilado se le deben pagar $2.000, de manera que no sobre ni fale dinero. Ese año ha enconrado: 5000 acivos de edad 64 y 2000 de edad pasivos de edad 65 y de edad 66. Suponga que a odos se les aplica una disribución exponencial de fallecimieno con parámero consane igual a 0,4. a. Cuáno es el valor de la cuoa anual de ese año? b. Cuáno es el valor de la cuoa anual del año que viene? 6. La compañía para la que used rabaja vende seguros de auomóviles (sólo cubre robo oal). Los auos se dividen en segmenos (baja, media, ala) de acuerdo a su precio. La probabilidad de un robo denro del año se disribuye exponencialmene con el valor de parámero indicado (sólo puede haber un robo dado que después de pagada la indemnización hay que volver a conraar el seguro para cubrir el nuevo auo). Segmeno λ (anual) Canidad de pólizas Bajo 0, Medio 0, Alo 0, Si en general los asegurados ardan una semana en denunciar el robo, Cuános robos ocurridos pero no denunciados se espera que exisan al 3 de junio?