UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA VALORIZACIÓN DE INSTRUMENTOS DE RENTA FIJA CON OPCIÓN DE PREPAGO MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL MATEMÁTICO ERNESTO JAVIER ARAYA VALDIVIA PROFESOR GUÍA: JOAQUÍN FONTBONA TORRES MIEMBROS DE LA COMISIÓN: RODRIGO GONZÁLEZ DEL BARRIO JAIME SAN MARTÍN ARISTEGUI ALEJANDRO JOFRÉ CÁCERES SANTIAGO DE CHILE NOVIEMBRE 2011

2 RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL MATEM ATICO POR: ERNESTO ARAYA VALDIVIA FECHA: 01/11/2011 PROF. JOAQUIN FONTBONA TORRES VALORIZACIÓN DE INSTRUMENTOS DE RENTA FIJA CON OPCIÓN DE PREPAGO En ese rabajo se busca abordar el problema de valorización de bonos prepagables. A pesar que ese ipo de bonos son predominanes en los mercados, exisen relaivamene pocos modelos que describan el comporamieno de sus precios. Una de las excepciones es el modelo de Jarrow e al. [24], que esudiaremos e implemenaremos en ese rabajo, adapandolo a las condiciones pariculares del mercado chileno. En resumen, los objeivos de ese rabajo se puden dividir en dos: Exponer la eoría que permie conexualizar el modelo de Jarrow e al., recopilando y exendiendo resulados relaivos al modelamieno del riesgo de crédio. Eso define una base maemáica que permie raar disinos ipos de riesgo de manera unificada. Implemenar el modelo, uilizando daos chilenos para su calibración. Se expone el algorimo de filro de Kalman exendido, que será la base de la meodología de esimación. Se realizan simulaciones, ano de bonos de gobierno como bonos prepagables, para esear el modelo. Finalmene, se realiza una aplicación con daos reales del mercado chileno.

3 AGRADECIMIENTOS A mi familia por su apoyo consane a lo largo de esos años. A los profesores guía y co-guía: Joaquín Fonbona y Rodrigo González. Por sus valiosos apores y buena disposición. A mis compañeros de carrera. Por los buenos momenos que pasamos, ano fuera como denro (principalmene denro) de la universidad. Por equilibrar (y desequilibrar, en ocasiones) la balanza enre lo esricamene académico y lo conidiano (lo lúdico, lo denso, lo imporane). En resumen, por demosrarme una vez más que las personas, y no ora cosa, son lo más imporane en nuesro paso por cualquier insiución o lugar. A mis amigos, que conocí hace mucho iempo y que han esado siempre acompañandome, algunos casi a diario. Espero que nuesros caminos no se dejen de cruzar una y ora vez.

4 Índice general 1. Inroducción 1 2. Preliminares Bono cero cupón Curva de reorno y esrucura emporal de asa de inerés Modelos de asas de inerés El modelo de Cox, Ingersoll y Ross Modelo de asas a dos facores Bonos prepagables La eoría Fórmula de valorización Especificación del modelo Esimación Meodología Filro de Kalman Filro de Kalman Exendido Aplicación Simulaciones Esudio Empírico Conclusiones Apendice Algunas definiciones Algunos resulados úiles Méodo de Kimmel Caso general afín Aplicación al modelo de Jarrow e al Bibliografía 54 iv

5 Capíulo 1 Inroducción En 1969, Rober Meron comienza a aplicar écnicas de cálculo esocásico en problemas financieros. Las herramienas usadas hasa enonces no alcanzaban para responder la preguna de cómo funcionan los mercados financieros. Viso desde ora perspeciva, eso corresponde a rasladar (al conexo financiero) la preguna económica clásica del equilibrio y su relación con los precios de acivos financieros. El conexo proporcionado por el cálculo esocásico parecía describir saisfacoriamene el comporamieno, eminenemene aleaorio, de los precios de insrumenos financieros. Para eso fueron necesarios los rabajos de Fisher Black y Myron Scholes (en 1973), que mediane su fórmula de valorización de opciones lograron responder a la preguna de cúal es el precio juso para una opción europea 1. Eso moivó el desarrollo de nuevos modelos, puesos sobre una base eórica sólida, que permiían obener precios de oros insrumenos y derivados. En el conexo de mercados de rena fija, la preguna sería cúal es el precio juso de un bono. A fines de los años 70 s comienza el desarrollo de una eoría que permiía responder a esa preguna. Acá enra en juego el concepo de asa de inerés, que engloba diferenes acepciones, odas relacionadas con el hecho que el emisor del bono debe pagar inereses al recepor del bono. Para exploar oda la poencia de las herramienas del cálculo esocásico se inroduce el concepo de asa cora (o insanánea), que inuiivamene represena la asa a la cual es posible obener ganacia de manera insanánea, es decir, por período muy coro de iempo. Bajo suposiciones de ausencia de arbiraje, la asa cora deermina el precio de los bonos de gobierno, que son considerados como los menos riesgosos. El modelamieno de la asa cora como proceso de difusión da origen a una familia de modelos conocidos como modelos de asas de inerés. Los bonos emiidos por empresas, o bonos corporaivos, ienen riesgos implícios adicionales a los que posee un bono de gobierno. El llamado riesgo de crédio (o defaul) esá relacionado con la incapacidad de una empresa para cubrir sus deudas. Ha sido esudiado desde diversas perspecivas, siendo paricularmene imporane que ipo de información se asume como conocida. La gran mayoría de los modelos exisenes que consideran el riesgo de crédio se dividen en dos familias: los llamados modelos esrucurales y los modelos de forma reducida. Los primeros se basan en los rabajos de Meron, Black y Scholes, asumiendo como conocida la esrucura de capiales de una empresa. Se modela, enonces, el valor de una firma como un proceso de difusión y se imponen condiciones bajo las cuales se puede considerar que una firma incurre en defaul. 1 En su rabajo fundacional [3]. 1

6 Capíulo 1 En los modelos de forma reducida, que comienzan con los rabajos de Jarrow y Tunbull [25], y Duffie y Singleon [17], se modela la probabilidad insanánea de defaul como la inensidad de un proceso (de salo) asociado al eveno de no pago 2. Eso permie esablecer una análogía direca enre la valorización de bonos con y sin riesgo de defaul, obeniendo una asa ajusada por riesgo que cumple el mismo rol que la asa cora cumple en el conexo libre de riesgo. Esa clase de modelo ha sido frecuenemene señalada como la más exiosa enre las dos, aunque cabe señalar que en la prácica dependerá en gran medida de la información que se asume disponible. Ora fuene de riesgo asociada a algunos bonos corporaivos es la posilidad que se reserva la empresa de prepagar su deuda anicipadamene a un valor pacado previamene. A pesar de que los bonos con esa condición son los que predominan, en canidad, en los mercados de rena fija, pocos esudios se han dedicado a raar el problema de valorización de bonos prepagables en dealle. El rabajo de Jarrow e al. [24] es una de las excepciones, combinando la eoría y la prácica de una manera basane araciva. Proponen un modelo de forma reducida que modela la probabilidad (insanánea) de prepago como el proceso de inensidad de un proceso asociado al eveno de prepago. De esa forma, la valorización se simplifica, siendo análoga al caso de los modelos de riesgo crediício. Se obiene una asa ajusada por riesgo de prepago. En líneas generales nuesro rabajo se divide en dos pares. En la primera esudiamos el modelo de Jarrow e al. para bonos prepagables, revisando la base eórica, las nociones financieras y las herramienas que permien su implemenación. Adicionalmene realizamos modificaciones que permien aplicar el modelo al mercado chileno. En la segunda pare, implemenamos el modelo de forma compuacional, usando el programa Malab. Primero eseamos el modelo uilizando simulaciones de precios de bonos (del esoro y prepagables) para ello. Poseriormene, calibramos el modelo uilizando daos reales del mercado chileno proporcionados por la empresa LVAIndices. Para una mejor lecura el rabajo se ha dividido en 4 capíulos. A coninuación una breve descripción de cada uno de ellos: El capíulo 2 iene por objeivo senar las bases sobre las cuales se consruye el modelo de valorización de bonos prepagables. Se enregan las definiciones de los concepos básicos de rena fija. Poseriormene se revisan los modelos de asas de inerés de Cox-Ingersoll-Ross, de uno y dos facores, que son la principal herramiena de modelación en el modelo de Jarrow e al. En el capíulo 3 revisamos la eoría básica de modelos de forma reducida que permien obener una fórmula de valorización para bonos prepagables. Exendemos la eoría desarrollada por Duffie e al. (en [16]), poniéndola en el conexo de bonos prepagables. Eso permie la valorización de bonos cero cupón y en base a eso se deduce la fórmula de valorización de bonos con cupones. Se pone especial énfasis en la similiud enre la valorización de bonos con y sin riesgo de prepago. El capíulo 4 esá consagrado a la implemenación del modelo. Se revisa la meodología y la esragegía de esimación de los parámeros del modelo. Específicamene, se revisa el algorimo de filro de Kalman exendido y su aplicación al modelo de Jarrow e al., considerando una esraegia de esimación de dos pasos. Poseriormene, 2 También se conoce como eveno de crédio. 2

7 Capíulo 1 se aplica el modelo a daos simulados, evaluando su desempeño en ese caso. Finalmene, se uilizan daos del mercado chileno para alimenar el modelo, enregando un breve diagnósico con posibles fuenes de error y modificaciones posibles. 3

8 Capíulo 2 Preliminares Los mercados reales de rena fija esán deerminados por los precios de insrumenos financieros llamados bonos. Esos represenan, a grandes rasgos, deudas que una pare emisora conrae con una pare recepora, acordándose el pago de inereses en uno o más períodos de iempo. El precio de los bonos a su vez, esa relacionado con el concepo de asa de inerés. Ese concepo engloba diferenes definiciones que dependen de los plazos considerados, de la regla de composición uilizada y del ipo de riesgo considerado. La asa cora, por ejemplo, corresponde a una asa a la cual es posible obener ganacias en un período coro de iempo en un ambiene libre de riesgo. Exise concenso en que el movimieno de los precios de bonos esá guiado por un número relaivamene pequeño de variables, en oras palabras el movimieno de los precios se explica, en pare, por el movimieno del mercado en su conjuno. Regularmene se asume que precios de bonos donde el riesgo de defaul es pequeño (muy cercano a 0) esán guíados por los valores de la asa cora. La modelación de esá variable como proceso esocásico consiuye un gran campo de esudio en maemáicas financieras conocido como modelos de asa de inerés. El obener los precios de los bonos en base a ese proceso esocásico es lo que se conoce usualmene como valorización del insrumeno financiero de rena fija. En ese capíulo revisaremos las definiciones y nociones básicas involucradas en la eoría de valorización de bonos cero cupón. Expondremos los modelos más uilizados de asa de inerés, que serán la herramiena básica para la modelación de bonos con opción de prepago. Enre las referencias generales que seguimos en pare se cuenan [4], [21] y [29] Bono cero cupón Exisen básicamene dos ipos de bonos, los que pagan cupones y los que no. A los que no pagan cupones se les conoce como bonos cero cupón y consiuyen uno de los concepos básicos para el modelamieno de precios de insrumenos de rena fija. Definición Un bono cero cupón con fecha de maduración T es un conrao enre dos pares: un emisor y un recepor. El emisor acuerda pagarle una canidad X, conocida como principal, en la fecha de maduración, sin pagos inermedios. El valor del conrao en un iempo T se denoa por S(, T ). El valor del conrao en un iempo es lo que llamaremos el precio del bono cero cupón en el iempo. Por su pare, un bono con cupones incluye pagos inermedios en fechas acordadas. 4

9 2.1. Bono cero cupón Capíulo 2 Definición Un bono con cupones, con fecha de maduración T es un conrao enre dos pares, una emisora y ora recepora. El emisor conrae una deuda con el recepor que acuerda pagar en la fecha de maduración (pago del principal). Los inereses se enregan en forma de cupones con valores acordados previamene en fechas {τ 1, τ 2,.., τ N }, donde N es el número de cupones. Se uilizará la noación S c (, T ) para el precio de un bono con cupones en el insane, donde T es la fecha de maduración. Un bono con cupones se puede ver como un porfolio de bonos cero cupón. Luego se puede esablecer una relación enre el precio de bonos cero cupón y el precio de bonos con cupones. En efeco, se iene: S c (, T ) = c i S(, τ i ) + (1 + c N )S(, T ) (2.1) τ i <T Donde c i represena la asa del cupón pagado en el insane τ i, para i {1, 2,..., N 1}, y c N el inerés pagado en la úlima fecha. Frecuenemene se considera que c N = 0 y que c i = c (con i {1, 2,..., N 1}), donde c es una consane. La función S(, T ) presena disconinuidades en las fechas de pago de los cupones. Debido a eso los precios que se manejan en los mercados son calculados de forma diferene. Definimos el inerés acumulado en el iempo (τ i 1, τ i ] como: AI(i, ) = c i τ i 1 τ i τ i 1 Definición Definimos el precio limpio de un bono con cupones en el iempo (τ i 1, τ i ] como: S l (, T ) = S c (, T ) AI(i, ) (2.2) Usaremos los érminos bonos de gobierno (o del esoro) y bonos corporaivos para refererirnos a bonos emiidos por el gobierno y por compañías privadas respecivamene. Esa diferencia cobra senido cuando se considera el riesgo inherene que iene cada bono. Exisen diversas fuenes de riesgo, pero las que abordaremos en ese rabajo son dos: el riesgo de defaul (o crédio) y el riesgo de prepago 1. El primero iene relación con la capacidad de una empresa para pagar sus deudas. Es un ema complejo definir cuando una empresa no iene capacidad de pago de sus deudas, sin embargo, en ese rabajo nos ineresan más las consecuencias que las causas de ese hecho. Por oro lado, el riesgo de prepago se relaciona con la posibilidad, que se puede reservar la empresa, de pagar anicipadamene la deuda a un coso acordado previamene. Desde el puno de visa de un inversionisa eso presena un problema pues debe rehacer su plan de inversiones con un dinero que reorna anicipadamene. Los bonos de gobierno son considerados como los menos riesgosos y sirven como base de comparación del riesgo, sin embargo, no se pueden considerar libres de riesgo. Definición Un bono con opción de prepago consise en un bono corporaivo donde la enidad emisora cuena con la posibilidad de recuperar el bono anes de la fecha de maduración, pagando una canidad acordada previamene que llamaremos precio de ejercicio. Además, se puede acordar una fecha a parir de la cual el bono puede ser prepagado. 1 Oros facores imporanes son el grado de liquidez de una compañía y la asa de inflación. 5

10 2.1. Bono cero cupón Capíulo 2 Definición El iempo de duración de un bono es la canidad de días, considerados de acuerdo a las convenciones del mercado, que se cuenan enre la fecha de emisión del bono y su fecha de maduración. Definición El iempo a la maduración T, es la canidad de iempo, medida en años, desde el iempo presene a la fecha de maduración T. La expresión T cobra senido cuando y T son números reales que respresenan insanes deerminados. Si y T esán expresados como fechas, es decir, en el formao = (d, m, a ), T = (d T, m T, a T ), enonces se necesia definir una canidad númerica que represene la canidad de iempo que hay enre ambas fechas. Exisen múliples elecciones posibles que dependen de los insrumenos a considerar y las convenciones del mercado para ellos. Lo imporane es ver que días enre ambas fechas son considerados para así obener algún valor númerico. En general, elegiremos expresar T como una fracción de un año y asumiremos implícias las convenciones del mercado, que en el caso corporaivo corresponden a usar una base 365. Es decir, se considera T = Days{(d,m,a),(d T,m T,a T )}, 365 donde Days{f 1, f 2 } represena la canidad de días enre las fechas f 1 y f 2. El érmino asa de inerés agrupa disinos concepos que a grandes rasgos dependen de lo que se llama el ipo de composición. Definición La asa conínuamene compuesa, de un bono cero cupón, considerada en el iempo para la fecha de maduración T se denoa R(, T ) y corresponde a la asa consane bajo la cual una inversión en el presene de S(, T ) lleva a la obención en el fuuro de una unidad monearia en la fecha de maduración T. Formalmene eso equivale a ln(s(, T )) R(, T ). (2.3) T En oras palabras es la asa consane que es consisene con los precios de bonos cero cupón, en el senido que e R(,T )(T ) S(, T ) = 1. A parir de eso se obiene una expresión para los precios en érminos de la asa coninuamene compuesa: S(, T ) = e R(,T )(T ). A la asa conínuamene compuesa se le conoce, en el conexo de bonos cero cupón, como reorno del bono. Pues mide precisamene el rendimieno del insrumeno financiero en un período fijo de iempo. Es equivalene al concepo de asa inerna de reorno, usado en frecuenemene para evaluar la renabilidad de una inversión. En el caso de bonos con cupones el reorno, que llamaremos R c (, T ), esa definido por la relación: S l (, T ) = N j=i+1 cx/2 (1 + R c (τ i, T )/2) + X j i (1 + R c (τ i, T )/2)N i (2.4) para = T i. Si [T i, T i+1 ), se iene: S l (, T ) = N j=i+1 cx/2 (1 + R c (τ i, T )/2) + X j i 1+ν (1 + R c (τ i, T )/2)N i 1 + ν (2.5) 6

11 2.1. Bono cero cupón Capíulo 2 con c la asa del cupón, X el valor del principal, y ν = T i+1 T i+1 T i. Observación Exisen oras reglas de composición, como la composición simple y la composición semi-anual, que para propósios de ese rabajo no son imporanes Curva de reorno y esrucura emporal de asa de inerés La curva de reorno es el grafo de una función que relaciona iempos de maduración y asas de inerés dadas por el mercado en un insane deerminado. Formalmene: Definición La curva de reorno en el insane se define como el grafo de la función: T R(, T ), T > Llamaremos C (T ) a esa función. La curva cero cupón se define de manera similar: Definición La curva cero cupón en el insane se define como el grafo de la función: T S(, T ), T > Definiremos la esrucura de plazos de las asas de inerés como el conjuno de curvas de reorno enre fechas deerminadas. Formalmene, la esrucura de plazos enre las fechas s y u corresponde a (C ) s u. En la Figura se muesra un ejemplo con la forma ípica de la esrucura emporal de asa de inerés. Noar que la esrucura de plazos de la asa de inerés, que describe el esado general del mercado, esá deerminado por los reornos de los bonos cero cupón. A su vez, esos esán deerminados por los precios de los respecivos bonos. Un primer paso es la modelación de los precios de dichos bonos. Como anicipamos en la inroducción de ese capíulo, eso se llevará a cabo considerando la asa cora como el principal ene que deermina el esado del mercado, guiando los precios de bonos. 7

12 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo Modelos de asas de inerés En esa sección presenaremos la principales caracerísicas de los modelos de asas de inerés. En esos se asume que las asas fuuras no se conocen con cereza y, por ende, son modeladas como variables aleaorias. En paricular, nos ineresa modelar la asa cora, que inuiivamene corresponde a la asa válida por un insane muy coro de iempo, a la cual es posible inverir el dinero en un ambiene libre de riesgo. La suposición fundamenal, de ipo económico, es que la asa cora es una especie de indicador del esado general de la economía y que deermina los precios de los bonos cero cupón. Esa asa se modela como un proceso esocásico que posee ciera dinámica que se explicía mediane una ecuación diferencial esocásica (EDE, en lo que sigue). La diferencia enre los modelos de asas de inerés radica en el ipo de EDE escogida. Nos concenraremos en los modelos del ipo CIR 2, donde la volailidad es proporcional a la raíz cuadrada de la asa cora. Revisaremos los casos unifacorial y bifacorial, expliciando en cada caso la relación enre los precios de bonos cero cupón y el proceso de asa cora. Consideramos un espacio filrado de probabilidad (Ω, F, P, (F ) 0 T ) con F T = F. Supondremos, en esa sección, que F es la filración naural de un movimieno browniano esandar (W ) 0 T. La medida P es conocida como la medida física u objeiva. Inroduciremos la llamada cuena bancaria 3 B que cumple: B = e 0 rsds donde (r ) 0 T es un proceso adapado que saisface: T r 0 d <, casi seguramene. El proceso r se conoce como asa cora (equivalenemene se usa el érmino asa insanánea ). Cabe mencionar que hemos supueso la exisencia de dicho proceso (cuyo valor no se conoce empíricamene). El valor que puede ser apreciado por los agenes que componen el mercado es el que oma la cuena bancaria. Los acivos menos riesgosos son, en ese conexo, los bonos del esoro, que son bonos cero cupón, con una fecha de maduración menor o igual a un horizone fijo T, emiidos por el gobierno. Para cada u T, definimos un proceso adapado (S(, u) 0 u ) que saisface S(u, u) = 1 y que corresponde al precio de un bono cero-cupón con fecha de maduración u, como función del iempo. Supondremos la exisencia de una medida de probabilidad Q equivalene a P bajo la cual los precios desconados de los acivos son maringalas. Eso corresponde bajo cieras condiciones écnicas a la ausencia de oporunidades de arbiraje 4. Supondremos además que es la única medida con al propiedad, lo que corresponde a la hipóesis de mercado compleo. Esa medida, conocida ambién como medida de riesgo neuro, es la que se uiliza para calcular precios de bonos y en general, de cualquier insrumeno financiero que dependa de la asa de inerés. En érminos generales, a la operación de enconrar la represenación de esos precios en función de la asa es lo que se conoce como valorización a riesgo neuro. 2 Ese modelo fue desarrollado por Cox, Ingersoll y Ross en su rabajo [6]. 3 El depósio en la cuena bancaria se considera una inversión libre de riesgo. 4 En érminos simples una posibilidad de arbiraje se presena cuando es posible obener una ganacia insananea libre de riesgo aprovechando la diferencia de precios enre dos o más mercados disinos. Ver [19], [28] para una discusión más deallada 8

13 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 Suponiendo lo anerior, el proceso de precios cumple 5 : S(, u) = E Q (e u rsds S T F ) (2.6) Eso muesra que los precios S(, u) solo dependen del comporamieno del proceso (r l ) 0 l T bajo la medida de probabilidad Q. Se puede exender la relación (2.6) para acivos que enregan dividendos. Para eso se consideran los dividendos enregados por el acivo S como un proceso esocásico D, de variación inegrable, que llamaremos proceso de dividendos acumulados. El valor en el insane de dicho proceso corresponde al oal de dividendos acumulados hasa el iempo. En base a eso, se define el proceso de ganancia G como la suma del precio del acivo y los dividendos acumulados, es decir, G = S +D. La condición de no arbiraje, en ese caso, equivale a la exisencia de una medida Q equivalene a P de modo que el proceso de ganancia desconado sea una maringala. En ese conexo, los precios del acivo S cumplen lo siguiene 6 : S(, u) = E Q( u u l ) exp( r s ds)s T + exp( r s ds)dd l F (2.7) Definiremos el proceso del precio de mercado del riesgo 7, que permie conecar los mundos que represenan las medidas P y Q. Eso resula especialmene imporane cuando es necesario pasar de uno a oro conexo, por ejemplo, al hacer esimaciones hisóricas, basadas en daos reales de mercado. Cabe noar que si el objeivo es únicamene realizar valorización de insrumenos financieros, es posible salarse el conexo del mundo objeivo y modelar el proceso de asas direcamene con la medida de riesgo neuro. En al caso, el precio de mercado del riesgo queda implício en la dinámica adopada para la asa cora. Consideremos L T la densidad de la medida Q respeco a P. Dada cualquier variable aleaoria no negaiva X, se iene: E Q (X) = E(XL T ). Si, además, X es F medible se iene: E Q (X) = E(XL ), donde L = E(L T F ). Es decir, L es la densidad de Q respeco de P si nos resringimos a F. La siguiene proposición define el proceso del precio de mercado del riesgo. Proposición Exise un proceso adapado (η ) 0 T al que, para odo [0, T ], se iene: ( L = exp η s dw s 1 ) η 2 2 sds, cs. (2.8) 0 Demosración. El proceso L es una maringala relaiva a la filración F, que es la filración naural del browniano W. En virud del eorema de represenación de maringalas (ver [29, pag.66]) exise un proceso adapado, que denoaremos por (H ) 0 T, que cumple T 0 H2 s ds <. Se iene que para odo [0, T ]: L = L H s dw s, cs (2.9) Sabemos que L T es una densidad, luego E(L T ) = L 0 = 1. Como Q es equivalene con P, enemos que L T > 0, casi seguramene. En general, para odo [0, T ] se iene 5 Ver, por ejemplo, [19] 6 Eso será probado más adelane. 7 En ingles se conoce como marke price of risk. 9

14 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 P (L > 0) = 1. Aplicaremos la fórmula de Iô a log(l ). Debemos chequear que P ( [0, T ] : L 0 + H 0 sdw s > 0) = 1. Eso lo logramos uilizando el Lema del apéndice. Finalmene obenemos: 1 log(l ) = H s dw s 1 1 Hs 2 ds, cs. (2.10) 0 L s 2 0 Tomando η = H /L se obiene la fórmula(2.8). Enunciaremos una proposición que permie enender mejor la idea económica que hay derás del proceso de riesgo de mercado. Proposición Dada una fecha de maduración u, exise un proceso adapado (σ u ) 0 u al que: ds(, u) S(, u) = (r σ u η )d + σ u dw, para [0, T ] (2.11) Demosración. Sabemos que el proceso de precios desconados ( S ) 0 u es una maringala bajo la medida Q. En virud del lema del apéndice ( S L ) 0 u es una maringala bajo P. Más aún, se iene: S(, u)l > 0, cs. para odo [0, u]. Uilizando la misma lógica de la demosración de (recordando que L 0 = 1), vemos que exise un proceso adapado (θ u ) 0 u que cumple u 0 (θu ) 2 d < y L 2 s S(, u)l = S(0, u)e 0 θu s dws (θu s )2 ds (2.12) Usando la definición de S, y la expresión para L que enrega la proposición 2.2.1, obenemos: ( S(, u) = S(0, u)exp r s ds ((θ u s ) 2 η 2 s)ds 0 (θ u s η s )dw s Aplicando la fórmula de Iô (ver [29, pag.42]) a la función exponencial en la igualdad anerior, se obiene: ds(, u) = S(, u) ( r d + (θ u η )dw 1 2 ((θu ) 2 η 2 )d (θu η ) 2) d = S(, u) ( (r + η 2 θ u η ) ) d + ( θ u η ) dw Tomando σ u = θ u η se concluye la demosración. La ecuación (2.11) puede ser comparada con la que define una cuena bancaria, es decir, db B = r d. El érmino que muliplica a dw s es el que influye en el riesgo de un bono. En la cuena bancaria ese érmino es nulo, por lo que la consideramos como libre de riesgo, si bien r puede ser aleaorio. Por ora pare, el érmino r σ u η se puede inerprear como el reorno promedio del bono en el iempo. Eso, pues los incremenos del browniano ienen esperanza 0. El érmino σ u η corresponde a la diferencia enre 10

15 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 el reorno promedio del bono y la asa libre de riesgo. De ahí la inerpreación de η como premio por riesgo. Bajo la medida Q, el proceso ( W ) definido W = W η 0 sds es un movimieno browniano esándar. Eso se demuesra usando el eorema de Girsanov (ver [29, pag.66]). Con eso se iene: ds(, u) S(, u) = r d + σ u d W (2.13) Para poder calcular precios de bonos cero cupón, es necesario conocer la dinámica que sigue el proceso de asas de inerés. En general, la dinámica de r se especifica mediane una ecuación diferencial esocásica (EDE). Es decir, se asume que r saisface una ecuación del ipo: dr = µ(, r )d + σ(, r )dw, (2.14) donde µ y σ son funciones medibles y W es un movimieno browniano esándar, respeco de la medida Q. También se puede especificar la dinámica de r respeco de la medida P, aunque se debe escoger una forma para η. El siguiene eorema permie asegurar exisencia y unidad de soluciones de (2.14) bajo cieras condiciones sobre µ y σ. Teorema Sean µ : [0, T ] R R y σ : [0, T ] R R dos funciones medibles para las cuales exisen consanes C y D al que: µ(, x) + σ(, x) C(1 + x ) µ(, x) µ(, y) + σ(, x) σ(, y) D x y para odo en [0, T ] y para odo x, y en R. Sea Z una variable aleaoria independiene de la filración generada por W, 0, con segundo momeno finio, es decir, E( Z 2 ) <. Enonces, la ecuación dr = µ(, r )d + σ(, r )dw, para [0, T ] (2.15) r 0 = Z iene una única solución -conínua X, adapada a la filración F Z generada por Z y W s, para s. Además se iene: T E( X 2 d) < 0 Se eniende por unicidad lo siguiene: si X e Y son dos soluciones de (2.15), enonces P -casi seguramene 0 T, X = Y. Una demosración del eorema anerior se puede enconrar en [31, p.68]. Enre los modelos de asas de inerés unifacoriales, lo más usados son el de Vasicek y el de Cox, Ingersoll y Ross. El primero fue inroducido en 1977 por Oldrich Vasicek (en [37]) en su ineno por describir la esrucura de plazos uilizando un enfoque de equilibrio económico. Fue el primer modelo en capurar una propiedad escencial de las asas de inerés conocida como reversión a la media. A diferencia de los precios de acciones u oros insrumenos financieros, las asas de inerés no pueden subir ni bajar indefinidamene, pues cambios bruscos limian la acividad económica. De ese modo las asas de inerés muesran una 11

16 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 endencia a volver sobre una media de largo plazo. El modelo que propuso para r es el siguiene 8 : dr = a(b r )d + σdw (2.16) donde a,b y σ son consanes posiivas. A pesar de poseer caracerísicas desacables, como la exisencia de una solución explícia, ese modelo iene una debilidad imporane: exise una probabilidad no nula que r ome valores negaivos, lo que claramene no puede ocurrir en la realidad El modelo de Cox, Ingersoll y Ross Cox, Ingersoll y Ross sugirieron en 1985(ver [6]) un modelo que describe la evolución de la asa cora como un proceso de raíz cuadrada de un facor. Es decir, la dinámica de asas esá gobernada por la siguiene ecuación diferencial esocásica (bajo la medida física): dr = k(θ r )d + σ r dw (2.17) r = x con σ y θ reales no negaivos, k R. Se debe imponer la condición 2kθ > σ 2 para asegurar que el proceso r se manenga no negaivo. Se modela usualmene η = η r el precio de mercado del riesgo, donde η es una consane. Bajo la medida neura al riesgo, se iene la siguiene dinámica para r : dr = (kθ (k + η)r )d + σ r dŵ (2.18) r = x Cabe mencionar que el eorema de exisencia y unicidad enunciado en no es válido en ese caso, sin embargo, podemos recurrir al siguiene eorema (que aparece en [29, capíulo 6]): Teorema Supongamos que 2kθ > σ 2, enonces para cualquier x 0, exise un único proceso r, adapado a una filración F, conínuo, que oma valores en R + y saisface en [0, ): dr = k(θ r )d + σ r dw r 0 = x Observación El proceso r es un proceso adapado respeco al espacio de probabilidad (Ω, F, P, (F ) 0 T ), que hemos considerado durane esa sección. Una demosración del eorema anerior puede enconrarse en [22, p.221] Se puede probar que bajo la medida de riesgo neuro el proceso r sigue una disribución chi-cuadrado no cenral. Específicamene, la disribución p r cumple: p r (x) = p χ 2 (v,λ )/c (x) = c p χ 2 (v,λ )(c x) donde c = 4k r 2 (1 exp( k)) 8 En oras palabras r es un proceso de Ornsein-Uhlenbeck. 12

17 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 v = 4kθ/σ 2 λ = c r 0 exp( k) χ 2 (., v, λ) represena una variable aleaoria chi cuadrado no cenral con v grados de liberad y paramero de no-cenralidad λ, cuya densidad esá dada por: p χ 2 (v,λ)(z) = e λ/2 (λ/2) i p Γ(i+v/2,1/2) (z) i! i=o p Γ(i+v/2,1/2) (z) = (1/2)i+v/2 Γ(i + v/2) zi 1+v/2 e z/2 = p χ 2 (v+2i)(z) con p χ 2 (v+2i)(z) la densidad de una disribución chi cuadrado cenral con v + 2i grados de liberad. La media y la varianza de r condicional a F s esán dados por: E(r F s ) = r s e k( s) + θ(1 e k( s) ) σ 2 V ar(r F s ) = r s k (e k( s) e 2k( s) ) + θ σ2 2k (1 e k( s) ) 2 Es imporane noar que el modelo de Cox-Ingersoll-Ross es del ipo exponencial afín 9. Se puede probar que en esa clase de modelos los precios de bonos cero cupón (de gobierno) S(, T ) ienen la siguiene forma 10 : S(, T ) = A(, T )e B(,T )r (2.19) donde A(, T ) = [ 2h exp{(k + η + h)(t )/2} 2h + (k + η + h)(exp{(t )h} 1) ] 2kθ σ 2 B(, T ) = Es fácil ver que el reorno es de la forma: 2(exp{(T )h} 1) 2h + (k + η + h)(exp{(t )h} 1) h = (k + η) 2 + 2σ 2 R(, T ) = 1 1 log A(, T ) + T T B(, T )r. (2.20) Eso es especialmene úil a la hora de calibrar el modelo. 9 También se conocen con el nombre de modelos de reorno afín 10 En [13] se desarrolla una eoría general para modelos exponciales afines. 13

18 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo Modelo de asas a dos facores Cuando se raa de ajusar un modelo de asas de inerés a la esrucura emporal que viene dada por los daos de mercado, los resulados pueden mejorarse considerablemene uilizando dos ó más facores. Jamshidian y Zhu (en [23] ) realizaron un análisis hisórico de curvas de reorno del mercado noreamericano. Uilizando análisis de componenes principales deerminan que, para ese mercado específico, dos facores explican enre el 85 % y el 90 % de la varianza oal, mienras un sólo facor explica enre el 68 % y el 73 % de la varianza oal. A parir de esos análisis se observa que un modelo mulifacorial es necesario para describir la evolución de las asas de inerés. La evidencia muesra que dos o res facores son necesarios para manener el equilibrio enre precisión y buen manejo analíico. Por ora pare, deben considerarse las posibilidades de implemenación de cada modelo, es decir, el iempo de cálculo necesario para esimar los parámeros que lo definen. En ese rabajo se opa por considerar modelos de dos facores para la esrucura de plazos de asas de inerés, pues el modelo que considera el problema de bonos prepagables agrega oro facor al problema, lo que apora ciero grado de flexibilidad. Por ora pare, las caracerísicas de los modelos ipo CIR hacen posible exensiones a un número mayor de facores si fuese necesario. Cabe mencionar que el agregar facores puede incremenar el iempo necesario de cálculo sin que eso repercua en una gran diferencia en la precisión. Revisaremos, sin enrar en dealles, las propiedades básicas de los modelos de Cox- Ingersoll-Ross a dos facores. Seguiremos principalmene a [35, capíulo 10], [4, capíulo 4], en esa pare. La forma general de los modelos de Cox-Ingersoll-Ross a dos facores considera que la asa cora r es de la forma: r = α 0 + α 1 x + α 2 y, para > 0 (2.21) Usualmene se supone que α 0 0,α 1 > 0, α 2 > 0, para asegurar que la asa cora sea posiva 11. La evolución de los procesos x,y en la forma canónica esá dada por: dx = (µ 1 γ 11 x γ 12 y )d + x dw 1, (2.22) dy = (µ 2 γ 21 x γ 22 y )d + y dw 2, (2.23) donde W 1, y W 2, son dos movimienos brownianos esándar independienes 12. Bajo ese modelo el precio de un bono cero cupón (con fecha de maduración T ) es de la forma: S(, T, x, y ) = f(, x, y ) para alguna función f, dado (2.6) y la propiedad de Markov para (2.22)-(2.23), que se cumple por la unicidad rayecorial de la soluciones de esas ecuaciones (ver [35]). Buscamos soluciones de la forma f(, x, y ) = exp { x B 1 (T ) y B 2 (T ) A(T )} 11 En la prácica se relaja la condición α 0 0, admiiendo que ome valores negaivos. 12 De lo conrario se pierde la esrucura afín del modelo y con eso gran pare de su valor como herramiena de modelación de esrucuras de plazo. 14

19 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 para algunas funciones B 1,B 2 y A. Usando lo anerior, se llega al sisema de ecuaciones diferenciales de ipo Ricai: B 1(τ) = γ 11 B 1 (τ) γ 21 B 2 (τ) 1 2 B2 1(τ) + α 1 (2.24) B 2(τ) = γ 12 B 1 (τ) γ 22 B 2 (τ) 1 2 B2 2(τ) + α 2 (2.25) A (τ) = µ 1 B 1 (τ) + µ 2 B 2 (τ) + α 0 (2.26) En general esas ecuaciones deben resolverse numéricamene. Sin embargo, para los capíulos que vienen es conveniene conar con una expresión en forma cerrada para el precio de los bonos cero cupón. Para eso, consideramos que la asa cora r sigue un modelo CIR de dos facores x e y, de la forma paricular: r = x + y dx = k 1 (θ 1 x )d + σ 1 x dw 1, dy = k 2 (θ 2 y )d + σ 2 y dw 2, donde W 1, y W 2, represenan dos movimienos brownianos esándar independienes bajo la medida Q. Suponemos además que 2k x θ x > σ 2 x y 2k y θ y > σ 2 y, para asegurar la posiividad de los procesos x e y (ver Teorema 2.2.4). En ese caso, la fórmula para el precio S(, T, x, y ) que se obiene es análoga al caso unifacorial, dada la independencia enre los facores x e y. De esa manera, enemos: S(, T, x, y ) = S 1 (, T, x )S 2 (, T, y ), (2.27) donde S 1 (, T, x ) y S 2 (, T, y ) corresponden a reemplazar x e y, respecivamene, en la fórmula (2.19). La asa coninuamene compuesa en el insane, considerando una fecha de maduración T, esá dada por: R(, T, x, y ) = R 1 (, T, x ) + R 2 (, T, y ), donde R 1 y R 2 represenan los reornos dados por la fórmula (2.3), para el caso unifacorial. Es decir, donde R 1 (, T, x ) = 1 T log(a1 (, T )) + 1 T B1 (, T )x (2.28) R 2 (, T, y ) = 1 T log(a2 (, T )) + 1 T B2 (, T )y, (2.29) A i (, T ) = [ 2h i exp{(k i + η + h i )(T )/2} 2h i + (k i + η i + h i )(exp{(t )h i } 1) ] 2k i θ i σ 2 i (2.30) B i (, T ) = 2(exp{(T )h i } 1) (2.31) 2h i + (k i + η i + h i )(exp{(t )h i } 1) h i = (k i + η i ) 2 + 2σi 2 (2.32) 15

20 2.2. Modelos de asas de inerés Capíulo 2 para i = 1, 2. Uilizaremos un modelo ipo CIR de dos facores para calibrar la esrucura emporal con los daos del mercado chileno. Es frecuene, en el conexo de modelos lineales de dos facores, denominar a uno de los facores como el nivel de la esrucura emporal y el oro como la pendiene 13. Se ha deerminado (ver, por ejemplo, [7]) que unos pocos facores influyen en los cambios (que se producen en el iempo) de la curva de reorno. Los dos facores que explican en mayor porcenaje la variación de esa curva son el nivel y la pendiene. El primero esá relacionado con cambios uniformes (como una raslación) en la curva de reorno. El segundo esá relacionado con cambios en las asas de bonos de cora duración, mienras los bonos de larga duración varian relaivamene poco. Esa inerpreación es especialmene imporane en el modelo de Jarrow e al. [24] que esudiaremos en el siguiene capíulo. 13 En el caso de un modelo con 3 facores, el facor adicional se denomina curvaura 16

21 Capíulo 3 Bonos prepagables En ese capíulo volveremos a considerar el procedimieno de valorización, omando el proceso de asa cora como dado y expliciando de que manera ese deermina el precio de bonos corporaivos. La eoría, al y como la hemos presenado en el capíulo anerior no considera la posibilidad de que una compañía incurra en defaul ni la posibilidad que una compañía prepague un bono. Ambas posibilidades se consideran como un riesgo para el porador del bono que debe verse reflejado en el precio de los acivos, en forma de prima por riesgo. Las dos grandes familias de modelos que permien aacar el problema de valorización de bonos corporaivos son los llamados modelos esrucurales y los modelos de forma reducida. En los primeros, se asume ciera dinámica para el valor de la firma y cuando ese valor cae bajo un límie esablecido se considera que la empresa incurre en defaul. Eso implica que se debe ener información complea respeco a la esrucura de capiales de la empresa. La opción de prepago es raada como una opción americana 1. En los modelos de forma reducida, en cambio, se modelan ano la probabilidad de defaul, como la probabilidad de prepago, vía procesos de inensidad. Eso permie esablecer analogías meodológicas con la valorización de bonos cero cupón, revisada en el capíulo 1. En paricular, la fórmula de precios de un bono corporaivo es idénica a la esablecida en (2.6), salvo que la asa aparecerá ahora ajusada por riesgo. Eso simplifica enormene el análisis y hace posible implemenaciones a gran escala. En ese capíulo seguimos principalmene los rabajos de Duffie, Schroeder y Skiadas [16], Duffie y Singleon [17] La eoría Consideramos un espacio filrado de probabilidad (Ω, F, F, P ). La filración F = {F : T 0} 2 represena la evolución en el iempo de la información disponible. Asumiremos que P es la medida neura al riesgo. En lo que sigue, las igualdades enre variables aleaorias serán en el senido casi seguro, es decir, si se lee X = Y quiere decir que P [X = Y ] = 1. En ese conexo, el proceso de asa cora r se asume como dado. Se busca una fórmula que relacione el precio de un bono prepagable con el proceso de asa cora, de manera 1 Duffie y Singleon en [17] uilizan ese enfoque, aunque no lo desarrollan en dealle. Bernd (en [2] ) realiza uno de los pocos esudios que raan ano la eoría como la prácica desde ese enfoque. 2 Suponemos que saisface las condiciones habiuales: conínua por la derecha, ec. 17

22 3.1. La eoría Capíulo 3 análoga a como se hace en la valorización de bonos sin opción de prepago. Incorporando las diferencias que acarrea considerar dicha opción. Consideramos un horizone fijo de iempo T, que represena la fecha de maduración del bono prepagable. Traaremos a la evolución del precio de un acivo S en el iempo como un proceso esocásico S respeco al espacio de probabilidad filrado definido al comienzo de esa sección. Análogamene, el proceso de dividendos enregados por el acivo será un proceso esocásico adapado D 3 definido en el espacio de probabilidad de referencia. Probaremos el siguiene resulado uilizado sin demosración en [16]: Lema El proceso de precios S de cualquier acivo con dividendos acumulados D cumple: S = E [ T u T ] exp( r v dv)dd u + exp( r v dv)s F T, T (3.1) ssi el proceso de ganancia desconado G definido por: es una maringala. { 0 exp( u 0 r v dv)dd u + exp( 0 r v dv)s : 0} Demosración. Se define γ = exp( r 0 vdv). Probaremos primero que si S cumple (3.1), enonces G es una maringala. Muliplicando por γ y sumando γ 0 udd u (ambas variables F -medibles) se obiene: G = 0 γ u dd u + γ E [ T = E [ T γ u dd u + γ 0 ] +γ T S T F γ u γ dd u + γ T γ S T F ] γ u γ dd u = E [ T ] γ u dd u + γ T S F T 0 = E [ ] G T F para odo, luego G es una maringala. Ahora probaremos la ora implicancia. Si G es una maringala, enonces se cumple que G = E[G T F ]. Por definición: Luego, se iene: 0 γ u dd u + γ S = E [ T ] γ u dd u + γ T S T F 3 El proceso D se asume de variación inegrable. = 0 0 γ u dd u +E [ T ] γ u dd u + γ T S T F γ S = E [ T ] γ u dd u + γ T S T F 18

23 3.1. La eoría Capíulo 3 Finalmene S = E [ T γ u γ dd u + γ T γ S T F ] (3.2) A las ecuaciones de la forma (3.2) las llamaremos ecuaciones recursivas. En [12] se desarrolla rigurosamene una eoría para ese ipo de ecuaciones, definidas en el espacio S de las semimaringalas V que saisfacen E[(sup v ) p ] <, con p (1, ). Eso incluye la demosración de un eorema de exisencia y unicidad par ese ipo de ecuaciones, que usaremos en ese rabajo (ver [12, Apéndice C]). Usaremos la riplea {(X, T ), (X c, τ c ), (X d, τ d )} para denoar los ingresos que repora un bono prepagable cero cupón. La primera componene (X, T ) represena la obligación de pagar una canidad X en el iempo T, de no mediar un eveno de prepago o defaul. En lo que sigue, supondremos que X es una variable aleaoria F T -medible y acoada. La segunda componene (X c, τ c ) esá deerminada por un iempo de parada τ c que represena el insane en que la firma decide prepagar el bono 4. En general, la firma decide prepagar un bono si su precio es mayor que el precio de ejercicio acordado previamene. Cuando el bono es prepagado el inversionisa recibe el precio de ejercicio X c, el cual represena una fracción k del valor de mercado 5. Similarmene (X d, τ d ) corresponde a la canidad recibida en el eveno de defaul, y el iempo de parada que indica el insane en que ese ocurre. Al igual que X c, se considera que la canidad recibida en caso de defaul corresponde a una fracción δ del valor de mercado. En lo que sigue, consideraremos que los procesos X c y X d son predecibles 6. Con eso queda bien definido el proceso de dividendos (compueso por esos res elemenos). En odo lo que sigue, haremos la siguiene hipóesis: S = 0 para 0 si odos los dividendos son iguales a cero despues de 0. Eso es consecuene con la inuición, en el senido que si un acivo no repora ningún beneficio, enonces su precio debe ser nulo. Se asume la exisencia de los procesos de riesgo λ d y λ c, asociados a los iempos de parada τ d y τ c respecivamene, que se suponen acoados. A coninuación se deallará, formalmene, ese requerimieno. Se inroducen la funciones indicadoras N d, = 1 τd y N c, = 1 τc para 0. Uilizando un resulado clásico de Doob y Meyer (Ver [32, pag.106]), se descompone N j, = A j, + M j, con j {c, d}, donde A j, es un proceso predecible, creciene y M j, es una maringala. Se asume que exisen funciones progresivamene medibles λ d, y λ c, ales que: A j, = τj 0 λ j,u du = 0 λ j,u 1 u<τj du, 0, conj {c, d} (3.3) Los procesos λ d, y λ c, se inerprean como las asa de riesgo bajo la medida equiva- 4 Se uiliza la lera c como subíndice debido a que inglés los bonos prepagables se denominan callable bonds. 5 Exisen, al respeco, oras formas de modelar el valor de ejercicio. La forma elegida simplifica de manera considerable la formula de evaluación. Para oras formas de prepago ver [17]. 6 Inuiivamene el hecho que esos procesos sean predecibles quiere decir que se podría conocer el valor que oman juso anes de un eveno de prepago o defaul. 19

24 3.2. Fórmula de valorización Capíulo 3 lene. Eso pues: λ j, 1 τj = lím u 0 E[N j,+u N j, F ] u P[ < τ j + u F ] = lím, j {c, d} u 0 u Discuiremos a coninuación (siguiendo [26]) como se realiza la consrucción de los iempos de parada τ c y τ d, a parir de los procesos λ c, y λ d,. Para eso se asume la exisencia de una variable aleaoria Θ, consruida en Ω, independiene de la sigma algebra F T, con ley exponencial de parámero 1, ie P (Θ ) = e. Se define el iempo τ j como la primera vez que el proceso A j, esá sobre la variable aleaoria Θ, es decir, τ j = ínf{ 0 : A j, Θ}, para j {c, d}. En paricular, {τ j s} = {A j, Θ}. Asumimos que A j, es acoado para odo. Esa consrucción se conoce con el nombre de proceso de Cox. El siguiene lema (que aparece en [33, pag.419]) enrega la disribución condicional de los iempos de parada τ c y τ d : τ j (j {c, d}) dada la σ-algebra F. Lema La disribución condicional de τ j (j {c, d}) dada la σ-algebra F,es P [τ j F ] = exp( A j, ) 3.2. Fórmula de valorización En lo que sigue, se buscará obener una expresión explícia para el precio de un bono prepagable. Uilizaremos la meodología usada por Duffie e al. (en [16]), exendiendo el análisis a el caso con proceso de prepago. Definimos el proceso de dividendos acumulados D como: { Xc,τc 1 D = {τc,τc<τ d } + X d,τd 1 {τd,τ d <τ c} : para < T X c,τc 1 {τc T,τc<τ d } + X d,τd 1 {τd T,τ d <τ c} + X1 {τc>t,τd >T } : para T Escribamos lo anerior en érminos de la funciones indicadoras N c,, N d, : D = T 0 X c,u (1 N d,u )dn c,u + T 0 X d,u (1 N c,u )dn d,u +X1 {τc>t,τ d >T, T } (3.4) Por oro lado, sabemos que N c, y N d, saisfacen lo siguiene: dn j, = (1 N j, )λ j, d + dm j,, para j {c, d} (3.5) donde m j, es una maringala. Supondremos que X c,u y X d,u cumplen lo siguiene: X c,u = ks u y X d,u = δs u. Con eso, el proceso de precios queda de la forma: S = E[ T +exp( exp( T u r v dv)s u (kλ c,u + δλ d,u )du (3.6) r v dv)x(1 N c,t )(1 N d,t ) F ], para < T y S = 0 para T, pues el bono expira en el insane T. El siguiene resulado explicia la fórmula de valorización de un bono prepagable. Se esablece una clara analogía con la fórmula (2.6) para una bono cero cupón del esoro. 20

25 3.2. Fórmula de valorización Capíulo 3 Proposición Sea V un proceso definido por: ( V = E[exp T ) (r u + (1 k)λ c,u + (1 δ)λ d,u )du X F ], < T, (3.7) y V = 0, para T. Supondremos además que V τc = 0 y V τd = 0 (ver Obs 3.2.2), enonces: S = V 1 {<τc,<τ d }, para odo 0 Observación La suposición que V no sala en los insanes τ c y τ d impone una condición sobre los procesos r, λ c, y λ d,, y sobre la filración F. Eso significa que la probabilidad de que ocurran salos en el proceso V en los insanes τ c y τ d es cero. Un caso ineresane se da cuando V es conínuo, en [16] se discuen condiciones sobre la filración bajo las cuales eso se cumple. En [17] se supone que el proceso V sólo sala una canidad finia de veces (en iempos deerminisas) en el inervalo (0, T ). De manera inuiiva podemos decir que los cambios en los precios en general no se pueden anicipar a los cambios que provoca un eveno de defaul o prepago, es por eso que es razonable la suposición que se ha uilizado. Como se indica en [16] (sin demosración) el proceso V es conínuo por la derecha con límie por la izquierda. Para probar eso, usaremos el siguiene resulado, que aparece en [33, pag.62]: Proposición Sea ξ n una secuencia de variables aleaorias que convergen casi seguramene a ora variable aleaoria ξ y al que n ξ n ϑ, con ϑ inegrable. Si F n es una secuencia creciene (resp.decreciene) de sub sigma-algebras, enonces E[ξ n F n ] converge casi seguramene a E[ξ F], con F = σ( n F n) (resp. F = n F n) Sea ν n una sucesión de números reales posiivos al que ν n 0. Definimos ζ = r + (1 k)λ c, + (1 δ)λ d,. Usando el resulado anerior se prueba que: ( T ) ( E[exp (ζ u )du X F +νn ] E[exp +ν n ( T ) ( E[exp (ζ u )du X F νn ] E[exp ν n T T ) (ζ u )du X F +]casi seguramene, ) (ζ u )du X F ]casi seguramene. Como la filración es conínua por la derecha, se iene que F + = F. Se concluye que V es un proceso conínuo por la derecha con límie por la izquierda. Anes de probar la Proposición 3.2.1, demosraremos lo siguiene: Lema Supongamos que B es un proceso adapado conínuo por la derecha con límie por la izquierda, con variación inegrable, y ψ es progresivamene medible y acoado. Enonces: dy = db Y ψ d + dm, T para alguna maringala m, si y solo si: Y = E[ T exp( u ψ v dv)db u + exp( 21 T ψ v dv)y T F ], T