CARLOS FORNER RODRÍGUEZ Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE

Transcripción

1 ApunA es de Ingeniería Financiera TEMA 9: Value a Risk (VAR) CARLOS FORNER RODRÍGUEZ Deparameno de Economía Financiera y Conabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE En ese ema vamos a esudiar una forma alernaiva de medir el riesgo de una carera de inversión: el Valor en Riesgo (VAR). El VAR es la pérdida máxima que puede ener una inversión en un deerminado horizone emporal y con un deerminado nivel de confianza. Por ejemplo, una VAR a mes con un nivel de confianza del 99% de.000 significa que con una probabilidad del 99% no vamos a perder más de.000 durane los próximos 30 días; o lo que es lo mismo, la probabilidad de sufrir pérdidas superiores a.000 durane los próximos 30 días es an sólo del %. Esa forma de medir el riesgo iene dos aracivos. Primero, es más inuiiva y por ano más fácil de inerprear por pare de inversores con menores conocimienos en valoración de careras. Es más fácil enender que la probabilidad de sufrir pérdidas superiores a.000 durane los próximos 30 días es an sólo del % que ese bono iene una duración de año, esa acción iene una varianza de 0,5 o esa opción iene una sensibilidad Dela del 0,20. Segundo, permie calcular en nivel de riesgo de una carera que combina disinos ipos de producos financieros: rena variable, rena fija y derivados.

2 Apunes de Ingeniería a Financiera TEMA 9: VALUE AT RISK (VAR) Rodríguez Universidad de Alicane Deparameno de Economía Financiera y Conabilidad Índice. Inroducción 2. Cálculo del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.. VAR de una acción 2.2. VAR de una opción 2.3. VAR de un bono 2.4. VAR de una carera 2.5. Inconvenienes del Modelo Varianzas-Covarianzas Apéndice : Duración y Convexidad de un bono Apéndice 2: Cálculo de la mariz de correlaciones con Excel. 2 2

3 . Inroducción VAR Forma alernaiva de medir el riesgo: Cuáno puedo llegar a perder? Definición: n: pérdida máxima m que puede ener una inversión n en un deerminado horizone emporal y con un deerminado nivel de confianza Ejemplo: : VAR( día) d 99% = a) 99% La probabilidad (pérdidas en un día d a > ) = % La probabilidad (pérdidas en un día d a < ) = 99% Nos referimos a pérdidas relaivas al resulado esperado: Siguiendo el ejemplo: : Si el beneficio esperado es de La probabilidad (pérdidas absoluas en un día d a > ) ) = % 3. Inroducción Cómo medimos el riesgo de los acivos financieros?: Acciones volailidad (σ)( Opciones Sensibilidades (Dela y Gamma) Careras homogéneas Bonos Duración n y Convexidad El VAR nos permie obener una medida global del riesgo de una carera heerogénea compuesa por disinos ipos de acivos financieros (acciones, opciones con disinos subyacenes, bonos) 3 4

4 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.. Cálculo C del VAR de una acción VAR para un horizone emporal [T-] con un nivel de confianza c : VAR( T ) / Prob( P < VAR) = c as c [ T ] P P P Si suponemos que: T R[ T ] = N( E[ R[ T ] ]; σ R[ T ] ) ( B [ T ] > VAR) = c ( B [ T ] < VAR) = c ( T T ) ( [ T ] [ T ] ) Prob º Prob º Prob P E[ P ] < VAR = c Prob P ( + R ) P ( + E[ R ]) < VAR = c VAR Prob ( P ( R[ T ] ER [ [ T ] ]) < VAR) = c Prob R[ T ] ER [ [ T ] ] < = c P R[ T ] E[ R[ T ] ] VAR VAR Prob < = c = α VAR = α P σ σ RT [ ] P σ R[ T ] P σr[ T ] VAR = α P σ acción c R[ T ] c c R[ T ] acción c R diaria Donde α x es el percenil x de la disribución normal esándar ( σ ( )) VAR = α P T 5 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.2. Cálculo C del VAR de una opción ( [ T ] ) ( [ T ] ) Prob Bº > VAR = c Prob Bº < VAR = c ( CallT E CallT VAR) c ( CallT ll E CallT Call V ) s que ( CallT Call) ( PT P) ( ( PT P) E ( PT P) < VAR) = c ( PT E PT < VAR) = c Prob [ ] < = Prob ( Ca ) [ ] < AR = c Sabemo Prob [ ] Prob ( [ ]) VAR VAR Prob PT EP [ T] < = c Prob P ( + R[ T ] ) P ( + ER [ [ T ] ]) < = c VAR VAR Prob P ( R[ T ] E[ R[ T ] ]) < = c Prob R[ T ] E[ R[ T ] ] < = c P R E[ R ] VAR VAR < = c = α c VAR = α c P σr σr P σr P σ R [ T ] [ T ] Prob VAR( T ) / Prob( P < VAR) = c VAR as c [ T ] α P σ opción c opción R 4 6

5 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.3. Cálculo C del VAR de un bono VAR( T ) / Prob( P < VAR) = c as c [ T ] ( [ T ] ) ( [ T ] ) Prob Bº > VAR = c Prob Bº < VAR = c ( BonoT E BonoT < VAR) = c ( T Bono T Bono < ) ( BonoT Bono) DM ( it i) Bono DM (( DM ( it i) Bono) E[ ( DM ( it i) Bono) ] < VAR) = c a ( DM Bono( it i E it i ) < VAR) = c Prob [ ] Prob ( Bono ) E[ Bono ] VAR = c Sabemos que donde es la Duración modificad Prob Prob ( ) [ ] VAR Prob ( it i) E[ it i] < = c DM Bono Si suponemos que ( i i ) N [ ]; ( Ei i σ ) T T i ( it i) E[ it i] VAR VAR Prob < = c αc VAR αc DM Bono σi σ i DM Bono σ i DM Bono σ = = i VAR α D Bono σ bono c M i 7 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.4. Cálculo C del VAR de una carera Si suponemos que: ( carera T σ Rcarera ) R N E[ R ]; carera, [T-],[ ] VAR α Valor σ carera c carera, Rcarera Podemos expresarlo en función n del VAR de cada uno de los acivos financieros incluidos denro de la carera: /2 n n ni Pi, Rcarera = wi wj Ri Rj Ri, Rj donde wi = i= j= Valor carera, σ σ σ ρ n n VAR = α w w σ σ ρ Valor carera c i j Ri Rj Ri, Rj carera, i= j= n n VAR = ( α w σ Valor )( α w σ Valor carera c i Ri carera, c j Rj carera, Ri, Rj i= j= /2 ) ρ /2 5 8

6 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas n P n P VAR Valor Valor n n i i, j j, carera = ( αc σri carera, )( αc σrj carera, ) ρri, Rj i= j= Valorcarera, Valorcarera, n n VARcarera = ( αc ni Pi, σri )( αc nj Pj, σrj ) ρri, Rj i= j= n n VAR = ( n VAR )( n VAR ) ρ carera i i j j Ri, Rj i= j= Maricialmene: ρ,2... ρ, N VAR n ρ2,... ρ 2, N VAR 2 0 n C = VVAR = Q = ρ, N ρn,2... VARN nn /2 /2 /2 VARcarera [ VVAR ' Q C Q VVAR] /2 = 9 2. Cálculo C del VAR: Modelo de Varianzas-Covarianzas 2.5. Inconvenienes del Modelo Varianzas-Covarianzas Las renabilidades de los acivos financieros no siempre se disribuyen como una Normal El VAR de las opciones y de los Bonos los hemos aproximado con la primera derivada (Dela y Duración) Exisen modelos más m s complejos para calcular el VAR que raan de resolver esos inconvenienes 6 0

7 Apéndice : Duración n y convexidad de un bono La rena fija (bono y obligaciones) coizan en % y en excupón. Ejemplo: Plazo enre cupones: cupones anuales = 365 díasd Fuene: Tiempo ranscurrido desde el pago del úlimo cupón n = 5 días d (del 27/03/2006 al 7/05/2006) Cupón n corrido en %= (5/365) 3,9% 3,9% = 0,54% 60,0 = 3,28 Precio del bono en %= 00,50%+0,54%=0,04% 60,0 = 607,30 Apéndice : Duración n y convexidad de un bono V 0 V 0 ( i ) T C = + N = ( + i ) ( + i ) T P* B Duración: ( ) () ( ) () ( )( ) () 2 T C + i C + i C + N + i D = * + 2* T * V i V i V i i* i 7 2

8 Apéndice : Duración n y convexidad de un bono Ejemplo: i inv.equivalene =3,6% anual P b (%)=0,04% 60,0 60,0 =607,30 Cupón n = 0,039*60,0=23,44 Fecha (días) FC VA =FC(+i) -/365 % =VA/V 0 * % (hoy) 7/05/ /03/ ,44 22,73 0,037437,75 27/03/ ,45 584,56 0, ,54 607,3 666,28 días V 0,82 años 3 Apéndice : Duración n y convexidad de un bono La duración nos permie aproximar la variación en el precio de un bono anes cambios en el ipo de inerés: V0 D D = i V0 = i V0 V0 23 ( + i) 23 ( + i) Duración corregida Duración corregida Ejemplo: P b =607,30,82 Duración corregida = =,756 años, 036 ipo inerés del 0,005 VA= Variación= Aprox. Duración = -,765*0,005*607,30= ipo inerés del 0,005 VA= Variación= 5.45 Aprox. Duración = -,765*(-0,005)*607,30= 5.35 V 0 ( i ) T C = + N = ( + i ) ( + i ) T Tipo inerés (i) y Duración (D) expresados en la misma unidad de iempo Aproximación pesimisa 4 8

9 Apéndice : Duración n y convexidad de un bono V 0 V 0 ( i ) T C = + N = ( + i ) ( + i ) T 62,76 5,35-5,35 5,45-5,25 62,66 607,30 602,05 60,95 Convexidad: V0 = D * + * *( ) 2 C i Convexidad i V 2 0 3,% 3,6% 0,5% 0,5% 4,% i 5 Apéndice 2: Cálculo C de la mariz de correlaciones con Excel º 2º 9 6

10 Apéndice 2: Cálculo C de la mariz de correlaciones con Excel º 2º 3º 7 0

11 APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER EJERCICIOS Ejercicio 9. Calcular a fecha de cierre del 7/05/2006 el VAR con un nivel de confianza del 99% a cinco días de una carera compuesa por: 500 acciones compradas de BSCH 40 acciones vendidas en descubiero de FERROVIAL 5 OBLIG. BONIF. AUTOPISTAS DEL ATLANTICO CONCE. ESPAÑOLA S.A. EM / comprados. Dado el nivel de riesgo de crédio de esa obligación, se le exige una prima por riesgo sobre el ipo de inerés del 0, PUTs compradas s/bsch con precio de ejercicio 2 y vo. 6/06/2006 Fuene:

12 APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER 2

13 APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER Fuenes: y 3

14 APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER Fuene: 4