Estrategias óptimas de inversión en activos con riesgo de crédito. Un modelo markoviano.

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1 Esraegias ópimas de inversión en acivos con riesgo de crédio. Un modelo markoviano. Buendía Capellá, Mónica Deparameno de Economía Aplicada Cuaniaiva II Universidad Nacional de Educación a Disancia RESUMEN En ese rabajo analizamos las esraegias de inversión en bonos con riesgo de crédio. Presenamos un modelo dinámico para la búsqueda de esraegias ópimas de inversión; en él se aplican las herramienas proporcionadas por las cadenas y los procesos de Markov ano para la valoración de ese ipo de acivos financieros, como para la búsqueda de esraegias ópimas de inversión. En ese modelo se supone una inversión en bonos que se desea manener durane un periodo de iempo deerminado; basándonos en los modelos reducidos para la valoración de acivos financieros con riesgo de crédio, el modelo propueso encuenra una regla de decisión ópima para elegir la calificación crediicia que debe ener un bono cupón cero de la indusria en la que se desea inverir. Palabras claves: riesgo de crédio, procesos de decisión markovianos Clasificación JEL (Journal Economic Lieraure): G02, G12, G21. Área emáica: Maemáica de las Operaciones Financieras y el Cálculo Acuarial. 1

2 1. INTRODUCCIÓN La preocupación de las empresas por valorar el riesgo de crédio que asumen se ha incremenado de forma noable en los úlimos años. Son varios los facores que provocan esa preocupación: el primero es que el peor de los escenarios posibles (la bancarroa) puede ener unos efecos sumamene graves para un inversor, los sofisicados acivos financieros hacen que sea muy difícil valorar el riesgo de crédio y, mucho más reciene ha sido la puesa en circulación de acivos con un riesgo de crédio muy noable, ales como los présamos subprime, cuya crisis ha enido graves resulados. A pesar de esa preocupación por el riesgo de crédio, a día de hoy no exise una clara unanimidad sobre la forma de valorar acivos con riesgo de crédio ni, por consiguiene, sobre cómo enconrar la esraegia ópima de inversión en ese ipo de acivos. En ese rabajo proponemos un modelo dinámico sencillo para la búsqueda de una esraegia ópima de inversión en bonos cupón cero con riesgo de crédio. Exisen básicamene dos enfoques que valoran los acivos con riesgo de crédio: los modelos esrucurales propuesos por Meron (1974) y los modelos en forma reducida. Esos úlimos ienen su puno de parida en el arículo escrio por Jarrow, Lando y Turnbull (1997). En él se asume un proceso exógeno de carácer markovinao para explicar las migraciones enre calificaciones crediicias. A pesar de las novedosas evidencias sobre el carácer no markoviano de las migraciones enre calificaciones crediicias (véase Frydman (2008) y Bluhm (2006)) debido a la heeregenoidad de las indusrias, raings drifs y variación en el iempo, debido al ciclo económico, la lieraura especializada no se ha decanado por un modelo no markoviano que prevalezca sobre los demás. Así pues, a pesar de los inconvenienes del enfoque markoviano, en nuesra opinión prevalecen las venajas de ese modelo de valoración de bonos cupón cero con riesgo de crédio y, mediane algunas hipóesis que veremos más adelane- podemos disminuir alguno de sus inconvenienes. Así pues, en nuesro modelo dinámico de búsqueda de esraegia ópima nos basaremos en los procesos en forma reducida de Lando y Turnbull y supondremos que las migraciones enre calificaciones crediicias no dependen de esados aneriores, únicamene del esado (o calificación crediicia) en el que se encuenren en la acualidad; eso es: supondremos 2

3 que son markovianas. Por oro lado, supondremos que esas migraciones se producen en iempo discreo, principalmene porque el modelo en iempo coninuo rompe con la sencillez del modelo que queremos proponer y produce nuevos errores como la homogeneización de la velocidad de migración enre calificaciones crediicias, cuyas posibles soluciones son muy recienes (véase Frydman y Schuerman (2008)). En cuano a modelos dinámicos, se encuenran algunas propuesas en la lieraura; sin embargo, la mayoría de ellos resulan demasiado sofisicados para poder ser uilizados por un usuario no especializado (incluso para los especializados), por ello, proponemos un modelo dinámico de fácil manejo para las enidades ineresadas en la búsqueda de esraegias ópimas de inversión, cuya pérdida de información no es asumible eniendo en cuena los beneficios obenidos por la sencillez de su manejo. En él, uilizamos los procesos de decisión markovianos en iempo discreo y con horizone finio. Supondremos que un inversor desea adquirir y manener durane un iempo deerminado bonos cupón cero de una ciera indusria. En cada periodo, el inversor observa la calificación crediicia del bono adquirido y oma una decisión: o bien manener su bono, o bien vender su bono y adquirir uno nuevo con el vencimieno correspondiene y la calificación crediicia deseada. En esas condiciones, buscaremos la esraegia ópima que debe seguir el inversor. Nos hallamos, pues, ane un proceso de decisión markoviano en iempo discreo. Veremos cómo, aplicando las herramienas propias de los procesos de decisión markovianos, el principio de opimalidad de Bellman y la valoración de los bonos con modelos de forma reducida, el modelo propueso encuenra una regla de decisión ópima para elegir la calificación crediicia que debe ener un bono cupón cero de la indusria donde se desea inverir. Esa regla de decisión indica, a su vez, cuándo se debe vender el bono y adquirir oro con una calificación crediicia diferene. La esraegia ópima, como veremos, dependerá en gran pare de la mariz de ransición maringala. En definiiva, el modelo propueso es un modelo dinámico de inversión en acivos con riesgo de crédio. 3

4 2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO 2.1. Inroducción al modelo Como ya se ha indicado, suponemos que un inversor desea inverir en bonos cupón cero de una ciera indusria cuyo principal al vencimieno es 1 por un periodo de iempo limiado por T. En cada eapa se recibe información sobre la calificación crediicia de la inversión y se oma una decisión: manener el bono o modificar la inversión comprando oro bono con una calificación crediicia diferene y vendiendo el que bono anerior. Nos hallamos ane un proceso markoviano en iempo discreo con horizone finio Hipóesis Supondremos que exise una única medida maringala equivalene, lo cual es análogo a admiir que los mercados de bonos libres de riesgo y de bonos con riesgo de crédio son compleos y no exise arbiraje; supondremos unas asas de recuperación exógenas, iguales para odos los acivos denro de la misma indusria y que no varían de una eapa a ora y una ETTI consane en el iempo (hipóesis que ser puede relajar con facilidad). Nos basaremos en ese modelo de los ciados auores y en la ecuación que proponen para calcular el precio de vena del bono. Consideramos inversiones en la misma indusria (con idénicas asas de recuperación) y, por consiguiene, con la misma mariz de ransición. En oras palabras, consideramos que la enidad inviere en bonos que únicamene se disinguen enre sí en su calificación crediicia Elemenos del modelo Calificaciones crediicias Los esados del modelo son las calificaciones crediicias que asignan las agencias especializadas y que el bono objeo de esudio puede obener en cada momeno de decisión. Denoaremos el conjuno de esados por S = {Aaa, Aa, A,Baa,Ba,B,Caa C,D}, donde el esado D represena la bancarroa, que en el proceso markoviano es un esado absorbene. 4

5 El espacio de acciones En cada momeno de decisión, el inversor observa la calificación crediicia del bono, eso es, observa el esado en el que se encuenra el sisema y decide si vender su bono y adquirir oro con una calificación crediicia disina o manener su bono oro periodo. Denoamos el conjuno de las acciones por A donde A = {a i } para odo con Jarrow, Lando y Turnbull (1997) haremos uso de las ransiciones maringalas y su 5 i S i D. La acción a i puede ser inerpreada como la acción de inverir en un bono de calificación crediicia i ; si el esado acual del sisema es j, la acción a j se inerprea como la acción: manener el bono. Las posibles acciones enre las que debe elegir el decisor no varían de un esado a oro Tasa de recuperación Es el porcenaje del principal que se obiene en caso de bancarroa, la denoaremos por δ El horizone emporal En ese caso, el horizone emporal será el periodo [0, T], donde recordemos que T es el vencimieno del bono adquirido en el momeno 0 y el plazo en el que se maniene la inversión en ese ipo de deuda Momenos de decisión El inversor en cada periodo o momeno de decisión observa el sisema y decide qué acción omar en = 0, 1, 2,...,T 1. Nóese que en T, momeno del vencimieno del bono, el decisor no puede omar ninguna acción, pues únicamene recuperará el euro conraado por cada bono, en el caso de hallarse ane una enidad solvene; o bien recibirá la asa de recuperación, δ, en caso de hallarse ane una enidad en bancarroa Probabilidades de Transición Las probabilidades de ransición enre calificaciones, que denoaremos por p ij, es la probabilidad de pasar de un esado i a un esado j en una eapa, es decir, la probabilidad de cambiar de calificación crediicia i a la calificación crediicia j en una eapa. La mariz de ransición de una indusria se obiene mediane daos hisóricos de las agencias especializadas. En esas marices esocásicas asumiremos que el esado de bancarroa es absorbene y el reso de los valores posiivos se suelen concenrar alrededor de la diagonal principal con movimienos de salo de más de un raio muy poco frecuenes. Para la valoración de un bono cupón cero con riesgo de crédio propuesa por

6 mariz de ransición, que incorpora la prima de riesgo, que se obiene uilizando los precios de los bonos cupón cero libres de riesgo. Denoaremos esa mariz por Q ; sus elemenos se denoan por q ij. Dependiendo de en qué calificación crediicia se encuenre el bono en el momeno de decisión, el inversor decide si cambiar o no de bono y, por consiguiene, modificar el riesgo que ése iene de ser impagado o pagado parcialmene; si decide cambiar, la probabilidad de esar en oro esado en el siguiene momeno de decisión generalmene es disina, las diferencias son mayores enre calificaciones crediicias más especulaivas. En los procesos de decisión markovianos, cuando el esado del sisema en el momeno (T < > 0) es s S y el decisor oma una acción a i A, el esado del sisema en el momeno +1 es aleaorio y viene dado por la probabilidad p( s, a) (véase Puerman (1994)). En ese caso, sin embargo, se observa que la probabilidad de alcanzar ora calificación crediicia en la inversión no depende de la calificación crediicia que el bono enga en el momeno acual (ampoco de las calificaciones crediicias que haya enido en el pasado), sino de la calificiación crediicia que enga el bono que se haya elegido adquirir derivado de la acción a i, por ano, podemos escribir la probabilidad como p ( ). Esamos, por ano, ane un proceso de decisión markoviano a i esocásico en iempo discreo con horizone finio Los pagos Cuando el decisor oma una acción a i A habiendo obenido su bono la calificación crediicia j S en el momeno de decisión (T < _ 0), puede ocurrir: si j = i, el inversor decide manener la calificación crediicia de su inversión y no incurre en ningún cose, ni recibe ningún beneficio. Si j i, el inversor decide vender su bono acual (con una calificación crediicia j) y adquirir un bono nuevo más solvene (con menor riesgo de impago). Ese cambio en el riesgo se denoa por r (s, a i ), donde s represena el esado en el que se encuenra el sisema en el momeno de decisión. Si r (s, a i ) es posiivo el inversor recibe un pago o beneficio, en caso conrario, incurre en un cose. Por úlimo, el pago obenido al vencimieno del bono se denoa por r T (s T ) y se verifica: 6

7 1 si st D, rt ( st ) = (1) 1 si st = D. Podemos escribir el pago oal del proceso por: r ( s, ai ) + rt ( st ) Sin embargo, los daos para calcular el pago oal esperado no son conocidos a priori, únicamene podemos conocer la esperanza de los pagos si esablecemos una esraegia. El objeivo del inversor es enconrar la esraegia ópima que maximice el pago esperado calculado con el crierio de opimalidad elegido Valoración de un bono cupón cero. Para la valoración del bono cupón cero uilizaremos el modelo ya mencionado en varias ocasiones; si denoamos por v i (, T ) el valor en el momeno de un bono cupón cero con vencimieno en T y con calificación crediicia i según ese modelo se iene: v i i (, T ) = p(, T )( δ + (1 δ ) Q ( π* > T )) (2) donde p(,t) es el precio de un bono libre de riesgo en el momeno y con vencimieno T. Enonces, para un sisema que se encuenra en el esado j, el pago r (s, a i ) puede escribirse como: 2.5. Crierio de opimalidad: pago oal desconado. De los crierios de opimalidad exisenes, el que más se ajusa a ese modelo es el crierio del pago oal desconado. Así pues, es el crierio que uilizaremos en nuesro modelo. El crierio del pago oal desconado es una adapación del crierio del pago oal esperado, en el que se incorpora el análisis del cose del dinero y su depreciación en el iempo. Ese crierio, además, para un modelo con horizone infinio resuelve algunos de los problemas que pueden surgir con el crierio del pago oal esperado; sin embargo, en nuesro caso, conemplamos un modelo con horizone finio. En los procesos markovianos el objeivo es enconrar una esraegia ópima que maximice el pago oal con el crierio elegido. Para cada esraegia obendremos un pago esperado, debemos calcular cada una de ellas y elegir la mejor. Ahora bien, exisen 7 j i r( s, a ) = v (, T ) v (, T ) (3) i

8 disinos ipos de esraegias que podemos considerar: esraegias dependienes de la hisoria; esraegias aleaorias, en las que la acción elegida sigue una disribución de probabilidad, esraegias markovianas, ec. En definiiva, exisen infinias esraegias, lo que converiría el rabajo de enumerar cada una de las esraegias, conabilizar la esperanza de su pago y compararlas un rabajo imposible; sin embargo, en horizone finio se demuesra que para cada esado inicial, exise una esraegia ópima que es markoviana (no dependiene de la hisoria) y deerminisa. Así pues, las esraegias que debemos analizar son finias. Denoaremos el conjuno de esraegias deerminisas markovianas por П y la esraegia ópima por π*. Así pues, para cada esraegia π П podemos hallar el pago oal desconado, que denoamos por : V N T = 1 ( π,s) E λ r ( s, a = 1 T ) + λ r ( s Nóese que, en ese modelo, el sisema no pare de un esado inicial s 0, el esado inicial ha de ser elegido por el inversor, de hecho, podría parir de cualquier esado inicial y el resulado no variaría. iene: Ahora bien, si denoamos por u ( ) el pago oal desconado en el momeno se u 1 π T = 1 ( π ) E λr ( s, a = 1 Que, finalmene, susiuyendo con las ecuaciones (1), (2) y (3), se obiene la esraegia ópima para nuesro modelo. Resula ineresane fijarse en esa úlima eapa, pues cuando se elige la esraegia ópima hay res variables que influyen en la decisión: los ipos de inerés sin riesgo, la asa de recuperación y las probabilidades de llegar a bancarroa en una eapa, es decir la 8 i T T ) + λ r ( s 1 T T Siguiendo los pasos esablecidos por el Principio de opimalidad de Bellman, calculamos la políica ópima para el sisema en la eapa T-1, luego para la eapa T-2 y así hasa =0. Por consiguiene, el primer paso será enumerar y comparar las acciones para el sisema de una eapa en T-1, es decir, debemos buscar las acciones con las que se obenga: sup a A r( s, ai ) + λ p ( s' a ) u s' S i T T ) ) *( s')

9 úlima columna de la mariz de ransición maringala. Esas variables y la relación enre ellas son fundamenales en nuesro esudio. Algunas hipóesis pueden ser relajadas sin demasiada dificulad, así como la inroducción de los coses de ransición. Sin embargo, el objeo de ese rabajo es presenar el modelo de forma general. Es evidene que la aversión al riesgo del inversor es un facor clave en ese ipo de esudios, por consiguiene, dependiendo de ésa, un inversor puede opar por ora esraegia no ópima a cambio de asumir un riesgo menor. 3. CONCLUSIONES En ese rabajo hemos presenado un modelo dinámico para la búsqueda de esraegias ópimas a parir de la valoración de bonos cupón cero propuesa por Jarrow, Lando y Turnbull (1997) y aplicando los procesos de decisión markovianos en iempo discreo con horizone finio. Uilizando el crierio del pago oal desconado y el Principio de opimalidad de Bellman se demuesra que exise una esraegia ópima deerminisa markoviana y se muesra la forma de econrarla. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Black, F., Scholes, M. (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economics, Mayo, pp Blackwell, D. (1962). Discree dynamic programming. Ann. Mah. Sais. 33, pp Blad, M., Sorensen, M (2005). Saisical Inference for Discreely Observed Markov Jump Processes. Journal of he Royal Saisical Sociey67, No. 3, pp Buendía Capellá, M. (2007). Aplicaciones de los procesos de decisión markovianos a modelos de riesgo de crédio. Tesis Docoral. Bluhm, C., Overbeck, L (2006). Calibraion of PD Term Srucures: To Be Markov Or No To Be. Working Paper. 9

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