LORENZO FRANCISCO NARANJO OLIVARES PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA MODELOS LOGNORMALES DE PRECIOS DE COMMODITIES Y CALIBRACIÓN MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN UTILIZANDO PANELES DE DATOS INCOMPLETOS DE FUTUROS DE COBRE Y PETRÓLEO LORENZO FRANCISCO NARANJO OLIVARES Tesis para opar al grado de Magíser en Ciencias de la Ingeniería Profesor Supervisor: GONZALO CORTAZAR S. Saniago de Chile, Junio, 2002.

2 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Deparameno de Ingeniería Indusrial y de Sisemas MODELOS LOGNORMALES DE PRECIOS DE COMMODITIES Y CALIBRACIÓN MEDIANTE EL FILTRO DE KALMAN UTILIZANDO PANELES DE DATOS INCOMPLETOS DE FUTUROS DE COBRE Y PETRÓLEO LORENZO FRANCISCO NARANJO OLIVARES Tesis presenada a la Comisión inegrada por los profesores: GONZALO CORTAZAR S. ALDO CIPRIANO Z. NICOLAS MAJLUF S. CLAUDIO BEHNCKE C. MARIO DURAN T. Para complear las exigencias del grado de Magíser en Ciencias de la Ingeniería Saniago de Chile, Junio, 2002.

3 A mis padres Elba y Lorenzo, y a mis hermanas María Alicia y Paricia, que siempre han esado a mi lado. ii

4 AGRADECIMIENTOS En primer lugar quiero agradecerle al profesor Gonzalo Corázar por su paciencia, iempo dedicado e imporanes consejos que me ha enregado durane odo el desarrollo de esa esis. No menos imporane es ambién el hecho que él me ha dado la oporunidad y la inspiración para seguir dedicándome al exciane mundo de la invesigación académica. He enido la suere y el placer de rabajar más de 2 años juno a él, iempo durane el cual he podido disfruar del enusiasmo que el profesor Corázar pone en odo rabajo que realiza. También quiero agradecer el apoyo y ayuda que me han enregado odos mis compañeros de Magíser. En paricular agradezco a Alfonso Molinare, con quién he forjado una excelene amisad y me ha ayudado consanemene en mi invesigación. Ese rabajo ampoco sería posible sin la ayuda de los profesores y de odo el personal que rabaja en el Deparameno de Ingeniería Indusrial y de Sisemas. A odos ellos, que por razones de espacio no puedo mencionarlos personalmene, les doy las gracias. Se agradece ambién el apoyo financiero recibido de los proyecos Fondecy y Fondef DI Finalmene quiero agradecerle a mi familia que ha esado siempre a mi lado, no sólo durane el iempo que duró mi magíser, sino que a lo largo de oda mi vida. iii

5 INDICE GENERAL Pág. DEDICATORIA...ii AGRADECIMIENTOS...iii INDICE DE TABLAS... viii INDICE DE FIGURAS... xiii RESUMEN... xviii ABSTRACT... xix I INTRODUCCIÓN...1 II MODELOS LOGNORMALES DE PRECIOS DE COMMODITIES Modelo Lognormal de N-Facores Idenificación de Parámeros del Modelo Lognormal Modelo Canónico Idenificable Momenos de la Disribución del Modelo Lognormal cuando el Vecor de Esados es Esacionario Momenos de la Disribución del Modelo Lognormal cuando el Vecor de Esados es No-Esacionario Clasificación de Modelos de Precios...23 III DINÁMICA AJUSTADA POR RIESGO Y VALORIZACIÓN DE CONTRATOS FUTUROS Nociones Básicas Valorización Teórica de un Conrao Fuuro Precio de Mercado del Riesgo Valorización de Conraos Fuuros para los Modelos Canónicos Esrucura de Volailidad de los Conraos Fuuros Reorno por Conveniencia de un Commodiy...35

6 3.7 Relación de la Represenación Canónica con algunos de los Modelos de Precios Presenados en la Lieraura Modelos de 1 Facor Esocásico Modelos de 2 Facores Esocásicos Modelos de 3 Facores Esocásicos Resumen del Análisis de Comparación de Modelos...48 IV ESTIMACIÓN DE VARIABLES DE ESTADO Y DE PARÁMETROS UTILIZANDO EL FILTRO DE KALMAN El Filro de Kalman El Espacio de Esados Esimación Ópima en el Espacio de Esados Exensión para Paneles de Daos Incompleos Esimación de Parámeros El Méodo de Máxima Verosimiliud Convergencia Asinóica de los Parámeros Esimados Aplicación a Modelos Canónicos de Precios con Paneles de Daos Incompleos Represenación en el Espacio de Esados de los Modelos Canónicos de Precios Forma Funcional de la Mariz de Varianza-Covarianza de los Errores de Medición Inicialización del Filro de Kalman Exensiones del Filro de Kalman Comparación del Filro de Kalman con Oros Méodos de Esimación de Variables de Esado...69 V RESULTADOS EMPÍRICOS PARA COBRE Y PETRÓLEO Descripción de los Daos Uilizados Conraos Fuuros de Peróleo Conraos Fuuros de Cobre Resulados para el Peróleo Esimación de Variables de Esado Esimación de Parámeros...88

7 5.2.3 Ajuse de los Modelos a los Precios Observados denro de la Muesra Ajuse de los Modelos a los Precios Observados fuera de la Muesra Ajuse de los Modelos a la Esrucura de Volailidad Observada de los Reornos de los Precios Fuuros Valorización y Volailidad de Fuuros de Largo Plazo Conclusiones Preliminares para el Peróleo Resulados para el Cobre Esimación de Variables de Esado Esimación de Parámeros Ajuse de los Modelos a los Precios Observados denro de la Muesra Ajuse de los Modelos a los Precios Observados fuera de la Muesra Ajuse de los Modelos a la Esrucura de Volailidad Observada de los Reornos de los Precios Fuuros Valorización y Volailidad de Fuuros de Largo Plazo Conclusiones Preliminares para el Cobre VI CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA A N E X O S ANEXO A : DEMOSTRACIÓN DE LAS PROPOSICIONES A.1 Transformación Invariane sobre el Vecor de Esados A.2 Demosración de la Proposición A.3 Demosración del Corolario A.4 Demosración de la Proposición A.5 Demosración del Corolario ANEXO B : ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS LINEALES A COEFICIENTES CONSTANTES...173

8 B.1 Solución General de la Ecuación Diferencial Esocásica Lineal a Coeficienes Consanes B.2 Diagonalización de la Mariz de Reversión B.3 Momenos de una Combinación Lineal de Variables de Esado ANEXO C : VALORIZACIÓN DE CONTRATOS FUTUROS C.1 Valorización de Conraos Fuuros C.1.1 Modelo Esacionario C.1.2 Modelo No-Esacionario C.2 Esrucura de Volailidad de Conraos Fuuros ANEXO D : FILTRO DE KALMAN D.1 Esimación Ópima, Proyecciones y Esperanza Condicional D.2 Deducción del Filro de Kalman ANEXO E : DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS E.1 Descripción de Paneles de Daos Peróleo E.2 Descripción de Paneles de Daos Cobre ANEXO F : SIGNIFICANCIA ESTADÍSTICA DE LOS MODELOS F.1 Descripción de los Tess F.2 El Caso del Peróleo F.3 El Caso del Cobre...201

9 INDICE DE TABLAS Pág. Tabla III-1: Comparación del número de parámeros requeridos por ipo de modelo presenado en la lieraura y su represenación canónica equivalene...49 Tabla V-1: Caracerización de los conraos fuuros de peróleo en función del número promedio anual de observaciones diarias y del vencimieno máximo disponible por año...76 Tabla V-2: Caracerización de los conraos fuuros de cobre en función del número promedio anual de observaciones diarias y del vencimieno máximo disponible por año...80 Tabla V-3: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel A ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-4: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel B ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-5: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel C ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-6: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel A ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-7: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel B ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis viii

10 Tabla V-8: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel C ( ) de daos de peróleo. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-9: RMSE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de peróleo observados uilizando los parámeros calibrados con daos denro de la muesra Tabla V-10: Error absoluo medio (MAE), error absoluo máximo y sesgo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros observados de peróleo uilizando los parámeros calibrados con daos denro de la muesra Tabla V-11: Comparación del RMSE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de peróleo observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-12: Comparación del MAE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de peróleo observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-13: Comparación del error absoluo máximo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de peróleo observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-14: Comparación del sesgo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de peróleo observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-15: RMSE, MAE, Diferencia Absolua Máxima y Sesgo de la diferencia enre los precios fuuros eóricos de peróleo a 10 años enregados por el modelo esacionario y no-esacionario para el período Valores en dólares ix

11 Tabla V-16: RMSE, MAE, Error Absoluo Máximo y Sesgo de la diferencia enre los precios fuuros eóricos de peróleo a 20 años enregados por el modelo esacionario y no-esacionario. Valores en dólares Tabla V-17: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel A ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-18: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel B ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-19: Parámeros esimados del modelo esacionario (Modelo 1) con disinos números de facores a parir del Panel C ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-20: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel A ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-21: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel B ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-22: Parámeros esimados del modelo no-esacionario (Modelo 2) con disinos números de facores a parir del Panel C ( ) de daos de cobre. La desviación esándar del error se presena enre parénesis Tabla V-23: RMSE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de cobre observados uilizando los parámeros calibrados con daos denro de la muesra Tabla V-24: Error absoluo medio (MAE), error absoluo máximo y sesgo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros observados de cobre uilizando los parámeros calibrados con daos denro de la muesra x

12 Tabla V-25: Comparación del RMSE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de cobre observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-26: Comparación del MAE porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de cobre observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-27: Comparación del error absoluo máximo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de cobre observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-28: Comparación del sesgo porcenual del ajuse de ambos modelos a los precios fuuros de cobre observados del año 2001, uilizando parámeros calibrados con daos denro y fuera de la muesra Tabla V-29: RMSE, MAE, Error Absoluo Máximo y Sesgo de la diferencia enre los precios fuuros eóricos de cobre a 5 años enregados por el modelo esacionario y no-esacionario. Valores en cenavos de dólar Tabla V-30: RMSE, MAE, Error Absoluo Máximo y Sesgo de la diferencia enre los precios fuuros eóricos de cobre a 10 años enregados por el modelo esacionario y no-esacionario. Valores en cenavos de dólar Tabla E-1: Descripción de los daos del Panel A para el peróleo Tabla E-2: Descripción de los daos del Panel B para el peróleo Tabla E-3: Descripción de los daos del Panel C para el peróleo Tabla E-4: Descripción de los daos del Panel A para el cobre Tabla E-5: Descripción de los daos del Panel B para el cobre Tabla E-6: Descripción de los daos del Panel C para el cobre xi

13 Tabla F-1: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo esacionario (hipóesis alernaiva) y el modelo no-esacionario (hipóesis nula) para 1, 2, 3 y 4 facores y cada uno de los paneles de daos de fuuros de peróleo Tabla F-2: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo de 1 facor (hipóesis nula) y el modelo de 2 facores (hipóesis alernaiva) para los modelos esacionario (Modelo 1) y no-esacionario (Modelo 2) y cada uno de los paneles de daos de fuuros de peróleo Tabla F-3: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo de 2 facores (hipóesis nula) y el modelo de 3 facores (hipóesis alernaiva) para los modelos esacionario (Modelo 1) y no-esacionario (Modelo 2) y cada uno de los paneles de daos de fuuros de peróleo Tabla F-4: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo de 3 facores (hipóesis nula) y el modelo de 4 facores (hipóesis alernaiva) para los modelos esacionario (Modelo 1) y no-esacionario (Modelo 2) y cada uno de los paneles de daos de fuuros de peróleo Tabla F-5: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo esacionario (hipóesis alernaiva) y el modelo no-esacionario (hipóesis nula) para 1 y 2 facores y cada uno de los paneles de daos de fuuros de cobre Tabla F-6: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo de 1 facor (hipóesis nula) y el modelo de 2 facores (hipóesis alernaiva) para los modelos esacionario (Modelo 1) y no-esacionario (Modelo 2) y cada uno de los paneles de daos de fuuros de cobre Tabla F-7: Tes esadísico de la razón de verosimiliud enre el modelo de 2 facores (hipóesis nula) y el modelo de 3 facores (hipóesis alernaiva) para los modelos esacionario y no-esacionario y cada uno de los paneles de daos de fuuros de cobre xii

14 INDICE DE FIGURAS Pág. Figura 4-1: Diagrama del algorimo de predicción y acualización del filro de Kalman Figura 5-1: Descripción del Panel A ( ) de precios fuuros de peróleo en función del precio promedio observado y de la desviación esándar por ipo de conrao...77 Figura 5-2: Descripción del Panel B ( ) de precios fuuros de peróleo en función del precio promedio y de la desviación esándar por ipo de conrao Figura 5-3: Descripción del Panel C ( ) de precios fuuros de peróleo en función del precio promedio y de la desviación esándar por ipo de conrao Figura 5-4: Descripción del Panel A ( ) de precios fuuros de cobre en función del precio promedio y de la desviación esándar por ipo de conrao Figura 5-5: Descripción del Panel B ( ) de precios fuuros de cobre en función del precio promedio y de la desviación esándar por ipo de conrao Figura 5-6: Descripción del Panel C ( ) de precios fuuros de cobre en función del precio promedio y de la desviación esándar por ipo de conrao Figura 5-7: Precio spo del peróleo y del fuuro más cercano al vencimieno para el período xiii

15 Figura 5-8: Desviación esándar del error de esimación de la variable de esado con mayor reversión a la media del modelo esacionario de 4 facores para el peróleo...86 Figura 5-9: Desviación esándar del error de esimación de la variable de esado con menor reversión a la media del modelo esacionario de 4 facores para el peróleo...87 Figura 5-10: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo esacionario al día 31/03/ Figura 5-11: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo no-esacionario al día 31/03/ Figura 5-12: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo esacionario al día 31/12/ Figura 5-13 Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo no-esacionario al día 31/12/ Figura 5-14: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo esacionario al día 30/06/ Figura 5-15: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo no-esacionario al día 30/06/ Figura 5-16 Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo esacionario al día 11/04/ Figura 5-17: Precios observados y curva eórica de fuuros de peróleo del modelo no-esacionario al día 11/04/ Figura 5-18: RMSE porcenual del ajuse del modelo esacionario a los precios fuuros de peróleo observados del Panel A para cada vencimieno Figura 5-19: RMSE porcenual del ajuse del modelo no-esacionario a los precios fuuros de peróleo observados del Panel A para cada vencimieno xiv

16 Figura 5-20: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo esacionario Panel A: Figura 5-21: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo no-esacionario Panel A: Figura 5-22: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo esacionario Panel B: Figura 5-23: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo no-esacionario Panel B: Figura 5-24: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo esacionario Panel C: Figura 5-25: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de peróleo para modelo no-esacionario Panel C: Figura 5-26: Precio fuuro eórico a 20 años del peróleo para el modelo esacionario y no-esacionario de 4 facores: Figura 5-27: Esrucura de volailidades de los reornos de fuuros de peróleo para el modelo esacionario y no-esacionario de 4 facores uilizando parámeros calibrados con daos del Panel A: Figura 5-28: Precio spo del cobre y del fuuro más cercano al vencimieno para el período Figura 5-29: Desviación esándar del error de esimación de la variable de esado con mayor reversión a la media del modelo no-esacionario de 3 facores para cobre Figura 5-30: Desviación esándar del error de esimación de la variable de esado sin reversión a la media del modelo no-esacionario de 3 facores para cobre xv

17 Figura 5-31: Precios observados y curva eórica de fuuros de cobre del modelo esacionario al día 03/01/ Figura 5-32: Precios observados y curva eórica de fuuros de cobre del modelo no-esacionario al día 03/01/ Figura 5-33: Precios observados y curva eórica de fuuros de cobre del modelo esacionario al día 01/08/ Figura 5-34: Precios observados y curva eórica de fuuros de cobre del modelo no-esacionario al día 01/08/ Figura 5-35: RMSE porcenual del ajuse del modelo esacionario a los precios fuuros de cobre observados del Panel A para cada vencimieno Figura 5-36: RMSE porcenual del ajuse del modelo no-esacionario a los precios fuuros de cobre observados del Panel A para cada vencimieno Figura 5-37: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo esacionario Panel A: Figura 5-38: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo no-esacionario Panel A: Figura 5-39: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo esacionario Panel B: Figura 5-40: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo no-esacionario Panel B: Figura 5-41: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo esacionario Panel C: Figura 5-42: Esrucura de volailidades insanáneas de los reornos de fuuros de cobre para modelo no-esacionario Panel C: xvi

18 Figura 5-43: Precio fuuro con vencimieno a 10 años del cobre para los modelos esacionario y no-esacionario de 3 facores: Figura 5-44: Esrucura de volailidades de los reornos de fuuros de cobre para el modelo esacionario y no-esacionario de 3 facores uilizando parámeros calibrados con daos del Panel A: xvii

19 RESUMEN En esa esis se realiza un análisis eórico y empírico de un modelo lognormal mulifacorial de precios de commodiies aplicado al caso del cobre y del peróleo. El modelo presenado generaliza invesigaciones previas del comporamieno esocásico de los precios de commodiies (e.g. Gibson y Schwarz (1990), Schwarz (1997), Schwarz y Smih (2001), Corazar y Schwarz (2002)), permiiendo disinguir enre especificaciones esacionarias y no-esacionarias de un número arbirario de facores. Se esudian las condiciones bajo las cuales ese modelo es economéricamene idenificable, en el espíriu de Dai y Singleon (2000). El modelo es calibrado, para disinas especificaciones y número de facores, uilizando el filro de Kalman a parir de observaciones diarias de precios de conraos fuuros de cobre y peróleo, durane un período de 10 años. Se muesra que esa meodología de esimación puede ser aplicada aún cuando el panel de daos analizado es ransversalmene incompleo. Eso permie incorporar odos los precios fuuros observados, aún cuando algunos conraos no se ransen diariamene. Se realiza un esudio de la capacidad de ajuse de los modelos a los precios observados y a la esrucura de volailidad empírica de los conraos fuuros. Bajo esas medidas de bondad de ajuse, se encuenra que es necesario uilizar un modelo de 4 facores para el caso del peróleo mienras que para el cobre el modelo de 2 facores se compora bien. No se enconró evidencia empírica relevane para rechazar la especificación noesacionaria de precios en ambos commodiies. xviii

20 ABSTRACT In his hesis we sudy and empirically es a lognormal mulifacor model of commodiy prices applied o copper and oil, which generalizes previous research (e.g. Gibson and Schwarz (1990), Schwarz (1997), Schwarz and Smih (2001), Corazar and Schwarz (2002)). This model capures saionary and non-saionary feaures of commodiy prices for an arbirary number of facors. We also analyze he condiions for economeric idenificaion of he parameers, in he spiri of Dai and Singleon (2000). The model is calibraed, for saionary and non-saionary specificaions and differen number of facors, using he Kalman filer mehodology wih daily fuures prices observaions of copper and oil over a 10 years horizon. We show ha he Kalman filer can sill be used even when he daa panel is incomplee, allowing for he incorporaion of some fuures prices, which do no rade every day. We perform ess of he abiliy of each model o price observed fuures prices and o fi he volailiy erm srucure of fuures reurns of all raded conracs. Under he above goodness-of-fi measures, we find ha a 4-facor model is needed in he case of oil and ha a 2-facor model performs well when applied o copper. We do no find srong empirical evidence agains non-saionary behavior in copper and oil spo prices. xix

21 1 I INTRODUCCIÓN Los mercados mundiales esán coninuamene recibiendo flujos de información relacionados con variaciones de ofera, demanda y niveles de invenario de los disinos commodiies que hacen pare del sisema económico. En una economía compeiiva, esas variaciones se raducen en movimienos de precios coninuos e impredecibles debido a que en equilibrio, esos precios se deerminan al igualarse los niveles de ofera y de demanda. El análisis y comprensión del comporamieno esocásico de los precios de commodiies es de gran imporancia al momeno de valorizar insrumenos derivados y decisiones de inversión para exraer o producir algún commodiy 1. La lieraura financiera moderna ha realizado imporanes avances en la modelación esocásica de los precios de commodiies. Los primeros esudios realizados en el espíriu del rabajo seminal de Black y Scholes (1973) asumen que el precio spo de un commodiy sigue un movimieno browniano geomérico. Sin embargo, como indica Schwarz (1997), esa suposición no es realisa ya que no incorpora la reversión a la media de largo plazo que exhiben los precios de cieros commodiies. Eso se debe a que en una economía compeiiva, si los precios de un commodiy aumenan, los producores de más alos cosos enrarán al mercado produciendo un aumeno de la ofera. Asimismo, en un escenario de precios alos, la demanda por el commodiy puede disminuir al ser ése susiuido por oros commodiies similares. Esos dos efecos, aumeno de la ofera y disminución de la demanda, inroducen pues una presión a la baja en los precios. Lo conrario ocurre si los precios de dichos commodiies disminuyen. 1 Ver por ejemplo Brennan y Schwarz (1985) y Corazar y Schwarz (1993) donde se valorizan proyecos mineros uilizando el méodo de opciones reales.

22 2 Se han desarrollado numerosos esudios que analizan la reversión a la media en los precios de commodiies 2 y planean disinos modelos de precios para modelarla. La gran mayoría de ellos asumen que el precio spo del commodiy sigue un proceso esocásico lognormal de 2 o 3 facores de riesgo, ya sea hisórico o ajusado por riesgo. Aún cuando la suposición de que los precios de los commodiies siguen un proceso lognormal pueda parecer resriciva, exise una amplia gama de procesos que se pueden explorar denro de ese subconjuno de las especificaciones posibles. El primer objeivo de esa esis es analizar, denro de un marco de esudio unificado, un modelo general de precios lognormales de commodiies que incorpore como casos pariculares varios de los disinos modelos que se han presenado en la lieraura. Además, el marco de esudio presenado permie generalizar sin dificulad los modelos de precios exisenes, así como analizar nuevas especificaciones que no han sido aún exploradas, como son los modelos esacionarios mulifacoriales. El modelo de precios que se presena en esa esis, así como muchos de los modelos que se han propueso en la lieraura, se consruye sobre la base de cieras variables explicaivas que son laenes o no observables. La incorporación de esas variables se debe a que la deerminación de los precios de commodiies se produce en un sisema macroeconómico complejo. Es por lo ano plausible que muchos facores económicos afecen la deerminación de dichos precios. La inceridumbre asociada a esos facores esá represenada y resumida por las variables laenes o de esado del modelo. El número de variables de esado uilizadas para modelar los precios de commodiies represena pues el número de facores esocásicos o fuenes de inceridumbre que afecan la deerminación de dichos precios. 2 Algunos rabajos donde se analiza la reversión a la media de los commodiies son Gibson y Schwarz (1990), Brennan (1991), Laughon y Jacoby (1993), Corazar y Schwarz (1994), Bessembinder e al. (1995), Schwarz (1997), Araya (1997) y Casassus y Collin-Dufresne (2001).

23 3 La dinámica de esas variables laenes, y por consiguiene la de los precios, esá deerminada por un ciero número de parámeros esrucurales. La diferencia enre las variables de esado y los parámeros esrucurales es que las primeras esán cambiando coninuamene en el iempo a medida que se va resolviendo la inceridumbre de la economía. Los parámeros esrucurales en cambio se suponen consanes y represenan cieras caracerísicas más esables del sisema económico. Si uno quiere por ejemplo valorizar un conrao fuuro con un ciero vencimieno escrio sobre algún commodiy, es necesario esimar los parámeros del modelo, así como el valor de las variables de esado en ese momeno. Para que la esimación economérica de los parámeros de un modelo con variables laenes sea consisene, o sea, que las propiedades asinóicas de los parámeros esimados converjan a los parámeros verdaderos, el modelo debe esar correcamene idenificado. Eso significa que el modelo debe conener el mínimo número de parámeros necesarios para represenar una ciera dinámica de precios. El segundo objeivo de esa esis es analizar las condiciones bajo las cuales los modelos de precios presenados son idenificables. Eso lleva a planear un modelo de precios canónico que coniene el mínimo número de parámeros, pero que a la vez maniene la mayor generalidad en la especificación del modelo, preservando la lognormalidad de los precios. Ese ipo de análisis no ha sido realizado en la lieraura de commodiies, en paricular para procesos esocásicos que conienen raíces uniarias. De acuerdo a Schwarz (1997), una herramiena que es paricularmene úil para resolver problemas en los cuales las variables de esado no son observables, pero esán generadas por un proceso markoviano, es el espacio de esados. Una vez que un modelo se planea en el espacio de esados, se puede uilizar el filro de Kalman para deerminar el nivel de las variables de esado así como esimar los parámeros del modelo, a parir de oras variables que sí se observan. Esa meodología de esimación ha sido uilizada exensamene en finanzas no sólo para

24 4 modelos de precios de commodiies 3 sino ambién para analizar modelos de asas de inerés, inflación y ipos de cambio 4. Las variables observables de un modelo de precios de commodiies son por lo general los precios de un derivado con disinos vencimienos. En mercados perfecos y eficienes, los precios de los derivados son una fuene valiosa de información para deerminar las variables de esado de un modelo de precios así como sus parámeros. Ese supueso se cumple en la mayoría de los mercados de commodiies en los cuales una gran canidad de agenes económicos, ya sea por moivos de coberura, diversificación, arbiraje o especulación, esán consanemene ransando esos insrumenos financieros. Los conraos fuuros sobre commodiies son un ipo paricular de insrumeno derivado que se ransa acivamene en bolsas de comercio para disinos vencimienos. Es uno de los insrumenos derivados más aniguo e imporane de los mercados de commodiies. Los precios de los conraos fuuros, a diferencia de las variables laenes, son fácilmene observables y enregan información valiosa acerca del comporamieno fuuro de los precios de commodiies. En esa esis se uilizan observaciones diarias de precios de conraos fuuros escrios sobre commodiies a disinos vencimienos para esimar las variables de esado y los parámeros del modelo 5. 3 En modelos de precios de commodiies el filro de Kalman ha sido uilizado por varios auores enre los que se puede mencionar Schwarz (1997), Pindyck (1999), Díaz (2000), Schwarz y Smih (2000) y Sørensen (2002). 4 Ver por ejemplo Pennacchi (1991), Lund (1994), Lund (1997), Duan y Simonao (1995), Ball y Torous (1996), Geyer y Pichler (1998), Babbs y Nowman (1999), de Jong y Sana- Clara (1999), de Jong (2000) y Dewacher y Maes (2001). 5 La meodología presenada en esa esis se puede adecuar para incorporar en la esimación oros insrumenos financieros. Corazar y Reyes (2001) esiman modelos de precios de commodiies uilizando conjunamene fuuros y opciones sobre fuuros. La incorporación de oros

25 5 Una deficiencia imporane en la aplicación del filro de Kalman en la mayoría de los rabajos presenados hasa la fecha es que sólo uilizan los conraos fuuros para los vencimienos en los cuales se ienen observaciones en cada insane del iempo. Eso presupone que el panel de daos uilizado en el proceso de esimación debe ser compleo. Sin embargo, en la prácica exisen fuuros con cieros vencimienos que se ransan menos frecuenemene o que sólo se han incorporado al mercado recienemene. En un análisis radicional, ese ipo de conraos no se incluyen en el proceso de esimación aún cuando pueden llegar a represenar un porcenaje imporane de odos los precios disponibles 6. El ercer objeivo de esa esis es planear una meodología basada en el filro de Kalman para esimar las variables de esado y los parámeros del modelo uilizando oda la información de precios fuuros que se disponga para el período de iempo que se quiera esudiar. Eso permie uilizar una gran canidad de precios que de oro modo no serían incorporados en la esimación. Esa meodología de esimación se aplica para esimar modelos de precios de 2 commodiies comerciales: el peróleo y el cobre, uilizando las observaciones diarias de precios fuuros durane un período de iempo de 10 años. Para cada commodiy, se esima un modelo esacionario y oro no esacionario de disinos facores de riesgo. Para deerminar qué ipo de modelo es más adecuado para represenar el comporamieno de los precios de cada commodiy, se realiza un análisis del ajuse de los modelos a los precios observados. Además, se compara la volailidad eórica de los reornos de los fuuros con la calculada direcamene a parir de los precios insrumenos puede agregar una valiosa información al proceso de esimación, en paricular para cieros insrumenos que pueden ser más sensibles a cieros parámeros. 6 Corazar y Schwarz (2002) indican que si se quiere esimar un modelo de precios de peróleo a parir de precios de conraos fuuros, considerando sólo los vencimienos para los cuales se iene un panel de daos compleos, se esaría desaprovechando aproximadamene un ercio de odos los daos disponibles.

26 6 observados. Es deseable que un buen modelo de precios deba a la vez ajusarse correcamene a las observaciones empíricas, maneniendo la máxima simplicidad posible. En ese caso por simplicidad se eniende deerminar un modelo que conenga el mínimo número de variables de esado y por consiguiene de parámeros. El reso de esa esis se organiza de la siguiene manera. Los modelos de precios de commodiies se analizan en el Capíulo 2. En el Capíulo 3 se explica cómo se pueden valorizar conraos fuuros sobre un commodiy cuando ése sigue un proceso lognormal. El Capíulo 4 se concenra en analizar el filro de Kalman y cómo se puede aplicar cuando se dispone de paneles de daos incompleos de precios fuuros de commodiies. Los resulados de la esimación aplicados a precios de peróleo y cobre se presenan en el Capíulo 5. El Capíulo 6 finalmene concluye.

27 7 II MODELOS LOGNORMALES DE PRECIOS DE COMMODITIES En ese capíulo se presena un modelo esocásico lognormal para caracerizar la dinámica del precio spo de un commodiy. Ese modelo es lo basane general como para incorporar como casos pariculares varios de los modelos más imporanes que se han propueso en la lieraura 7, pero que permie a su vez analizar nuevas especificaciones y aspecos que no han sido esudiados, como son los modelos esacionarios del precio spo. La dinámica del precio spo es analizada bajo la ley de probabilidad hisórica o esadísica, o sea, la que se observa en la serie de iempo del precio spo o de algún derivado financiero como un conrao fuuro. El esudio de la dinámica bajo la ley de probabilidad ajusada por riesgo se poserga para el Capíulo 3. La modelación del precio spo que se presena en esa sección esá basada en cieras variables laenes que siguen un proceso esocásico pero que no son observadas en los mercados financieros. La inroducción de esas variables iene como objeivo modelar cieras caracerísicas esadísicas del precio spo ales como su varianza y su función de auocorrelación, así como las endencias de largo plazo y si las perurbaciones son permanenes o ransiorias. Esas variables laenes deerminan pues el esado del precio spo en odo momeno y se denominan variables de esado del modelo. El número de variables de esado uilizadas para modelar el precio spo de un commodiy represena el número de facores de inceridumbre, o simplemene, facores del modelo. Una posible inerpreación de esas variables se obiene del hecho que la deerminación de los precios de commodiies se produce en un sisema macroeconómico complejo. Es por lo ano plausible que varios facores económicos, que pueden esar correlacionados enre sí, afecen la deerminación de dichos precios. 7 Ver por ejemplo Brennan y Schwarz (1985), Gibson y Schwarz (1990), Gibson y Schwarz (1991), Schwarz (1997), Schwarz (1998), Schwarz y Smih (2000), Corazar y Schwarz (2002) y Sørensen (2002).

28 8 La inceridumbre asociada a dichos facores económicos esá represenada y resumida por las variables de esado del modelo. Uno de los objeivos principales de esa sección es deerminar, dado una dinámica del precio spo, cuál es el mínimo número de parámeros necesarios para represenar dicha dinámica si se asume que el precio spo sigue un proceso esocásico lognormal 8. Ese análisis llevará a idenificar una represenación canónica del precio spo que coniene el mínimo número de parámeros y que es por lo ano economéricamene idenificable. La idenificación de los parámeros del modelo permie que sus esimaciones sean consisenes, propiedad fundamenal de odo méodo economérico. El análisis desarrollado para esudiar la idenificación de los parámeros esá principalmene basado en el que proponen Dai y Singleon (2000), quienes analizan modelos canónicos de la asa de inerés de coro plazo. La represenación de los modelos de precios de commodiies se ajusa a la inroducida por Schwarz y Smih (2000). En esa sección se presena un análisis menos general que el de Dai y Singleon (2000) en el senido que ellos ambién analizan procesos esocásicos en los cuales la volailidad insanánea de las variables de esado puede depender del nivel de ésas 9, y que por lo ano no son procesos gaussianos. Sin embargo, en esa esis se exiende el resulado de los auores para procesos lognormales del precio spo de un commodiy. Dai y Singleon (2000) analizan el comporamieno esocásico de la asa de inerés e implíciamene asumen un comporamieno esacionario para la asa, lo cual es consisene con la eoría inerés de coro plazo. 8 Langeieg (1980) es el primero en analizar ese ipo de procesos aplicados a la asa de 9 Esos ipos de procesos fueron propuesos por primera vez por Cox, Ingersoll y Ross (1985) y por lo general se abrevian como procesos de ipo CIR. La exensión para el caso mulifacorial se analiza en Duffie y Kan (1996).

29 9 financiera exisene. Los precios de commodiies pueden en cambio exhibir endencias o ciclos que inroducen un comporamieno no esacionario en la dinámica. Se mosrará que cuando la endencia es modelada mediane un proceso que conenga una raíz uniaria, los resulados de Dai y Singleon (2000) deben ser ajusados para obener la idenificación complea del modelo. Además, el modelo canónico que se presena aquí es disino al de esos auores (aunque equivalene) permiiendo calcular los momenos de la disribución del precio spo de una manera más simple. Finalmene, se demuesra explíciamene como ransformar cualquier modelo lognormal de precios de commodiies de un ciero número de facores al modelo canónico. En un rabajo desarrollado recienemene por Casassus y Collin-Dufresne (2001), los auores presenan un modelo de precios de commodiies muy similar al desarrollado en esa sección. Sin embargo, el análisis de los auores difiere en el presenado aquí en el senido que sus resulados se concenran en modelar el comporamieno del precio spo con relación a la dinámica del reorno por conveniencia y de la asa de inerés de coro plazo. 2.1 Modelo Lognormal de N-Facores Sea S el precio spo de un commodiy y definamos Y = log S como el logarimo del precio spo, definición que se manendrá por el reso de esa esis a menos que se indique lo conrario. La inroducción de esa nueva variable será de gran uilidad, ya que el logarimo de una variable aleaoria lognormal iene una disribución normal. El modelo que se analizará supone en su forma general que Y se puede represenar de la siguiene manera: Y = hx % ' % + c (2.1) donde h % es un vecor de dimensión N 1, c es una función del iempo y x% es un vecor de dimensión N 1 que sigue un proceso esocásico mulivariado del ipo Orsein-Uhlembeck (O-U). Langeieg (1980) es el primero en analizar ese ipo

30 10 de procesos en finanzas para esudiar el comporamieno de la asa de inerés de coro plazo. La dinámica de x% queda caracerizada por el siguiene sisema de ecuaciones diferenciales esocásicas lineales a coeficienes consanes: dx% = ( Ax % % + b % ) d+ Σ % dw% (2.2) donde A % es una mariz de dimensión N N que iene N valores propios disinos y odos mayores o iguales a cero, b % es un vecor de consanes, Σ % es una mariz de dimensión N N y dw% es un vecor de incremenos de un proceso de Wiener mulivariado de dimensión N 1 que saisface ( dw% )( dw% )' = Θ % d. Es decir, los incremenos pueden esar correlacionados. Se supone además que la mariz de varianza-covarianza insanánea Ω% = ΣΘΣ % % % ' debe ser esricamene definida posiiva 10. El vecor x% se llamará vecor de esados, sus elemenos serán las variables de esado y la mariz A % se llamará mariz de reversión. La suposición bajo la cual los valores propios de la mariz de reversión son odos disinos no es esricamene necesaria, ya que el análisis que se desarrollará puede ser ajusado para el caso en el cual no se cumple esa suposición. Sin embargo, la complejidad del análisis aumena considerablemene si se permie que cieros valores propios puedan ser iguales, en paricular para enconrar expresiones analíicas simples de los momenos del precio spo así como para valorizar conraos fuuros. Hasa donde abarca el conocimieno del auor de esa esis, procesos en los cuales se ienen valores propios comunes en la mariz de reversión no han sido esudiados en la lieraura de precios de commodiies. Ese puno será raado nuevamene en secciones poseriores. Como se muesra en el Anexo B, el vecor de esados x% definido por la ecuación (2.2) sigue una disribución normal mulivariada. Luego, como Y es una esocásicos. 10 Eso implica que suponemos que odos los facores del vecor de esados son

31 11 combinación lineal de los elemenos de x%, se iene pues que Y ambién disribuye normal. El precio spo debe seguir enonces una disribución lognormal como la exponencial de Y. Los valores propios de la mariz de reversión A % deerminan la dinámica del proceso x% a ravés de su disribución de probabilidad. Como se muesra en secciones poseriores, cuando esa mariz es esricamene definida posiiva, x% es un proceso esacionario que reviere a una media de largo plazo dada por b %. Si por el conrario alguno de los valores propios de esa mariz es igual a cero, el proceso x% endrá una raíz uniaria y no será esacionario. La media de largo plazo de Y esará deerminada por la media de largo plazo de x% pero ambién por la función c. Cuando el vecor de esados sigue un proceso esacionario, la función c represena la endencia a la cual reviere el logarimo del precio spo en el largo plazo. En esa esis se analizarán y calibrarán con daos empíricos dos ipos pariculares de procesos lognormales El primero de ellos es un proceso esocásico esacionario para el precio spo en el cual el vecor de esados x% es esacionario y c = d %. El segundo es un proceso no-esacionario para el precio spo en el cual x% iene una raíz uniaria. Ese úlimo ipo de procesos esocásicos ha sido de los más esudiados en la lieraura de commodiies. También se les conoce como differencesaionary process, ya que son procesos esacionarios cuando se oman diferencias 11. En su forma general, los dos ipos de modelos que se analizarán en esa esis se pueden represenar por las siguienes ecuaciones: Y = hx % ' % + d% (2.3) dx% = ( Ax % % + b % ) d+ Σ % dw% (2.4) 11 Esricamene, eso ocurre cuando se rabaja en iempo discreo. En iempo coninuo se deben omar logarimos sobre un proceso con raíz uniaria para obener un proceso esacionario.

32 12 Sin embargo, esas no son las únicas especificaciones que podría omar la endencia a la cual reviere el modelo. Baker, Mayfield y Parsons (1998) invesigan un modelo en el cual la endencia de largo plazo a la cual reviere Y es una función lineal del iempo, o sea, c = d % +µ %. Ese ipo de procesos es lo que radicionalmene se llama en la lieraura economérica un proceso esacionario enorno a una endencia ( rend-saionary process ) y ienen la caracerísica que cuando se le subsrae al proceso Y su endencia µ%, el proceso resulane Y % µ es esacionario. Ese modelo es equivalene al que proponen Lo y Wiang (1995) para modelar acivos que exhiben ciero grado de predicibilidad en sus reornos, y ambién al propueso por Laughon y Jacoby (1993). En ese caso, el reorno insanáneo del commodiy es µ% 12. Pindyck (1999) exiende ese ipo de análisis al proponer una especificación en la cual la endencia de largo plazo es una función cuadráica del 2 iempo, o sea, c = d % + % µ + γ. Sørensen (2002) uiliza una endencia cíclica para reflejar la esacionalidad de los reornos de los commodiies agrícolas, al igual que Lucia y Schwarz (2001) para modelar el precio spo de la elecricidad y Manoliu y Tompaidis (2002) para modelar el precio del gas naural. Cuando el modelo iene sólo 1 facor esacionario y c es una función arbiraria del iempo, el proceso definido por (2.1) y (2.2) es del ipo propueso por Hull y Whie (1990) 13. Aún cuando en esa esis no se analizarán empíricamene ese ipo de especificaciones, la meodología propuesa permie adapar fácilmene un modelo de 12 Ese no es el único modelo que se puede planear para incorporar la reversión a la media de los commodiies en orno a una endencia. Véase por ejemplo Araya (1997), Corazar y Schwarz (1997) y Corazar y Schwarz (1998). 13 Hull y Whie (1990) ambién permien que el coeficiene de reversión a la media y la volailidad dependan del iempo de manera arbiraria.

33 13 N facores de al forma de incorporar endencias emporales, y de esa forma generalizar los modelos presenados en los párrafos aneriores. 2.2 Idenificación de Parámeros del Modelo Lognormal El proceso esocásico del logarimo del precio spo queda enonces deerminado por una combinación lineal de los elemenos de x%. Sin embargo, esa represenación no es única en el senido que cualquier ransformación invariane Tx ( ) = φ + Lx aplicada sobre x% permie obener un nuevo vecor de esados z = T( x% ) al que Y maniene las mismas propiedades esadísicas que el original 14. Se requerirá que la ransformación invariane T () sea inverible, lo que equivale a suponer que la mariz L debe ser inverible. Aplicando esa ransformación al vecor de esados original, se demuesra en el Anexo A que las ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden rescribir de la siguiene manera: Y = hz ˆ ' + dˆ (2.5) dz = ( Az ˆ + bˆ) d+ Σˆdw (2.6) donde ˆ ' ' 1 h = h% 1 L, ˆ d = d% hlφ % ', ˆ 1 A = LAL %, ˆ 1 b= LAL % φ + Lb % y Σ ˆ = LΣ %. Esa represenación es oalmene equivalene desde un puno de visa esadísico a la dada por las ecuaciones (2.3) y (2.4). La nueva mariz de reversión Â, por ser una mariz similar a la mariz de reversión original, iene sus mismos valores propios. Eso implica que si el vecor de esados original es esacionario, ambién lo será bajo la nueva represenación. Tampoco exise degeneración de ninguna variable de esado en el senido que odas las variables del nuevo vecor de esados son esocásicas. Eso proviene del hecho que la nueva mariz de varianza-covarianza dada por ( LΣ % ) ΘLΣ %( % )' = LΩL % ' es una mariz congruene a la original y por lo ano ambién es esricamene definida posiiva Esas ransformaciones invarianes se inroducen en Dai y Singleon (2000). 15 En el Anexo A se explica con más dealle esas conclusiones.

34 14 Esa ransformación se puede realizar ya que las variables de esado del modelo original no son observables y sólo se definen para explicar la dinámica del precio spo (media, volailidad, auocorrelación), pero no se supone que se fijan exógenamene. Por lo ano, cualquier conjuno de variables de esado que nos permia explicar una ciera dinámica del precio spo será adecuado. Ese simple resulado iene implicancias imporanes si los parámeros del modelo deben ser esimados, dado que el modelo en su forma general dada por las ecuaciones (2.3) y (2.4) no esá idenificado. Eso se debe a que dos conjunos de parámeros disinos pueden explicar la misma dinámica del precio spo. En la siguiene sección se muesra como el modelo general puede ser rescrio de una manera canónica, en el espíriu de Dai y Singleon (2000), de al forma que conenga el mínimo número de parámeros y pueda así ser idenificado. 2.3 Modelo Canónico Idenificable En la sección anerior se vio que cualquier ransformación invariane aplicada sobre el vecor de esados permie obener un modelo que es esadísicamene equivalene al modelo original. Si esas ransformaciones se realizan de manera ineligene, se pueden obener cieros ipos de modelos, que llamaremos canónicos, que conienen el mínimo número de parámeros y manienen la especificación esadísica general dada por las ecuaciones (2.3) y (2.4). A coninuación se presenan algunas proposiciones que se demuesran en el Anexo A y que enregan represenaciones del precio spo que son economéricamene idenificables. En la demosración de esas proposiciones esá implícia una meodología general que permie reducir cualquier modelo represenado por las ecuaciones (2.3) y (2.4) a un modelo que conenga el mínimo número de parámeros. Esa meodología es muy úil cuando se quiera enconrar la relación enre las represenaciones canónicas y oros modelos que se han planeado en la lieraura reciene.

35 15 Proposición 2.1 Bajo el modelo esocásico de N facores definido para el precio spo de un commodiy por las ecuaciones (2.3) y (2.4), si se cumple que la mariz A % iene odos sus valores propios disinos y esricamene posiivos, enonces el modelo para el precio spo puede ser reducido a: Y = 1x ' + d (2.7) dx = Ax d+ Σdw (2.8) donde A a1 0 L 0 0 a L 0 M M O M 0 0 a L n 2 = Σ σ 1 0 L 0 0 σ L 0 M M O M 0 0 σ L n 2 = dw dw ' = Θ d Θ 1 ρ12 L ρ1n ρ 1 L ρ M M O M ρn1 ρn2 1 L 21 2N = La proposición 2.1 se demuesra aplicando sucesivas ransformaciones invarianes sobre el vecor de esados original, lo que equivale a realizar roaciones, escalamienos y ranslaciones. Eso muesra que se puede reducir el número de parámeros en forma significaiva, y además idenificar odos los parámeros, sin por ello afecar las propiedades esadísicas del modelo del precio spo original En el caso que se considere un modelo en el cual cieros valores propios son iguales, enonces la mariz de reversión, que es diagonal en el caso que sus valores propios son disinos, podría ser reemplazada por una mariz de Jordan.