MATEMATICAS I FUNCIONES ELEMENTALES. PROBLEMAS

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1 1º) La facura del gas se calcula a parir de una canidad fija y de un canidad variable que se calcula según los m 3 consumidos (el precio de cada m 3 es consane). El impore de la facura de una familia, en sepiembre, ha sido de 24,82 euros por 12 m 3 consumidos, y en ocubre de 43,81 euros por 42 m 3 consumidos. a) escribe la función que da el impore de la facura según los m 3 consumidos y represénala. b) Cuál es el precio por m 3 consumido? Cuál es la canidad fija que se paga? c) Cuáno pagarán si consumen 28 m 3? d) Cuáno han consumido si pagan 23,87 euros? 2º) Una empresa de mudanzas A iene la siguiene arifa: 300 euros fijos más 50 euros por cada kilómero realizado para hacer la mudanza. Ora empresa B iene la siguiene arifa: 1000 euros fijos independienemene de la disancia. Escribe las funciones que relacionan el precio con la disancia represénalas y decide cuándo ineresa una empresa u ora. 3º) Una peloa es lanzada vericalmene hacia arriba desde lo alo de un edificio. La alura que alcanza viene dada por la fórmula h = ( en segundos y h en meros). a) Dibuja la gráfica en el inervalo [0,5]. b) Calcula la alura del edificio. c) En qué insane alcanza su máxima alura? d) Cuáno arda en llegar al suelo? 4º) El volumen de aire de un globo viene dado por la fórmula V()= V en cm 3 y en segundos. a) Represena gráficamene esa función y describe como varía el volumen del aire en el globo con respeco al iempo. Qué significan los punos de core con el eje OX? b) Cuál es el máximo volumen que puede ener el globo? 5º) Un almacenisa de fruas ha esimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de fresas depende del precio de vena de acuerdo con la función B(x) = -x 2 +4x-3 Siendo B(x) el beneficio por kg y x el precio de cada kg, ambos expresados en euros. a) Enre qué precios se producen beneficios para el almacenisa? b) Qué precio maximiza los beneficios? c) Si iene en el almacén Kg de fresas, Cuál será el beneficio oal máximo que podrá obener? 6º) Calcula la ecuación de la parábola que iene por vérice el puno V(1,2) y pasa por el puno A(0,4).

2 7º) Deposiamos en el banco 5000 al 6% anual. a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capial a lo largo del iempo? Qué ipo de función es? b) Calcula el iempo que iene que pasar para que se duplique el capial. c) Calcula el dinero que endremos denro de un año y res meses. 8º) Un negocio en el que inverimos 10000, pierde un 4% mensual. Escribe la función que nos da el capial que endremos según los meses ranscurridos. Cuáno iempo ardará el capial inicial en reducirse a la miad? Cuáno dinero nos quedará denro de un año? 9º) La dosis de un medicameno es de 0,25 g por cada kilo de peso del paciene, hasa un máximo de 15 g. Escribe y represena la función que relaciona el peso del paciene con la canidad de medicameno que se le debe suminisrar. 10º) La emperaura de un cazo de agua es de 20ºC. aplicamos calor y cada minuo la emperaura del agua aumena 10ºC. A los 8 minuos el agua empieza a hervir y se maniene así durane 7 minuos más, al cabo de los cuales se deja de aplicar calor y la emperaura del agua disminuye a un rimo de 5ºC. por minuo, hasa que alcanza la emperaura ambiene de 25ºC. Escribe y represena la función que nos da la emperaura del agua según el iempo ranscurrido. 11º)

3 PROBLEMAS RESUELTOS. FUNCIONES ELEMENTALES 1º) a) Variable independiene: Consumo de gas en m 3. Variable dependiene: precio a pagar en euros. Hay que calcular la reca que pasa por los punos A(12, 24,82) y B(42, 43,81). 43,81 24,82 La pendiene será m = 0, 633 por ano la ecuación es: y = 0, 633x + n como pasa por el puno A se obiene la ordenada en el origen n=17,224 por ano la función es f ( x) = 0,633 x + 17,224 x 0. b) 0,633 indica el precio en euros por m 3 consumido y 17,224 es el precio fijo que hay que pagar por el servicio. b) Para x= 28 ; y =34,95. c) 23,87 = 0,633x + 17,224 x = 10,5m 3 3º) Variable independiene: disancia recorrida en km. Variable dependiene: precio a pagar en euros. Las dos funciones son: y A = 50 x e y = 1000 B Tabla de valores x Y A y B

4 50x = x = 700 x = 14km. Por ano para un recorrido menor de 14 kilómeros ineresa la empresa A, para más de 14 kilómeros la empresa B y si el recorrido es de 14 kilómeros es indiferene la empresa que elijamos. 3º) h = a) v = = 2 h = = 144 Vérice (2,144) 32 Cores con el eje X: =0 obenemos 1 = -1 (esá fuera del dominio) y 2 = 5 Core con el eje Y : h=80. Tabla de valores: h b) Para =0 la alura es 80 por ano la alura del edificio es de 80 meros ya que la peloa se lanza desde la azoea del edificio. c) A los dos segundos. d) A los 5 segundos. 4º) V ( ) =

5 b 40 a) v = = = 5 V ( 5) = 100 el vérice es (5,100) 2 a 8 Cores con los ejes : Eje Y: x=0 enonces y=0 cora en (0,0) significa que en el insane =0 el globo no iene aire. = 0 Eje X: y =0 enonces = 0 ( ) = = 0 = 10 Los cores son (0,0) (el mismo de anes) y (10,0) quiere decir que en los insanes =0 y =10 el globo no iene aire. b) 100 cm 3. 5º) Represenamos la función, como es un polinomio de 2º grado endremos una parábola después de esudiar sus caracerísicas obenemos la siguiene gráfica: a) La función es posiiva en el inervalo (1,3), es decir enre 1 /kg y 3 /kg. b) Sería la abscisa (x) del vérice, es decir 2 /kg c) El beneficio máximo es de 1 por cada kg como disponemos de 10000Kg el beneficio máximo sería de

6 6º) La ecuación sería y=ax 2 +bx+c como pasa por A(0,4) y V(1,2) enemos b (susiuyendo) : 4=c ; 2=a+b+c. Además como V es el vérice 1 = 2a = b. 2a Resolviendo el sisema obenemos a=2 y b=-4. Por ano la parábola es y=2x 2-4x+4. 7º) a) y 5000(1,06 ) = es una función exponencial b) = 5000(1,06) = (1,06) 2 = (1,06) ln( 2) = ln(1,06) ln(2) = ln(1,06) = ln(2) ln(1,06) 11,9 años c) Pasamos 3 meses a años dividiendo enre 12 3 = 0, 25 por ano 3 años y 3 meses 12 son 3,25 años. Por ano el capial sería 5000(1,06) 3,25 = 6042,46 8º) y ) = (0,96 en meses Tabla de valores : x y

7 ln(0,5) 5000 = (0,96) 0,5 = (0,96) ln(0,5) = ln(0,96) = 16,98 meses ln(0,96) En 17 meses, aproximadamene nuesro dinero se reducirá a la miad. Para =12 y (12) = (0,96) 12 = 6127,10 será el dinero que nos quedará denro de un año. 9º) Veamos para qué peso endremos la dosis máxima: Variable independiene: peso en kg. Variable dependiene: dosis del medicameno en gramos 15 0,25x = 15 x = = 60kg. Por ano la función será 0,25 0,25x si 0 x 60 y = 15 si x > 60 10º) Variable independiene: iempo ranscurrido en minuos. Variable dependiene: Temperaura del agua en grados cenígrados. Es una función a rozos: 1 er rozo: y = x para 0 x 8 2º rozo: y =100 para 8 < x 15 3 er rozo: y = 100 5( x 15) = 175 5x para 15 < x 30 ya que x = 25 x = = 30 5 Ese rozo ambién se puede hacer, calculando la reca que pasa por los punos A(15,100) y B(16,95) obeniendo en mismo resulado y = 175 5x. 4º rozo: y=25 para x>30.

8 x 100 f ( x) = 175 5x 25 si si si si 0 x 8 8 < x < x 30 x > 30 11º) a) La función esá compuesa de un rozo de parábola y de un rozo de reca. Calculamos los elemenos principales de la parábola: b 40 2 Vérice: x v = = = 4 y v = = 20 2 a 10 Cores con el eje X : 5x x 60 = 0 x = 2, x = 6 Core con el eje Y : y= -60. Para la reca le damos los valores x=6 y x =10 (para ver dónde empieza y dónde ermina) obenemos los punos (6,0) y (10,10). La gráfica es:

9 El dominio es [0,10] b) A parir de 2000 (x=2) c) 2000 y 6000 ( x=2 y x=6) Son los cores con el eje X d) Es el vérice de la parábola. El gaso sería 4000 (x v =4) y el beneficio sería de (Y v =20).

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