Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

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1 Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23

2 Índice general Inroducción 2 Objeivos Esrucura del documeno Valoración de bonos y forwards en iempo coninuo Esrucuras emporales de ipos de inerés en iempo coninuo Valor de un bono con cupón y iempo coninuo Valor de un forward sobre un bono en iempo coninuo Coberura para un desplazamieno paralelo de la curva forward Variación del precio del bono debido a un desplazamieno paralelo de la curva forward Variación del precio del forward debido a un desplazamieno paralelo de la curva forward Cálculo del raio de coberura Coberura para variaciones parciales de la curva forward Variación del precio del bono debido a un desplazamieno en un ramo de la curva forward Variación del precio del forward debido a un desplazamieno en un ramo de la curva forward Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo Aplicación al valor de un bono de cupón discreo Aplicación al valor de un forward sobre un bono de cupón discreo Cálculo de los raios de coberura Apéndices 3 1

3 Inroducción Objeivos El objeivo de ese documeno es calcular la coberura necesaria para una carera de bonos, mediane una carera de coberura compuesa por forwards sobre bonos. El enfoque del documeno es eórico, considerando el iempo y las asas de inerés como variables coninuas, y omando bonos de cupón coninuo para poder llegar a una formulación analíica de los raios de coberura, obenidas esudiando la variación del precio del bono y del forward cuando la curva forward sufre variaciones infiniesimales. Sin embargo, como se verá a lo largo de los disinos capíulos en que se divide el documeno, esa formulación eórica es aplicable al caso real de bonos de cupón discreo. En concreo, veremos cómo exender el análisis hecho para obener fórmulas sencillas para calcular a la prácica el número de forwards necesarios para cubrir una carera de bonos. f δ T δ T Figura 1: Ilusración de una parición de la curva forward Para ello consideraremos pariciones de la curva de ipos forward, y esudiaremos la variación del precio del bono y el del forward ane variaciones paralelas de disinos ramos. Aunque el alcance de ese procedimieno pueda parecer limiado, de hecho cualquier variación sufrida por la curva forward podría aproximarse ano como se quisiera por variaciones paralelas de disinos ramos de la curva, siempre y cuando se considerara un número suficiene de ramos ver Figura 1. Ese análisis de coberura nos permiirá calcular la coberura para la carera de bonos. Aunque en ese documeno omamos los forwards como insrumenos de coberura, no es ésa la única posibilidad. Se podría seguir el desarrollo que expondremos con cualquier oro insrumeno de coberura por ejemplo, ora carera de bonos o fuuros sobre bonos obeniendo resulados análogos. 2

4 Inroducción 3 Esrucura del documeno El documeno se esrucura en cuaro capíulos: Capíulo 1 - Esrucuras emporales de ipos de inerés en iempo coninuo: se hace una breve descripción de las esrucuras emporales de ipos de inerés en iempo coninuo, con las que se rabajará a lo largo del documeno. A coninuación se inroduce la fórmula del valor acual de un bono con cupón coninuo, y se deriva la fórmula del precio de un forward sobre ese bono. Capíulo 2 - Coberura para un desplazamieno paralelo de la curva forward: esudiamos cómo varía el precio de un bono y de un forward cuando oda la curva forward sufre un desplazamieno paralelo infiniesimal. De las fórmulas obenidas se deriva un raio analíico, para la coberura de un bono con forwards sobre el mismo bono. Capíulo 3 - Coberura para desplazamienos paralelos en ramos independienes de la curva forward: en ese capíulo se oma una parición de la curva forward, de manera que disinos ramos puedan variar independienemene. De ese modo, se puede ajusar mucho mejor la variación que a la prácica puede sufrir la curva forward, obeniendo en consecuencia una mejor coberura. Se esudia la variación del bono y del forward debida al desplazamieno infiniesimal de un ramo de la curva, y cómo se relaciona esa variación con la variación sufrida a causa del movimieno de oda la curva forward. Capíulo 4 - Aplicación a la coberura de bonos de cupón discreo: finalmene, comprobamos que la formulación obenida en los aparados aneriores es aplicable ambién al caso de bonos de cupón discreo, lo que permie obener fórmulas simples para el número de forwards necesarios para cubrir una carera de bonos frene a cambios desfavorables de los ipos de inerés. Apéndices: las demosraciones de algunas de las proposiciones enunciadas a lo largo del documeno se incluyen al final en forma de apéndices debido a su considerable exensión.

5 Capíulo 1 Valoración de bonos y forwards en iempo coninuo 1.1. Esrucuras emporales de ipos de inerés en iempo coninuo A lo largo de ese documeno consideraremos el iempo como una variable coninua, porque eso nos permiirá obener fórmulas analíicas y simplificar los cálculos sin embargo, en el capíulo 4 raaremos el caso de bonos que pagan cupones discreos. Por ello primero inroduciremos las disinas esrucuras de ipos de inerés y sus respecivas relaciones en ambiene coninuo. Denoaremos cualquier esrucura emporal de ipos de inerés spo por s, T i, i N, donde indica el momeno presene y T i, el plazo que consideramos. Sea f el ipo forward implício. Es decir, f denoa el ipo de inerés coninuo esablecido a iempo para un depósio hecho a iempo con vencimieno infiniesimal. Lema 1.1. Si el mercado es libre de arbiraje, enonces debe cumplirse la siguiene relación enre los ipos spo s, T y las asas forward implícias f: e f d e s, T T. Es decir, 1 C inverido hoy al ipo spo s, T debe proporcionar el mismo rendimieno que 1 C coninuamene inverido a odos los ipos forward f, con T. La demosración de ese lema puede enconrarse en el apéndice A. De esa relación, gracias a la inyecividad de la función exponencial, se sigue inmediaamene el siguiene corolario: Corolario 1.1. El ipo spo s, y el ipo forward implício f cumplen la siguiene relación: fz dz s,. 4

6 Capíulo 1. Valoración de bonos y forwards en iempo coninuo 5 Supongamos que la curva de ipos spo sufre un desplazamieno paralelo al como muesra la figura 1.1: s, δ Figura 1.1: Desplazamieno paralelo de la curva spo La proposición 1.1 nos dice cuál es el desplazamieno sufrido a su vez por la curva forward. Proposición 1.1. Si la esrucura de ipos spo sufre un desplazamieno paralelo δ, idénico en odos los plazos, enonces la esrucura de ipos forwards sufre equivalenemene el mismo desplazamieno δ. Demosración. Por el Corolario 1.1 sabemos que s, fz dz. La igualdad no cambia si sumamos δ a ambos miembros: s, δ fz dz δ s, δ s, δ fz dz δ dz fz δ dz. Vemos, por ano, que incremenar cada ipo s, en δ es equivalene a desplazar paralelamene la esrucura de ipos forward implícios. Para finalizar esa sección inroducoria sobre las esrucuras de ipos de inerés, definimos los ipos de descueno: Definición 1.1. Dado 1 C a iempo, su valor a iempo recibe el nombre de facor de descueno, y viene dado por o, equivalenemene ver Corolario 1.1, D e fz dz D e s,.

7 Capíulo 1. Valoración de bonos y forwards en iempo coninuo Valor de un bono con cupón y iempo coninuo Consideremos un bono B con vencimieno T que paga un cupón coninuo c. Es decir, en cada inervalo infiniesimal de iempo d, el propieario del bono recibe c d. El pago correspondiene al primer año, por ejemplo, es 1 c d 1 c d c. El pago correspondiene al úlimo año de vida del bono vale T 1 c d T 1 c B T d c B T. Para calcular el valor acual del bono B que denoaremos por B, basa acualizar odos los pagos mediane el facor de descueno: B c D d c e fz dz d Valor de un forward sobre un bono en iempo coninuo El precio de un bono comprado a plazo guarda relación con el precio del bono comprado al conado. La expresión de esa relación iene que ver con la ganancia o cose que supone ener el bono durane el periodo comprendido enre las fechas spo y forward. Si un inversor compra un bono a plazo, y el bono paga cupones, el inversor debe pedir una compensación por los pagos que no recibe, pero debe pagar a su vez una prima porque se ahorra el cose de financiar el bono hasa la fecha forward. La siguiene proposición proporciona el precio forward de un bono. Proposición 1.2. Sea F F el precio del bono adquirido a plazo, en la fecha forward F. Enonces, F F viene dado por [ F F c e fz dz F F d e fz dz c d. Demosración. Dado un bono con cupón coninuo, el cupón corrido CC que deja de percibir un inversor que compra el bono a plazo en el momeno F es CC, F F c d. Por oro lado, el cose CF de financiar el bono hasa el momeno F viene dado por F CF, F B e fz dz B.

8 Capíulo 1. Valoración de bonos y forwards en iempo coninuo 7 Por ano, el precio de un bono comprado a plazo en es F F B CF, F CC, F F B B e fz dz B F F B e fz dz c d. Uilizando la ecuación 2.1 para B, obenemos: [ F F F cτ dτ c e fz dz F F d e fz dz c d.

9 Capíulo 2 Coberura para un desplazamieno paralelo de la curva forward 2.1. Variación del precio del bono debido a un desplazamieno paralelo de la curva forward Como en el caso discreo, la variación que sufre el precio del bono debido a un cambio del ipo de inerés esá esrechamene relacionado con la duración. Definición 2.1. La duración de Macaulay de un bono B con cupón coninuo c se define como D 1 c e fz dz d. B Proposición 2.1. La relación enre la variación del precio del bono y una variación paralela infiniesimal de oda la curva forward viene dada por B f B D. Demosración. 1 Sabemos que el valor acual del bono viene dado por B c e fz dz d. La variación del precio del bono a causa de una variación paralela infiniesimal de la curva forward f se corresponde con B f h lím B f h B f h h Susiuyendo por la expresión de B, y arreglando la expresión resulane, obenemos: B lím c e fz dz e h 1 d f h lím h h 1 c e fz dz e h 1 d 1 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice B 8

10 Capíulo 2. Coberura para un desplazamieno paralelo de la curva forward 9 Usando el desarrollo en serie de la función exponencial, en la expresión del límie: lím h lím h B D. e x n x n n! 1 x x2 2 x3 6, h 1 c e fz dz d e h 1 h 1 c e fz dz 1 h Oh 2 1 d c e fz dz d 2.2. Variación del precio del forward debido a un desplazamieno paralelo de la curva forward En el aparado anerior hemos calculado la expresión de la variación sufrida por un bono ane un desplazamieno infiniesimal de la curva forward. Dado que nuesro objeivo es calcular la coberura de una carera de bonos mediane una carera de forwards, debemos calcular ambién la variación sufrida por el precio F F de un forward sobre un bono cuando la curva forward sufre un desplazamieno infiniesimal. Eso nos permiirá, a ravés de sucesivos pasos, llegar a la composición de una carera de coberura al que replique las variaciones sufridas por la carera de bonos ane cambios de la curva de ipos de inerés. Proposición 2.2. La relación enre la variación del precio de un forward sobre un bono y una variación paralela infiniesimal de oda la curva forward viene dada por F F f B e F fz dz F D. Demosración. 2 Sabemos que la expresión del precio del forward viene dada por F F F F B e fz dz c d. La variación del precio del forward provocada por una variación infiniesimal en oda la curva fordward se puede calcular mediane el límie F F f F F, f h F F, f lím. h h Desarrollando el numerador y uilizando la serie de poencias de la función exponencial, obenemos 2 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice C

11 Capíulo 2. Coberura para un desplazamieno paralelo de la curva forward 1 F F f lím h 2 F [ [ F T e fz dz F c e fz dz d F e fz dz c e fz dz d h 2 c e fz dz d 2 F B e fz dz F D. F c e fz dz d c e fz dz 2 d c e fz dz d Oh 2 c e fz dz d 2.3. Cálculo del raio de coberura Para poder calcular una esraegia de coberura, nos ineresa conocer cómo varía el precio del forward con respeco al del bono, su subyacene. A parir de las fórmulas halladas en las proposiciones 2.1 y 2.2 para la variación del forward y del bono frene a un cambio infiniesimal de la curva de inerés, podemos obener la siguiene relación para el cambio del forward por un cambio inifiniesimal del bono: F F F F B f 1 B f F B e fz dz F D F e fzdz F D D. 1 B D Esa expresión nos permie obener el número N F de forwards necesarios para cubrir un bono frene a variaciones pequeñas de su valor: N F F F B e F fz dz e F fz dz 1 F F D 1 e fz dz D D F D D D F Por ano, el poseedor de un bono debe vender e F fz dz D D F forwards F F sobre el mismo bono si desea cubrirse ane un cambio adverso de los ipos de inerés.

12 Capíulo 3 Coberura para desplazamienos paralelos en ramos independienes de la curva forward 3.1. Variación del precio del bono debido a un desplazamieno en un ramo de la curva forward Para poder obener una coberura ajusada ane una variación cualquiera de la curva de ipos de inerés, consideraremos una parición de ésa en disinos ramos. De ese modo, podremos esudiar cómo cambia el precio del bono y del forward cuando no es la curva enera lo que varía sino sólo un fragmeno de ella, o bien cuando disinos rozos de la curva sufren disinos desplazamienos. Consideramos una parición de la curva forward en K ramos, no necesariamene de la misma longiud, y comprendidos enre el momeno acual y T > T B, donde T B es el vencimieno del bono. Sea δ k el desplazamieno verical sufrido por el ramo de la curva forward comprendido enre los momenos k 1 y k : δ k δ k k 1 k K T Podemos definir δ k como una función en odo el inervalo [, T de la forma siguiene: si k 1 δ k δ k si k 1 < k si k < T De esa forma, la variación oal sufrida por la curva forward que llamaremos 11

13 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 12 δ puede expresarse como la suma de las disinas variaciones parciales: δ δ 3 δ δ δ4 2 δk δ 1 δk k 1 k T δ δ k δ 1 si 1 δ 2 si 1 < 2. δ K si < K La siguiene proposición nos da la variación del precio del bono debida a una variación en un ramo de la curva forward. Proposición 3.1. Si la curva forward sufre un desplazamieno δ k en el ramo [ k 1, k, enonces la variación de orden lineal en δ k sufrida por el precio del bono viene dada por [ B δ k δ k k 1 B k B k D k, donde k D k c e k 1 B k k fz dz d c e fz dz d. Demosración. 1 Supongamos que la curva forward sufre un desplazamieno paralelo δ k R en el ramo [ k 1, k : si k 1 δ k δ k si k 1 < k si k < T Sea B δ k el valor del bono después de la variación δ k de los ipos de inerés. Para calcular B δ k basa acualizar el cupón coninuo con los nuevos ipos de inerés: B δ k c e fzδ kz dz d Uilizando la expresión de δ k y la aproximación lineal de la función exponencial, llegamos a la siguiene expresión: B δ k c e k fz dz d δ k c e fz dz d k 1 δ k k k c e T fz dz d δ k k 1 c e fz dz d k 1 1 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice D

14 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 13 Teniendo en cuena la expresión del precio inicial de un bono y definiendo obenemos: B c e fz dz d k D k c e fz dz d k 1 B k k c e fz dz d, [ B δ k B δ k k 1 B k B k D k Por ano, si noamos por B δ k la variación del bono debida al cambio δ k en la curva forward, llegamos al resulado deseado: B δ k Bδ k B δ k [ k 1 B k B k D k. Por oro lado, podemos calcular la variación del precio del bono causada por la suma de odas las variaciones parciales δ k, es decir, la variación causada por la curva δ δ k δ 1 si 1 δ 2 si 1 < 2. δ K si < K 3.1 Proposición 3.2. Si la curva forward sufre un desplazamieno δ de la forma dada en la ecuación 3.1, enonces la variación de orden lineal en δ k sufrida por el precio del bono viene dada por B δ B δ B k B k δ k1 δ k δ k D k, donde B δ δ. es el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación Demosración. 2 Sea B δ el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación δ: B δ c e fzδz dz d, donde δ K δ k al como en la ecuación Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice E

15 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 14 Descomponiendo la expresión de δ en un sumaorio para los disinos ramos de la curva forward, y uilizando la aproximación lineal de la función exponencial, llegamos a B δ k { k1 k c e fz dz [ k } 1 δ i i i 1 δ k1 k Agrupando érminos y empleando las noaciones aneriormene inroducidas, llegamos a i1 k D k c e fz dz d k 1 B k k c e fz dz d, B δ B k B k δ k1 δ k δ k D k Por ano, la variación del valor acual del bono debida al cambio δ en la curva forward viene dado por: B δ B δ B k B k δ k1 δ k δ k D k. A parir de los resulados aneriores, podemos enunciar la siguiene proposición: Proposición 3.3. La variación de orden lineal en el precio de un bono causada por una variación de oda la curva forward puede calcularse como la suma de la variación lineal del precio del bono causada por el desplazamieno de cada ramo de la curva forward. Es decir, B δ k Bδ, donde B δ k y B δ indican la variación lineal del precio del bono causada por un desplazamieno paralelo del ramo [ k 1, k de la curva forward, o de oda la curva forward, respecivamene. Demosración. Por la proposición 3.1, sabemos que la variación de orden lineal en el precio del bono causada por una variación δ k consane en un ramo [ k 1, k viene dada por [ B δ k δ k k 1 B k B k D k, donde k D k c e fz dz d k 1 B k k c e fz dz d.

16 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 15 es Por ano, la suma de las variaciones causadas por el desplazamieno de cada ramo B δ k δ k k 1 B k B k D k δ k k 1 B δ k k B k δ k D k Como, y B K K es el iempo de vencimieno, B δ k k2 δ k k 1 B δ k k B k δ k1 k B k k B k δ k1 δ k δ k k B k δ k D k Uilizando la proposición 3.2, llegamos al resulado deseado: δ k D k δ k D k B δ k Bδ Variación del precio del forward debido a un desplazamieno en un ramo de la curva forward Como en el caso del bono, veremos que ambién la variación oal sufrida por el precio del forward debida a una variación de oda la curva forward se puede descomponer como la suma del cambio debido a la variación de cada ramo de la curva, si dichas variaciones son pequeñas. Calculamos primero la variación del precio del forward debida a un cambio δ k en el k-ésimo ramo de la curva forward. Proposición 3.4. La variación de orden lineal del precio del forward F F a causa de un desplazamieno δ k en el ramo [ k 1, k de la curva forward, F δ k F, viene dada por F δ k F F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F δ k F B k 1 B B D k k B k e F fz dz, δ k k 1 B k B k D k e F fz dz, si si k 1 F k F k 1 < k

17 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 16 Demosración. 3 Supongamos que la curva forward sufre una variación δ k en el ramo [ k 1, k. Sea F δ k F el precio del forward calculado con la nueva curva forward. Para conocer su valor, es necesario disinguir res casos, según si el inervalo [ k 1, k es anerior, incluye o es poserior a la fecha forward F. Si el inervalo [ k 1, k es anerior a F es decir, k F, δ k δ k k 1 k F T enonces F δ k F B δ k e F fzδ k z dz CC, F k 1 c e k fzδ kz dz d c e fzδ kz dz d k 1 c e fzδ kz dz F d e fzδ k z dz CC, F k Empleando la definición de δ k, y la aproximación lineal de la función exponencial, obenemos F δ k F c e k fz dz d δ k k δ k k 1 k δ k k 1 c e k 1 F e fz dz CC, F c e fz dz d fz dz d c e fz dz d Recordando la definición de B y reomando las noaciones B k k c e fz dz d obenemos k D k c e fz dz d k 1 F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D F k e fz dz 3 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice F

18 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 17 Si el inervalo [ k 1, k incluye F es decir, k 1 F k, δ k δ k k 1 F k T Como en el caso anerior, si uilizamos la definición de δ k, y agrupando érminos, obenemos F δ k F c e T fz dz d δ k F k 1 δ k k 1 c e fz dz d k δ k c e fz dz d k 1 δ k k k c e fz dz d c e fz dz d F e fz dz CC, F Reomando las noaciones B k y D k, llegamos a la expresión F δ k F F F δ k F B k 1 B B D F k k B k e fz dz Si el inervalo [ k 1, k es poserior a F es decir, F k 1, δ k δ k F k 1 k T enonces de forma análoga a los casos aneriores se demuesra que el valor del forward viene dado por [ F δ k F F F δ k k 1 B k B k D F k e fz dz Por ano, hemos viso que el valor del forward cuando varía el ramo k-ésimo de la curva forward viene dado por

19 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 18 F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F F F δ k F B k 1 B B D k k B k e F [ F F δ k k 1 B k B k D k e F si fz dz, si fz dz, k 1 F k F k 1 < k y por consiguiene, la variación de su valor es F δ k F F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F δ k F B k 1 B B D k k B k e F fz dz, δ k k 1 B k B k D k e F fz dz, si k 1 F k si F k 1 < k Por oro lado, igual como hemos hecho para el bono, podemos calcular la variación del precio del forward causada por la suma de odas las variaciones parciales δ k, es decir, la variación causada por oda la curva δ K δ k ver la ecuación 3.1. Proposición 3.5. La variación de orden lineal del precio del forward F F a causa de un desplazamieno δ en la curva forward, F δ F, viene dada por F δ F [ δ k1 k B k δ k k B k δ k D k s 1 B δ k k k 1 B δ s F s 1 F e fz dz. Demosración. 4 Supongamos que la fecha forward esá conenida en el ramo [ s 1, s : δ δ 3 δ δ δ4 2 δs δ 1 δk s 1 F s T Sea F δ F el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación δ: 4 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice G

20 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 19 F δ F B δ F e fzδz dz CC, F Empleando el desarrollo que hemos enconrado para B δ aproximación lineal de la exponencial, obenemos en la proposición 3.2, y la F δ F F F [ s 1 δ k1 k B k δ k k B k B δ k k k 1 B δ s F s 1 δ k D k F e fz dz Enonces la variación del valor del forward sobre un bono debida al cambio δ en la curva forward viene dado por: F δ F F δ F F F [ δ k1 k B k δ k k B k δ k D k s 1 B δ k k k 1 B δ s F s 1 F e fz dz. A parir de los resulados aneriores, podemos enunciar la siguiene proposición: Proposición 3.6. La variación de orden lineal en el precio de un forward causada por una variación de oda la curva forward puede calcularse como la suma de la variación lineal del precio del forward causada por el desplazamieno de cada ramo de la curva forward. Es decir, F δ k F F δ F, donde F δ k F y F δ F indican la variación lineal del precio del forward causada por un desplazamieno paralelo del ramo [ k 1, k de la curva forward, o de oda la curva forward, respecivamene. Demosración. Por la proposición 3.4, sabemos que la variación de orden lineal en el precio del forward causada por una variación δ k consane en un ramo [ k 1, k viene dada por F δ k F F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F δ k F B k 1 B B D k k B k e F fz dz, δ k k 1 B k B k D k e F fz dz, si si k 1 F k F k 1 < k

21 Capíulo 3. Coberura para variaciones parciales de la curva forward 2 Pueso que F [ s 1, s, para calcular las variaciones causadas por el desplazamieno de cada ramo, debemos disinguir los casos k s 1 ó k > s: F δ k F s 1 [ δ k k B B k k 1 B B D F k e fz dz δ s s1 [ F F B s 1 B B s 1 D s s 1 s B s e fz dz [ δ k k 1 B k B k D F k e fz dz Agrupando érminos, obenemos: F δ k F [ s 1 δ k B k k 1 δ k k B k δ k k 1 B s 1 δ k D k δ s B F s 1 [ B δ k k k 1 F e fz dz δ k k B k δ k D k δ s B F s 1 F e fz dz δ k1 k B k Como B K porque K es el iempo de vencimieno, enonces podemos escribir F δ k F [ s 1 B δ k k k 1 δ k k B k δ k D k δ s B F s 1 Uilizando la proposición 3.5, llegamos al resulado deseado: F δ k F F δ F. F e fz dz δ k1 k B k Hemos viso, por ano, que para calcular la variación del precio del forward a causa de un desplazamieno de oda la curva forward, como en el caso del bono basa calcular la variación causada por el desplazamieno de cada ramo de la parición considerada.

22 Capíulo 4 Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 4.1. Aplicación al valor de un bono de cupón discreo Hemos viso que la variación sufrida por el precio de un bono cuando la curva forward cambia en varios ramos es igual si las variaciones son pequeñas a la suma de la variación provocada por el cambio de cada ramo de la curva forward. Por lo ano, a parir de ahora podremos limiarnos a esudiar el efeco producido por la variación de un solo ramo cualesquiera. Hasa el momeno, hemos considerado bonos eóricos con cupón coninuo, para faciliar los cálculos. Veremos a coninuación que los resulados obenidos son aplicables ambién a los bonos reales, que pagan cupones discreos. Para ello usaremos la función dela de Dirac. Definición 4.1. La función δ D : R R { } que cumple { si δ D si δ D 1 recibe el nombre de función dela de Dirac. Observación. La función dela de Dirac cumple la siguiene propiedad: para cualquier función f. δ D f d f, 4.1 La función dela de Dirac se usa para describir acciones punuales sobre sisemas. Dado que un cupón discreo puede considerarse como un cupón coninuo pagado de golpe en un momeno punual, la dela de Dirac nos será exremadamene úil en nuesro desarrollo, al como muesra el siguiene lema. 21

23 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 22 Lema 4.1. Sea B un bono que paga un solo cupón discreo c en T. La expresión del cupón coninuo en érminos de la función dela de Dirac es c c δ D T. Demosración. Veamos que c cumple la definición que hemos dado para los cupones coninuos es decir, c debe cumplir c d c: c d c δ D T d c δ D T d Por definición de la función dela de Dirac, enemos c δ D T d c δ D T d c 1 c. Si un bono B paga n cupones, veremos enonces que el cupón c se puede definir como una suma de n delas de Dirac, que reflejan los n pagos punuales que ienen lugar a lo largo del iempo. Lema 4.2. Sea B un bono que paga un cupón c r en el momeno T r, con 1 r n. El valor de los cupones es consane e igual a c, excepo para el úlimo cupón: { c si r n 1 c r c B T si r n Enonces el cupón coninuo puede expresarse como c c 1 δ D T 1 c 2 δ D T 2 c n 1 δ D T n 1 c B T δ D T. Demosración. Ese lema se sigue inmediaamene del lema 4.1. Sin embargo, veamos a modo de ejemplo que el valor acual del bono uilizando esa definición de cupón coninuo coincide con la definición de valor acual de un bono con cupón discreo: B n r1 c e T n fz dz d r1 c r δ D T r e fz dz d c r δ D T r Por la propiedad 4.1 de la función dela de Dirac, sabemos que e fz dz d Por ano, δ D T r e fz dz d e r fz dz B n r1 c r e r fz dz n c r DT r, r1

24 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 23 donde recordamos que DT r denoa el facor de descueno a iempo T r. Por ano, vemos que B es la suma de los cupones desconados al momeno, al como cabía esperar. Del mismo modo, al definir c mediane la función dela de Dirac podemos exender odos los resulados obenidos previamene al caso de cupones discreos. Como hemos viso que el valor acual de un bono es la suma de los valores acualizados de sus cupones discreos, basa esudiar la variación de cada flujo de caja por separado para obener la variación oal de B frene a un cambio de la curva forward. Sabemos ambién por los resulados de los capíulos aneriores que el cambio debido a una variación en oda la curva es la suma del cambio provocado por la variación de cada ramo de la curva ver las proposiciones 3.3 y 3.6. Así pues, para esudiar cómo varía el valor del bono cuando se desplaza la curva forward, basa esudiar la variación de un flujo de caja debida al desplazamieno de un solo ramo de la curva. Proposición 4.1. Sea B un bono que paga cupones c r en T r. Sea δ una variación en oda la curva forward y δ k, una variación en el ramo [ k 1, k i. La variación de orden lineal de un cupón c r debida a un cambio δ k de f en el ramo [ k 1, k viene dada por: c δ k r, c δ k r, c r, c r, δ k k k 1 si k 1 < k T r c r, δ k T r k 1 si k 1 T r k si T r k 1 < k ii. La variación de orden lineal de un cupón c r debida a un cambio en odos los ramos de la curva es la suma de las variaciones de orden lineal de c r por el cambio en cada ramo: c δ r, c δ k r,. iii. La variación oal de orden lineal de un bono B debida a una variación en la curva forward viene dada por la suma de las variaciones oales de orden lineal de cada cupón: n B δ c δ r,. Demosración. 1 i. Sea c δ k r, el valor acualizado del cupón r-ésimo después de un desplazamieno δ k en la curva forward. Para calcular el valor de c δ k r,, debemos disinguir res casos, según el ramo donde varía la curva forward [ k 1, k sea anerior, incluya o sea poserior al momeno T r de pago del cupón c r. r1 1 Esa demosración sólo muesra los pasos principales del razonamieno. La demosración complea se adjuna en el apéndice H

25 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 24 Si el inervalo [ k 1, k es anerior a T r es decir, k T r, δ k δ k k 1 k T r T enonces, uilizando la propiedad 4.1 de la dela de Dirac, y la aproximación lineal de la función exponencial, enemos c δ k r, c r, 1 δ k k k 1 Si el inervalo [ k 1, k incluye T r es decir, k 1 T r k, δ k δ k k 1 T r k T enonces c δ k r, c r, 1 δ k T r k 1 Si el inervalo [ k 1, k es poserior a T r es decir, k 1 T r, δ k δ k T r k 1 k T enonces c δ k r, c e r fz dz c r, Por ano, la expresión de la variación de un cupón c r debida a un cambio δ k de f viene dada por: c δ k r, c δ k r, c r, c r, δ k k k 1 si k 1 < k T r c r, δ k T r k 1 si k 1 T r k si T r k 1 < k ii. Por las proposiciones 3.3 y 3.6 sabemos que la variación de orden lineal en oda la curva es la suma del cambio producido por la variación de cada ramo de la

26 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 25 curva: c δ r, c δ k r,. iii. Pueso que esamos considerando las variaciones de orden lineal, aplicando los lemas 4.1 y 4.2 se deduce rivialmene que la variación oal del bono es la suma de las variaciones sufridas por cada cupón: B δ n r1 c δ r, Aplicación al valor de un forward sobre un bono de cupón discreo Veremos ahora que para calcular la variación oal del precio del forward sobre un bono que paga cupones discreos, basa sumar la variación sufrida por cada cupón, igual que en el caso del bono esudiado en el aparado anerior. Sabemos que la expresión del valor de un forward sobre un bono B con fecha forward es: F F F B e fz dz CC, F, donde CC, F es el cupón acumulado desde hasa F. Ya hemos viso que el valor del bono viene dado por n B Susiuyendo en la expresión del forward, F F n r1 r1 c r, F c r, e fz dz CC, F. Por ano, F F es suma es los cupones acualizados y financiados a iempo F, previa resa del cupón acumulado CC, F. Con eso llegamos a la siguiene proposición. Proposición 4.2. La variación sufrida por el precio de un forward F F debida a un desplazamieno δ k en el ramo [ k 1, k de la curva forward viene dada por F F n r1 c δ F k r, e fzδ k z dz F c r, e fz dz Demosración. La variación del precio del forward viene dada por F F F δ k F F F n c δ F n k r, e fzδ k z dz F CC, F c r, e fz dz CC, F r1 r1

27 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 26 n r1 n r1 c δ F k r, e fzδ k z dz n r1 F c r, e fz dz c δ F k r, e fzδ k z dz F c r, e fz dz 4.3. Cálculo de los raios de coberura Consideremos una parición de la curva forward en 2 ramos. Sea δ 1 la variación asociada al primer ramo, y δ 2, la del segundo. Consideremos una carera formada por dos bonos, B 1 y B 2. Supongamos que queremos cubrir esa carera con ora carera formada por dos ipos de forward: forwards F 1 F1 sobre el bono B 1 y forwards F 2 F2 sobre el bono B 2, donde F1 y F2 indican los momenos fuuros en que se adquieren los bonos B 1 y B 2 mediane los forwards F 1 y F 2, respecivamene. La siguiene proposición indica cómo calcular el número N F1 de forwards F 1 y el número N F2 de forwards F 2 necesarios para cubrir la carera de bonos conra cambios de los ipos de inerés. Proposición 4.3. Sean N F1 y N F2 el número de forwards F F1 y F F2 necesarios para cubrir una carera formada por dos bonos B 1 y B 2. Enonces N F1 y N F2 pueden calcularse resolviendo el sisema de ecuaciones { B δ 1 1 Bδ 1 2 N F 1 F δ 1 1 F 1 N F2 F δ 1 B δ 2 1 Bδ 2 2 N F 1 F δ 2 1 F 1 N F2 F δ 2 2 F 2 2 F 2 Demosración. Para calcular el número de forwards necesarios para cubrir una carera de bonos debemos calcular el número de forwards que hacen que la carera a fuuro sufra la misma variación que la carera al conado frene a cambios de los ipos. Para ello calcularemos la variación de ambas careras debida a un cambio de la curva forward. Hemos viso en la proposición 4.1 que la variación de orden lineal del precio del bono debido a un desplazamieno δ de la curva f viene dado por: B δ n r1 c δ r,. Si la curva forward sufre una variación δ 1 en el primer ramo, la variación sufrida por los bonos B 1 y B 2 es por ano n 1 B δ 1 1 r1 r1 c δ 1 r 1, n 2 B δ 1 2 c δ 1 r 2,, donde c ri es el cupón pagado por el bono B i en el momeno ri, 1 r i n i, i 1, 2.

28 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 27 La variación lineal del precio de la carera de bonos es B δ 1 1 Bδ 1 2. Y la carera formada por N F1 forwards F 1 y N F2 forwards F 2 sufre la siguiene variación: N F1 F δ 1 1 F 1 N F2 F δ 1 2 F 2 Del mismo modo, podemos calcular las variaciones de las careras frene a un cambio δ 2 en el segundo ramo de la curva forward: B δ 2 1 Bδ 2 2 N F1 F δ 2 1 F 1 N F2 F δ 2 2 F 2 Pueso que la variación de la carera a plazo debe compensar la variación de la carera al conado, para deerminar N F1 y N F2 basa resolver el sisema { B δ 1 1 Bδ 1 2 N F 1 F δ 1 1 F 1 N F2 F δ 1 2 F 2 B δ 2 1 Bδ 2 2 N F 1 F δ 2 1 F 1 N F2 F δ 2 2 F 2 Corolario 4.1. Para calcular la esraegia de coberura de una carera formada por M bonos B 1, B 2,..., B M mediane una carera formada por M forwards F 1 F1, F 2 F2,..., F M FM, basa resolver el sisema donde M i1 Bδ 1 i M i1 Bδ 2 i. M i1 Bδ M i B δ j i n i r1 c δ j r, F δ j i Fi F δ 1 1 F 1 F δ 1 2 F 2 F δ 1 M F M F δ 2 1 F 1 F δ 2 2 F 2 F δ 2 M F M F δ M 1 F1 F δ M 2 F2 F δ M M FM n i r1 ni r1 c r, δ j j j 1 si j 1 < j T r ni r1 c r, δ j T r j 1 si j 1 T r j si j 1 < j T r c δ j r, e F fzδ j z dz F c r, e fz dz N F1 N F2. N FM Demosración. Basa generalizar la proposición 4.3 al caso de una carera compuesa por M bonos disinos B 1, B 2,..., B M, cubiera con una carera formada por N F1 forwards de ipo F 1, N F2 forwards de ipo F 2 y así sucesivamene, hasa N FM forwards de ipo F M. Supongamos que la curva forward esá dividida en M ramos disinos, cada uno de los cuales sufre una variación δ k independiene. Para conseguir una coberura ajusada, es preciso que la variación de la carera a plazo sea igual a la variación sufrida por la,

29 Capíulo 4. Aplicación a la coberura de careras de bonos de cupón discreo 28 carera al conado, para cada variación δ k independiene. Por ano, debemos resolver el sisema dado por B δ 1 1 Bδ 1 M N F 1 F δ 1 1 F 1 N FM F δ 1 M F M B δ 2 1 Bδ 2 M N F 1 F δ 2 1 F 1 N FM F δ 2 M F M. B δ M 1 B δ M M N F1 F δ M 1 F1 N FM F δ M M FM M i1 Bδ 1 i N F1 F δ 1 1 F 1 N FM F δ 1 M F M M i1 Bδ 2 i N F1 F δ 2 1 F 1 N FM F δ 2 M F M. M i1 Bδ M i N F1 F δ M 1 F1 N FM F δ M M FM Así pues, vemos finalmene que el cálculo de la esraegia de coberura se reduce a resolver el sisema M i1 Bδ 1 i F δ 1 1 F 1 F δ 1 2 F 2 F δ 1 M F M N F1 M i1 Bδ 2 i. F δ 2 1 F 1 F δ 2 2 F 2 F δ 2 M F M N F2., M i1 Bδ M i F δ M 1 F1 F δ M 2 F2 F δ M M FM N FM donde por la proposición 4.1 sabemos que B δ j i n i r1 c δ j r, ni r1 c r, δ j j j 1 si j 1 < j T r ni r1 c r, δ j T r j 1 si j 1 T r j si j 1 < j T r F δ j i Fi n i r1 c δ j r, e F fzδ j z dz F c r, e fz dz Como remarca final, cabe decir que sólo hemos mosrado cómo calcular la coberura en el caso de que se considere una parición de la curva forward en anos ramos como insrumenos configuran la carera de coberura. Pero ambién se podría calcular la coberura omando una parición de la curva forward formada por un número de ramos mayor que el número de insrumenos de coberura. En ese caso, la composición de la carera de coberura se deerminaría minimizando la diferencia enre la variación de la carera de bonos y la carera de forwards ane la variación de los disinos ramos de la curva forward por ejemplo, mediane el procedimieno de mínimos cuadrados.

30 Apéndices 29

31 Apéndice A Lema 1.1 Si el mercado es libre de arbiraje, enonces debe cumplirse la siguiene relación enre los ipos spo s, T y las asas forward implícias f: e f d e s, T T. Demosración. Sea 1 C a iempo. Sabemos, por definición del ipo spo, que su valor a iempo T es e s,t T. Por oro lado, podemos considerar una subdivisión del inervalo [, T en k rozos iguales de longiud T. En cada subinervalo enemos un ipo forward al principio del subinervalo para un depósio hecho al fin del subinervalo: f, T f T,2 T f 2 T,3 T f k 1 T,k T T 2 T 3 T k 1 T k T T Por ausencia de arbiraje, debe cumplirse la siguiene relación enre el ipo spo y los ipos forward: e s,t T e [f, T T e [f T,2 T T e [f k 1 T,T T e s,t T k 1 e [f i T,i1 T T i e s,t T e [ k 1 i f i T,i1 T T Tomando límies cuando k equivalenemene, T, obenemos: e s,t T e f d, donde f es el ipo forward implício. 3

32 Apéndice B Proposición 2.1 La relación enre la variación del precio del bono y una variación paralela infiniesimal de oda la curva forward viene dada por B f B D. Demosración. La variación en el precio del bono a causa de una variación infiniesimal paralela de la curva forward f viene dada por: B f B f h B f lím h h lím c e fzh dz d c e fz dz d h h [ lím h 1 c e T fzh dz d h 1 c e fz dz d h [ lím h [ lím h [ lím h h 1 c e fz dz h d h 1 c e fz dz e h d h 1 c e fz dz e h 1 d h 1 c e fz dz d h 1 c e fz dz d Teniendo en cuena que la función exponencial puede desarrollarse en serie mediane la expresión e x x n n! 1 x x2 2 x3 6, n podemos susiuir e h en la expresión del límie por su serie de poencias: [ lím h 1 c e fz dz e h 1 d h [ lím h h 1 c e fz dz h 2 1 h 1 d 2 31

33 Apéndice B. Proposición [ lím h [ lím h 1 B B B D. h 1 c e fz dz h 2 h 2 c e fz dz h 2 2 c e fz dz d c e fz dz d d d Por ano, B f B D.

34 Apéndice C Proposición 2.2 La relación enre la variación del precio de un forward sobre un bono y una variación paralela infiniesimal de oda la curva forward viene dada por F F f B e F fz dz F D. Demosración. La expresión del precio del forward viene dada por F F F B e fz dz F c d. La variación del precio del forward provocada por una variación infiniesimal en oda la curva forward se puede calcular mediane el límie F F f F F, f h F F, f lím. h h Anes de deerminar el valor del límie, desarrollamos el numerador: F F F, f h F F, f B f h e fzh dz F B f e fz dz F F c e fz dz h d c d c d c e fz dz F d e fz dz F e fz dzh F c e fz dz e h d e fz dz e h F c e fz dz F d e fz dz Uilizando el desarrollo de la función exponencial en serie de poencias e x n x n n! 1 x x2 2 x3 6, 33

35 Apéndice C. Proposición obenemos: [ F F, f h F F, f F e fz dz 1 h F h2 2 F F e fz dz h2 2 c e fz dz 1 h h2 2 2 Oh 3 2 c e fz dz F d e fz dz F e fz dz h2 2 [ c e T fz dz d h c e fz dz 2 d c e fz dz d Oh 3 h 2 F F e fz dz [ c e T fz dz d h c e fz dz 2 d h F h2 2 2 F c e fz dz d 1 h F h2 2 F 2 c e fz dz d c e fz dz d h2 2 2 F c e fz dz d Oh 3 [ h F c e fz dz d c e T fz dz d c e fz dz 2 d 2 F c e fz dz d Oh 3 Susiuimos ahora en la expresión del límie: F F f c e fz dz d c e fz dz d c e fz dz d F F, f h F F, h lím h h { 1 lím h h e F fz dz [ h F c e T fz dz d c e fz dz d h2 2 2 F { F e fz dz h lím [ F c e fz dz 2 d 2 F c e fz dz d } Oh 3 c e T fz dz d c e fz dz d Oh 3 d c e fz dz d

36 Apéndice C. Proposición h 2 2 F F e fz dz F e c e T fz dz 2 d 2 F c e fz dz d Oh 2 } c e fz dz d F c e T fz dz d c e fz dz d fz dz F B B D B e fz dz F D.

37 Apéndice D Proposición 3.1 Si la curva forward sufre un desplazamieno δ k en el ramo [ k 1, k, enonces la variación de orden lineal en δ k sufrida por el precio del bono viene dada por [ B δ k δ k k 1 B k B k D k, donde k D k c e k 1 B k k fz dz d c e fz dz d. Demosración. Noamos el valor del bono después de la variación δ k de los ipos de inerés por B δ k. Para calcular Bδ k basa acualizar el cupón coninuo con los nuevos ipos de inerés: B δ k k 1 k c e fzδ kz dz d c e k fzδ kz dz d c e fzδ kz dz d k 1 c e fzδ kz dz d Como δ k es consane en el ramo [ k 1, k, y vale fuera de ese ramo, obenemos: B δ k k 1 c e k fz dz d c e fz dz δ k k 1 d k 1 c e fz dz δ k k k 1 d k k 1 k c e fz dz d k c e fz dz e δ k k k 1 d c e fz dz e δ k k 1 d k 1 36

38 Apéndice D. Proposición Usando la aproximación lineal de la función exponencial e x 1 x { e δ k k 1 1 δ k k 1 e δ k k k 1 1 δ k k k 1 obenemos B δ k k 1 k k 1 k c e k fz dz d c e fz dz [1 δ k k 1 d k 1 c e fz dz [1 δ k k k 1 d c e k fz dz d c e fz dz d k 1 c e T fz dz δ k k 1 d k 1 k c e fz dz δ k k k 1 d k c e fz dz d Agrupando érminos, B δ k k 1 c e k fz dz d c e T fz dz d c e fz dz d k 1 k c e T fz dz δ k d c e fz dz δ k k d k 1 k k c e T fz dz δ k k 1 d k 1 k k c e fz dz δ k k 1 d c e k fz dz d δ k c e fz dz d k 1 δ k k k c e T fz dz d δ k k 1 c e fz dz d k 1 Teniendo en cuena la expresión del precio de un bono y definiendo obenemos: B c e fz dz d k D k c e fz dz d k 1 B k k c e fz dz d, B δ k B δ k D k δ k k 1 B δ k k B k [ B δ k k 1 B k B k D k

39 Apéndice D. Proposición Si noamos la variación del valor acual del bono debida a un cambio δ k en la curva forward como B δ k, enemos: B δ k Bδ k B δ k [ k 1 B k B k D k.

40 Apéndice E Proposición 3.2 Si la curva forward sufre un desplazamieno δ de la forma dada en la ecuación 3.1, enonces la variación de orden lineal en δ k sufrida por el precio del bono viene dada por B δ B δ B k B k δ k1 δ k δ k D k, donde B δ es el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación δ. Demosración. Sea B δ el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación δ: B δ 1 K 1 c e fzδz dz d c e 2 fzδz dz d c e fzδz dz d K 1 c e fz dz δ 1 d c e fzδz dz d c e fz dz δ 1 1 δ 2 1 d c e fz dz δ 1 1 δ δ K 2 δ K d K c e fz dz e δ 1 d 2 1 c e fz dz e [δ 1 1 δ 2 1 d c e fz dz e [δ 1 1 δ δ K 2 δ K d Uilizando como anes la aproximación lineal de la exponencial, obenemos: B δ 1 c e fz dz e δ 1 d 39

41 Apéndice E. Proposición K 1 c e fz dz e [δ 1 1 δ 2 1 d c e fz dz e [δ 1 1 δ δ K 2 δ K d 2 1 K c e fz dz 1 δ 1 d c e fz dz [1 δ 1 1 δ 2 1 d c e fz dz [1 δ 1 1 δ δ K 2 δ K d De forma más compaca, { k1 B δ k k c e fz dz Agrupando érminos, obenemos [ k } 1 δ i i i 1 δ k1 k i1 B δ c e T fz dz d δ 1 1 δ δ K δ δ 1 δ K K 3 c e T fz dz d δ c e fz dz d c e T fz dz d δ c e fz dz d 2 c e fz dz d c e T fz dz d δ c e c e fz dz d δ 2 c e fz dz d 2 1 c e fz dz d fz dz d Empleando las noaciones aneriormene inroducidas, k D k c e fz dz d k 1 llegamos a B k k c e fz dz d, B δ B δ 1 1 B 1 δ 2 1 B 1 δ 3 2 B 2 δ K B δ 2 2 B 2 δ 3 3 B 3 δ B δ 1 D 1 δ 2 D 2 1 δ K D K

42 Apéndice E. Proposición B δ k1 k B k δ k k B k B k B k δ k1 δ k δ k D k. δ k D k Enonces la variación del valor acual del bono debida al cambio δ en la curva forward viene dado por: B δ B δ B k B k δ k1 δ k δ k D k.

43 Apéndice F Proposición 3.4 La variación de orden lineal del precio del forward F F a causa de un desplazamieno δ k en el ramo [ k 1, k de la curva forward, F δ k F, viene dada por F δ k F F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F δ k F B k 1 B B D k k B k e F fz dz, δ k k 1 B k B k D k e F fz dz, si si k 1 F k F k 1 < k Demosración. Supongamos que la curva forward sufre una variación δ k en el ramo [ k 1, k. Sea F δ k F el precio del forward calculado con la nueva curva forward. Para conocer su valor, es necesario disinguir res casos, según si el inervalo [ k 1, k es anerior, incluye o es poserior a la fecha forward F. Si el inervalo [ k 1, k es anerior a F es decir, k F, δ k δ k k 1 k F T enonces F δ k F B δ k e F fzδ k z dz CC, F c e fzδ kz dz F d e fzδ k z dz CC, F k 1 c e k fzδ kz dz d c e fzδ kz dz d k 1 42

44 Apéndice F. Proposición c e fzδ kz dz F d e fzδ k z dz CC, F k Empleando la definición de δ k, F δ k F k 1 k c e k fz dz d c e fz dz δ k k 1 d k 1 c e fz dz δ k k k 1 d F e fz dzδ k k k 1 CC, F k 1 c e k fz dz d c e fz dz e δ k k 1 d k 1 c e fz dz e δ k k k 1 F d e fz dz e δ k k k 1 k CC, F Uilizando la aproximación lineal de la exponencial, F δ k F k 1 k c e fz dz d c e fz dz [1 δ k k 1 d k 1 k c e fz dz [1 δ k k k 1 d [1 δ k k k 1 CC, F k 1 k c e fz dz [1 δ k k k 1 d F e fz dz c e fz dz [1 δ k k 1 [1 δ k k k 1 d k 1 k F c e fz dz [1 δ k k k 1 [1 δ k k k 1 d e fz dz CC, F k 1 k c e fz dz [1 δ k k k 1 d c e fz dz [1 δ k k k 1 δ k k 1 k 1 δ 2 k k 1 k k 1 d k F c e fz dz [1 δk 2 k k 1 2 d e fz dz CC, F Pueso que omamos variaciones δ k infiniesimales y consideramos sólo la apro-

45 Apéndice F. Proposición ximación lineal, podemos despreciar los érminos que conienen δ 2 k : F δ k F k 1 k k k 1 c e fz dz [1 δ k k k 1 d c e fz dz [1 δ k k k 1 δ k k 1 d k 1 c e fz dz F d e fz dz CC, F c e fz dz d δ k k k 1 k Agrupando érminos, F δ k F k 1 c e fz dz d c e k fz dz d δ k k c e fz dz d k 1 k 1 k δ k c e T fz dz d c e fz dz d k 1 k F e fz dz CC, F c e k fz dz d δ k k δ k k 1 k δ k k 1 c e k 1 F e fz dz CC, F c e fz dz d fz dz d Recordando la definición de B y reomando las noaciones obenemos F δ k F B k k c e fz dz d k D k c e k 1 fz dz d c e fz dz d B δ k k B B k δ k k 1 B B δ k D k F e fz dz CC, F [ B δ k k B B k k 1 B B D k F e fz dz CC, F F B e fz dz CC, F δ k k B B k k 1 B B D k F F δ k F e fz dz k B B k k 1 B B D k e F fz dz

46 Apéndice F. Proposición Si el inervalo [ k 1, k incluye F es decir, k 1 F k, δ k δ k k 1 F k T enonces F δ k F B δ k e F fzδ k z dz CC, F c e fzδ kz dz F d e fzδ k z dz CC, F k 1 c e k fzδ kz dz d c e fzδ kz dz d k 1 c e fzδ kz dz F d e fzδ k z dz CC, F Empleando la definición de δ k, k F δ k F k 1 k c e k fz dz d c e fz dz δ k k 1 d k 1 c e fz dz δ k k k 1 d F e fz dzδ k F k 1 CC, F k 1 c e k fz dz d c e fz dz e δ k k 1 d k 1 c e fz dz e δ k k k 1 F d e fz dz e δ k F k 1 k CC, F Uilizando la aproximación lineal de la exponencial, F δ k F k 1 k c e fz dz d c e fz dz [1 δ k k 1 d k 1 k c e fz dz [1 δ k k k 1 d [1 δ k F k 1 CC, F k 1 c e fz dz [1 δ k F k 1 d F e fz dz

47 Apéndice F. Proposición k c e fz dz [1 δ k k 1 [1 δ k F k 1 d k 1 k F c e fz dz [1 δ k k k 1 [1 δ k F k 1 d e fz dz CC, F k 1 k c e fz dz [1 δ k F k 1 d c e fz dz [1 δ k F k 1 δ k k 1 k 1 δ 2 k k 1 F k 1 d k c e fz dz [1 δ k F k 1 δ k k k 1 δk 2 k k 1 F k 1 d e fz dz CC, F Pueso que omamos variaciones δ k infiniesimales y consideramos sólo la aproximación lineal, podemos despreciar los érminos que conienen δ 2 k : F δ k F k 1 k F c e fz dz [1 δ k F k 1 d c e fz dz [1 δ k F k 1 δ k k 1 d k 1 k F c e fz dz [1 δ k F k 1 δ k k k 1 d e fz dz CC, F k 1 δ k F k 1 k δ k c e fz dz d k 1 c e fz dz d c e k fz dz d δ k F c e fz dz d k 1 k 1 k δ k F c e T fz dz d k 1 k F e fz dz CC, F Agrupando érminos, c e T fz dz d δ k k k c e fz dz d k c e fz dz d F δ k F c e T fz dz d δ k F δ k k 1 k 1 c e fz dz d c e fz dz d

48 Apéndice F. Proposición k δ k c e fz dz d k 1 δ k k k c e fz dz d Recordando la definición de B y reomando las noaciones obenemos F δ k F B k k c e fz dz d k D k c e fz dz d k 1 F e fz dz CC, F B δ k F B δ k k 1 B B δ k D k F δ k k B k e [ B δ k fz dz CC, F F B k 1 B B D k k B k F e fz dz CC, F F B e fz dz CC, F δ k F B k 1 B B D k F k B k e fz dz F F δ k F B k 1 B B D k F k B k e fz dz Si el inervalo [ k 1, k es poserior a F es decir, F k 1, δ k δ k F k 1 k T enonces de forma análoga a los casos aneriores se demuesra que el valor del forward viene dado por [ F δ k F F F δ k k 1 B k B k D F k e fz dz Por ano, hemos viso que el valor del forward cuando varía el ramo k-ésimo de la curva forward viene dado por

49 Apéndice F. Proposición F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F F F δ k F B k 1 B B D k k B k e F F F δ k k 1 B k B k D k e F si fz dz, si fz dz, k 1 F k F k 1 < k y por consiguiene, la variación de su valor es F δ k F F δ k F F F δ k k B B k k 1 B B D k e F fz dz, si k 1 < k F δ k F B k 1 B B D k k B k e F fz dz, δ k k 1 B k B k D k e F fz dz, si k 1 F k si F k 1 < k

50 Apéndice G Proposición 3.5 La variación de orden lineal del precio del forward F F a causa de un desplazamieno δ en la curva forward, F δ F, viene dada por F δ F [ δ k1 k B k δ k k B k δ k D k s 1 B δ k k k 1 B δ s F s 1 F e fz dz. Demosración. Supongamos que la fecha forward esá conenida en el ramo [ s 1, s : δ δ 3 δ δ δ4 2 δs δ 1 δk s 1 F s T Sea F δ F el valor acual del bono cuando la curva forward ha sufrido una variación δ: F δ F B δ F e fzδz dz CC, F Empleando el desarrollo que hemos enconrado para B δ en la proposición 3.2, enemos: F δ F [ B F δ k1 k B k δ k k B k e fzδz dz CC, F [ B δ k1 k B k δ k k B k e F fz dzδ 1 1 δ δ s F s 1 δ k D k δ k D k CC, F 49

51 Apéndice G. Proposición [ B F δ k1 k B k δ k k B k δ k D k e fz dz e δ 1 1 δ δ s F s 1 CC, F Empleando la aproximación lineal de la exponencial, enemos: [ F δ F B δ k1 k B k δ k k B k δ k D k F e fz dz 1 δ 1 1 δ δ s F s 1 CC, F Pueso que sólo consideramos la aproximación de orden lineal, podemos despreciar los érminos de orden mayor en δ k : F δ F [ B s 1 δ k1 k B k δ k k B k B δ k k k 1 B δ s F s 1 F e fz dz CC, F F B e fz dz CC, F [ δ k1 k B k δ k k B k s 1 B δ k k k 1 B δ s F s 1 F F [ s 1 δ k1 k B k δ k k B k B δ k k k 1 B δ s F s 1 δ k D k δ k D k F e fz dz δ k D k F e fz dz Enonces la variación del valor del forward sobre un bono debida al cambio δ en la curva forward viene dado por: F δ F F δ F F F [ δ k1 k B k δ k k B k δ k D k s 1 B δ k k k 1 B δ s F s 1 F e fz dz.

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