ESTIMACIÓN DEL VALOR EN RIESGO POR CALCE ENTRE ACTIVOS Y PASIVOS DE SEGUROS

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1 ESTIMACIÓN DEL VALOR EN RIESGO POR CALCE ENTRE ACTIVOS Y PASIVOS DE SEGUROS Por: J. Gudiño * jgudino@iam.mx 1. ANTECEDENTES Los seguros son conraos que consisen en que una insiución llamada aseguradora, se obliga a resarcir las pérdidas originadas por un daño proveniene de la manifesación de un eveno de carácer coningene, al cual se le conoce como riesgo. Dichos conraos de seguros ienen generalmene un plazo, denro del cual, de ocurrir el daño previso, la compañía de seguros debe realizar el pago correspondiene. En una operación de seguros, una compañía adquiere obligaciones que por ser de carácer coningene no se conoce con exaciud el momeno en que debe enfrenar ales obligaciones. A diferencia de los pasivos cieros, en los que se conoce el mono y el momeno en que vencerá la obligación, los seguros son pasivos coningenes en los que no se conoce ni el mono ni el momeno exaco en que se deberá reconocer la obligación previsa en el conrao, sin embargo, exisen écnicas acuariales que permien hacer esimaciones sobre el mono de las obligaciones que se derivarán de una carera de seguros. Debido a que el riesgo medido en periodos anuales, es comúnmene creciene, los conraos se pacan a prima nivelada lo que produce la necesidad de crear un mecanismo de compensación en el iempo, el cual consise en la consiución de una reserva que se reconoce en los esados financieros como pasivo coningene. Los pasivos de seguros son calculados mediane procedimienos acuariales que en forma implícia reconocen una asa de rendimieno fuura que generalmene se supone consane en el iempo. Una vez que el asegurado paga la prima correspondiene, la compañía de seguros queda compromeida, no sólo a responder por las reclamaciones que se produzcan, sino ambién a obener de la inversión de la reservas, como mínimo, la asa de rendimienos supuesa al calcular la prima. Es por ello que los acivos deben quedar inveridos de manera que, por un lado, permian manener el grado de liquidez necesario para hacer frene a las reclamaciones que se presenen, y por oro, inverirlos en plazos que permian reducir al máximo el riesgo de reinversión que implíciamene puede generar un riesgo de pérdida si la asa obenida al momeno de la reinversión fuera menor a la asa hipoéica considerada en el cálculo de la prima, ya que la obención de una asa menor generaría una pérdida para la compañía de seguros. * Juliana Gudiño A. es profesor de iempo compleo del Insiuo Tecnológico Auónomo de México y cuena con licenciaura en acuaría, maesría en seguros y maesría en finanzas.

2 Por lo anerior, un aspeco imporane en la adminisración de una operación de seguros es manener un manejo de los acivos que sea congruene con los pasivos, de manera que se cuene con la disponibilidad de recursos (liquidez) en el momeno en que se engan que pagar las obligaciones, y que a la vez los acivos se invieran a una asa de rendimieno igual o superior a la de los pasivos y a un plazo ópimo de manera que no se incurra en el riego de reinversión. Debido a la nauraleza coningene de las obligaciones que se derivan de conraos de seguros, manener un sisema ópimo de congruencia enre acivos y pasivos (maching) implica hacer valoraciones que permian omar decisiones a parir de parámeros cuaniaivos. La esimación de los flujos fuuros de obligaciones que habrán de pagarse, la gran variedad de insrumenos de inversión en que se pueden inverir los recursos, la variedad en los plazos a los cuales se puede inverir los recursos, hace que se necesien herramienas de análisis y medición que nos den una idea clara y objeiva de la pérdida esperada (valor en riesgo), en que se incurre al realizar (o querer realizar) una serie de inversiones desinadas a cubrir pasivos coningenes de seguros. Es relevane mencionar que en México, recienemene los reguladores de seguros han iniciado la aplicación obligaoria de medición de la pérdida esperada por descalce, específicamene en los seguros de vida y seguros de pensiones de la seguridad social. En ese documeno se expone un procedimieno acuarial para esimar las pérdidas (o uilidades) que se pueden producir por el calce de pasivos coningenes, enfocándose específicamene a pasivos de seguros de vida de largo plazo. El modelo que se desarrolla incorpora los elemenos de asa de rendimieno, plazo y liquidez, dando como resulado el concepo que denominaremos Valor en Riesgo por Calce, el cual represena el mono esimado (a valor presene) de las pérdidas o uilidades que se producirán a lo largo de la vida de la carera de pasivos de seguros, bajo el supueso de que las inversiones se manengan conforme a las condiciones inicialmene conocidas. Ese concepo, resula fundamenal para deerminar la solvencia financiera de una compañía de seguros, ya que es un elemeno que permie reconocer el efeco fuuro que endrá la adopción de deerminadas políicas de inversión y de precio. El manejo de ese concepo al cual denominaremos VARC, resula congruene con diversos elemenos de evaluación del valor de una compañía de seguros, ales como Fair Value, Embedded Value y GAAP. El modelo que se propone incorpora de manera inegral los diversos elemenos de la prácica de las operaciones de seguros, que surgen en forma naural de la forma en que se realizan las operaciones de seguros, ales como los procedimienos acuariales de valuación de pasivos de seguros (fórmulas discreas de valuación), supuesos sobre asas de inerés, modelos de salidas múliples, procedimienos esadísicos y procesos esocásicos.

3 . ELEMENTOS TEORICOS DEL CALCE.1 Modelos de Insiuciones Financieras para medir el riesgo de Tasa de Inerés Frecuenemene las insiuciones financieras no equiparan los vencimienos de sus acivos y pasivos. Como consecuencia de eso, esán expuesas al riesgo de asa de inerés. Exisen diversos modelos para medir la desigualdad de vencimienos o gap de los acivos y pasivos. Enre esos modelos más conocidos se ienen: Modelo de Reevaluación Modelo de Vencimieno Modelo de Duración Modelo de Reevaluación El modelo de reevaluación es un análisis conable de flujos de efecivo del gap de reevaluación enre los inereses por venas ganados sobre los acivos y de los inereses pagados sobre los pasivos, en un deerminado período. Es decir, el gap de reevaluación se refiere a la diferencia enre los acivos y los pasivos, cuyas asa de inerés serán revaluadas o cambiarán en un período fuuro. No obsane de que el gap acumulado en el balance general deberá ser igual a cero, el modelo de reevaluación iene la venaja del valor de la información que provee y en la simplicidad con la que muesra la exposición de los inereses sobre ingreso neo a cambios en las asas de inerés, en diferenes vencimienos. Denro de las deficiencias de ese modelo se ienen las siguienes: i) Ignora efecos de valor de mercado. Los cambios en asas de inerés ienen un efeco de valor de mercado, adicional al efeco de ingreso sobre los valores de acivos y pasivos. Ese modelo ignora el efeco de valor de mercado, asumiendo implíciamene una aproximación de valor conable. Por ano el modelo de reevaluación, es solamene una medida parcial de la exposición que iene una insiución financiera al riesgo de asa de inerés. ii) iii) Sobre agregación. El problema de definir subgrupos sobre un rango de vencimienos, ignora información de la disribución de acivos y pasivos denro de cada subgrupo. Fracasa al raar con el problema de pagos. Los flujos de efecivo periódicos de inerés y principal correspondienes a los pagos de la amorización sobre acivos de largo plazo, ales como hipoecas, pueden ser reinveridos a asas de mercado. Esos pagos son sensibles a cambios de asas de inerés. Sensibilidad de acivos y pasivos a cambios en asas de inerés.

4 Modelo de Vencimieno Las insiuciones financieras por lo general emplean Conabilidad a Valor en Libros cuando reporan acivos y pasivos. Por oro lado, reporar a valor de mercado, significa que los acivos y pasivos deberán reevaluarse para reflejar las condiciones de mercado prevalecienes en ese momeno, eso se conoce con el nombre de Conabilidad a Valor de Mercado, eso es, acivos y pasivos son reevaluados de acuerdo al nivel de asas de inerés acuales. Ese segundo méodo de Conabilidad, refleja la realidad económica o verdadero valor de los acivos y pasivos. Su imporancia radica en que si el porafolio de la insiución financiera uviera que liquidarse a precios acualizados en lugar de uilizar los precios a los cuales originalmene fueron adquiridos o vendidos los acivos y pasivos, ese méodo permiirá a la insiución financiera conocer el verdadero valor de su porafolio. El modelo de vencimieno sí considera los efecos sobre los valores de mercado de acivos y pasivos, como consecuencia de cambios en los niveles de asas de inerés. Las insiuciones financieras manienen insrumenos de deuda ano en su acivo como en su pasivo. Un incremeno en el rendimieno a vencimieno reducirá el precio de los insrumenos de rena fija que manengan las insiuciones financieras en su acivo o en su pasivo. La reducción del valor de mercado de los acivos será un efeco negaivo para la insiución financiera, mienras que la reducción de los pasivos endrá un efeco posiivo. Claramene, una disminución en el nivel de asas de inerés provocará un aumeno en el valor de mercado de acivos y pasivos. Una de las reglas en la adminisración de porafolios de insiuciones financieras es que enre mayor sea el vencimieno de acivos y pasivos de rena fija, mayor será la caída de su precio y del valor de mercado para cualquier incremeno en el nivel de asas de inerés. Es decir: P1 P P3 PN < < < L < (.1.1) i i i i donde: P k : Cambio en precio de un insrumeno de rena fija con vencimieno denro de k períodos i : Cambio en asa de inerés Valor Hisórico

5 Sin embargo, el amaño de la pérdida de capial incremena a una asa decreciene, conforme se analizan mayores vencimienos. Eso se ve claramene en la siguiene gráfica: Gráfica.1.1. Cambio precio conforme aumena asa de inerés considerando el vencimieno del insrumeno de rena fija Por ano, los acivos y pasivos de rena fija en una insiución financiera sufrirán los siguienes efecos: Un aumeno (disminución) de asas de inerés generalmene conducirá a una disminución (aumeno) del valor de mercado de los acivos o pasivos. Enre mayor sea el vencimieno de los acivos o pasivos de rena fija, mayor será la disminución (aumeno) de su valor de mercado para cualquier aumeno (disminución) de las asas de inerés. La disminución en el valor de mercado de íulos de mayor plazo incremena a asa decreciene, para cualquier aumeno en asas de inerés. Cuando se analiza un porafolio de acivos y pasivos de una insiución financiera, se empleará la fórmula.1.. para calcular el vencimieno del porafolio. T = w L+ i i1 Ti 1 + wi Ti + wintin (.1.) donde: T i : Vencimieno promedio ponderado del porafolio de acivos (pasivos) de una insiución financiera T : Vencimieno del j-ésimo acivo (pasivo), j=1,,,n ij w : La imporancia de cada acivo (pasivo) en el porafolio de acivos (pasivos) de la ij insiución financiera, medido por el valor de mercado del acivo (pasivo) en relación al valor de mercado de odos los acivos (pasivos). La fórmula.1., esablece que el vencimieno del porafolio de acivos (pasivos) de una insiución financiera será igual un promedio ponderado de los vencimienos de los acivos o pasivos que conforman el porafolio. Cada vencimieno esá ponderado por el valor de mercado que represena del valor de mercado oal del porafolio.

6 En un porafolio de acivos (pasivos) se cumplen los mismos principios que para un iulo individual, eso es: Un aumeno en asas de inerés, generalmene disminuirá los valores de mercado de los porafolios de acivos o pasivos de las insiuciones financieras. Enre mayor vencimieno del porafolio de acivos (pasivos), enonces mayor será la disminución en el valor de mercado del porafolio para cualquier aumeno en asas de inerés. La disminución en el valor de mercado del porafolio de acivos o pasivos aumena a asa decreciene, enre mayor sea el vencimieno del porafolio. Por ano, el efeco neo de un aumeno (disminución) de las asas de inerés en el balance general de una insiución financiera, depende de cómo la insiución financiera desequilibra los vencimienos de sus porafolios de acivos y pasivos, es decir, si el gap de vencimieno (M A -M L ) es mayor (menor) a cero. Por ejemplo, si un banco comercial esuviera en el caso en el que M A -M L > se dice que iende a manener grandes canidades de acivos de rena fija con vencimienos largos, como hipoecas y crédios a consumidores, y emiir pasivos de coro plazo como cerificados de depósio. Ejemplo.1.1. Porafolio hipoéico de un banco. Suponga que el banco iene $1 que va a inverir, en bonos a res años que pagan cupones del 1% anual, adicionalmene capa $9 en depósios de un año con la promesa de pagar un 1% de inerés anual. Es decir: Acivos (millones) Pasivos (millones) Largo Plazo (A): $1, Coro Plazo (P): $9 Valor Neo (C): $1 Tabla.1.1. Valor de mercado inicial del Balance General de un banco El valor de los acivos se calculó como el valor presene de los flujos de efecivo, como se muesra en la abla.1.. Flujo de Efecivo Valor Presene Flujo de Efecivo 1 1 9, , ,1 86,4463 Precio $1, Tabla.1.. Precio de Bonos con vencimieno denro de 3 años, i =1% anual.

7 De la abla.1.1 se puede calcular el valor neo o verdadero capial del banco como: A- P. Ese es el dinero que los poseedores del banco podrían obener si pudieran liquidar los acivos y pasivos del banco a precios acuales en los mercados financieros, es decir vendiendo las deudas y bonos y re comprando los depósios al mejor precio. Como se mencionó aneriormene, si las asas de inerés aumenan, los valores de mercado de acivos y pasivos disminuirán. Sin embargo en el ejemplo.1.1 se iene un balance general inegrado por acivos con mayor vencimieno que los pasivos, por lo cual, si aumenan las asas de inerés, el valor del porafolio de acivos (A) disminuirá más que el valor de mercado del porafolio de pasivos (P). Si la asa de inerés aumena 1 p.b., el valor de mercado de los acivos disminuirá a $ El cálculo de ese valor de mercado se presena en la abla.1.3. T Flujo de Efecivo Valor Presene Flujo de Efecivo 1 1 9, , ,315 Precio $975,56 Tabla.1.3. Precio de Bonos con vencimieno denro de 3 años, i =11% anual. Por oro lado, con ese incremeno en la asa de inerés el valor de mercado del cerificado de depósio será: P = = Es decir, el valor de mercado de los acivos del banco disminuyó en.44%. Mienras que el valor de mercado de los pasivos disminuyó.91%. Debido a que el vencimieno de los acivos es mayor al de los pasivos, el valor de mercado de los pasivos disminuyó más que el de los pasivos. Por lo que el valor neo del banco disminuyó 16.33%, es decir hubo una pérdida de millones. En la abla.1.4. se muesra el valor de mercado del Balance General del banco después de un incremeno de 1% en la asa de inerés: Acivos (millones) Pasivos (millones) Largo Plazo (A): $ Coro Plazo (P): $ Valor Neo (C): $83.67 Tabla.1.4. Valor de mercado final del Balance General de un banco En ese ejemplo el gap de vencimieno es de años, eso es: M A M L = años

8 con lo cual, al incremenarse la asa de inerés 1 p.b., los dueños del banco experimenarán una pérdida imporane. De aquí surge la siguiene preguna qué incremeno en la asa de inerés llevará al banco a ener un valor neo igual a cero?, dejando insolvene ese banco. En ese ejemplo, al incremenarse la asa de inerés a 17% aproximadamene, el valor neo del banco disminuirá en $1 millones. La inmunización ocurre cuando el capial de la insiución financiera esá compleamene proegido conra el riesgo de asa de inerés. Por lo que si los adminisradores de la insiución financiera raan de consruir un balance general al que el gap de vencimieno sea cero, es decir la diferencia enre vencimieno promedio ponderado de sus acivos y pasivos sea cero ( M A M L = ) podrán proege el capial de la insiución. Sin embargo, esa esraegia (equiparar vencimienos) no siempre proegerá a la insiución financiera del riesgo de asa de inerés. Por ano, la esraegia de equiparar vencimienos de acivos y pasivos ayuda a una insiución financiera a cubrirse conra el riesgo de asa de inerés, pero no a eliminarlo del odo. Por lo cual, una insiución financiera deberá omar en cuena la duración de sus acivos y pasivos, en lugar de sus vencimienos y el grado de apalancamieno en su balance general. La duración de un acivo o pasivo, se define como su vida promedio. Más formalmene, es el iempo promedio ponderado al vencimieno empleando como ponderadores los valores presenes de los flujos de efecivo. La duración es una medida es más precisa de la exposición al riesgo de asa de inerés que el modelo de vencimieno. Su inerpreación económica es sensibilidad a asa de inerés. Modelo de Duración La duración se considera una medida más complea de la sensibilidad de un acivo o pasivo a asas de inerés, que el vencimieno, pues la primera considera el iempo de llegada de odos los flujos de efecivo, así como el vencimieno del acivo o pasivo. La duración es el promedio ponderado del iempo al vencimieno uilizando los valores presenes relaivos de los flujos de efecivo como pesos. Es decir, en el análisis de duración, se pondera el iempo al cual los flujos de efecivo son recibidos por la imporancia relaiva en érminos de valor presene de los flujos de efecivo en cada momeno de iempo. Ese número, que mide la vida promedio de un acivo o pasivo, ambién iene una inerpreación económica sensibilidad del inerés (elasicidad del inerés).

9 Ejemplo.1.. Flujos de efecivo de un présamo a 1 año. CF 1/ CF 1 1/ 1 Figura.1.1. Línea de iempo de recepción de flujos de efecivo. En érminos de valor presene, la imporancia relaiva de los flujos de efecivo que llegan en un semesre =1/ y en un año =1 son: donde: X X 1/ 1 VP1/ = VP + VP 1/ 1/ VP1 = VP + VP 1 1 X i i = Peso VP = Valor Presene en =, del flujo que se pagará en el momeno i Supongamos que CF 1/ =6, CF 1 =75, i =1% anual, enonces: Flujo VP en = Pesos % % VP 1/ +VP Tabla.1.5. Imporancia relaiva de los flujos de efecivo en =1/ y =1 En érminos de valor presene, el 56.76% de los flujos de efecivo sobre la deuda son recibidos al final del primer semesre y 43.4% son recibidos al final del año. La suma de los pesos de los flujos de efecivo debe ser igual a uno, es decir: X 1/ + X 1 = = 1 Si calculamos ahora la duración (D), o la vida promedio de la deuda, empleando el valor presene de sus flujos de efecivo como pesos, obenemos: D = X 1/ ) + X ( 1/ 1 (1) D =.56757* *1 =.716 años

10 Por ano, mienras el vencimieno de la deuda es un año, su duración o vida promedio en un senido de flujos de efecivo es solamene.716 años. La duración es menor al vencimieno de la deuda, porque en érminos de valor presene el 56.76% de los flujos de efecivo son recibidos al final del primer semesre. Para explicar de manera sencilla por qué un banco puede esar expueso al riesgo de asa de inerés al equiparar vencimienos con el modelo de vencimienos, calculemos la duración de un cerificado de depósio, con asa de inerés del 1% anual. El banco promee realizar odos sus pagos a los deposianes al final del año, es decir promee pagar en =1 CF 1 =11, que corresponde al principal más el inerés correspondiene. Al calcular la duración de ese insrumeno, obenemos: D CD =X 1 *1=1*1=1 año Es decir, la duración es exacamene igual al vencimieno. Enonces, solamene cuando odos los flujos de efecivo son pagados o recibidos al final del período, sin flujos de efecivo inermedios, la duración será igual al vencimieno. En ese ejemplo, se muesra que mienras el gap de vencimieno enre la deuda y el cerificado de depósio es igual a cero, el gap de duración es negaivo, eso es: M Deuda -M CD = 1-1 = D Deuda -D CD = =-.838 Por ano, para que un banco mida y se cubra del riesgo de asa de inerés, deberá adminisrar su gap de duración en lugar del gap de vencimieno. Generalización del Modelo de Duración La duración es una medida direca de la sensibilidad a asas de inerés o elasicidad de un acivo o pasivo. Enre mayor sea el valor numérico de la duración D, de un acivo o pasivo, más sensible será el precio de ése a cambios o shocks en la asa de inerés. Recordemos que el precio de un bono es el valor presene de los flujos de efecivo esperados, cupones y principal: C C C VN P = + + L + + (.1.3) N N ( 1+ y) (1 + y) (1 + y) (1 + y) Donde: C: Cupón y: Rendimieno requerido N: Número de períodos (vencimieno) VN: Valor Nominal Sabemos que cuando el rendimieno requerido incremena, enonces el precio de un bono disminuye, la duración es una medida que mide el amaño de esa caída.

11 Para deerminar el cambio aproximado en precio para un pequeño cambio en rendimieno, se calcula la primera derivada de la ecuación.1.3 con respeco al rendimieno requerido. Es decir: dp dy 3 ( N + 1) ) ( N + 1) = ( 1) C(1 + y) + ( ) C(1 + y) + + ( N) C(1 + y) + ( N VN L (.1.4) Simplificando la ecuación.1.4, se obiene: dp dy ( 1) C = (1 + y) ( ) C L + ( N) C + ( N) VN + 3 N + 1 N + 1 (1 y) (1 y) (1 + y) dp 1 (1) C = dy + y 1 (1 ) (1 + y) () C + (1 + y) ( N) C ( N) VN + L + + N N (1 + y) (1 + y) (.1.5) El érmino enre parénesis de la ecuación.1.5, es el promedio ponderado del érmino al vencimieno de los flujos de efecivo del bono, donde los pesos son el valor presene de los flujos de efecivo. La ecuación.1.5 es la aproximación del cambio en el precio (en dinero) para un pequeño cambio en el rendimieno requerido. Si se dividen ambos lados de la ecuación.1.5 enre el precio (P), obendremos aproximadamene el cambio porcenual en el precio, eso es: dp 1 1 (1) C () C ( N) C ( N) VN 1 = 1 dy P (1 y) + + L + + N N (1 y) (1 y) (1 y) (1 y) (.1.6) P La expresión enre parénesis en la ecuación.1.6 dividida enre el precio, es conocida como duración de Macaulay **. D Macaulay (1) C (1 + y) = 1 () C + (1 + y) ( N) C + L+ (1 + y) P N ( N) VN + N (1 + y) (.1.7) D Macaulay N C ( N)( VN) + N = 1 (1 + y) (1 + y) = (.1.8) P Si susiuimos la ecuación.1.7 en la ecuación.1.6 se obiene: dp 1 1 = D Macaulay (.1.9) dy P (1 + y) Lo cual es aproximadamene, el cambio porcenual en precio. ** 1938, Frederick Macaulay invenó ese érmino y lo usó como aproximación del iempo promedio en que la inversión de un bono es recuperada.

12 El cociene de la duración de Macaulay enre (1+y) recibe el nombre de duración modificada, es decir: D MOD = D Macaulay ( 1+ y) (.1.1) dp dy 1 = P D MOD (.1.11) Las ecuaciones aneriores esablecen que la duración modificada es aproximadamene el cambio porcenual en precio para un cambio dado en rendimieno y que exise una relación inversa enre duración modificada y el cambio porcenual aproximado en precio para un deerminado cambio en rendimieno. Además se observa que si los cupones son semesrales, enonces las duraciones esarán expresadas en semesres, ya que los flujos de efecivo (cupones) se pagan semesralmene. Para expresarlas en érminos anuales, deberán dividirse enre (en ese caso). En general, si los flujos de efecivo se pagan m veces en el año, enonces las duraciones son ajusadas al dividirlas enre m. Duración en m periodos Duración en años = (.1.1) m Si la ecuación.1.9 se muliplica por el facor (1+y), se obiene: dp (1+ y) = dy P D Macaulay (.1.13) que es lo mismo que expresarlo así, dp P dy (1+ y) = D Macaulay (.1.14) la inerpreación económica de la ecuación.1.14, es que el número D es la elasicidad del inerés, o sensibilidad, del precio de un íulo a pequeños cambios en la asa de inerés. Es decir, describe la caída porcenual del precio de un bono (dp/p) para cualquier (valor presene) incremeno en las asas de inerés requeridas o rendimienos (dy/(1+y)). Eso se puede observar en la siguiene gráfica:

13 Cambios precio dp/p -D Mac Cambios Rendimieno dy/(1+y) Gráfica.1.. Relación proporcional enre cambios de precio y cambios de rendimieno Si se muliplican ambos lados de la ecuación.1.11 por el cambio en el rendimieno requerido (dy), se obiene: dp P = D dy (.1.15) MOD La ecuación.1.15 puede emplearse para aproximar el cambio porcenual para un cambio deerminado en rendimieno requerido. La gráfica.1. muesra que para pequeños cambios en asas de inerés, los precios de bonos se mueven en forma inversamene proporcional de acuerdo al amaño de D Mac. Si el rendimieno de cualquier bono cambia 1 punos base, enonces susiuyendo 1 punos base (.1) en la ecuación.1.15 se obiene: dp = D MOD (.1) = DMOD % P Enonces la duración modificada puede ser inerpreada como el cambio porcenual aproximado en precio, para un cambio de 1 punos base (1%) en el rendimieno. Aproximación en dinero del cambio del precio La duración modificada es una aproximación para el cambio porcenual en precio. Los inversionisas desean conocer ambién la volailidad en dinero del precio de un bono. La ecuación.1.11 puede emplearse para calcular la volailidad en dinero del precio. Ya que al muliplicar esa ecuación por P, se obiene: dp dy = D P (.1.16) MOD * La expresión de la ecuación.1.16 se conoce como duración en dinero (dollar duraion) la cual se denoa: DD.

14 DD = D * MOD P (.1.17) El cambio del precio en dinero puede esimarse al muliplicar ambos lados de la ecuación.1.15 por P, eso es: dp = DMOD * P* dy (.1.18) Que es lo mismo que: dp = DD * dy (.1.19) Es imporane resalar que para cambios pequeños en el rendimieno requerido, la ecuación.1.19 hace un buen rabajo al esimar el cambio en precio. Cuando hay movimienos imporanes (grandes) en el rendimieno requerido, la duración en dinero (DD) o duración modificada no son medidas adecuadas para aproximar la reacción del precio. Por ano, la duración sobreesimará el cambio en el precio cuando el rendimieno requerido aumena, subesimando el nuevo precio. Y cuando rendimieno requerido cae, la duración subesimará el cambio en el precio, subesimando el nuevo precio. Caracerísicas de la Duración Hay res caracerísicas imporanes de la duración relaivas al vencimieno, el rendimieno y la asa cupón de los íulos. Con respeco al vencimieno de los íulos, la duración incremena con el vencimieno de un acivo o pasivo de rena fija, pero a asa decreciene, es decir: La primera derivada de la duración con respeco al vencimieno del acivo o pasivo de rena fija será posiiva, D N > Mienras que la segunda derivada será negaiva. D ( N ) < Por oro lado, la duración decrece conforme aumena el rendimieno, es decir, la primera derivada de la duración con respeco al rendimieno es negaiva. D < N

15 Eso se explica debido a que asas de rendimieno más alas descuenan los flujos de efecivo ardíos de manera más imporane y la imporancia relaiva, o peso, de esos flujos de efecivo declina comparaivamene con los flujos de efecivo que se reciben más emprano. Finalmene, enre mayor sea la asa cupón o pago de inerés promeido de un íulo, menor es su duración. Es decir, la primera derivada de la duración con respeco a los cupones será negaiva, D C < Eso se debe a que enre más grandes los cupones o pagos de inerés promeidos, enonces más rápido recibirán los inversionisas los flujos de efecivo y por ano mayores serán los pesos de valores presenes de esos flujos de efecivo.. Duración e Inmunización Para una insiución financiera la mayor imporancia que iene la medida de duración, es que es una medida que se uiliza para adminisrar la exposición al riesgo de asa de inerés. Adicionalmene, es imporane el papel que juega la duración en permiir a las insiuciones financieras inmunizar su balance general o pare de ése conra el riesgo de asa de inerés. Frecuenemene, los adminisradores de fondos de pensiones y de aseguradoras de vida enfrenan el problema de asignar sus inversiones en acivos, al que puedan pagar canidades de dinero específicas a los asegurados en un período fuuro. Por ejemplo, en el caso de una póliza de seguros que promee realizar un solo pago al asegurado al momeno de alcanzar la edad de jubilación, el adminisrador de la compañía de seguros enfrena el riesgo de que caigan las asas de inerés sobre los fondos generados por inverir las primas recibidas. Por lo que, la canidad promeida no podría alcanzarse a cubrir con los rendimienos acumulados sobre las primas inveridas. Para inmunizarse conra el riesgo de asa de inerés, el asegurador requiere deerminar cuáles inversiones producirían un flujo de efecivo exacamene igual a cada una de sus obligaciones fuuras en el mismo iempo. Por oro lado, si se habla de inmunizar odo el balance general de una insiución financiera, lo que haría el adminisrador es calcular las duraciones de cada insrumeno individualmene y seleccionar insrumenos de rena fija para proeger a la insiución. El modelo de duración puede ambién emplearse para evaluar la exposición oal de insiuciones financieras al riesgo de asa de inerés, que es equivalene a medir el gap del balance general. Para esimar el gap oal de duración de una insiución financiera, se debe deerminar primero la duración del porafolio de acivos y la duración del porafolio de pasivos, como a coninuación:

16 D D A P = = N i= 1 N i= 1 X X ia ip D D A i P i (..1.) (..) Donde: N i= 1 X = j = A P ij 1, Las X s represenan las proporciones de los valores de mercado de cada acivo o pasivo manenido en los porafolios de acivos o pasivos. El cambio en valor neo de una insiución financiera esá deerminado por la diferencia enre el cambio de los valores de mercado de los acivos y de los pasivos, es decir: E = A P (..3) Por lo cual, se requiere deerminar cómo los cambios en los valores de mercado de acivos y pasivos esán relacionados a la medida de duración. De acuerdo al modelo de duración el cambio porcenual de los valores de mercado de los acivos y pasivos, para pequeños cambios en el rendimieno, se puede aproximar de la siguiene forma: A = D A P = D P A, MAC P, MAC y (1 + y) y (1 + y) (..4) (..5) y Donde el érmino denoa choques en asa de inerés. Las ecuaciones..4 y ( 1+ y)..5 pueden expresarse de la siguiene manera: y A = DA, MAC * A* (1 + y) (..6) y P = DP, MAC * P * (1 + y) (..7) Ambas ecuaciones se inerprean como el cambio en dinero en los valores de mercado de acivos y pasivos para pequeños cambios en el rendimieno. Susiuyendo las ecuaciones..6 y..7 en la ecuación..3 se obiene la siguiene expresión: y y E = DA, MAC * A* DP, MAC * P * (..8) (1 + y) (1 + y)

17 Suponiendo que el cambio en la asa de inerés es el mismo ano para acivos como para pasivos, el cambio en el valor neo será: [ D A + D * P] y E = A, MAC * P, MAC * (..9) (1 + y) Expresando la fórmula..9 de ora manera, [ D A D * P] y E = A, MAC * P, MAC * (..1) (1 + y) Si muliplicamos y dividimos los érminos D A,MAC y D P,MAC de la ecuación..1 por el valor de mercado de los acivos obendremos, E = D A, MAC Facorizando A, A * * A DP, A MAC A y * * P * A (1 + y) A P y E = DA, MAC * DP, MAC * * A* A A (..11) (1 + y) Llamemos a el cociene P/A = γ. γ es una medida de apalancamieno, que se inerprea como la canidad de fondos pedidos presados (pasivos) uilizados para financiar el porafolio de acivos. Por ano la ecuación..11 queda como sigue: [ D D * ] y E = A, MAC P, MAC γ * A* (..1) (1 + y) En la ecuación..1 se ienen res érminos, los cuales se pueden inerprear de la siguiene manera: D D *γ : Gap de duración ajusado por apalancamieno. Ese gap esá A, MAC P, MAC expresado en años y refleja qué ano no se equipara la duración en el balance general de una insiución financiera. Enre mayor sea ese gap, en érminos absoluos, esará más expuesa la insiución financiera a choques en la asa de inerés. A : Mide el amaño de los acivos de una insiución financiera. Enre mayor sea la escala de la insiución financiera, mayor será el mono en dinero de la exposición poencial del valor neo para cualquier choque en la asa de inerés. y : Represena el amaño del choque en la asa de inerés. Enre mayor sea el ( 1+ y) choque, será mayor la exposición de la insiución financiera.

18 Por ano, el adminisrador de una insiución financiera puede uilizar la información que revela la ecuación..1, para reesrucurar el balance general con la finalidad de inmunizar el valor neo de los accionisas conra el riesgo de asa de inerés. Algunas limianes del modelo de duración El modelo de duración ha sido criicado, debido a la dificulad de emplearlo en siuaciones reales. Por ano, es de suma imporancia analizar sus limianes y esudiar la manera cómo debe el adminisrador de una insiución financiera ponerlo en prácica. I. Equiparar la duración puede ser cososo En principio un adminisrador puede cambiar la duración modificada de acivos y pasivos con la finalidad de inmunizar a la insiución financiera conra el riesgo de asa de inerés, pero si se reesrucura el balance general de una insiución grande y compleja, puede represenar un alo coso, ano en iempo como en dinero. II. La inmunización es un problema dinámico La inmunización es una esraegia dinámica, en eoría requiere que el adminisrador del porafolio rebalance el porafolio coninuamene, con el objeivo de asegurar que la duración del porafolio de inversión equipare exacamene el horizone de inversión (duración pasivos). Debido a que el rebalance coninuo del porafolio no es fácil de hacer y lleva consigo alos cosos de ransacción, muchos adminisradores deciden hacer el rebalance en inervalos discreos, por ejemplo rimesralmene, con eso se esará aproximando a la inmunización dinámica conra cambios en las asas de inerés. Por lo que hay un inercambio enre esar perfecamene inmunizado y los cosos de ransacción de manener el balance general inmunizado dinámicamene. III. Cambios grandes en asas de inerés. Como se mencionó aneriormene, la duración se uiliza para esimar la sensibilidad del precio de íulos de rena fija para pequeños cambios en asas de inerés, en el orden de 1 puno base (.1%). Pero a veces los cambios en asas de inerés son mayores, por ejemplo punos base (%). En esos casos, la duración no es una medida precisa del cambio en precios de los íulos.

19 Precio Error Verdadera relación Modelo de Duración Error y* Rendimieno requerido Gráfica..1. Verdadera relación enre el precio y el rendimieno y modelo de duración. Es posible razar una línea reca angene a la relación convexa enre el precio y el rendimieno a vencimieno para un deerminado nivel de rendimieno (y*). Eso se observa en la gráfica.3.1. Esa reca angene muesra la asa de cambio del precio con respeco al cambio en las asas de inerés en ese puno deerminado y* (nivel de rendimieno). La pendiene de esa reca angene esá muy relacionada PVBP (Price Value of Basis Poin). Enonces, para un precio inicial, la reca angene esá muy relacionada con la duración del bono. Enre más verical sea la reca angene, mayor será la duración, y enre más horizonal sea la reca angene, menor será la duración. Por ano, para un precio inicial, la reca angene y la duración pueden ser usadas de igual manera para esimar la asa de cambio en precios. Qué sucede con la duración a medida que el rendimieno cambia? Si aumena (disminuye) el rendimieno, la duración disminuye (aumena) Si en la gráfica anerior, se raza una línea verical que para de cualquier rendimieno (eje horizonal) a la relación convexa enre el precio y el rendimieno, la disancia enre el eje horizonal y la reca angene, represena la aproximación del precio al emplear la duración, iniciando con un nivel de rendimieno deerminado (y*). Esa aproximación siempre esará por debajo del precio real. Por ano, cuando el rendimieno disminuye, el cambio esimado en precio será menor que el cambio real en precio, por ano subesimando el precio real. En cambio, cuando el rendimieno aumena, el cambio esimado en precio será mayor que el cambio real en precio, resulando en una subesimación del precio real. Es el cambio en el precio de un bono si el rendimieno requerido cambia por un puno base (i.e. 1 p.b. =.1%)

20 Como se observa en la gráfica anerior, en la realidad, para incremenos en asas de inerés el efeco de pérdida de capial iende a ser menor que el efeco de ganancia de capial cuando las asas disminuyen. Esa caracerísica se debe a la relación convexa enre precio y rendimieno. Mienras que la duración, que esablece una relación lineal, predice cambios siméricos en precios, para incremenos o disminuciones en asas de inerés. Para pequeños cambios en el rendimieno, la reca angene y la duración producen buenas esimaciones del precio real. Enre más alejado el rendimieno del nivel inicial (y*) peor será la aproximación. La precisión en la esimación depende de la relación convexa enre el precio y el rendimieno. Es imporane noar, que la relación convexa es una caracerísica deseable por el adminisrador de una insiución financiera en un porafolio de acivos. Es decir, comprar un bono o porafolio de acivos que presena una convexidad imporane en la relación precio-rendimieno, es similar a comprar seguros parciales de asa de inerés. Específicamene, una ala convexidad significa que para cambios grandes iguales de asas de inerés (aumeno o disminución), el efeco de ganancia de capial por una disminución en asas de inerés eliminará en exceso el efeco de pérdida de capial por un aumeno en asas de inerés. Las caracerísicas de la convexidad se enuncian a coninuación. a) Convexidad caracerísica deseable. Es decir, enre mayor convexidad enga un íulo o porafolio de íulos, mayor seguro o proección de asas endrá el adminisrador de una insiución financiera conra incremenos en asas de inerés, y un mayor poencial de ganancias después de disminuciones en asas de inerés. b) Convexidad y duración. Enre más grandes sean los cambios en asas de inerés y mayor sea la convexidad de un íulo de rena fija o porafolio, mayor será el error que el adminisrador de una insiución financiera enfrenará al uilizar solamene la duración para inmunizar la exposición a cambios en asas de inerés. c) Los íulos de rena fija son convexos. Conforme el rendimieno iende a infinio, el precio de un bono cae asinóicamene hacia cero, como se observa en la gráfica.3.. El mínimo valor que puede alcanzar el precio de un bono es cero.