3. Matrices y álgebra matricial

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1 Marices y álgebra maricial Repasaremos algunos concepos básicos de la eoría maricial Nos cenraremos en aspecos relacionados con el álgebra lineal, la inversión y la diagonalización de marices Veremos algunas aplicaciones concreas La descomposición de Cholesky Marices definidas no negaivas y marices definidas posvas Consideremos una mariz cuadrada o recangular de dimensión m n, M(m n) Consruyamos ahora la mariz simérica de dimensión n n siguiene: Esa mariz posee la siguiene propiedad: dado un vecor columna arbirario disino del vecor nulo y de dimensión n, x, se define el vecor yx, de la misma dimensión que el anerior, y enonces se cumple que el escalar M M ( n n ) ( ) x x x x ( x )( x ) ( x ) ( x ) y y es no negaivo pueso que se raa de la suma de los módulos al cuadrado de los elemenos del vecor y: x x y y y i Eso, al ocurrir para cualquier vecor x no nulo consiuye la definición de una mariz definida no negaiva Lo denoamos como Un razonamieno similar se puede hacer para la mariz n i B M ( m m) Los valores propios de una mariz definida no negaiva nunca son negaivos Cuando una mariz de dimensión n n cumple que, para cualquier vecor n- dimensional columna x no nulo siempre x x >, se dice enonces que esa mariz es definida posva y se denoa como > us valores propios siempre son posvos Esa úlima propiedad ambién permie caracerizar a una mariz definida posva -

2 La descomposición para marices siméricas i es una mariz simérica de dimensión n n y >, enonces siempre exise una mariz riangular superior (o inferior) de la misma dimensión al que En consecuencia, ese sisema de ecuaciones no lineales siempre iene solución para las n(n)/ incógnias (los elemenos relevanes de la mariz riangular) i los elemenos de la mariz son { ij }, con ij para i>j, se demuesra que los elemenos relevanes se calculan como s ki y k i ij s ij i k ki kj para i<j La formulación exige que esos elemenos se calculen por filas, de izquierda a derecha y de arriba a abajo i no se puede obener la descomposición de Cholesky de una mariz (por ejemplo, cuando al aplicar la formulación presenada arriba surge una raíz cuadrada de un número negaivo) eso es indicaivo de que la mariz simérica no es definida posva sí pues, el mismo proceso de descomposición sirve para caracerizar a las marices definidas posvas in embargo, hay que ir con cauela: en algunos casos se endrá que realizar la raíz cuadrada de un número negaivo muy próximo a cero ano como la precisión de la máquina e raa de siuaciones límie Un ejemplo numérico Consideremos la mariz simérica siguiene: l definir la mariz de la descomposición como, se planea la ecuación siguiene: Es decir, -

3 Las ecuaciones relevanes de un riángulo (superior o inferior) son las siguienes: las cuales se han escrio en el orden conveniene: siguiendo el riángulo superior de izquierda a derecha y de arriba a abajo Del sisema de ecuaciones no lineales se despejan uno a uno los elemenos de la mariz : Un méodo de inversión de marices Inversión de una mariz riangular El cálculo de la inversa de una mariz riangular no presena dificulad Denoaremos a los elemenos de la mariz inversa de la riangular superior,, como { (-) ij } Esa inversa ambién es riangular superior i se planea el siguiene sisema de n(n)/ ecuaciones no lineales con n(n)/ incógnias: se obiene fácilmene la solución: I, ( ) para (l) y i l ik k i ( ) ( ), para (l>) i i l k, i l endiendo a esa fórmula, los elemenos deben irse calculando por bandas paralelas a la diagonal y de arriba a abajo El úlimo elemeno calculado es el n (-) El esudio de la fórmula precedene revela que el cálculo de un elemeno de la mariz - requiere conocer los elemenos de la misma mariz que se hallan juso por debajo de él De esa manera, ambién se puede concebir una formulación donde los elemenos se calculan siguiendo columnas de abajo a arriba (desde el elemeno diagonal) y de izquierda a derecha: Dada una -

4 columna j (j,n), se calcula primero el elemeno diagonal y luego los que esán por encima de él y desde abajo a arriba: ( ) jj jj y ( ) ( ) ij j ik kj k i para ij-,j-,, la visa de la formulación de los elemenos diagonales de la inversa de una mariz riangular ( ( ) ), comprobamos como la condición necesaria y suficiene para que la mariz sea inverible es que no enga ningún elemeno diagonal nulo Eso esá de acuerdo con la condición de que su deerminane ampoco sea nulo Ejemplo numérico modo de ejemplo numérico, podemos considerar la inversión de la mariz obenida arriba en el aparado u inversa la escribimos como ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La ecuación que se nos planea ahora es I - -, es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Los elemenos de mariz asociados a ecuaciones no redundanes son los siguienes: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Esa igualdad maricial es equivalene a un sisema de ecuaciones no lineales Escribimos ese sisema en el orden adecuado: siguiendo las bandas diagonales de arriba a abajo y empezando por la diagonal mayor y erminando por el elemeno -: -

5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De esa manera, resolviendo de arriba a abajo, se pueden ir aislando uno a uno los elemenos ( ) en ese orden: La inversa que buscamos es ij ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,, Méodo general La descomposición de Cholesky permie diseñar ruinas compacas de inversión de marices Consideremos que se quiere inverir la mariz de dimensión n n Podemos obener la mariz definida no negaiva siguiene: M i la mariz es regular, la mariz será definida posva i exisirá la mariz de su descomposición de Cholesky así como la inversa de esa mariz riangular: ( n n ) y ( ) ( ) ( ) sí pues, al ser ( ), enonces Muliplicando en cada miembro por la derecha y por la ranspuesa de la mariz, se obiene y, finalmene, [( ) ] I -

6 -6 Recapiulando, el algorimo de inversión de una mariz cuadrada de dimensión n n y basado en la descomposición de Cholesky es el siguiene: Especificar la mariz a inverir, Consruir la mariz Obener la mariz de la descomposición de Cholesky de Inverir la mariz Calcular i en el paso no se puede obener la descomposición de Cholesky de la mariz simérica, eso indica que la mariz original no era inverible (iene al menos un valor propio nulo y eso no es compaible con la generación de marices definidas posvas a ravés del produco, en ese caso la mariz es definida no negaiva) Podemos considerar el siguiene ejemplo numérico en el que se siguen los mismos pasos descrios arriba: Consideremos Consruir la mariz Calcular Ejercicios Elaborar una ruina que, dada una mariz simérica, obenga la correspondiene mariz riangular superior proveniene de la descomposición de Cholesky

7 Elaborar una ruina que, dada una mariz riangular superior, obenga la correspondiene inversa Uilizar las ruinas aneriores para ser llamadas por ora, la que obiene la mariz inversa de una mariz arbiraria cuadrada -7

8 Programa Dada una mariz simerica, se obienen la mariz riangular y la correspondiene inversa (-) Ese ulimo calculo se realiza de las dos maneras indicadas en el exo PROGRM CHOLEKY_y_INVERION implici double precision (-H,O-Z) parameer (maxd) dimension (maxd,maxd),(maxd,maxd),i(maxd,maxd) Lecura de la mariz simerica read(,) n do i,n read(,) (s(i,j),j,n) Comprueba que realmene es simerica y la escribe do i,n do ji,n if (s(i,j)nes(j,i)) OP ' Mariz no simerica' wrie(,) wrie(,) 'Mariz :' do i,n wrie(,'(99g6)') ((i,j),j,n) Define los riangulos inferiores con ceros do i,n do j,i- (i,j) i(i,j) Descomposicion de Cholesky y escriura del resulado do i,n sum do k,i- sumsum(k,i) (i,i)dsqr(s(i,i)-sum) do ji,n sum do k,i- sumsum(k,i)(k,j) (i,j)(s(i,j)-sum)/(i,i) wrie(,) wrie(,) 'Mariz :' do i,n -8

9 wrie(,'(99g6)') ((i,j),j,n) Inversion de la mariz riangular superior y escriura del resulado do L,n- do i,n-l if (Leq) hen i(i,i)d/(i,i) else ilil sumd do ki,il sumsum(i,k)i(k,il) i(i,il)-sum/(i,i) end if wrie(,) wrie(,) 'Mariz (-) (por bandas):' do i,n wrie(,'(99g6)') (i(i,j),j,n) Ora vez, pero calculando por columnas de abajo a arriba Inversion de la mariz riangular superior y escriura del resulado do j,n! elecciona columna i(j,j)d/(j,j) do ij-,,-! ube por la columna desde la diagonal sumd do ki,j sumsum(i,k)i(k,j) i(i,j)-sum/(i,i) wrie(,) wrie(,) 'Mariz (-) (por columnas):' do i,n wrie(,'(99g6)') (i(i,j),j,n) END! e acabo!

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