PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

Transcripción

1 PROBLEMS RESUELTOS SELECTIVIDD NDLUCÍ 0 MTEMÁTICS II TEM : MTRICES Y DETERMINNTES Junio, Ejercicio, Opción Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción B Sepiembre, Ejercicio, Opción

2 0 Sea M 0 m 0 m a) Deermina los valores de m para que los vecores fila de M son linealmene independienes. b) Esudia el rango de M según los valores de m. c) Para m, calcula la inversa de M. MTEMÁTICS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN a) Calculamos el deerminane de la mariz M: 0 M m m m m m ; m Para odos los valores de m0 y, el deerminane es disino de cero y los vecores son linealmene independienes. b) Calculamos el rango de M según los valores de m. Rango(M) m 0 m m0 y c) Calculamos la inversa de M para m : M d ( M ) M

3 Sea a) Comprueba que I y calcula. 0 b) Calcula y su inversa. MTEMÁTICS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Comprobamos que I 0 0 I 0 0 Calculamos la inversa: d ( ) También la podemos calcular de la siguiene forma: b) I I I ( ) ( I) ( I) ( ) (0 veces) (0 veces)

4 0 0 Considera las marices: 0 0, B y C a) Halla. b) Calcula la mariz X que saisface X B C ( B es la raspuesa de B). 0 0 c) Halla el deerminane de B B ( ). MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO. OPCIÓN a) Calculamos la inversa: d ( ) b) X B C X B C X B C Calculamos la mariz X X B C Calculamos Luego: B B B B( ) B B B B 0

5 Sabiendo que el deerminane de una mariz a b c d e f p q r es 4, calcula los siguienes deerminanes, indicando en cada caso, las propiedades que uilizas: a) de( ) y de( ) a b c d e f b) d e f y a b c p q r p q r MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Si n es una mariz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que caso como es una mariz de orden, enemos que: Por oro lado, sabemos que: nuesro caso será: 4 a b c a b c a b c n k k ; en nuesro ( ) ( 8) 4 I I ; luego en b) d e f d e f d e f 4 8 p q r p q r p q r En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los deerminanes que dice: Si una fila o columna de un deerminane esá muliplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del deerminane muliplicándolo. d e f d e f a b c a b c ( ) ( ) a b c ( ) ( ) ( ) d e f 4 p q r p q r p q r En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los deerminanes que dice: Si una fila o columna de un deerminane esá muliplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del deerminane muliplicándolo. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: Si en un deerminane se cambian enre si dos filas o columnas, el deerminane cambia de signo.

6 Considera las marices y B 0 0 a) Calcula X e Y ales que X Y y X Y B ( es la mariz raspuesa de ). b) Calcula Z al que Z BZ. MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO. OPCIÓN B 0 X Y a) Planeamos el sisema maricial X Y 0 Si cambiamos la primera ecuación de signo y sumamos, enemos que: X y 0 susiuyendo en la primera ecuación enemos que: Y Y b) Z BZ ( B) Z Z ( B) Calculamos ( B) 0 0 Calculamos su inversa: d ( B) B ( ) B Luego, Z ( B) 0 0

7 4 Sean y B las marices y B a) Calcula las marices X e Y para las que X Y y X Y B. b) Halla la mariz Z que verifica B Z B I (I denoa la mariz idenidad y mariz raspuesa de B). MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO. OPCIÓN B B la X Y 5 a) Planeamos el sisema maricial 4 X Y 9 5 Si muliplicamos la segunda ecuación por y sumamos, enemos que: Y Y y susiuyendo en la segunda ecuación enemos que: X b) B Z B I Z I B B Z ( I B B ) Calculamos ( I B B ) Calculamos su inversa: 5 d ( ) 5 Luego, Z ( I B B )

8 Sea M una mariz cuadrada de orden al que su deerminane es de( M ). Calcula: a) El rango de M. b) El deerminane de M ( M es la mariz raspuesa de M). c) El deerminane de ( M ). d) El deerminane de N, donde N es la mariz resulane de inercambiar la primera y segunda filas de M. MTEMÁTICS II. 0. RESERV 4. EJERCICIO. OPCIÓN B a) M M M M M M M 8 0 El rango es b) Si n es una mariz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que caso como M es una mariz de orden, enemos que: c) Sabemos que: caso será: M n k k ; en nuesro M M () M (8) 6 M M I M M M M I M ; luego en nuesro M M 4 d) Si en un deerminane cambiamos dos filas o dos columnas el deerminane cambia de signo, luego, el deerminane de N vale

9 0 Considera las marices 0 y B a) Halla, si es posible, y B. 0 b) Halla el deerminane de B, la mariz raspuesa de. c) Calcula la mariz X que saisface X B B. MTEMÁTICS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN a) Calculamos la mariz inversa de d ( ) La mariz B no iene inversa, ya que su deerminane vale 0. b) B B 0 0 c) Resolvemos la ecuación maricial. 0 X B B X ( B B) B B