Soluciones hoja de matrices y sistemas

Transcripción

1 Soluciones hoja de marices y sisemas iscuir, en función del arámero a, el siguiene sisema de x y z x y z - ecuaciones lineales x - y ( a ) z - a - x y ( a ) z - a 8 La mariz de los coeficienes es de orden x y la mariz amliada a a de orden x uede ser de rango a a a a 8 a a a a a a a a a a 8 a a a a a 9a (a ) Podemos disinguir res casos: a a a Si a y a r()>r() SISTE INOPTILE Si a r( ) r ; r( ) r <número de 8 incógnias SISTE OPTILE INETERINO Si a r( ) r ; r( ) r número de 8 incógnias SISTE OPTILE ETERINO - Sea una mariz orogonal ( ) Se ide: a) Esudiar si y son ambién marices orogonales b) Hallar c) Si es ora mariz orogonal del mismo orden ue, esudiar si es orogonal a) ( ) ( ) ( ) es orogonal U de aemáicas de la ETSITG

2 Soluciones hoja de marices y sisemas 8 9 U de aemáicas de la ETSITG ( ) ( ) ( ) es ambién orogonal b) ± c) ( ) ( ) es una mariz orogonal - omrobar ue cualuier mariz cuadrada se uede exresar de forma única como suma de dos marices, una simérica y ora anisimérica Sea siendo, una mariz simérica ( ) y una mariz anisimérica ( - ), or ano - ue resolviendo el sisema se obiene y Enonces odemos escribir, siendo simérica, ueso ue ( ) y anisimérica, ya ue ( ) La descomosición es única: Si fuera ica anisimér simérica, siendo la diferencia de marices a la vez simérica y anisimérica, ero la única mariz simérica y anisimérica simuláneamene es la mariz nula sí ues, y Ejemlo Si, enonces ) ( 9 9 ) (

3 Soluciones hoja de marices y sisemas Sean, (R), con y alcular los deerminanes siguienes:,,,, y ( ) - Sean y marices cuadradas de orden n Probar ue si I- es inverible, enonces I- ambién es inverible y ue ( I ) I ( I ) Noa: I es la mariz unidad de orden n emosremos ue: ( I ) ( I ) I ( I ) ( I ) ( I ( I ) )( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( I ) ( ) ( I ) ( I ) (I ) I I Pueso ue ( I ) ( I ) I inversa y or ser única, se cumle ( I )( I ) I, odemos asegurar ue I, luego exise Y - Hallar dos marices e Y de dimensión x ales ue Y La misma cuesión ara el caso concreo y 8 Y Y e e ( ) Y Y e e Y 8 Y ( 8 ), Y U de aemáicas de la ETSITG

4 Soluciones hoja de marices y sisemas 8 9 U de aemáicas de la ETSITG - Si la dimensión de las marices,,, y son x, x, x y x resecivamene alcúlese la mariz en cada una de las siguienes ecuaciones mariciales a) [] [] [] b) Hallar el valor de en los aarados aneriores siendo,,, a) Si exisen - y - enonces, [] - ) ( [] - ( ) [] - ) ( b) ( ) [] ) ( ) ( [] ( ) ( ) 8 8 8, [] ) (

5 Soluciones hoja de marices y sisemas Sean y ( I) marices de orden cuaro inversibles a) Resolver el siguiene sisema maricial Y Y a) b) Hallar e Y ara el caso concreo Y Y Y Y [ ] [] ( I) I - (-I) Susiuimos ese resulado en la ecuación [] y obenemos Y I, susiuyendo [] en [] se obiene [ ( I) ] - ( I) b) ; I ; ( ) I Y I ( I) a 9- Sea la mariz a a ; se ide: a ab a) Esudiar el rango de en función de los arámeros reales a y b b) Para b, consideremos el sisema de ecuaciones lineales, a donde iscuir el sisema según los valores del arámero a y a resolverlo ara a U de aemáicas de la ETSITG

6 Soluciones hoja de marices y sisemas 8 9 a) Para resolver el cálculo del rango obenemos el valor del deerminane de : a a a a a a a(a ab a b) e igualamos a cero ab a ab a a(a ab a b) Podemos disinguir los siguienes b ab b a a casos: Si a,b r() a Si a ; con r() Si a b ; a a a a a a r() a x a b) Para b el sisema ueda: a a y Por el aarado anerior: a a z a a a Si a r() y la mariz amliada r( ) a a el sisema a a a es comaible deerminado Si a r() y la mariz amliada r( ) <nº de incógnias el sisema es comaible indeerminado x z El sisema ara a es x y z z U de aemáicas de la ETSITG

7 Soluciones hoja de marices y sisemas 8 9 U de aemáicas de la ETSITG 9(c)- Sean, y res marices de orden Suoniendo ue la mariz -I es inversible, desejar en la ecuación: ) ( ) ( ( ) I y como I- es inversible, mulilicando or la izuierda or la mariz ) (I en la ecuación anerior, se iene ( ) ( I ) - Hallar y ara ue se verifiue la ecuación: ) ( I siendo e I Susiuyendo en la ecuación ) ( I se iene ue: y resolviendo el sisema se obiene - y