PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Transcripción

1 IES CSTELR JOZ PRUE E CCESO (LOGSE) UNIVERSI E CNTRI SEPTIEMRE - 9 (RESUELTOS or nonio Menguiano) MTEMÁTICS II Tieo áio: horas inuos - ebe escogerse una sola de las ociones - ebe eonerse con claridad el laneaieno de la resuesa o el éodo uiliado ara su resolución Todas las resuesas deben ser raonadas - No se erie el uso de calculadoras gráficas ni rograables LOQUE º) Considera el sisea de ecuaciones lineales 7, donde R a ) eerina ara qué valores de el sisea iene una única solución calcúlala b ) Calcula odas las soluciones cuando el sisea sea coaible indeerinado c ) Modifica solaene un coeficiene de la úlia ecuación ara que el sisea resulane sea coaible ara cualquier valor de a ) Para que el sisea sea coaible deerinado es necesario suficiene que la ari de coeficienes enga rango res, o sea, que su deerinane sea disino de cero La ari de coeficienes es M M 9 6 Para Rango M nº incóg Coaible de er in ado Menguiano

2 b ) Para que el sisea sea coaible indeerinado iene que ser el rango de la ari aliada dos ara el valor de : { } ' 7 ' M Rango C C C M En efeco, el sisea es coaible indeerinado ara Para resolverlo desreciaos una de las ecuaciones, or ejelo la ercera, haceos R Solución, : c ) El sisea es siere coaible: si es sisea es coaible indeerinado si es sisea es coaible deerinado Se eniende que sea siere coaible deerinado Se raa de que el deerinane de la ari de coeficienes sea siere disino de cero ara lo se ha de eliinar la en el desarrollo del deerinane, ara ello variaos, or ejelo el coeficiene de, quedando la ari de la fora M M El sisea resula ser de la fora 7

3 º) Considera las arices, donde R a ) eerina el rango de la ari b ) eerina los valores de ara que la ari ( ) es regular (inversible) c ) Para calcula una ari al que ( ) I, siendo I la ari idenidad a ) Para hallar el rango de ( ) rocedeos or el éodo de Gauss: { } { } { } { } { } ( ) Rango b ) ( ) ( ) ( )( ) ; ; ( ) ( ) { }, R inversible es

4 c ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] I I ( ) es Para Para hallar la ari inversa uiliaos el éodo de Gauss-Jordan: ( ) [ ] { } { } / I { } ( ) [ ]

5 LOQUE º) El dibujo adjuno reresena la gráfica de la derivada de una función f en el inervalo [, ] Y (, ) a ) En el inervalo [, ] calcula la eresión analíica de la función f sabiendo, adeás, que el valor ínio de { f ( ) : [, ] } es O - (-, -) - (, -) b ) Ha la reresenación gráfica de f calcula el área corendida enre la gráfica de la función f la reca ¼ a ) e la observación de la gráfica se deduce que la función derivada se uede eresar analíicaene definida a roos de la fora siguiene: si f '( ) si < Inegrando la función derivada se obiene la función: C si f ( ) C si < Por eisir la función derivada ara, la función es coninua ara ese valor, lo que significa que los líies laerales ienen que ser iguales: lí lí f f lí ( ) ( C ) lí ( ) ( C ) C C C C La función resula una arábola convea ( ) en el inervalo [-, ] que iene un ínio una arábola cóncava ( ) en el inervalo [, ] que iene un áio Coo nos dicen que { f ( ) : [, ] }, el ínio iene que esar necesariaene en el inervalo [-, ] su valor es cero Considerando la función f ( ) C, iene que ser '( ) f ( ) C C C C f

6 La función resula ser: ( ) < si si f b ) La reresenación gráfica de la función es, aroiadaene, la que indica la figura adjuna, donde se han enido en cuena que ( ) ( ) ( ) f f f e la observación de la figura se deduce el área que eneos que calcular, que es la siguiene: d d S ( ) ( ) d d d d ( ) ( ) u S Y O -½ ½ f() - ½ ¼ S

7 º) Una caldera iene fora de risa reco de base cuadrada un voluen de 768 Se sabe que la érdida de calor a ravés de las aredes laerales es de unidades or ero cuadrado, ienras que a ravés del echo es de unidades or ero cuadrado La érdida or el suelo es an equeña que uede considerarse nula Calcula las diensiones de la caldera ara que la érdida de calor sea ínia Jusifica que el uno calculado roorciona la ínia érdida de calor Sean las diensiones del alacén las indicadas en el dibujo adjuno h La relación que eise enre las diensiones del lado de la base la alura ueden relacionarse a arir del voluen: V 768 h 768 h La érdida oal de calor es la siguiene: ( h) h P P Susiuendo el valor obenido de h en la eresión de P, resula: 768 P 7 Para que la érdida de calor sea ínia iene que ser cero su derivada: P' eros h eros h Para jusificar que se raa de un ínio eneos que deosrar que la segunda derivada es osiiva ara el valor de 8: P '' 7 P' ' > j ( 8), c q

8 LOQUE º) Raona si cada una de las siguienes afiraciones es verdadera o falsa En caso de que consideres que la afiración es falsa or un ejelo ilusraivo a ) ados α, b c reales cualesquiera, los vecores (, a, b), n (,, c) (,, ) son linealene deendienes b ) Si u v son dos vecores verificando que u v, enonces u o v c ) ados los vecores u, v w res vecores, si u es orogonal a v a w enonces u es orogonal a cualquier vecor de la fora α v β w, siendo α β núeros reales a ) Es falso Los vecores, n son linealene indeendienes Tres vecores son linealene indeendienes cuando el rango de la ari que deerinan es res, o sea, cuando el deerinane de la ari que deerinan es disino de cero: b ) a b Rango Es falso { a, b, c } c Rango { a, b, c } u no ilica que v u v sen α u o v ; uede ser α sen Si u v son linealene deendienes (aralelos), su roduco vecorial es cero sin necesidad de ser nulos ninguno de los dos c ) Si u es orogonal a v a w se cule que v u w u Teniendo en cuena la roiedad disribuiva de la ulilicación cor reseco a la sua del roduco escalar es: u ( α v β w ) a ( u v ) β ( u w ) a β La afiración es ciera

9 º) Los unos (,, ) (,, ) son dos vérices consecuivos de un recángulo deás, se sabe que los oros dos vérices son unos de una reca que asa or el origen de coordenadas a ) Halla los oros dos vérices del recángulo b ) eerina una ecuación general del lano que coniene a los cuaro vérices a ) Los unos deerinan el vecor ( ),, u La reca r que asa or el origen iene coo vecor direcor a ( ),, u iene or ecuaciones araéricas r El ha de lanos β erendiculares a la reca r iene or eresión general la siguiene: β e los infinios lanos del ha β, los que conienen a los unos son los siguienes: ( ),, π β ( ),, π β Los oros dos vérices C del recángulo son las inersecciones de la reca r con los lanos π π, resecivaene:,, C r π,, r π

10 b ) Los unos C deerinan el vecor `w ' C C,, Un vecor linealene deendiene del vecor C es ` (,, ) w El lano π edido coniene al uno (,, ) iene coo vecores direcores a u (,, ) ` w (,, ) Su eresión general es la siguiene: π ( ; u, w ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π