C cos x sen x 0 x sen x x cos x x sen x cos x x C 1 x 0. Calculamos la matriz adjunta de C: sen x 0 cox 0 cos x sen x. sen x x 1 x 1 sen x

Transcripción

1 Prueba de Acceso a la Universidad. SEPTIEMBRE. Maemáicas II. Insrucciones: Se proponen dos opciones A y B. Debe elegirse una y conesar a sus cuesiones. La punuación de cada cuesión aparece en la misma. Deben jusificarse los pasos que se dan para obener las respuesas. La simple escriura de un resulado correco no garaniza que se obengan los punos del aparado. OPCIÓN A A. a) (,5 punos) El deerminane de la mariz A que aparece a coninuación es A Sin uilizar la regla de Sarrus, deermine cuáno vale el deerminane de la mariz B siguiene (enuncie las propiedades que uilice): B sen cos b) ( punos) Sea C la siguiene mariz: C cos sen sen Deermine los valores de para los que la mariz C iene inversa y calcularla cuando sea posible. a) El deerminane de la mariz B es igual a. Si en una mariz se suma a una línea una combinación lineal de las paralelas, su deerminane no varía. En nuesro caso, si a la ercera columna de A le sumamos la primera y la segunda columnas se obiene la mariz B, cuyo deerminane será igual que el de A, es decir. b) La mariz C iene inversa cuando C. sen cos C cos sen sen cos sen cos C Calculemos sen C : Calculamos la mariz adjuna de C: sen co cos sen A sen, A cos, A sen cos sen sen cos sen sen cos A cos, A sen, A sen cos sen sen cos sen sen cos A, A, A sen cos sen cos cos sen Por ano: sen cos sen cos Aij cos sen sen cos Calculamos la mariz raspuesa de la adjuna: ij sen cos A A ji cos sen sen cos sen cos

2 Dividimos por el deerminane de C: Aji C sen cos C cos sen sen cos sen cos r : y 6 z a) ( puno) Encuenre la ecuación de la reca perpendicular a r que pasa por P y core a la reca r. A. Dado el puno P,,6 y la reca b) (,5 punos) Encuenre la ecuación general A By Cz D del plano que coniene a la reca r anerior z y a la reca r ' : y z a) La reca buscada es la inersección del plano perpendicular a r y que coniene a P y el plano ' que coniene a r y a P. Ecuación de : 6y z D D D : 6y z Ecuación de ' : esá deerminado por los vecores u, 6, PQ,,6,,6,, y el puno P,,6 : y y z 6 y ' : y z z 6 Por ano, la reca que buscamos es: b) Esudiemos la posición relaiva de r y r : 6y z y z La reca r esá deerminada por el puno A,, y el vecor direccional u, 6, z z y z y z z z. r ' : y B,, v,, y como r y r son coplanarias y ienen disina dirección. El plano que las coniene esá deerminado por los vecores u, 6, y v,, y el puno A,, y y z 6z y 8 y 7z z : A. Considere las funciones f () e y g() 5 e. a) (,5 punos) Deermine los posibles punos de core de esas dos funciones. b) ( punos) Calcule el área encerrada enre esas dos funciones y las recas y.

3 Prueba de Acceso a la Universidad. SEPTIEMBRE. Maemáicas II. y e 5 a) e e 5, y e, e y e b) A e e d e e d e e e e e e e e e e e e,8,8,6 u A. (,5 punos) Se dispone de una carulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 5 cm. En cada una de las esquinas se cora un cuadrado de lado con el fin de poder doblar la carulina y formar una caja, sin apa. Cuál debe ser el lado del cuadrado a corar para que el volumen de la caja sea máimo? 5 cm La función volumen es: V() 5 5 V'() 5 5 cm V''() V'' 5 mínimo V'' 5 máimo luego para que el volumen de la caja sea máimo, deben corarse cuadrados de 5 8, cm en cada esquina. OPCIÓN B B. a) (,5 punos) Deermine para qué valores de m el siguiene sisema de ecuaciones: m y 6z my z my 6z m es compaible deerminado, compaible indeerminado o incompaible. b) ( puno) Se sabe que una mariz simérica B de dimensión iene como deerminane. Deermine el deerminane de la mariz B B donde B denoa la raspuesa de B. Las marices de los coeficienes, A, y ampliada, B, son: m 6 m. Comparemos sus rangos: m 6 m

4 m 6 m 6m m 6 m m m 8 m m 6 Para m : rga rgb nº de incógnias el sisema es compaible deerminado Para m : rg A pues el menor 6. Orlamos ese menor con la columna de los érminos independienes: 6 6 rg B 6 Para m : rg A y b) Si B es simérica: 6 y como rga rgb el sisema es incompaible 8 rg B rg A el sisema es incompaible 6 B B. Por ano: B B B 8 B B. a) ( puno) Encuenre la ecuación general A By Cz D del plano que es paralelo a la reca z r : y y que coniene los punos P,, y Q,5,. b) (,5 punos) Calcule el ángulo que forman las dos recas siguienes: y y z 5 r : r ' : z a) El vecor direccional de la reca es uno de los que deermina el plano: u,,. También el vecor PQ,,. La ecuación del plano es: y 8y 8 8z 8 z 6 6 y 7 y 6z z b) Obengamos las coordenadas de los vecores direccionales de ambas recas: y y z z z u v cos arc cos 6º 6' '' u v 9 9 r : y u,, r ': v,, B. a) ( puno) Calcule el límie: b) (,5 punos) Calcule la inegral 6 lím sen e sen cos d usando el cambio de variable sen

5 Prueba de Acceso a la Universidad. SEPTIEMBRE. Maemáicas II. a) Se raa de una indeerminación lím lím lím lím lím lím e b) u du d sen sen cos d d e sen cos d e d dv e d v e sen e e d e e e e sen Por lo ano: sen sen e sen cos d e sen e e B. Sea la función f () 6 a) (,5 punos) Deermine el dominio de f () b) (,5 punos) Esudie si la función f () es coninua. Si no lo es, deermine los punos de disconinuidad. c) (,5 punos) Deermine los posibles máimos y mínimos, así como las asínoas de f (). a) 5 Df, 6 b) La función iene dos punos de disconinuidad (con asínoa verical) en y en. c) Máimos y mínimos: f '() f ''() f '' es un máimo de la función. Asínoas: y son dos asínoas vericales de la función pues lím 6 Esudiemos la posición de la curva respeco a sus asínoas: lím. 6 y lím ; lím 6 6 lím ; lím 6 6 y es una asínoa horizonal de la función pues lím : 6 Posición relaiva: lím ; lím 6 6 = = y = 5