7 Lugares geométricos en el espacio

Transcripción

1 7 Lugare geomérico en el epacio ACTIVIDADES INICIALES 7.I Ecribe una ecuacione paramérica de la reca que paa por lo puno A(,, ) B(,, ). Calcula, ademá, un par de ecuacione implícia que la deerminen. AB (,, ) 5 7.II Indica i la iguiene ecuacione paramérica deerminan o no la mima reca: Para que repreenaran la mima reca, debería verificare que: Como en lo re cao e obiene la mima relación enre, la ecuacione repreenan a la mima reca. 7.III Ecribe una ecuacione paramérica para el plano que paa por lo puno A(,, ), B(,, ) C(,, ). Calcula u ecuación implícia. AB (,, ) AC (,, ) IV Indica i la iguiene ecuacione paramérica deerminan el mimo plano: λ μ λ μ λ El puno (,, ) perenece al primer plano in embargo no perenece al egundo, a que: μ μ λ λ μ λ μ λ el iema e incompaible. Por ano, repreenan diferene plano. 88

2 EJERCICIOS PROPUESTOS 7. Calcula la ecuacione de lo iguiene lugare geomérico e idenifícalo indicando u elemeno má imporane. a) Puno del plano que equidian de lo puno A(, ) B ( 5, ). b) Puno del plano que equidian de la reca r : :. c) Puno del plano ale que u diancia al eje de abcia e el doble de u diancia al origen de coordenada. d) Puno del plano cua diancia al origen de coordenada e la miad de u diancia al puno (, ). a) Sea P(, ) un puno cualquiera del lugar. d(p, A) d(p, B) ( ) ( ) ( 5) ( ) Se raa de la mediari del egmeno de eremo A B. b) El lugar pedido eá formado por la do biecrice de la reca r. Sea P(, ) un puno de la biecrice. d(p, r) d(p, ) ± ± 5 ( 5 ) ( 5 ) ; ( 5 ) ( 5 ) c) Sea P(, ) un puno cualquiera del lugar. d(p, OX) ; d(p, O) El único puno que verifica ea ecuación e el origen de coordenada. El lugar geomérico e ee único puno. d) Sea P(, ) un puno cualquiera del lugar. ( ) A B Se raa de una circunferencia de cenro C,, de radio r A B 6 C 6 7. Calcula la ecuacione de la iguiene cónica e idenifícala indicando u elemeno má imporane: a) Puno del plano que dian unidade del puno P(, ). b) Puno del plano cua diferencia de diancia a lo puno F (, ) F '(, ) e. c) Puno del plano que equidian de la reca del puno (, ). d) Puno del plano cua uma de diancia a lo puno F (, ) F '(, ) e. a) Circunferencia de cenro P(, ) radio : ( ) ( ) 9 b) Hipérbola cenrada en el origen con eje obre lo eje de coordenada: 5 c) Parábola de foco F(, ) direcri : ( ) 8 d) Elipe cenrada en el origen con eje obre lo eje de coordenada: Ecribe la ecuacione paramérica de la circunferencia con cenro en el origen de coordenada radio r. r co r en 89

3 7. (TIC) Para la curva de ecuacione paramérica aproimada u gráfica., complea la abla dibuja de forma,5,5 Y O X,5,5,5,5,75, Comprueba que una poible ecuacione paramérica para la elipe pueden er: b a a co b en ( aco ) ( ben ) a co b en a b a b a b co en 7.6 Ecribe la ecuacione implícia eplícia de la curva cua ecuacione paramérica on: a) b) a) Ecuación implícia:. Ecuación eplícia: b) ( ) Ecuación implícia: con (, ) (, ). No eie la ecuación eplícia. 7.7 Paa a coordenada polare lo iguiene puno dado en careiana: A(, ); B (, ) D (, ). r 8 r 8 π A (, ): π A, gθ θ arcg() r r π B (, ): π B, gθ θ arcg( ) r r g θ θ arcg() π C (, ): C (, π) r r π D(, ): π D, gθ θ arcg 6 6 ; C(, ); 9

4 7.8 Paa a coordenada careiana lo puno que ienen por coordenada polare: π π A(, π ); B, ; C(, ); D,. r co θ co π ren θ en π A(, π ): A(, ) π π r co θ co B, : B, π renθ en C(, ): C(, ) D π, π r co θ co π ren θ en : P (, ) 7.9 Ecribe la ecuación implícia en coordenada polare de: a) La reca que paa por el origen de coordenada por el puno (, ). b) La circunferencia que paa por lo puno A (, ); B (, ) C (, ). a) Se raa de la biecri del primer ercer cuadrane cua ecuación en coordenada careiana e. π Por ano, r coθ r enθ en θ r θ g θ co θ r 5π θ b) La circunferencia que paa por A(, ), B(, ) C(, ) iene por ecuación implícia en coordenada careiana de cenro el origen radio. Por ano, u ecuación en coordenada polare e r. 7. (PAU) Calcula la ecuación del plano mediador del egmeno de eremo A(,, ) B(5,, ). d(p, A) d(p, B) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( ) La ecuación del plano mediador e π : (PAU) Calcula la ecuacione de lo plano biecore de lo plano π, que paa por lo puno A(,, ), B(,, ) C(,, ), π ', de ecuación 5. Plano π : 5 5 d(p, π) d(p, π') ± ± ( ) Lo plano biecore erán: ( ) 5 α:( ) ( ) ( ) 5 ( ) 5 β : ( ) ( ) ( ) 5 7. (PAU) Calcula lo iguiene lugare geomérico: a) Puno del epacio que dian unidade de la reca r : b) Puno del epacio que dian unidade del plano π :. a) La reca r e el eje X. Si P(,, ) d(p, r) 9 Se raa de una uperficie cilíndrica de eje el eje X. α : b) Se raa de do plano paralelo a π :. P(,, ) d(p, π) ± β : 9

5 7. Indica cuále de la iguiene epreione deerminan una uperficie, en cao afirmaivo, cuále repreenan un plano. a) c) ( ) b) d) en a) Repreenan una uperficie a que on re ecuacione dependiene de do parámero. Pero no deerminan un plano, pueo que no oda la epreione on de primer grado (ha un facor ). b) Repreena una uperficie que e un plano a que e una ecuación de primer grado. c) Repreenan una uperficie que, ademá, e un plano. d) E una uperficie pero no un plano. El umando en no e polinómico. 7. Halla do puno la ecuación implícia de la uperficie: Si, A(, ). Si, B(, 5, ) ( ) ( ) Di qué ipo de curva repreenan la iguiene ecuacione implícia: Halla una ecuacione paramérica para la mima. La primera ecuación repreena una uperficie eférica de cenro el origen radio. La egunda repreena ora uperficie eférica de cenro el puno (,, ) radio. Se coran en la circunferencia conenida en el plano de cenro (,, ) radio r Luego la ecuacione paramérica on co en 7.6 (PAU) Ecribe la ecuación de la uperficie eférica cua caraceríica on la iguiene: a) De cenro, el puno C(,, ), de radio, r. b) Uno de u diámero e el egmeno de eremo A(,, ) B(,, ). a) ( ) ( ) ( ) 7 b) El cenro eará iuado en el puno medio de AB: M(,, ). El radio erá d(m, A) r La efera e: ( ) ( ) ( ) Ecribe una ecuacione paramérica para la uperficie eférica que iene por ecuación C(,, ) r La ecuacione paramérica on: coα enβ co α co β en α 9

6 7.8 (PAU) Halla la ecuación de la uperficie eférica cuo cenro e P(,, ) al que el plano que paa por lo puno A(,, ), B(,, ) C(,, ) e angene a ella. Calcula la coordenada del puno de angencia. Plano π que paa por A, B C: Radio de la efera: r d(p, π) La ecuación de la efera e: ( ) ( ) 9 9 ) ( ) 9 (,,. El puno de angencia e el Q(,, ). ( ) 7.9 (PAU) Halla la ecuación de la uperficie eférica de radio r, angene a lo plano XY e YZ, que paa por el puno A(,, 7 ). Calcula lo puno de angencia con eo plano coordenado. Como r e angene a XOY YOZ, el cenro e de la forma C(, b, ). Por ano, d(c, A) 9 ( b ) 7 (b ) b C(,, ) La ecuación de la efera e: ( ) ( ) ( ) 6, lo puno de angencia on: (,,) (,,). 7. (PAU) Eudia la poición relaiva de la efera el plano en lo iguiene cao: a) σ : 8 ; π : 8 b) σ : ; π : c) Efera de cenro el origen de coordenada radio, plano π :. 8 9 a) C(,, ); r ; d(c, π ). r d(c, π ) El plano e angene a la efera. b) C(,, ); r ; d(c, π ). r > d(c, π ) El plano cora a la efera en una circunferencia. c) C(,, ); r ; d(c, π ). r < d(c, π ) El plano e eerior a la efera (PAU) Eudia la poición relaiva de la efera la reca en lo iguiene cao: a) Efera de cenro C(,, ) r 6, reca : 8 b) σ : 5 ; r : 7 6 a) 8 ( 8) ; Δ b ac < No ha olucione reale, por lo que la reca e eerior a la efera. b) A(,, ). La reca cora a la efera. B(,, ) 9

7 7. Paa a coordenada careiana lo iguiene puno deerminado por u coordenada cilíndrica eférica: π π π a) A(r, θ, ),, ; B(r, θ, ) (, π, ) b) A(r, α, β ) (, π, ); B(r, α, β ),, 6 a) π π r coθ co ; r enθ en ; A, ( ) r co θ co π ; r enθ enπ ; B(,, ) b) r co α en β co π en ; r en α en β en π en ; r co β co A(,, ) π π π π π co en ; en en ; co B(,, ) 6 6 6, 7. Paa a coordenada cilíndrica lo iguiene puno: A (,, ) (,, ), B (,, ),, r π π g θ θ A,, r 5 g θ θ,6 rad B 5;,6; 7. Paa a coordenada eférica lo iguiene puno: A(,, ) (,, ), B(,, ),, r ; gα ; r 8 ; coβ π gα α ; π π π coβ β A,, r ; gα α,9 ; coβ β,5 B ;,9;,5 7.5 Halla la ecuacione paramérica de la uperficie cónica de vérice V(,, ) de direcri la curva: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7.6 Halla la ecuacione paramérica de la uperficie cilíndrica de direcri generarice on paralela al eje X. co en al que u La dirección de la generarice erá (,, ). La ecuacione erán: co en 9

8 7.7 Halla la ecuacione paramérica de la uperficie de ralación de direcri de coordenada Z. generari el eje El puno de core de la do curva e P(,, ). Una generari e OZ: Por ano:. Se raa del plano coordenado OXZ: 7.8 Halla la ecuacione paramérica de la uperficie de revolución que e engendra al girar, alrededor del eje Z, la reca que paa por lo puno O(,, ) A(,, ). La reca que paa por O(,, ) A(,, ) e coen. La ecuacione paramérica erán : en co 7.9 (TIC) Idenifica la iguiene cuádrica: a) 9 6 b) c) d) a) Hiperboloide de do hoja b) Elipoide c) Paraboloide elípico d) Paraboloide hiperbólico 7. a) Di qué ipo de cuádrica repreena la ecuación: 6 9 b) Indica el ipo elemeno de la cónica que e obiene al corar la cuádrica por lo plano,. a) Dividiendo por : Se raa de un hiperboloide de do hoja b) Inerección con : 6 6 Inerección vacía 7 7 Inerección con : Hipérbola conenida en Inerección con : Hipérbola conenida en

9 EJERCICIOS Lugare geomérico en el plano 7. Repreena halla la ecuación de la mediari del egmeno de eremo A(, ) B(, ). d(p, A) d(p, B) ( ) ( ) ( ) ( ) Y B A O X 7. Halla la ecuación de la biecrice de la reca r : :. Repreénala comprueba que on perpendiculare. d(p, r) d(p, ) ± 5 Y La ecuacione de la biecrice erán: a : ( ) ( ) b : ( ) ( ) O r X La biecrice a b on perpendiculare a que: ( ) ( ) ( ) ( ) Halla el lugar geomérico de lo puno del plano ale que u diancia a la reca r : on iguale a una unidad. Idenifica el lugar. d(p, r) 5 a : b : 5. Son do reca paralela a r Halla el lugar geomérico de lo puno del plano ale que u mínima diancia a la circunferencia de cenro el origen de coordenada, de radio, ea igual a una unidad. Repreena e idenifica el lugar. Como la mínima diancia de un puno P a una circunferencia de cenro C e la diancia enre el puno P el puno inerección de la circunferencia con PC, e raa de do circunferencia concénrica con la dada de radio repecivamene. Y O X 7.5 Halla el lugar geomérico de lo puno del plano cua uma de diancia a lo eje de coordenada coincida con el cuadrado de u diancia al origen. Repreena e idenifica el lugar. d(p, OX) d(p, OY) d(p, O) Se raa de una circunferencia de cenro C, radio r Y O P X 96

10 7.6 Halla el lugar geomérico de lo puno del plano ale que: a) Su diancia al puno fijo A(, ) ea igual a. b) La uma de diancia a lo puno fijo A(, ) B(, ) ea igual a. c) La diferencia de diancia a lo puno fijo A(, 5) B(, 5) ea igual a 8. d) Equidien del puno F(, ) de la reca. Idenifica cada uno de eo lugare. a) Circunferencia de cenro A(, ) radio : ( ) ( ) 6 6 b) Elipe de foco A(, ) B(, ) emieje maor 5: c) Hipérbola de foco A(, 5) B(, 5) emieje real en OY con longiud : d) Parábola: Halla la ecuación de cada una de la iguiene cónica: a) Circunferencia de cenro C(, ) radio r. b) Elipe de foco F '(, ) F(, ) emieje maor. c) Hipérbola de foco F '(, ) F(, ) emieje real. d) Parábola de foco F(, ) direcri. a) ( ) ( ) b) c) 9 5 d) ( ) (TIC) Halla el lugar geomérico de lo puno del plano ale que equidien de la biecri del primer ercer cuadrane del puno (, ). Repreena e idenifica el lugar. d(p, ) d(p, (,)) ( ) 6 6 Se raa de una parábola de foco F(, ) direcri. Y F d O X 97

11 Ecuacione paramérica de una curva 7.9 Idenifica ecribe una ecuacione paramérica de la iguiene curva del plano: a) c) e) g) b) d) f) h) e a) Reca: co b) Circunferencia cenro C, radio : en 9 9 c). Parábola: d) Hipérbola de aínoa, : e) Circunferencia cenro C(, ) radio : co en f). Elipe cenrada en (, ) de emieje a, b : co en g). Hipérbola: co g h) e. Eponencial decreciene: e 7. Ecribe la ecuacione paramérica para la curva uiliando el parámero. Como ( ) 7. Ecribe la ecuación implícia de cada una de la iguiene curva deerminada por una ecuacione paramérica, e idenifícala. a) co en b) c) co 6g d) co en a) (co en ) c) Circunferencia C(, ) r. Hipérbola g 6 co 6 b) d) co en Parábola Elipe 98

12 7. Eliminando en la ecuacione paramérica: deerminan. Oberva que., calcula la ecuación implícia de la curva que 7. (TIC) Con la auda de una abla de valore, repreena de forma aproimada la iguiene curva, dada por ecuacione paramérica: a) b) a) Y O X b) Y O X Coordenada polare en el plano 7. Paa a coordenada polare lo puno dado en coordenada careiana A(, ) B(, ). r ( ) π Ar (, θ): A, ; π θ arcg r ( ) ( ) 5 π Br (, θ): 5π B, θ arcg π 7.5 Paa a coordenada careiana lo puno dado en coordenada polare A, B 5π,. π co A(, ): A, π en ( ) ; 5π co B(, ): B, 5 π en 7.6 Deermina la ecuación en coordenada polare de la curva de ecuación. r r r r enθ enθ 99

13 7.7 Deermina la ecuación implícia de la curva cua ecuación en coordenada polare e Qué ipo de curva e? r. coθ 6 9 Se raa de una parábola de eje el eje X abiera hacia la derecha. 7.8 Calcula la ecuación en coordenada careiana de la curva cua ecuación en coordenada polare e r 7co θ. Idenifícala. gθ coθ α g En coordenada recangulare erá: ; r E una circunferencia de cenro 7, radio 7. Lugare geomérico en el epacio 7.9 (PAU) Calcula la ecuación del lugar geomérico de lo puno del epacio que equidian de lo puno A(,, ) B(,, ). Idenifica ee lugar geomérico. d(p, A) d(p, B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se raa del plano mediador del egmeno de eremo A B, e decir, el plano perpendicular al egmeno AB que paa por u puno medio. 7.5 (PAU) Calcula la ecuación del lugar geomérico de lo puno del epacio que equidian de lo plano: Idenifica ee lugar geomérico. π : π ':. La ecuación implícia del plano π e. a : ( ) ( ) d(p, π ) d(p, π ') ± b : ( ) ( ) Se raa de lo plano a b biecore del diedro que forman π π ', e decir, lo plano perpendiculare que dividen al diedro que forman π π ' en cuaro pare iguale.

14 7.5 Dado lo puno del epacio A( 5,, ) B(5,, ): a) Calcula la diancia d que lo epara. b) Halla la ecuación del lugar geomérico de lo puno del epacio que dian d unidade de A de B a la ve. c) Idenifica el lugar hallado. a) d(a, B) unidade b) d(p, A) d(p, B) ) ( 5) ( c) Se raa de la circunferencia que e obiene al corar la efera de cenro C( 5,, ) radio con el plano. Ea circunferencia iene cenro en O(,, ) radio Calcula la ecuación del lugar geomérico de lo puno del epacio que dian 5 unidade de la reca r :. d(p, r) PQ, con Q(,, λ) al que PQ (,, λ ) r u (,, ) λ λ. Por ano, d(p, r) ( ) ( ) 5 La ecuación del lugar geomérico e ( ) ( ) 5. Se raa de un cilindro de eje r al que el core con plano paralelo a XOY on circunferencia de radio 5. Obviamene, lo puno del eje Z, que on de la forma (,, ), verifican la ecuación del lugar. Ecuación de una uperficie 7.5 Indica i la iguiene ecuacione dependiene de parámero repreenan alguna uperficie, en cao afirmaivo, indica i la uperficie e un plano. a) λ λ λ b) λ λ λ c) μ λ μ d) λ λ λ μ a) Al aparecer un único parámero, e raa de una curva no de una uperficie. b) Al aparecer un único parámero er oda la epreione de primer grado, e raa de una reca. c) Se raa de una uperficie pero no e un plano a que la epreione no on oda de primer grado. d) Se raa de una uperficie. E un plano a que la epreione on oda de primer grado. 7.5 Calcula, en cada cao, la ecuación implícia de la uperficie cua ecuacione paramérica on: a) b) a) b) ( ) 7.55 Ecribe la ecuacione paramérica de la uperficie que iene por ecuación implícia: 69. Ecuacione paramérica: en co

15 Coordenada cilíndrica eférica 7.56 Deermina la coordenada cilíndrica del puno: P(,, ) (,, ). ( ) r π θ arcg arcg rad 6 π P,, 6 π 7.57 Deermina la coordenada careiana de un puno cua coordenada cilíndrica on P,, 6. π π r co θ co ; r enθ en ; P(,, ) Deermina la coordenada eférica del puno: P(,, ) (,, ). ; r π π P,, arcg arcg π α ; π β arcco arcco ; π π 7.59 Deermina la coordenada careiana de un puno cua coordenada eférica on P,,. π π r en β co α en co π π r en β en α en en P(,, ) π r co β co 7π 7.6 Calcula la longiud del egmeno OA, abiendo que la coordenada cilíndrica de A on,,. 7π 7π r co θ co ; r enθ en ; A(,, ) OA ( ) 6 La uperficie eférica 7.6 En cada uno de lo iguiene cao, calcula la coordenada del cenro la medida del radio de la efera: a) 6 b) 8 5 a) Sea C(a, b, c) el cenro de la efera r el radio. Se verifica: D a E b 6 6 a, b, c, r 6 Cenro C(,, ), radio r F 6 c G a b c r 5 b) La ecuación de la efera e puede ecribir como. D a E b 5 F c a, b, c, r Cenro C,,, radio r 5 G a b c r

16 7.6 (PAU) Dada la efera de ecuación. a) Calcula la coordenada de u cenro la medida de u radio. b) Calcula la ecuación del plano angene a la efera en el puno P(,, ). a) C(,, ), r b) CP (,, ) n (,, ) D. El plano debe paar por P D D. 7.6 (PAU) Deermina la poición relaiva de lo plano: π : 5, π ' :, π '' : repeco de la uperficie eférica de ecuación: El cenro de la efera e el puno C(,, ) el radio mide r 5 u. d ( C, π) d ( C, π' ) 5 5 > r El plano π e eerior a la efera. < r El plano π ' e ecane a la efera. La cora en una circunferencia. d ( C, π'' ) r El plano π '' e angene a la efera en el puno P(,, ). 7.6 (PAU) a) Calcula la ecuación de la uperficie eférica que iene por diámero el egmeno de eremo A(,, ) B(,, ). k b) Calcula el valor, o lo valore, de k para que la reca r : ea angene a la efera del aparado anerior. a) El cenro de la efera erá el puno medio del egmeno. Por ano, C(,, ). El radio medirá la miad del diámero. Por ano, r ( ). La ecuación de la uperficie eférica erá: ( ) ( ) ( ). b) Se uiue k ; ; en la uperficie e obiene la ecuación (k ) k k. Para que la reca ea angene, la ecuación anerior deberá ener una única olución. Enonce: Δ8k k k ; k 7.65 Se conidera la efera de cenro C(,, ) angene al plano de ecuación 9 6 : a) Calcula la medida del radio de la efera. b) Halla la ecuación de la efera. c) Ecribe la ecuación del plano angene a la efera que paa por el puno P(,, ). 9 6 a) r d( C,9 6 ) 8 6 b) La ecuación de la efera erá: ( ) ( ) ( ). c) Un vecor normal del plano bucado e el CP (,, ). Ademá, el plano angene debe conener a P. Por ano: D, enonce D, luego D e.

17 7.66 Ecribe la ecuación de la efera, del plano π de la circunferencia C que aparece en la figura. Efera: 9 Plano π : Circunferencia C : Halla la ecuación de la efera concénrica con la efera de ecuación 6, que enga por radio la unidad. 6 Cenro C,,, radio r 6 La efera concénrica de radio erá: ( ) 6 Curva en el epacio 7.68 Halla la ecuación implícia que deermina lo puno de la curva que iene por ecuacione paramérica: ( ) ( ) ) ( Idenifica cada una de la iguiene curva del epacio: a) b) en co c) d) a) Reca que paa por el origen de coordenada iene como dirección la del vecor u (,, ). b) Hélice. c) Circunferencia que e obiene al corar la efera de cenro el origen radio con el plano. d) Circunferencia que e obiene al corar el uperficie cilíndrica con el plano. Tiene u cenro en C(,, ), radio eá conenida en el plano. X O Z C Y π

18 Superficie cónica, cilíndrica, de ralación de revolución 7.7 Halla la ecuacione paramérica la ecuación implícia de la uperficie cónica cuo vérice e el puno V(,, ) cua direcri e la circunferencia conenida en el plano XY, con cenro el origen de coordenada cuo radio mide unidade. La circunferencia e: en co. La uperficie e: en co ) 9( Calcula la ecuación implícia de la uperficie cilíndrica cua direcri e D : 9 cua generarice on paralela a la reca r :. D : en co. El vecor direcor de la generarice e v (,, ). La uperficie e: en co Dada la curva C : D :, halla la ecuación implícia de la uperficie de ralación engendrada por C cuando e mueve obre D. El puno común e A(,, ). ( ) 7.7 Calcula la ecuación implícia una ecuacione paramérica de la uperficie de revolución engendrada por la curva de ecuacione al girar alrededor del eje Z. co en co en co en ( ) X O Z Y r V 5

19 Superficie cuádrica 7.7 (TIC) Idenifica la iguiene cuádrica: a) d) b) e) c) a) Hiperboloide de una hoja d) Hiperboloide de do hoja b) ( ) Elipoide e) ( ) Paraboloide elípico c) ( ) Paraboloide hiperbólico 7.75 (TIC) Di el ipo de cuádrica que repreenan la iguiene ecuacione, e indica el ipo elemeno de la cónica que e obienen al corar por lo plano, : a) b) a) Paraboloide elípico. Parábola conenida en el plano, vérice (,, ) eje paralelo al eje Y. Conjuno vacío 9 Parábola conenida en el plano, vérice (, 9, ) eje paralelo al eje Y. b) Paraboloide hiperbólico. Parábola conenida en el plano, vérice (,, ) eje paralelo al eje Y. Hipérbola conenida en el plano. 9 Parábola conenida en el plano, vérice (, 9, ) eje paralelo al eje Y (TIC) Mediane el eudio de la diferene eccione que e obienen al corar la iguiene uperficie por plano paralelo a lo plano de coordenada, indica qué ipo de cuádrica correponde a cada una de ella: a) c) e) b) d) a) XY: circunferencia; XZ: hipérbola; YZ: hipérbola Hiperboloide de una hoja. b) XY: hipérbola para do reca para ; XZ: parábola; YZ: parábola Paraboloide hiperbólico. c) XY: circunferencia; XZ: elipe; YZ: elipe Elipoide. d) XY: hipérbola; XZ: hipérbola; YZ: elipe Hiperboloide de una hoja. e) XY: circunferencia; XZ: parábola; YZ: parábola Paraboloide elípico. 6

20 PROBLEMAS 7.77 Calcula la longiud del egmeno que iene por eremo lo puno cua coordenada polare on π π A, B,. π π 8 8 π π Aco, en, ; Bco,en (, ) AB, AB Calcula la coordenada polare recangulare del vérice A del riángulo equiláero AOC, abiendo que el puno A perenece al primer cuadrane que la coordenada careiana de O de C on O(, ) C(6, ). La coordenada polare del puno C on (6, ). Por ano, la coordenada polare de A erán: ( ) π 6co La coordenada recangulare de A erán: A (, ) π 6en. π A r, θ 6, Dada la ecuación en coordenada polare r coθ. a) Ecribe dicha ecuación en coordenada careiana. b) Eudia la figura geomérica que repreena, e indica lo elemeno má imporane que la deerminan. a) co θ, por ano: 6 b) Circunferencia de cenro C(, ) radio r. 7.8 Demuera que la ecuación en coordenada polare r en θ repreena una circunferencia. Calcula el cenro el radio de la mima. enθ Circunferencia de cenro C, radio r 7.8 Dado lo puno del epacio A(,, 5), B(,, ) C(,, ), el plano de ecuación π : : a) Halla la coordenada del cenro de la uperficie eférica que paa por lo puno A, B C al que dicho cenro eá iuado en el plano dado. b) Halla la medida del radio de la efera anerior. c) Ecribe la ecuación de la uperficie eférica. Plano mediador del egmeno AB : ; plano mediador del egmeno AC : a) El cenro eará iuado en la inerección de lo plano mediadore calculado con el plano proporcionado:,, C(,, ) b) Radio: r d( C, A) c) ( ) ( ) ( ) 7

21 7.8 (PAU) Dado lo puno del epacio: A(,, ), B(,, ), C(,, ) D(,, ): a) Calcula la ecuación de la única efera que paa por lo cuaro puno. b) Halla la coordenada del cenro del radio de la efera. c) Calcula la uperficie de la efera. d) Calcula el volumen de la efera. a) La ecuación de la efera e A B C D A D A B D A, B, C, D A C D A D La efera e b) c, c, c C,, ; 9 r c) Superficie: S π r π u d) Volumen: V πr π π u Un objeo e lana con una velocidad inicial v, formando ea un ángulo α con la horional. La poición del objeo, con repeco al iempo, viene dada por la ecuacione paramérica ( v co α) ( ven α) g iendo g el valor de la aceleración de la gravedad. a) Calcula la ecuación implícia de la raecoria del móvil. b) Inerprea la forma de dicha raecoria. c) Suponiendo que α º, v 5 m/ g 9,8 m/ ; calcula la diancia horional recorrida por el objeo la duración del movimieno. vo α g α g vco α vcoα vcoα v co α a) en ( g ) g g v co α b) ( α) e una parábola de eje paralelo al eje de ordenada abiera hacia abajo. c) (5co ) 5 (5 en ),9 5,9 Para, e decir, momeno inicial, o 5 5, e decir, momeno final., ,5 m El alcance e de aproimadamene 9 m la duración del movimieno de aproimadamene 5. 8

22 7.8 Dada la reca r : lo puno A(,, ) B(,, ): 7 a) Calcula la coordenada del puno de inerección del plano mediador del egmeno de eremo A B con la reca r. b) Se conidera la efera que paa por A B que iene u cenro iuado en la reca r. Calcula la coordenada del cenro de la efera la medida de u radio. c) Calcula la ecuación de la uperficie eférica anerior. a) Puno medio de AB : M,, El vecor normal del plano bucado erá el AB ademá deberá conener al puno M. AB (,, ) D D D C : r C(,, ) b) El cenro erá el puno C el radio erá la diancia que epara a C de A: r d( C, A) ( ) c) La ecuación de la efera erá: ( ) ( ) 7.85 La circunferencia de la figura eá deerminada por la inerección de la efera cua ecuación e 6 con el plano de ecuación π :. a) Calcula el cenro C el radio R de la efera. b) Halla la ecuacione paramérica de la reca que paa por C por el cenro T de la circunferencia. c) Calcula la coordenada del puno T. d) Calcula la medida del radio r de la circunferencia. T C r R π a) Cenro de la efera: C,, C(,,) ; Radio de la efera: R ( 6) b) El vecor normal al plano iene la mima dirección que la reca bucada. Enonce: CT : c) T CT π ( ) ( ) ( ) T(,, ) d) Sea r el radio de la circunferencia: ( d ( C, T )) r R r ( ) 9 PROFUNDIZACIÓN 7.86 Halla el lugar geomérico de lo puno del plano que decribe el puno medio de un egmeno de unidade de longiud, cuo eremo e apoan conanemene uno en el eje de ordenada el oro en el eje de abcia. Idenifica dicho lugar. Sean A(, a) B(b, ): a b b a b. Sea (, ) un puno genérico (, ),. a Como a b, uiuendo, 5 que e una circunferencia de cenro el origen radio 5. 9

23 7.87 Calcula la ecuación del lugar geomérico de lo puno C del epacio ale que el área del riángulo ABC e, iendo A(,, ) B(,, ). Idenifica el lugar. La miad del módulo del produco vecorial de AB (,, ) AP (,, ) e el área del riángulo i j k (,, ). Se raa de una uperficie cilíndrica (TIC) Idenifica halla la ecuación implícia de la curva cua ecuacione paramérica on: Circunferencia de C, r 7.89 Halla la ecuación implícia en coordenada eférica de la efera cua ecuación e:. r co αenβ r en α en β r co α en β r en α en β r co β r co α en β r co β en β co β co αenβ co αenβ co αenβ r r r r r r co 7.9 Dada la uperficie de ecuacione paramérica: en a) Calcula u ecuación implícia en coordenada careiana, e idenifícala. b) Calcula u ecuación implícia en coordenada cilíndrica. a) en co Superficie cilíndrica b) r co θ r en θ r Ecuación de la uperficie r 7.9 Dado el plano de ecuación π : 8 la efera : a) Calcula el ha de plano paralelo a π. b) Calcula la ecuacione de lo plano angene a la efera que on paralelo a π. π π π C a) Ha de plano paralelo a π : D b) Lo plano bucado deben perenecer al ha anerior ademá deben verificar que la diancia del cenro de la efera a ello coincida con la medida del radio. Cenro: C(,, ); Radio: r D d ( C, π) D D 6 π : π': 6

24 7.9 (TIC) Conidera la curva C :. a) Di qué ipo de curva e e indica u elemeno má imporane. b) Ecribe la ecuacione paramérica de dicha curva. c) Ecribe la ecuación implícia de la uperficie que e genera al girar la curva C alrededor del eje Z. a) C : La curva e una elipe conenida en el plano YOZ de emieje repecivamene. b) Ecuacione paramérica C : co en co en c) co co en co Elipoide co en 7.9 Dada la reca r : 7 : la efera 6, calcula la 7 ecuacione de lo plano angene a la efera que ean paralelo a la reca r. El vecor n normal de lo plano bucado debe er perpendicular a lo vecore: u r (,, ) u (,, ) de dirección de la reca r. Por ano, n u r u (,, ). Lo plano endrán por ecuación D Cenro de la efera: C(,, ); Radio: r 9 6 D d ( C, π) D π : D π': Elige la única repuea correca en cada cao: RELACIONA Y CONTESTA 7. El cenro el radio de la efera de ecuación on: A) Cenro (,, ) radio r. D) Cenro (,, ) radio r. B) Cenro (,, ) radio r. E) La ecuación no repreena una efera. C) Cenro (,, ) radio r. C. La ecuación de la efera e ( ) ( ) ( ) ( ). Por ano, el cenro e (,, ) el radio. 7. La ecuacione paramérica en co repreenan: A) Una efera de cenro el origen de coordenada. D) Una efera de radio. B) Una reca en el plano de dirección (, ). E) Ninguna de la opcione aneriore. C) Una circunferencia en el plano de cenro (, ) radio. C. Como en, enonce: en co ( ) Se raa, por ano, de una circunferencia con cenro (, ) radio.

25 7. El lugar geomérico de lo puno del epacio que equidian de lo puno A(,, ) B(,, ) e: A) La reca que paa por el puno M(,, ) iene dirección perpendicular al vecor AB. B) El plano que coniene a lo puno A B iene como uno de u vecore de dirección el AB. C) El plano π :. D) El plano π :. E) Ninguna de la aneriore opcione e ciera. C. Sea X(, ) un puno genérico del plano. d(x, A) d(x, B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π : 7. La poición relaiva de la efera el plano π : e: A) El plano cora a la efera en una circunferencia de cenro C(,, ) radio. B) El plano cora a la efera en una circunferencia de cenro C(,, ) radio. C) El plano e angene a la efera en el puno P(,, ). D) El plano e angene a la efera en el puno P(,, ). E) Ninguna de la aneriore opcione e ciera. 5 E. La efera iene cenro O(,, ) radio. d(o, π ) >. El plano e eerior a la efera La ecuación de la uperficie cilíndrica de direcri la circunferencia conenida en el plano XOY con cenro en el origen radio de generarice paralela al eje Z e: A) C) ; E) B) ; D) A. La ecuacione implícia de la circunferencia direcri on co La ecuacione paramérica de la uperficie cilíndrica on en La implícia e. Señala, en cada cao, la repuea correca: 7.6 La circunferencia de cenro C(, ) radio r verifica que: A) Su ecuación en coordenada careiana carece de érmino independiene. B) Su ecuacione paramérica on co en co C) Su ecuacione paramérica on en D) Su ecuación en coordenada polare e r. E) Ninguna de la aneriore opcione e ciera. A. La ecuación de la circunferencia e carece de érmino independiene. co C. La ecuacione paramérica on en La repuea D no e ciera, pue la ecuación polar r repreena una circunferencia de radio pero cenrada en el origen de coordenada.

26 7.7 Se conidera la uperficie cuádrica de ecuación. A) Al corarla, por plano paralelo, al plano coordenado XOY e obiene iempre una elipe o una circunferencia. B) Al corarla por el plano, e obiene una elipe. C) Al corarla por el plano, e obiene una elipe. D) Al corarla por el plano, e obiene el puno (,, ). E) Se raa de un elipoide de emieje,. C, D E: La repuea A no e ciera, a que mucho de lo plano indicado on eeriore a la elipe. La repuea B no e ciera, a que al corarla por, e obiene el puno (, ). Elige la relación correca enre la do afirmacione dada: 7.8 Se conidera un puno P del plano cua coordenada polare on P(r, θ ) con r >. a) Se verifica que g θ e real negaiva. b) Se verifica que el puno perenece al ercer cuadrane. A) a e equivalene a b. D) a b no e pueden dar a la ve. B) a implica b, pero b no implica a. E) Ninguna de la do afirmacione e puede verificar. C) b implica a, pero a no implica b. D. Si la angene e real negaiva, el ángulo θ perenece al egundo o cuaro cuadrane. Por ano, no pueden dare la do condicione a la ve. Señala el dao inneceario para conear: 7.9 Para calcular la ecuación de una elipe en el plano e dan lo iguiene dao: a) Lo eje on paralelo a lo eje de coordenada. c) La emidiancia focal e c. b) El cenro de la elipe e el puno P(, ). d) Paa por el puno Q(, ). A) Puede eliminare el dao a. D) Puede eliminare el dao d. B) Puede eliminare el dao b. E) No puede eliminare ningún dao. C) Puede eliminare el dao c. ( ) ( ) E. Si lo eje on paralelo a lo eje de coordenada el cenro e (, ), la elipe e. a b 5 a b Para calcular a b e neceian la do condicione c : a 5, b a b a 5 Analia i la información uminirada e uficiene para conear la cueión: 7. Al corar la efera de ecuación mediane el plano π e obiene una circunferencia. Se preende hallar el radio de dicha circunferencia, para ello, e proporciona: a) La ecuación del plano π. b) La diancia del plano π al origen de coordenada. A) Cada dao e uficiene por í olo para poder hallar la π olución. B) a e uficiene por í olo, pero b no. d C) b e uficiene por í olo, pero a no. r C D) Son neceario lo do dao juno. E) Hacen fala má dao. A. Si e conoce la ecuación del plano, e puede obener la ecuación de la circunferencia, por ano, u cenro u radio. Si e conoce la diancia d del plano al origen de coordenada, el radio de la circunferencia e puede obener mediane r R d, iendo R el radio de la efera.