ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN 2013

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1 GEOMETRÍA (Selecividad ) ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN Aragón junio a) Pueden eisir vecores u v ales que u v u v = 8? Jusifica la respuesa b) Deermina odos los posibles vecores u = (a b) que engan módulo 8 sean perpendiculares a la reca r : a) El produco escalar de dos vecores u v se define como: u v u v cos( u v) Por ano no es posible que 8 cos( u v ) ; pues el coseno es siempre menor o igual que b) r : r : r : v r = ( ) Aplicando la definición canónica de produco escalar: u ( a b c) v ( a b c ) u v aa bb cc Si dos vecores son perpendiculares su produco escalar vale Se desea que u v r u 8 (a b) ( ) = a + b = b = a Por ano los vecores pedidos son: u = (a a) Si u 8 8 a a 8 a u Luego: u o Aragón junio Dadas las recas: r : s : a) Deermina su posición relaiva b) Calcula la disancia del puno P = ( ) a la reca s a) Si R un puno de r S un puno de s la posición relaiva de las recas r s se deermina esudiando la dependencia lineal de los vecores: v r = ( ) v s = ( ) RS = ( ) ( ) = ( ) Como 7 5 los vecores son linealmene independienes En consecuencia las recas r s se cruan b) La ecuación de la disancia de un puno P a una reca s es: José María Maríne Mediano

2 GEOMETRÍA (Selecividad ) AP vs d( P s) siendo A s vs En ese caso: A = ( ) P = ( ) AP = ( ) v s = ( ) El produco vecorial vale: AP u u u = 7 6 v s AP v ( ) ( 7) 6 89 s El módulo de v s : v s ( ) 89 Luego d ( P s) Casilla-León junio Sean los punos A( ) P( 5) Q( ) R( 6) a) Halla la ecuación de la reca que pasa por el puno A es paralela al plano que pasa por los punos P Q R al que la primera componene de su vecor direcor es doble que la segunda b) Halla la disancia del puno A al plano que pasa por P Q R a) Ecuación el plano π que coniene a P Q R: PQ = ( ) ( 5) = ( ); PR = ( 6) ( 5) = ( ) h 5 v = ( ) 5 h 5 a Reca r: r : b v r = (a b c) Se desea que v r = (b b c) c Si la reca debe ser paralela al plano: v r v = (b b c) ( ) = b + c = c = b b Por ano: r : b Si b = r : b b) dp( ) : a b c d Luego: A ) 5 a b a b c c d 5 7 d ( José María Maríne Mediano

3 GEOMETRÍA (Selecividad ) Casilla-León junio Sean los punos P( ) Q( ) la reca r a) Halla la ecuación del plano que pasa por P por un puno R de la reca r es perpendicular a la reca que pasa por Q por R b) Halla el ángulo que forman la reca r el plano a) Las ecuaciones paraméricas de r son: r Un puno genérico R de r es: R El vecor de dirección genérico ambién de la reca que pasa por Q R es: QR Si el plano pedido coniene a los punos P R coniene al vecor PR : PR Si un vecor es perpendicular a un plano significa que ese es el vecor caracerísico del plano; lo que implica que es perpendicular a odos los vecores conenidos en el plano En paricular los vecores QR PR son perpendiculares Luego su produco escalar valdrá : QR PR = = Por ano: QR = ( ) v = ( ) La ecuación del plano que coniene a P( ) iene por vecor normal a v = ( ) es: b) El ángulo que forma una reca con un plano es el complemenario del que deerminan los vecores v r de dirección de la reca con v normal al plano vπ vr Por ano el seno del ángulo (r π) sen(r π) = cos vπ vr vπ vr En ese caso: v = ( ); v r = ( ) Luego ( ) () sen (r π) = ángulo(r ) = º º ( ) José María Maríne Mediano

4 GEOMETRÍA (Selecividad ) José María Maríne Mediano 5 Caaluña junio Dados los punos P = ( ) Q = ( ) encuenre un puno R de la reca : r que cumpla que el riángulo de vérices P Q R es isósceles siendo PR QR los lados iguales del riangulo [ punos] Las ecuaciones paraméricas de r son: r Un puno genérico R de r es: R Los lados vienen deerminados por los vecores: PR QR 6 Si el riángulo es isósceles enonces: QR PR = El puno buscado es: R( ) 6 Caaluña junio Un riángulo de área / iene dos de sus vérices en los punos P = ( ) Q = ( ) El ercer vérice R es un puno de la reca r iene la primera coordenada no nula Calcule las coordenadas del vérice R [ punos] Ecuaciones paraméricas de r: r r r Un puno genérico R de r es: R El área del riángulo de vérices P Q R viene dada por: PQ PR S En ese caso: PR ; PQ = ( ) Luego u u u PQ PR S

5 GEOMETRÍA (Selecividad ) / R o R / / R / / Como se desea que esa superficie valga / Por ano el vérice puede ser: Como se pide que la primera coordenada no sea nula el puno buscado es 7 Valencia junio Sean O = ( ) A = ( ) B = ( ) C = ( ) Obener raonadamene escribiendo odos los pasos del raonamieno uiliado: a) El área del riángulo de vérices O A B ( punos) el volumen del eraedro de vérices O A B C ( punos) b) La disancia del vérice C al plano que coniene al riángulo OAB ( punos) c) La disancia del puno C al plano que coniene al riángulo OAB siendo C' el puno medio del segmeno de eremos O C ( punos) a) El área del riángulo de vérices O A B viene dada por: S OAOB En ese caso: OA = ( ); OB = ( ) OA OB 6 ( ) S u El volumen del eraedro de vérices O A B C viene dado por OA OB OC 7 Luego V u u u u V T 6 b) Plano que coniene a OAB: es el deerminado por el puno O los vecores OA OB h h La disancia pedida es: 7 d C ( ) 6 c) El puno medio de O C es: C = / 7 / Luego: dc ( / ) José María Maríne Mediano

6 GEOMETRÍA (Selecividad ) 6 8 Valencia junio Dados los punos A = ( ) B = ( ) C = ( ) P = ( ) se pide calcular raonadamene escribiendo odos los pasos del raonamieno uiliado: a) La disancia del puno P al puno A ( punos) b) La disancia del puno P a la reca que pasa por los punos A B ( punos) c) La disancia del puno P al plano que pasa por los punos A B C ( punos) a) P A ( ) ( ) ( ) d b) El vecor de dirección es v r = AB = ( ) ( ) = ( ) La ecuación de la reca A B será: r La disancia del un puno P a la reca r es: AP vr d( P r) siendo A s vr En ese caso: A = ( ) P = ( ) AP = ( ) v r = ( ) El produco vecorial vale: AP u u u = v r AP v s El módulo de v r : v r ( ) ( ) Por ano: d ( P r) c) Plano que coniene los punos A B C: es el deerminado por el puno A los vecores AB = ( ) AC = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: h h ( ) Luego: d P( ) José María Maríne Mediano

7 GEOMETRÍA (Selecividad ) 7 9 Eremadura junio Sean en R los vecores e = ( ) u = ( ) v = ( ) a) Calcula el produco vecorial e u b) Calcula el seno del ángulo que forman e u b) Calcula el ángulo que forman u v a) e u u u u = ( ) b) cos( e u) cos Por ano sen = e u e u u v c) cos( u v) u v ( ) ( ) Los vecores u v son perpendiculares ( ) ( ) = = 5º = = 9º 7 Eremadura junio a) Calcula las ecuaciones implícias de la reca r que pasa por el puno P = ( ) es paralela a los planos b) Calcula ambién las ecuaciones paraméricas de r un vecor direcor de r a) La reca pedida viene deerminada por los planos paralelos a los dados que pasan por P Las ecuaciones de esos planos son: Plano paralelo a que pasa por P = ( ): Plano paralelo a que pasa por P = ( ): La reca pedida es: r r b) Las ecuaciones paraméricas de r se obienen resolviendo el sisema anerior r r r r Un vecor direcor de r es: v r = ( ) José María Maríne Mediano

8 GEOMETRÍA (Selecividad ) 8 Canarias junio Dada la reca: r : el puno P ( ) eerior a r a) Halla la ecuación en forma general del plano π que coniene a r P (5 punos) b) Halla la ecuación (como inersección de dos planos) de la reca s que pasa por P es paralela a la reca r (5 punos) a) Las ecuaciones paraméricas de la reca r son: r ; A( ) r El vecor AP esá conenido en el plano: AP = ( ) ( ) = ( ) h La ecuación del plano pedido es: = De ora forma: El plano pedido perenece al ha: k Por pasar por P: k k = Luego: = b) La reca s vendrá deerminada por los planos paralelos a los dados que pasan por P Las ecuaciones de esos planos son: Plano paralelo a que pasa por P = ( ): Plano paralelo a que pasa por P: La reca s es: s s Canarias junio Dada la reca: r : los punos P ( ) Q( ) a) Halla la ecuación del plano π que coniene a r es paralelo a PQ (5 punos) b) Halla la ecuación de la reca s perpendicular a r que pasa por Q e inerseca a r (5 punos) Ecuaciones paraméricas de r: r : r : r : a) El plano buscado viene deerminado por la reca r por el vecor PQ PQ = ( ) ( ) = ( ) h Su ecuación es: h h José María Maríne Mediano

9 GEOMETRÍA (Selecividad ) 9 José María Maríne Mediano b) La reca s esá conenida en el plano π perpendicular a r que pasa por Q Además debe pasar por el puno de core de la reca el plano El plano π iene por vecor normal v = r v = ( ) Su ecuación es: Puno de core de r π Se susiuen las ecuaciones de r en π : R Por ano la reca s viene deerminada por RQ = ( ) = 5 Su ecuación es: s 5 5 s La Rioja junio Encuenra un valor de a para que las reas 5 a sean paralelas Para el valor de a que has enconrado calcula la ecuación del plano que coniene a ambas recas Dos recas son paralelas cuando lo son sus vecores de dirección Epresadas en forma paraméricas esas ecuaciones son: 5 r r 5 r 9 r 9 r v = ( 9 ) a s h ah h s s v = ( a ) Los vecores r v s v son paralelos cuando a = 9 El plano que coniene a ambas recas viene deerminado por el puno A r los vecores r v AB siendo B s A = ( ); B = ( ); r v = ( 9 ); AB = ( ) Por ano: q q q Observación: Como el vecor AB = ( ) es independiene de r v se confirma que las reas son paralelas: que no son coincidenes

10 GEOMETRÍA (Selecividad ) Madrid junio Dados el puno P( ) las recas: r s se pide: a) ( puno) Deerminar la posición relaiva de r s b) ( puno) Deerminar la ecuación de la reca que pasa por P cora a r s c) ( puno) Deerminar la ecuación de la reca perpendicular común a r s a) Si R un puno de r S un puno de s la posición relaiva de las recas r s se deermina esudiando la dependencia lineal de los vecores: v r v s RS Ecuaciones paraméricas de r: r r r v r = ( ); R = ( ) De s v s = ( ); S = ( ) Por ano: RS = ( ) ( ) = ( ) Como los vecores son linealmene independienes Luego las recas r s se cruan b) La reca pedida será la inersección de dos planos: que pasa por P coniene a r que pasa por P coniene a s El plano viene dado por P v r = ( ) RP = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: 5 El plano viene dado por P v s = ( ) SP = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: 5 Por ano la reca pedida es: 5 5 m 5 m E E 5 m 5 José María Maríne Mediano

11 GEOMETRÍA (Selecividad ) c) Se oman dos punos genéricos uno de cada una de las recas dadas R r S s se impone la condición de que el vecor RS (o SR) sea perpendicular a los de dirección de las recas v r v s RS vr Se obiene así el sisema: RS vs Se resuelve el sisema para obener los punos R S concreos La reca p queda definida por el puno R (o S) el vecor RS R = ( + + ) S = ( + ) RS = ( + ) RS v r = RS v 5 s = = ; Con eso: 7 5 R = ( ); S RS = La reca perpendicular común que pasa por R lleva la dirección de RS es: p : 5 Madrid junio a) ( puno) Hallar los punos de core de la reca de dirección ( ) que pasa por el puno P( 6 ) con la superficie esférica de cenro C( ) radio 6 b) ( puno) Hallar la disancia del puno Q( ) a la reca r a) Las ecuaciones paraméricas de la reca son: r 6 La ecuación de la esfera: 6 Los punos de core se obienen susiuendo las ecuaciones de la reca en la de la esfera = ; = / Susiuendo en r se obienen los punos: P ( ) P (/ 7/ 5/) b) La ecuación de la disancia de un puno Q a una reca r es: AQ vr d( Q r) siendo A r vr En ese caso: A = ( ) Q = ( ) AQ = ( ) ( ) = ( ); v r = ( ) José María Maríne Mediano

12 GEOMETRÍA (Selecividad ) El produco vecorial vale: AQ u u u = 9 9 v r AQ v 9 ( 9) 9 r El módulo de v r : v r 9 Luego d ( Q r) 6 Madrid junio Dados el puno P( ) el plano la reca r se pide: a) (5 punos) Deerminar la ecuación del plano que pasa por P es paralelo a la reca r perpendicular al plano π b) (5 punos) Hallar el ángulo enre r π a) El plano pedido viene deerminado por el puno P los vecores v normal al plano π v r de dirección de la reca r Se epresa r en sus ecuaciones paraméricas: r r r Como P( ) v = ( ) v r = ( ) el plano pedido es: b) El ángulo que forma una reca con un plano es el complemenario del que deerminan los vecores v r de dirección de la reca con v normal al plano Por ano el seno del ángulo (r π) vπ vr sen (r π) = cos vπ vr vπ vr Como: v r = ( ) v = ( ) cosvπ v r 9 Como arccos = 789º El ángulo pedido vale 9º 789º = 9º José María Maríne Mediano

13 GEOMETRÍA (Selecividad ) 7 Madrid sepiembre Dados los punos A( ) B( ) C( ) D( 6 ) se pide: a) ( puno) Probar que el cuadriláero ABCD es un rapecio (iene dos lados paralelos) hallar la disancia enre los dos lados paralelos b) ( puno) Hallar el área del riángulo ABC a) Los vecores que deerminan los lados son: AB = ( ) ( ) = ( ); BC = ( ) ( ) = (( ); CD = ( 6 ) ( ) = ( 6 6); DA = ( ) ( 6 ) = ( ) Como CD = AB se deduce que los lados AB CD son paralelos; el cuadriláero es efecivamene un rapecio La disancia enre los lados paralelos es igual a la disancia desde el puno A a la reca que pasa por los punos C D Ecuación de la reca CD: r 6 v r = ( 6 6); v r ( 6) AD v u u u r = 8 6 AD v r ( 8) AD vr d( A r) d ( A r) v 88 r b) El área del riángulo ABC es S AB AC u u u S 9 8 S ( 9) Madrid sepiembre Dados el puno P( ) el plano sea S la esfera que es angene al plano π en el puno P de modo que el segmeno PP es uno de sus diámeros Se pide: a) ( puno) Hallar el puno de angencia P b) ( puno) Hallar la ecuación de S La siuación es la que se muesra en la figura adjuna El diámero de la esfera es igual a la disancia enre los punos P P que es igual a la disancia de P al plano (Recuérdese que el plano angene es perpendicular al radio correspondiene en el puno de angencia por ende al diámero que coniene a dicho radio) 9 d P R = / 9 José María Maríne Mediano

14 GEOMETRÍA (Selecividad ) El puno P es el de core de la reca r que coniene al diámero con el plano π La reca r queda definida por el puno P por el vecor v r = v = ( ) Sus ecuaciones son: r Susiuendo esas ecuaciones en la del plano se obiene P 9 9 = P = ( ) El cenro de la esfera es el puno medio enre P P : O Por ano la ecuación de la esfera es: 9 Madrid junio Sean r A la reca con vecor dirección ( ) que pasa por el puno A( ) r B la reca con vecor dirección ( ) que pasa por B( ) r C la reca con vecor dirección ( ) que pasa por C( ) a) ( puno) Hallar para que las recas r A r B se coren b) (5 puno) Hallar para que la reca r A sea paralela al plano definido por r B r C c) (5 punos) Hallar el ángulo que forman r B r C Ecuaciones de las recas: h p r A ; r B h ; h a) Las recas r A r B se coran si los vecores AB v A linealmene dependienes AB = ( ) ( ) = ( ); v A r C p p v B son = ( ); v B = ( ) Son linealmene dependienes si = = b) El plano definido por las recas r B r C viene deerminado por el puno B por los vecores v v Su ecuación es: B C h p h p h p c) cos cosv v B C v v B B v v C C ( ) 6 = º José María Maríne Mediano

15 GEOMETRÍA (Selecividad ) 5 Asurias junio Halle los planos que pasando por A( ) B( ) coren al eje OX en un puno C al que el área del riángulo de vérices A B C sea 6 (5 punos) Los planos deben ser del ha deerminado por la reca AB Esa reca queda definida por el puno A por el vecor AB = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: r r Para la obención de la segunda ecuación se ha susiuido = en = + La ecuación del ha de planos es: k Esos planos coran al eje OX cuando = = k k Por ano el puno de core es C(k ) El área del riángulo de vérices A B C viene dada por: S AB AC En ese caso: AB = ( ) AC = (k ) ( ) = (k ) Luego u u u AB AC k k k AB AC 6 6k 6k k k Como se desea que S = 6 se endrá: 6 k k = ± En consecuencia los punos son: C ( ) C ( ) Las ecuaciones de los planos pedidos se obienen susiuendo los valores de k hallados en la ecuación del ha de planos Para k = : k k Para k = : Asurias junio Considere el plano : la reca r : a) Halle la posición relaiva de la reca el plano ( puno) b) Encuenre una reca perpendicular a ambos ( puno) c) Busque la mínima disancia enre la reca el plano dados (5 punos) a) Susiuendo las ecuaciones de la reca en la del plano se obiene: La ecuación del plano se cumple para odos los puno de la reca luego la reca esá conenida en el plano José María Maríne Mediano

16 GEOMETRÍA (Selecividad ) 6 b) En ese caso una reca perpendicular al plano a la reca dados es cualquier reca perpendicular al plano que pase por un puno de r Si se oma A( ) r como v = ( ) la ecuación de dicha perpendicular es s c) Como r esá conenida en π la disancia mínima enre ambos es Asurias junio Sean el puno P( ) el plano : 8 Calcule: a) Las ecuaciones de una reca que pase por el puno P sea perpendicular al plano π (5 punos) b) La disancia d del puno P al plano π (5 punos) c) La ecuación de oro plano paralelo a π disino de él que dise de P la misma disancia d (5 punos) a) El vecor de dirección de la reca perpendicular a un plano es v = ( ) el vecor normal al plano Como debe pasar por P( ) las ecuaciones de la reca pedida son: r b) dp( ) : 8 ( ) 8 ( ) 6 c) Los planos paralelos a π ienen el mismo vecor normal v = ( ) Su ecuación general será : k ( ) k 6 Como de desea que d P( ) : k ( ) 8 k ( ) 6 8 k 6 k = 8; k = Por ano el plano pedido es: : José María Maríne Mediano

17 GEOMETRÍA (Selecividad ) 7 Asurias junio Se consideran los punos en el espacio A( ) B( ) a) Halle el puno medio de A B (5 punos) b) Dé la ecuación del plano respeco al cual A B son punos siméricos ( punos) a) El puno medio es: M M b) El plano pedido es el mediador de A B Es el que pasa por M iene por vecor caracerísico a AB AB = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: 6 9 País Vasco junio Considera la reca definida por el plano b a Deermina los valores de a b en los siguienes casos: a) La reca r es perpendicular al plano b) La reca r esá conenida en el plano a) La reca el plano son perpendiculares cuando el vecor de dirección de la reca v r el normal del plano v son paralelos Eso es: v r = k v En ese caso: v r = (a ) v = ( b) v r = k v a k (a ) = k ( b) = (k k kb) k k = kb Por ano: a = 8; b b) Las reca esá conenida en el plano cuando el sisema que deerminan es compaible indeerminado Por ano las ecuaciones (paraméricas) de la reca deben saisfacer la del plano: en paricular dos punos cualesquiera de la reca deben perenecer al plano a r a Dos punos de la reca son: A( ) para = ; B( + a 5 ) para = Susiuendo en b se iene: b ( ) b = ; a = a 5 b José María Maríne Mediano

18 GEOMETRÍA (Selecividad ) 8 5 País Vasco junio Sean A = ( ) π el plano de ecuación a) Halla el puno de π de mínima disancia al puno A halla dicha disancia b) Encuenra el puno B simérico de A respeco al plano π a) El puno de π de mínima disancia al puno A es la proección de A sobre π Ese puno A es el core del plano con la reca perpendicular a π que pasa por A La dirección de la reca viene dada por el vecor normal del plano v = ( ) Por ano: r Core de r con π : = = 7/9 Luego el puno A = (/9 8/9 8/9) La disancia enre los punos A A es: d ( A A ) Observación: Más rápido es considerar que A A da 7 d 9 b) Si el puno B es el simérico de A respeco al plano π enonces A es el puno medio enre A B Sea B( ) el puno medio de A B será: 8 8 Como A = = se endrá: ; ; Por ano B José María Maríne Mediano

19 GEOMETRÍA (Selecividad ) 9 6 País Vasco julio 7 Dados el puno P( ) la reca r definida por 5 a) Deermina la reca que cora a r es perpendicular a r pasa por el puno P b) Halla la disancia enre el puno P su simérico Q respeco de la reca r a) La reca pedida s viene deerminada por los punos P R siendo P el dado R el de core de r con el plano π perpendicular a r que pasa por P Las ecuaciones paraméricas de r son: 7 r r 5 v r = ( ) 5 Plano π: (su vecor normal es v = v r = ( )) Puno R inersección de r π Se susiuen las ecuaciones de la reca en la del plano: 5 = R = ( ) La perpendicular pedida es la que pasa por los punos P R viene deerminada por P el vecor PR = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: s b) La disancia enre P Q es el doble que la disancia enre P R (Por ano no es preciso calcular Q) P R d ( P Q) d 7 País Vasco julio Se consideran los punos A = ( ) B = ( ) a) Es posible enconrar un plano que sea perpendicular a la reca que une A B que además pase por el puno C = ( )? En caso afirmaivo halla la ecuación de dicho plano; en caso negaivo raonar la respuesa b) Es posible enconrar una reca que pase por A B C? En caso afirmaivo hallar la ecuación de la reca; en caso negaivo raonar la respuesa a) Sí Es el plano que pasa por C cuo vecor normal es AB el dirección de la reca AB = ( ) ( ) = ( ) Por ano la ecuación del plano π es: b) Para que sea posible es necesario que los vecores AB AC sean dependienes Como AC = ( ) ( ) = ( ) AB = ( ) resula obvio que los vecores no son dependienes En consecuencia no ha una reca que pasa por los res punos José María Maríne Mediano

20 GEOMETRÍA (Selecividad ) 8 Murcia junio Tres vérices consecuivos de un paralelogramo son: A = ( ) B = ( 6 7) C = (5 ) a) Calcula el área del paralelogramo b) Deermina el cuaro vérice D a) El área del paralelogramo viene dada por S AB AC Como: AB = ( 6 7) ( ) = ( ) AC = (5 ) ( ) = ( 6) se iene: u u u AB AC S 6 8 ( 6) 55 u 6 b) Se cumple que OD = OA + AD = OA + BC Como BC = (5 ) ( 6 7) = ( 7 5) OD = ( ) + ( 7 5) = ( 9) El vérices D = ( 9) 9 Baleares junio Dado el puno P( ) el plano : 5 a) Calcula las ecuaciones coninuas de la reca perpendicular al plano π que pasa por el puno P b) Calcula el simérico del puno P respeco del plano π a) La reca pedida r viene deerminada por los punos P por el vecor v = ( ) normal al plano dado Sus ecuaciones coninuas son: r : b) Si el puno Q es el simérico de P respeco al plano π cumple dos cosas: ) Esá en la reca r perpendicular a π por P ) El puno M core de r con π es el puno medio enre P Q La reca r en paraméricas es: r Susiuendo en la ecuación del plano: El puno M = Si se supone que Q = ( ) el puno medio de P Q será: José María Maríne Mediano

21 GEOMETRÍA (Selecividad ) 7 7 Como M = = se endrá: ; ; 5 Por ano Q UNED junio Deermine el puno Q que es simérico del puno P = ( ) respeco al plano que deerminan los punos A = ( ) B = ( ) C = ( ) Observación: El puno Q es la imagen especular del puno P supueso que el plano fuera un espejo El plano que coniene a los punos A B C esá deerminado por el puno A por ejemplo por los vecores AB AC AB = ( ) ( ) = ( ); AC = ( ) ( ) = ( ) Su ecuación es: Sea Q = ( ) el simérico de P = ( ) respeco de Ambos punos P Q esarán en la reca r perpendicular a por P Además si M es el puno de core de la reca el plano M debe ser el puno medio enre P Q Como v = ( 9 5) se deduce que r 9 5 Core de la reca r con el plano: ( + ) + 9( + 9) 5( 5) + 6 = = = / Por ano M = ( / / 5/) Puno medio de P Q: 5 Como M = 9 ; ; 5 9 Por ano Q José María Maríne Mediano

22 GEOMETRÍA (Selecividad ) UNED junio Deermine la ecuación general de res planos que son perpendiculares enre sí al que la 5 inersección de dos de ellos es la reca r Dos de los planos deben perenecer al ha de planos deerminado por la reca r 5 5 r r La ecuación de ese ha es: 5 k k k k 5 k De esos infinios planos elegido uno siempre ha oro plano solamene oro que sea perpendicular al primero Ese segundo plano se deerminará imponiendo que su vecor normal sea perpendicular al primero El vecor normal genérico de esos planos es v k k k Si se da a k el valor k = se iene el plano ; con v = ( ) v k k k Si el vecor normal del plano perpendicular buscado es k k k k k = Para k = se obiene el segundo plano: El ercer plano buscado debe venir deerminado por un vecor normal v que sea perpendicular común a v = ( ) v = ( ) Por ano v v v u u u v v = ( ) En consecuencia π puede ser José María Maríne Mediano